PROGRAMACIÒN LINEAL

TRABAJO COLABORATIVO - MOMENTO 4

GRUPO No.

100404-33

ESTUDIANTE:

GUSTAVO EDUARDO LIZARAZO G

CÓDIGO 79.942.858

SANDRA MILENA CASTILLO

CODIGO. 37.577.671

YISNEIDIS SANCHEZ DIAZ

CODIGO. 1072428311

YOHANI PARRA

CODIGO 80853518.

TUTORA

YURI VANESSA NIETO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CEAD SANTA MARTA

SEPTIEMBRE DE 2015

INTRODUCCION

En la Segunda Unidad del Curso de Programación Lineal hemos abordado

temáticas de los métodos de solución. Donde encontramos el método gráfico,

método algebraico y el método simplex.

El método gráfico consiste, en representar en unos ejes cartesianos, o

sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así,

dónde; en el método algebraico usa como su principal herramienta el álgebra,

que ligada a un proceso de lógica matemática surge el método simplex.

Donde comienza con una solución factible y prueba si es o no óptima. Si no

lo es, el método sigue a una mejor solución. Se dice mejor en el sentido de

nueva solución no es óptima, entonces se repite el procedimiento. En algún

momento el método simplex conduce a una solución óptima, si es que existe.

OBJETIVOS

Identificar un problema relacionado con el entorno y plantear diferentes

alternativas de solución.

Identificar los diferentes algoritmos utilizados para solucionar

problemas de programación lineal.

Proponer y plantear problemas de aplicación donde se utilicen los

diferentes métodos para solucionar problemas de PL.

Utilizar el Algoritmo simplex a través de tablas y la identificación de

variables básicas y artificiales para la solución de problemas de PL

optimizados

DESARROLLO:

Supermercado Mi Futuro (GUSTAVO LIZARAZO G)

Gerente General CAMPO ELIAS PACHECO

Actividad económica de la empresa: COMERCIALIZACION DE

COMESTIBLES

Descripción del proceso:

NARRACIÖN DEL PROBLEMA

El Supermercado Mi Futuro comercializa tres tipos de salchichón, que son

fabricados por ellos mismos, así: el salchichón especial (Cervecero),

Salchichón mini y salchichón grande, para fabricar una unidad de salchichón

Especial (Cervecero) se requiere de 588 grs de carne de res, 3294 grs de

carne de cerdo y 1 litro de agua. El salchichón Especial se vende a (ocho

mil pesos) $8000. Para fabricar una unidad de salchichón mini se requiere

de 500grs de carne de res, 2600 gr de carne de cerdo y 1litro de agua. El

salchichón mini se vende a (Siete mil quinientos pesos) $7500 pesos. Para

fabricar una unidad de salchichón grande se requiere de 714 grs de carne

de res, 3714 grs de carne de cerdo y 1litros de agua. El salchichón grande se

vende a (Diez mil pesos) $10.000. La disponibilidad de materia prima para la

producción de los tres tipos de salchichón de: carne de res 1400 kg, carne

de cerdo 10000 Kg y 3000 Lt de agua.

Formulación de la pregunta para resolver el problema

¿Determinar cuántos salchichones de cada tipo se deben fabricar

diariamente para obtener el máximo beneficio, respecto a la utilidad?

RECURSOS

SALCHICHONES DISPONIBILIDAD

Chorizo

especial

Chorizo

Mini

Chorizo

Grande

Carne de

res 0.588kg 0.500kg 0.714kg 1400Kg

Carne de

cerdo 3.294kg 2.600kg 3.714kg 10.000kg

Agua 1Lt 1Lt 1Lt 3000Lt

Precio

venta $8000 $7500 $10000

Desarrollo de problema planteado

Carta de aceptación de solución del problema hallado:

Carta aceptación Yisneidy Sanchez Diaz

Carta aceptación Johany Parra

1. Nombre de la empresa: TELEPALMIRA S.A E.S.P. (SANDRA MILENA CASTILLO)

2. Nombres y apellidos del gerente o representante Legal de la empresa visitada: Javier Rodríguez, Gerente.

3. Actividad económica de la empresa: Empresa de telecomunicaciones.

4. Nombre y descripción del proceso en donde han identificado el problema de programación

Lineal: Área de ventas, asesores comerciales.

5. Narración del problema

La empresa de telecomunicaciones Telepalmira ofrece a sus usuarios diferentes servicios, entre los cuales ofrece servicios de internet y telefonía. Un asesor vende un servicio de internet banda ancha a un precio de 20.000 pesos y un servicio de telefonía fija ilimitada local a 35.000 pesos, se requiere determinar cuántos servicios debe vender el asesor para obtener una mayor utilidad con las siguientes restricciones:

Si se trata de servicios de internet, en una jornada laboral de 8 horas solo pueden vender hasta 5 servicios por asesor.

Si se trata de servicios de telefonía fija, en una jornada laboral de 8 horas puede vender hasta 10 servicios por asesor.

Información

Precio de un servicio de internet: $20.000

Precio de un servicio de telefonía fija: $35.000

Jornada de trabajo: 8 horas

Total de servicios de internet vendidos máximo: 5

Total de servicios de telefonía vendidos máximo: 10

Planteamiento

𝑋1 = Número de ventas de servicios de internet por asesor

𝑋2 = Número de ventas de servicios de telefonía por asesor

Modelo

MAX Z = 20000 𝑋1 + 35000 𝑋2

1. 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 15 2. 5 𝑋1 + 10𝑋2 ≤ 8

3. 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑘(𝑥 + 𝑦)

𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑘(𝑥 + 𝑦) = 0 𝑦 𝑥 + 𝑦

= 0 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝐾 = (𝑥 + 𝑦) = 𝐾

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝟏. 𝟔 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑖𝑎

𝑓𝑖𝑗𝑎 𝑖𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎

C. PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL RESUELTOS EN PHPSIMPLEX

1.-Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos

se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres

sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por

cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma

razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.

Solución

Variable Cafeína Sin Cafeína

A x 3x 3x

B y 2y 4y

Totales 120 180

El conjunto de restricciones es:

Los vértices son A(0, 0), B(0, 45), C(20, 30) y D(40, 0)

La función objetivo es: beneficio =f(x, y)= 6x + 5y

Utilizando el método analítico, el máximo estará en uno de los vértices.

f(0, 0)= 0, f(0, 45)=225 f(20, 30)= 120+150=270 y f(40, 0)=240

Es decir 20 paquetes de A y 30 de B el máximo de beneficios fueron 270 euros

2. Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos

clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de

B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es:

Dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B

Dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.

Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 es 1,45 €. ¿Cuál es la distribución

óptima para el menor coste?

Solución:

Lo resolveremos gráficamente.

Sean x e y el número de dietas D1 y D2 respectivamente.

La función objetivo es:

C(x,y) = 2,5 x + 1,45 y

Las restricciones son:

2x + y 70

3x + 2y 120

x 0 , y 0

La Solución es administrar es administrar 20 dosis de la dieta 1 y 30 de la dieta 2 para obtener

un mínimo de costo de 93.5 Euros

3. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 ha con olivos de tipo A, ni más de 10 ha con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente,

500 y 300 litros anuales de aceite: a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite. b) Obtener la producción máxima.

Tipo de olivo Agua por ha. y año Inversión por ha. Producción por ha.

ha. dedicadas

A 4 m3 500 €

500 l

x

B 3 m3 225 €

300 l

y

Restricciones 44 m3 4500 €

Las ecuaciones de las restricciones serán,

“No se pueden cultivar más de 8 ha. con olivos del tipo A” x ≤

8

“No se pueden cultivar más de 10 ha. con olivos del tipo B” y ≤

10

“Se dispone de 44 m3 de agua al año” 4x 3y ≤ 44

“Se dispone de 4500 € para invertir” 500x 225 y ≤ 4500

Queremos maximizar la producción de aceite que será: 500 x + 300 y

El problema a resolver es: maximizar z = 500 x + 300 y

x ≤ 8

10

y ≤

s.a.4x 3 y ≤ 44

500x 225 y ≤ 4500

x, y ≥ 0

Calculamos las restricciones

4x 3 y ≤ 44 500x 225 y ≤ 4500

4x 3 y 44 500x 225 y 4500

x y x y

11 0 9 0

0

44 0 20

3

4 . 0 3 . 0 ≤ 44 500 . 0 225 . 0 ≤ 4500

Debemos calcular los siguientes puntos de corte,

y 10 14

4x 3.10 44 → 4x 14 → x

3´5 → (3´5 , 10)

4x 3y 44

4

4x 3y 44 44 − 4x

de la 1ª y

500x 225 y 4500

3

sustituyendo en la 2ª 500x 225 44 − 4x 4500

3

1500x 9900 − 900x 13500

3600 44 − 4 . 6 20 20

600x 3600 → x

6 →

y

→ 6 ,

600

3

3

3

x 8 500 20 20

500 . 8 225 y 4500 → 225 y 500 → y

→8 ,

500x 225 y 4500

225

9

9

La región factible está limitada por los puntos

20 20

(0 , 0), (0 , 10), (3´5 , 10), 6 ,

, 8 ,

y (8 , 0)

3

9

(x, y) z 500x 300 y

(0,0) 500 . 0 300 . 0 0

(0,10) 500 . 0 300 .10 3000

(3´5,10) 500 . 3´5 300 .10 4750

20

20

6,

500 . 6 300 .

5000 máximo

3

3

20

20

8, 500 . 8 300 .

4666´666...

9

9

(8,0)

500 . 8 300 . 0 4000

20

La función z = 500 x + 300 y alcanza su máximo en el punto 6,

3 Por lo tanto, para maximizar la producción de aceite se deben plantar 6 ha de olivos del tipo A y 20/3 ha de olivos del tipo B.

La producción máxima será de 5000 litros de aceite

4. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este?

Nº Horas de

trabajo

Unidades de

tela

Modelo A x 4x 3x

Modelo B y 3y 5y

Totales 48 60

Las restricciones son

La función objetivo es f(x, y)=40x +20y

Calculamos los vértices:

36+ 3y =48 y =4 luego un vértice es (9, 4)

Lo resolvemos por reducción 11y=96 y =96/11 , sustituyendo en la 1ª ecuación, x =

60/11

Los vértices son (0, 0), (9, 0), (9, 4), ( 60/11, 96/11) y (0, 12)

Por el método gráfico vemos que el máximo se alcanza en el punto (9, 4) .

La solución sería fabricar 9 fundas tipo A y 4 tipo B para obtener un máximo de beneficio de 440 Euros.

5. Disponemos de 21000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A,

que rinden el 7% y las del tipo B, que rinden el 9%. Decidimos invertir un máximo de 13000 euros en las del tipo

A y como mínimo 6000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo B sea menor que el

doble de la inversión en A. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés

anual?

nª Interés

Tipo A x 0,07x

Tipo B y 0,09y

Total 21000 0,07x+0,09y

Hay que optimizar la función objetivo: Z = 0,07x+0,09y, sujeta a las siguientes restricciones:

Representamos la región factible:

Rectas auxiliares:

r1 x +y= 21000

x y

0 21000

21000 0

r2 x =13.000 (vertical)

r3 y =6.000 (horizontal)

r4 y =2x

X Y

0 0

3000 6000

Los vértices son, (3.000,6000), (7.000,14.000), (13.000,8000), (13.000, 6.000)

Gráficamente obtenemos la solución óptima en el punto (7.000, 14.000)

Y el máximo beneficio será 1750 euros.

La solución óptima en el punto (7.000, 14.000) y el máximo beneficio será 1750 euros

CONCLUSIONES

La programación lineal es un modelo muy eficaz para la toma de decisiones sobre

temas que tienen algún tipo de restricción, lo importante del presente trabajo es

realizar las prácticas que conlleven a la obtención de las competencias necesarias

para desempeñarse de buena forma en el tema.

Aprender a manejar el aplicativo PHPSIMPLEX, que es una herramienta muy eficaz

para la resolución de problemas de Programación Lineal

RERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100404/Archivos_AVA/GUIA_INTEGRADA_DE_ACTIVIDADES_ACADEMICAS_2015-8-4.pdf http://www.monografias.com/trabajos94/69-ejercicios-resueltos-programacion-lineal/69-ejercicios-resueltos-programacion-lineal.shtml http://www.phpsimplex.com/