5. metodo de newton

Mtodo de

Newton-Raphson

Mtodo de Newton-Raphson

Universidad Tecnolgica de Panam. Mtodos Numricos. Ing. Salvador A. Rodrguez G. 2

Sir Isaac Newton 4 de enero de 1643

31 de marzo de 1727

Mr. Joseph Raphson 1648 - 1715


f(x)

f(xi)

f(xi-1)

xi+2 xi+1 xi X

ii xfx ,

Mtodo de Newton Raphson

1 '

ii i

i

f(x )x = x -

f (x )

Figura 1 Ilustracin Geomtrica del Mtodo de Newton-Raphson.


f(x)

f(xi)

xi+1 xi

X

B

C A

tan(AB

AC

1

( )'( ) ii

i i

f xf x

x x

1

( )

( )

ii i

i

f xx x

f x

Figura 2 Derivacin del mtodo de Newton-Raphson.

Derivacin

ALGORITMO


Evalue f'(x) simbolicamente

Paso 1


1

i

i i

i

f xx = x -

f x

Use un valor inicial de la raz, , para estimar el nuevo valor de la raz, , como

ix

1ix

Paso 2


1

1

100i iai

x - x =

x

Determine el valor absoluto del error relativo aproximado como a

Paso 3


Paso 4

Compare el valor absoluto del error relativo aproximado con el valor de la tolerancia pre especificada .

a

s

Es ?

a s

Si

No

Vaya al paso 2 usando nuevos valores asumidos

superior e inferior

Finalice el algoritmo

Nota: Se deber verificar que el numero de iteraciones no sea mayor del mximo numero de iteraciones permitidos. Si esto sucede, se deber finalizar el proceso y notificar al usuario.


Ejemplo 1

Usted es un colaborador de la empresa, Mi Pequea Compaa, la cual fabrica flotadores para la Compaa ACME. El flotador tiene una densidad relativa S = 0.6 y un radio de 5.5 cms. Se desea conocer la profundidad al cual se sumerge el flotador cuando se encuentra en el agua.

Figura 3 Problema de la esfera flotando


Ejemplo 1 La ecuacin que da el valor de la profundidad x, en metros, a la cual la esfera esta sumergida bajo el agua, esta dada por

a) Use el mtodo de Newton para encontrar las races de la ecuacin que permitan determinar la profundidad x a la cual se encuentra sumergida la esfera bajo el agua. Efecte tres iteraciones para estimar la raz de la ecuacin anterior.

b) Encuentre el valor absoluto del error relativo aproximado al final de cada iteracin,

c) El nmero de cifras significativas al final de cada iteracin.

3 2 40.165 3.993 10 0x x


Para ayudar en la comprensin de cmo funciona este mtodo para encontrar la raz de una ecuacin, la grfica de f (x) se muestra a la derecha, donde

3 2 40 165 3 993 10-f x x - . x + .

Solucin

Ejemplo 1

Figura 4 Grafica de la funcin f(x)

Funcin F(x)


3 2 4

2

Resuelva por f'(x)

0 165 3 993 10

' 3 0.33

-f x x - . x + .

f x x - x

Ejemplo 1

Asumamos la suposicin inicial de la raz de es . Esta es una suposicin razonable (discutir por y no son buenas opciones) como los valores extremos de la profundidad x sera 0 y el dimetro (0,11 m) de la bola.

0f x

0 0.05mx 0x m11.0x


0

1 0

0

3 2 4

2

4

3

'

0.05 0.165 0.05 3.993 100.05

3 0.05 0.33 0.05

1.118 10 0.05

9 10

0.05 0.01242

0.06242

f xx x

f x

Iteracin 1 El estimado de la raz es :

Ejemplo 1


Ejemplo 1

Figura 5 Estimado de la raz para la primera iteracin

Funcin X0 Raz actual X1 Raz nueva

Lnea tangente

Grafica de la Funcin y lnea tangente


1 0

1

100

0.06242 0.05100

0.06242

19.90%

a

x x

x

El nmero de dgitos significativos correctos es 0, ya que se necesita un valor absoluto del error relativo absoluto de 5% o menos para al menos tener una cifra significativa correcta en el resultado.

El valor absoluto del error aproximado relativo es al final de la primera iteracin es:

a

Ejemplo 1


1

2 1

1

3 2 4

2

7

3

5

'

0.06242 0.165 0.06242 3.993 100.06242

3 0.06242 0.33 0.06242

3.97781 10 0.06242

8.90973 10

0.06242 4.4646 10

0.06238

f xx x

f x

Iteracin 2 El estimado de la raz es:

Ejemplo 1


Figura 6 Estimado de la raz para la iteracin 2.

Ejemplo 1

Funcin X0 Raz actual X1 Raz nueva Lnea tangente



2 1

2

100

0.06238 0.06242100

0.06238

0.0716%

a

x x

x

El valor absoluto del error aproximado relativo es al final de la segunda iteracin es:

a

El mximo valor de m para es 2.844. Por consiguiente, el menor numero de cifras significativas correctas en la respuesta es 2.

20.5 10 ma

Ejemplo 1


Iteracin 3 El estimado de la raz es:

Ejemplo 1

2

3 2

2

3 2 4

2

11

3

9

'

0.06238 0.165 0.06238 3.993 100.06238

3 0.06238 0.33 0.06238

4.44 10 0.06238

8.91171 10

0.06238 4.9822 10

0.06238

f xx x

f x


Figura 6 Estimado de la raz para la iteracin 3.

Ejemplo 1

Funcin X0 Raz actual X1 Raz nueva Lnea tangente



El valor absoluto del error aproximado relativo es al final de la segunda iteracin es:

a

Ejemplo 1

2 1

2

100

0.06238 0.06238100

0.06238

0%

a

x x

x

El menor numero de cifras significativas correctas es 4, ya que 4 cifras significativas se utilizaron a lo largo de los clculos.

VENTAJAS Y

DESVENTAJAS


Ventajas

Converge rpidamente (posee convergencia cuadrtica), si es que converge

Requiere un solo valor inicial


Desventajas 1. Divergencia en los puntos de infleccion Seleccin de los valores iniciales o el valor para una iteracin de la raz

que esta cerca a un punto de inflexin de la funcin puede empezar a divergir de la raz en el mtodo de Newton - Raphson.

Por ejemplo, para encontrar la raz de la ecuacin . El mtodo de Newton-Raphson se reduce a . La tabla 1 muestra los valores iterados de la raz de la ecuacin. La raz empieza a divergir en la iteracin 6 debido a que el estimado previo

de 0.92589 esta cercano a un punto de inflexin . Eventualmente despus de 12 iteraciones ms la raz converge al valor

exacto de

xf

3

1 0.512 0f x x

33

1 2

1 0.512

3 1

i

i i

i

xx x

x

1x

0.2.x


Iteracin xi

0 5.0000

1 3.6560

2 2.7465

3 2.1084

4 1.6000

5 0.92589

6 30.119

7 19.746

18 0.2000 Figura 8 Diverge en el punto de inflexin para

31 0.512 0f x x

Tabla 1 Divergencia cerca de los puntos de inflexin.

Desventajas Puntos de Inflexin


Desventajas Divisin por Cero

2. Divisin por cero Para la ecuacin El mtodo de Newton-

Raphson se reduce a

Para , el denominador se hace cero.

3 2 60.03 2.4 10 0f x x x

3 2 6

1 2

0.03 2.4 10

3 0.06

i ii i

i i

x xx x

x x

0 00 or 0.02x x Figura 9 Fallo de divisin por cero o cercano al nmero cero


Resultados obtenidos del Mtodo de Newton-Raphson pueden oscilar alrededor de un mximo o mnimo local sin convergir a una raz pero convergiendo a un valor mximo o mnimo local.

Eventualmente, el puede conducir a una divisin de un numero cercano a cero y puede divergir.

Por ejemplo para la ecuacin no tiene races reales.

2 2 0f x x

Desventajas Oscilaciones cerca de un mnimo o mximo local


Desventajas Oscilaciones cerca de un mnimo o mximo local

Iteracin

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.0000

0.5

1.75

0.30357

3.1423

1.2529

0.17166

5.7395

2.6955

0.97678

3.00

2.25

5.063

2.092

11.874

3.570

2.029

34.942

9.266

2.954

300.00

128.571

476.47

109.66

150.80

829.88

102.99

112.93

175.96

ix if x %a

Tabla 3 Oscilaciones cerca un mximo o mnimo local en el mtodo de Newton-Raphson

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3

x

f(x)

3

4

2

1

-1.75 -0.3040 0.5 3.142

2 2f x x

Figura 10 Oscilaciones alrededor de un mximo o mnimo local para


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 0 2 4 6 8 10

x

f(x)

-0.06307 0.5499 4.461 7.539822

4. Salto entre Races En algunos casos donde la funcin esta oscilando y tiene un nmero de races, se puede escoger un valor inicial cerca a una raz. Sin embargo, los valores iniciales pueden saltar y convergir a alguna otra raz.

Desventajas Salto entre Races

Por ejemplo Escoja Esto converger a En lugar de

f x

sin 0f x x

0 2.4 7.539822x

0x

2 6.2831853x

Figura 11 Salto de Races desde una posicin de una raz para

sin 0f x x


FIN

5. metodo de newton

Documents