Matemticas Maestra en Ciencias en Ingeniera Qumica

INTRODUCCIN En el presente trabajo se presentan algunos acontecimientos importantes de la vida de Isacc Newton que contribuyeron al desarrollo del algebra no lineal, tal es el caso del mtodo de Newton Rapshon, mtodo iterativo que se aplica para resolver sistema de ecuaciones algebraicas no lineales, el cual se debe el clculo de races de una funcin por aproximaciones sucesivas y tambin se estudian las deficiencias de tal mtodo en casos en el cual no existe convergencia y por ltimo se proponen ejemplos numricos para demostrar la validez y exactitud del mtodo de Newton Rapshon, haciendo uso tambin de software para la solucin de ecuaciones no lineales .

HISTORIA DEL METODO DE NEWTON-RAPHSONEl mtodo de Newton es probablemente el proceso ms antiguo y famoso de iteracin, tiene sus primeras versiones en la antigua Babilonia, reino de Mesopotamia, hoy Irak [3].Curiosamente, aunque lleva el nombre de Newton desde el ao 1830, no es mrito de Isaac Newton (1642,1727) el haberlo propuesto en la manera como hoy lo conocemos. Este, como otros mitos, le asigna a Newton descubrimientos que no hizo [4]. De hecho, no hay evidencia de que Newton lo conociera, segn Nick Kollerstrom, el crdito debe ser dado a Thomas Simpson (1710-1761) |el mismo autor de la conocida regla de Simpson" para la aproximacin de integrales definidas. Tambin es notable la participacin de otros matemticos como Joseph Raphson, Joseph Fourier, de tal manera que el mtodo podra ser llamado el mtodo de Newton-Raphson-Simpson-Fourier.

MTODO DE NEWTON-RAPHSONDefinicin:El mtodo de Newton es una extensin directa del mtodo del mismo nombre para buscar ceros de funciones de una variable. La idea es realizar el desarrollo de las series de Taylor de una funcin alrededor de una estimacin de la raz

Truncando la serie a primer orden e igualando se tiene.

Este Mtodo es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el Mtodo de diferencias divididas para aproximar . El Mtodo de Newton-Raphson asume que la funcin es derivable sobre un intervalo cerrado [a, b]. Entonces tiene una pendiente definida y una nica lnea tangente en cada punto dentro del intervalo [a, b]. La tangente en es una aproximacin a la curva de cerca del punto . En consecuencia, el cero de la lnea tangente es una aproximacin del cero de denominada raz de f(x).

Figura 1 Modelo general del mtodo de Newton Raphson

Usando algunos conceptos bsicos de clculo, se tienen maneras de evaluar races de funciones complicadas numricamente. Normalmente, se usa el mtodo de Newton-Raphson. Este proceso iterativo sigue una pauta fija para aproximar una raz, considerado la funcin, su derivada, y un valor x inicial.

El Mtodo de Newton Raphson usa un proceso iterativo para encontrar la raz de una funcin. La raz especifica que el proceso localiza un valor que depende del valor x inicial, valor x escogido arbitrariamente.Se Calcula la primera aproximacin, x1, como el cero de la lnea tangente en un punto inicial x0 dado. Se calcula la segunda aproximacin, x2, como el cero de la lnea tangente en la primera aproximacin x1.

DERIVACIN DE LA FRMULAEl Mtodo de Newton tiene una interpretacin geomtrica sencilla, de hecho, el Mtodo de Newton consiste en una linealizacin de la funcin, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0, f (x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la funcin en el punto, f (x0). La nueva aproximacin a la raz, x1, se obtiene de la interseccin de la funcin lineal con el eje X de ordenadas.La ecuacin de la recta que pasa por el punto (x0, f (x0)) y de pendiente f (x0) es:y f(x0) = f(x0)(x x0)

De donde, haciendo y = 0 y despejando x se obtiene la ecuacin de Newton-Raphson

Figura 2 Iteraciones del mtodo de Newton Raphson

Demostracin: Sea x0 la raz supuesta inicial o valor inicial de las iteraciones y si se aplican funciones trigonomtricas al ngulo de la figura 2 se tiene que tan()= f (x0) /(x0-x1), a partir de esta frmula se puede decir que: (x0- x1)= f (x0) / tan(). Y despejando x1 se tendra la frmula de Newton. La pendiente en x0 est dada por tan() = f ' (x0).Teniendo en cuenta lo anterior se tendra entonces que: x1 = x0 f (x0) / f '(x0). Tambin se puede deducir de teniendo en cuenta que la ecuacin de la lnea tangente en x0 est dada por: y f(x0) = f(x0)(xx0). La primera aproximacin x1 es obtenida como la raz de (1). As (x1,0) es un punto sobre la ecuacin anterior.

De aqu, Despejando, Finalmente se obtiene: Por construccin similar se obtiene:

Donde, xn es un valor para x conocido actualmente, representa el valor de la funcin evaluada en xn, y es la derivada evaluada en xn, xn+1 representa el prximo valor para x que se est tratando de encontrar como raz al aplicar el modelo. Esencialmente, la derivada representa , (dx = delta-x) dx = x0 x1. Sin embargo, el trmino representa un valor de dx = x.

ORDEN DE CONVERGENCIASean x0, x1, x2. . . una secuencia que converge a r y sea en = xn - r. Si existe un nmero m y una constante C (distinta de cero), tal que: cuando entonces m es llamado orden de convergencia de la secuencia y C el error asinttico constante. Para m=1,2,3, la convergencia se dice lineal, cuadrtica y cbica respectivamente.

ANLISIS DE CONVERGENCIASean x0, x1, x2,..., xn, xn+1 las aproximaciones en sucesivas iteraciones. Sea r el verdadero valor de la raz. Si se toma como error en la n-esima iteracin a . Entonces el error estar dado por: y en consecuencia Si se tiene que,

Ahora, expandiendo en serie de Taylor se obtiene, Ec2De las ecuaciones 1 y 2 se obtiene,, Esto es, donde De aqu , esto es, Por lo que Newton-Raphson es un mtodo que converge cuadrticamente, es decir, que el nmero de cifras decimales correctos se duplica aproximadamente en cada iteracin, o el error es aproximadamente proporcional al cuadrado del error anterior.Dos situaciones en las que el Mtodo de Newton no funciona adecuadamente: (a) el Mtodo no alcanza la convergencia y (b) el Mtodo converge hacia un punto que no es un cero de la ecuacin.

Figura 3 No convergencia en la que se puede incurrir con el mtodo de newton.Entre ms iteraciones se ejecuten, los dx =x tendern a ser ms pequeos y por ende tendern a cero (0) minimizando el valor del error.Tericamente, se podra ejecutar un nmero infinito de iteraciones para encontrar una representacin perfecta para la raz de la funcin. Sin embargo, ste es un mtodo numrico que se usa para disminuir el trabajo de encontrar la raz, para que toque hacer de forma manual este proceso.

EJEMPLOS DEL MTODO DE NEWTON RAPHSONEjemplo1. Utilice el mtodo de Newton-Raphson para calcular la raz de Solucin. La primera derivada de la funcin es

Empezando con un valor inicial x0 = 6, se aplica esta ecuacin iterativa para calcular

TABLA 1 Resultados del mtodo de newton para el ejemplo 1.

0X0 = 632123.33

1X1 = 3.337.096.661.06

2X2 = 2.271.154.542.010.26

3X2 = 2.010.044.022.000.01

Interpretando lo mostrado en la tabla 1 as; usando un valor inicial para x0 = 6, se encontr que la raz de la ecuacin es despus de 4 iteraciones con un dx igual a 0.01. Si se toma un valor inicial diferente para x0, se puede llegar a la misma raz, o puede encontrar alguna otra raz, por ejemplo x = 2.

Ejemplo2. Utilice el mtodo de Newton-Raphson para calcular la raz de Solucin. La primera derivada de la funcin es

Empezando con un valor inicial x0 = 0, se aplica esta ecuacin iterativa para calcularTABLA 2Nmero de las iteraciones para el ejemplo 2.

0X0 = 01-2

1X1 = 0.50.1065-1.6060.066

2X2 = 0.566310.001306-1.5670.00078

3X2 =0.5671 0.000678-1.56710.0004

As, el mtodo converge rpidamente a la raz verdadera. Observe que el error relativo porcentual verdadero en cada iteracin disminuye mucho ms rpido en la tabla 2 as; usando un valor inicial para x0 = 0, se encontr que la raz es despus de 4 iteraciones con un dx igual a 0.0004. Si se toma un valor inicial diferente para x0, se puede llegar a la misma raz, o puede encontrar alguna otra raz.Ejemplo 3: Ecuacin polinomial de orden 3Vea a continuacin un ejemplo, con la siguiente ecuacin: Solucin. La primera derivada de la funcin es

Empezando con un valor inicial x0 = 2, se aplica esta ecuacin iterativa para calcularTABLA 3Calculo de iteraciones para la funcin n

02.0026.0013.002.000.00

10.0016.001.0016.00-16.00

2-16.00-4096.00769.00-5.30-10.70

3-10.70-1210.70342.80-3.50-7.10

4-7.114-355.39154.01-2.3076-4.8341

5-4.834-101.798371.1049-1.4317-3.4024

6-3.402-26.790235.7293-0.7498-2.6526

7-2.652-5.317122.1089-0.2405-2.4121

8-2.412-0.446418.4548-0.0242-2.3879

9-2.387-0.004218.1065-0.0002-2.3877

Los clculos anteriores correspondientes al ejemplo 3, se comprobaron haciendo uso del paquete Matlab con el siguiente cdigo.format short;x=4; fx=x.^3+x+16;while abs(fx)>0.00001fx=x.^3+x+16; dfx=3*x^2+1; xn=x-fx/dfx;disp ([x fx dfx fx/dfx xn]); x=xn;endSi desea tener ms cifras significativas puedes cambiar el formato de presentacin por el de format long.

CONCLUSIONES El mtodo de newton es eficiente en la solucin de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rpidamente y proporciona una muy buena precisin en los resultados. El mtodo se emplea en la solucin de problemas acadmicos reales. El mtodo no puede ser utilizado para los casos en que f(x)=0. La eficiencia del mtodo depende del valor inicial elegido.

BIBLIOGRAFA [1]Chapra S.C. y Canale R.P. Mtodos numricos para ingenieros. 5. ed., McGraw-Hill, Mxico, 2007.[2]CONDE S. D, Carl de Boor. Anlisis numrico elemental: Un enfoque algortmico. Mc. Graw-Hill 1972.[3] D. F. Bailey A Historical Survey of Solution by Functional Iteration Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 3. (Jun., 1989).[4] Nick Kollerstrorn, Thornas Simpson and \Newton's method of approximation": An enduring myth, British, Journal for the Histoy of Science 25 (1992)[5]MATHEUS. John H. Fink Kurtis D. Mtodos Numricos con MATLAB. Editorial Prentice Hall.[6]http://www.unalmed.edu.co/~ifasmar/libro.html[7]http://www.uv.es/~diaz/mn/fmn.html

Oswaldo Prez Mayet

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