ANLISIS VECTORIAL

FISICA I

ANLISIS VECTORIAL

I.E. Nuestra Seora del Rosario CTA - FISICA 2015FISICA IMODULO INTERACTIVO DE APRENDIZAJE ANLISIS VECTORIALDOCENTEShirley Sadiht Crdova Garca Chiclayo -Per

En el desplazamiento de un avin desde un punto de referencia a otro, el piloto deber conocer muy bien las coordenadas que separan dichos puntos de referencia, esto lo podr hacer va radio o va satlite, pero lo cierto es que la obtencin de dichos datos no es un problema para el piloto. El piloto intentar en todo momento dirigir la velocidad del avin en la direccin del desplazamiento calculado, pero este deber considerar que en cualquier momento la direccin del viento se encargar de desviarlo.Es por ello que para evitar que el avin se desve por la resistencia del viento, el piloto deber conocer la direccin del viento y as pueda determinar la direccin que debe aplicar el avin para que su velocidad resultante se pueda dirigir en la direccin del desplazamiento deseado; para ello deber considerar el mtodo del paralelogramo logrando que el avin se pueda desplazar hasta su destino final. Sabemos que la direccin del viento puede cambiar en cada instante, lo que implica que el piloto debe estar muy atento ante cualquier cambio de direccin del viento para que de esta manera pueda cambiar oportunamente la velocidad del avin que manipula, logrando de esta forma conservarla direccin de la velocidad resultante en la lnea del desplazamiento d.

http://www.youtube.com/watch?v=t35HjAI6psY

En el siguiente video podrs conocer un poco como los vectores son utilizados en nuestra vida diaria , muchas veces sin darnos cuenta.

Conociendo ms Los Vectores tambin pueden ser en tres dimensiones y formar figuras muy complejas, que son utilizados en el diseos de planos y en los videojuegos.

Qu Interesante!Vector, del latn vector: Que conduce.VECTOR

Segmento de recta orientado (flecha) que se utiliza para representar grficamente magnitudes vectoriales. Representacin Matemtica Representacin grfica:

Vector:

Mdulo:

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Todo vector tiene los siguientes elementos:

1.-Mdulo o Intensidad: Representa el valor de la cantidad fsica vectorial, est representado por la longitud del vector, tomado o medido a cierta escala.

2.-Direccin:Est representado por la recta que contiene al vector .se define como el ngulo que hace dicho vector con una o ms rectas de referencia, segn sea el caso en el plano o en el espacio.

3.-Sentido: Indica la orientacin de un vector, grficamente est dado por la cabeza de la flecha del vector.

4.-Punto de aplicacin: Es el punto sobre el cual se supone acta el vector.Ejemplo:

MduloLnea de AccinSentidoABDireccinx (Abcisas)y(Ordenadas)

AMPLIANDO EL TEMA

En la siguiente animacin observa las componentes del vector segn los ejes de coordenadas.Arrastra el mouse en el extremo del vector.

http://www.educaplus.org/movi/1_3componentes.html

CLASES DE VECTORES

Colineales

Lnea de Accin son colineales.Si se encuentran sobre la misma lnea de accin.

Concurrentes

Punto deConcurrencia son concurrentesSi sus lneas de accin concurren en un mismo punto.

son paralelas.ParalelosCuando las lneas de accin son paralelas.

Opuesto Son iguales en tamao (Mdulo) pero sentidos opuestos.

Obs.: son paralelos.

Iguales Si sus 3 elementos son iguales (mdulo, direccin y sentido).

Si:

Vectores coplanaresCuando las rectas que lo contienen estn en un mismo plano.

OrtogonalesDosvectoressonortogonales operpendicularessi suproducto escalarescero.

OPERACIONES VECTORIALES

Multiplicacin de un Vector por un Nmero (Escalar)

Recuerda:Para nmeros positivos:Mayores que 1 : crece y mantiene el sentidoMenores que 1 : decrece y se mantiene el sentido.Para nmeros negativos:Cambia de sentido.x 2Si el nmero es positivo Ejemplo:

x (-2)Si el nmero es negativo

La suma o resta de 2 ms vectores da como resultado otro vector.

Si multiplicamos un vector por un nmero escalar, este se amplifica en su magnitud, pero su ngulo queda igual. Veamos un ejemplo y su demostracin: Si tenemos el vector

Demostremos que su magnitud total se amplifica.

Calculemos la magnitud del vector amplificado

Es fcil demostrar que la direccin del vector no cambia, puesto que ambas componentes aumentan la misma fraccin

.

SUMA DE VECTORES SUMA DE VECTORES COLINEALES Y PARALELOS

En este caso se consideran como si fueran simples nmeros reales.

1. Hallar el vector resultante para el sistema de vectores.

Si:A = 2B = 3C = 1D = 1E = 3F = 5Sol.: En este caso procedemos del siguiente modo: Los que tienen el mismo sentido se suman, es decir:

Luego = 8 - 7 = 1() (Sentidos opuestos se restan).

2. Resuelve: Hallar el vector Resultante.

Si:A = 4B = 2C = 1D = 7 E = 5

3. Resuelve: Hallar el vector resultante en los siguientes casos:

< >

Si: = 0 A la resultante obtenida se le conoce como: Mxima

Si: = 180 A la resultante obtenida se le conoce como: Mnima

SUMA DE DOS VECTORES CON NGULO ENTRE S

MTODO DEL PARALELOGRAMO (dos vectores)

Este mtodo se usa cuando dos vectores forman un ngulo diferente de cero entre s.

Ejemplo:

Solucin: En este caso vamos a trasladar a uno de los vectores en forma paralela para que su punto inicial concuerde con el otro.

Ahora trazaremos paralelas a cada vector a partir de los extremos (punto final del vector) y la figura formada se llama: PARALELOGRAMO

El vector resaltante es el que une el origen con la interseccin de las paralelas. Si deseamos obtener el mdulo del vector resultante usaremos:

Ejemplo:Hallar el mdulo del V. Resultante

60A = 3B = 5Si:

Si: = 90 (Vectores Perpendiculares) , el mdulo se determina por

Si dos vectores tienen mdulos iguales:

2xx

En este caso, divide al ngulo en dos iguales, es decir, es una bisectriz.

MTODO DEL TRINGULO (dos vectores)

Se unen de manera consecutiva, el extremo del primero con el origen del segundo.

Se traza el vector resultante, desde el origen del primero al extremo del segundo formando un: TRINGULO.

Si deseamos obtener el mdulo del vector resultante usaremos:

MTODO DEL POLGONO (dos o ms vectores)

Grficamente la suma o RESULTANTE de vectores se obtiene uniendosucesivamentelos extremos y orgenes de ellos, como se muestra en la figura. Elvectorsuma o resultante se obtiene uniendo el primer origen con el ltimoextremo.Ejemplo: Cierra el polgono

Cierra el polgono

Podrs cerrar el polgono?

AMPLIANDO EL TEMA

http://www.educaplus.org/play-289-Suma-gr%C3%A1fica-de-%20vectores.html?PHPSESSID=5a9bed7a58f851ae4f74981841e54be3Ingresa a la animacin y suma vectores con el mtodo del polgono, observa cmo se grafican y traza la resultante. Aumenta o disminuye el nmero de vectores con las flechas.

RESTA DE DOS VECTORES CON NGULO ENTRE S

MTODO DEL PARALELOGRAMO (dos vectores)

Se traza el vector opuesto de B por sus orgenes y se realiza lo mismo que con la suma.

MTODO DEL TRINGULO (dos vectores)

Se unen los vectores por su orgenes, cambiando el sentido al vector B el vector diferencia se obtiene

uniendo los extremos de los vectores ()

Tambin se puede trazar de la siguiente manera:

PROPIEDADES

Si = 120o se cumple R = a

Si = 60o se cumple R = a 3

Si = 90o se cumple R = a 2

Si = 60o se cumple R = a 7

AMPLIANDO EL TEMA

http://www.phy.ntnu.edu.tw/oldjava/vector/vector_s.htmEn la siguiente animacin podrs observar la suma y resta de dos vectores usando el mtodo del paralelogramo. Observa comprensivamente. Comparte lo que comprendes con tu maestra.

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. En los siguientes casos hallar el vector resultante.a)

a)

b)

c)

d)

e)

b)

a)

b)

c)

d)

e)

c)

a)

b)

c)

d)

e)

d)

a)

b) c) Cero

d)

e)

e)

a)

b)

c) d) Cero

e) f) a) 2b) Ceroc) 5d) 3e) 4

2. 3. 35En la figura hallar el mdulo del vector resultante, si la figura mostrada es un trapecio

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

4. 5. Los lados del rectngulo miden 3 y 7. Hallar el mdulo del vector resultante.

73a) 2b) 4c) 7d) 9e) 14

6.

7. 805320Hallar el mdulo del V. Resultante:

a) 8b) 2c) 7d) 15e) 14

8. Hallar el mdulo del vector resultante en los siguientes casos:

A = 3B = 2C = 4a) 3b) 9c) 1d) 5e) 79. Hallar el mdulo del V. Resultante:

4460 a) 2b) 4

c) d) 8e) 3

60605a) 17b) 13

c) d) 12e) 14

415a) 2b) 4

c)

d)

e)

4886060a) 12b) 4c) 24d) 16

e)

10. Si: Rmx = 14 y el Rmn = 2 para 2 vectores. Halle el mdulo de cada vector.

a) 3 y 11b) 8 y 6c) 10 y 4d) 12 y 2e) 5 y 911.

37258. Hallar el mdulo de la resultante en los siguientes casos:

a)

b) c) 7d) 3

e) 12.

9. Calcular el mdulo de la suma de los siguientes vectores, sabiendo que el cubo tiene arista L. 13.

10. Hallar el mdulo de los vectores:

12. Hallar el mdulo del vector resultante, el lado de cada lado es la unidad.

Rpta: _______________

11. Hallar el mdulo de los vectores:13. Hallar el mdulo del vector resultante, el lado de cada lado es la unidad.

Rpta: _______________

14. Halar el mdulo del vector resultante en el sistema de vectores que se muestra en la figura. Radio de la circunferencia = 2 7 m.

a) 7b) 14c) 8d) 16e) 9

15. Dado los vectores

a) 2 13b) 2 17c) 2 14d) 2 7e) 2 5

16. Hallar el mdulo del vector resultante del sistema mostrado, si AB = 2AC, es un dimetro de la circunferencia.

a) 20 3b) 10 5c) 12 7d) 15 3e) 30 3

17. Los vectores F1 y F2 son fuerzas cuyas magnitudes son iguales a 6 u. La magnitud de F3 = F1 +F2.Hallar /F1+F2+F3/

a) 2 6b) 9 6c) 3 6d) 6 6e) 110 6

18. Calcular el mdulo del vector resultante del sistema mostrado, si el lado del cubo es 5cm.

a) 0b) 5c) 8d) 10e) n.a

19. Hallar el mdulo del vector resultante del siguiente sistema de vectores.

a) 0b) 6c) 12d) 2e) n.a

COMPONENTES DE UN VECTOR (dos dimensiones)

Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector. As, podemos expresar el vector rojo como (4, 3), indicando con ello que su componente X es 4 y su componente Y es 3.Podemos sumar vectores de dos maneras: matemticamente o grficamente.

Supongamos que tenemos los vectores A = (4, 3) , B = (2, 5) . Para conocer el vector suma (A+B) slo tenemos que sumar, respectivamente, las componentes X y las componentes Y:

A+B = (4+2, 3+5) = (6, 8)

Si tenemos ms de dos vectores procedemos de la misma forma. Por ejemplo vamos a sumar los vectores A= (-1, 4) , B = (3, 6) , C = (-2, -3) y D = (5, 5)

A+B+C+D = (-1+3-2+5, 4+6-3+5) = (5, 12)

AMPLIANDO EL TEMA

http://www.youtube.com/watch?v=1gx1y0mpBK4&feature=related El siguiente video muestra detalladamente cono se obtienen las componentes de un vector en dos dimensiones.Responde Cmo se hallan las componentes de un vector?Cmo se determina el mdulo del vector?

Recuerda:Para encontrar el mdulo de la resultante usamos la siguiente frmula Para encontrar la direccin del vector resultante aplicamos

El mdulo de un vector es un nmero siempre positivo y solamente el vector nulo tiene mdulo cero.

COMPONENTES DE UN VECTOR (tres dimensiones)

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ.

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.Para hallar el mdulo del vector se emplea :

Ejemplo:Dados los vectores y , hallar los mdulos de y

AMPLIANDO EL TEMA

http://www.youtube.com/watch?v=9WA1STkt-M8&feature=related

El siguiente video muestra detalladamente cono se ubican las componentes de un vector en el plano tridimensional.Responde A qu se denominan octantes?Hallar el vector = 2u + 3v w Si = (2, 1, 3), = (1, 1, 0), = (1, 2, 3)

http://www.youtube.com/watch?v=EekCf0FByJ8&feature=relatedEl siguiente video muestra detalladamente cono se representa las componentes de un vector en el plano tridimensional.Responde:Explica cmo se grafican los vectores en el espacio. Qu coordenadas se trabaja primero? De dnde a dnde se traza el vector. En tu cuaderno representa en el espacio los vectores que aparecen como actividad al final del video.Luego participa en clase.Cmo se graficaran vectores que tiene componentes negativos?Representar :A= ( -5,4, -8)

B = (3, -6 , 7)

C = (-4 , -2 , -6)

MTODO DE DESCOMPOSICIN RECTANGULAR (suma de 2 a ms vectores concurrentes)

http://www.youtube.com/watch?v=2hkLj1EVC5M&feature=related

El siguiente video explica grficamente como se trazan y hallan las componentes rectangulares.

Es la operacin que consiste en descomponer un vector V = |V| , en funcin de otros ubicados sobre dos rectas perpendiculares (Eje x Eje y). Siguiendo los pasos sealados se obtendrn las componentes rectangulares Vx^ Vy , los cuales se verifican las siguientes relaciones:

Observacin:Si conocieras las componentes Vx Vy de un vector V, entonces se cumplir que: Mdulo: Direccin: Esta operacin se realiza para cada vector del sistema. Luego se continan los siguientes pasos:Paso # 1: Los vectores que se sumaran se disponen partiendo del origen de coordenadas.Paso # 2: Los vectores inclinados respecto a los ejes se reemplazan por sus componentes rectangulares.Paso # 3: Se calcula la resultante parcial en el eje X, as como la resultante parcial en el eje Y, para esto se suman algebraicamente las componentes en cada eje.

Paso # 4: Se calcula finalmente el mdulo y direccin de la resultante, As:

Resuelve:

Ejemplo 1:Hallar el modulo de la resultante del sistema de vectores de la imagen. Si A = 20 u B = 10 u

Ejemplo 1:Hallar el modulo de la resultante del sistema de vectores de la imagen. Si F1 = 102 N, F2 = 10 N F3 =20 N

TRINGULOS NOTABLES

VACTOR UNITARIO

Un vector unitario tiene de mdulo la unidad.La normalizacin de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma direccin y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su mdulo. AB mide 3, por lo que: Y su mdulo:

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. As, para los ejes cartesianos x, y, z se emplean los vectores i, j y k: Vectores unitarios para los ejes cartesianos:Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen mdulo 1, son perpendiculares entre s y correspondern a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Al eje de las X, le corresponde el vector unitario o tambin denominado. Al eje Y, vector unitario o tambin denominado . Al eje Z, le corresponde el vector unitario o tambin denominado.

AMPLIANDO EL TEMA

http://interactuandoconlafisica.jimdo.com/1-importancia-de-los-vectores/

Ingresa a la siguiente animacin para profundizar o ampliar el tema. Abre cada una de las enlaces.

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Hallar la magnitud de la resultante.

28 cm80 cm37xya) 40 cmb) 50c) 55d) 60e) 75

2. Calcular la magnitud de la resultante.

xy105753a) 1b) 2

c)

d) e) 3

3. Hallar el mdulo de la resultante.

xy13534510a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

4. Hallar el mdulo del vector resultante:

4 m3 ma) 2 m b) 3c) 4d) 5e) 7

5. xy10N376N3NHallar el mdulo de la resultante:

a) 10 Nb) 11c) 12d) 13e) 14

6. 7m3mHallar el mdulo de la resultante en el espacio.a) 4 m b) 5c) 1d) 2e) 10

7. Determine el mdulo de la resultante si M y N son puntos medios, adems MN = 7 cm.

MNa) 7 cmb) 10c) 12d) 14e) 16

8. Determine el mdulo del vector resultante.

2m6ma) 10 mb) 8c) 2d) 14e) 16

9. Hallar el mdulo del vector resultante.

602a) 15b) 5

c)

d)

e)

10. Se muestran 4 vectores concurrentes, hallar el vector resultante. Si A = 10 u B=4 u C=2u D=8 u

a) b) 5

c)

d)

e)

11. Tres perros A,B y C se disputan un hueso segn la grfica. El perro A aplica una fuerza de 20 N y el hueso no se mueve.

Hallar la fuerza (en N) con qu jala el perro C y B

a) 25 15 b) 15 25 c) 10 - 20d) 20 -10 e) 35 25

12. Hallar x en funcin de a y b.a) (a + b )/2b) (a b )/2c) a/2d) 2be) b/2

13. 13. Si ABCD es un trapecio isceles escribir x en funcin de a y b.

a) (a - b )/2b) (b a )/2c) a/2d) a + b )/2e) b/2

14. Determinar el mdulo de la resultante de los vectores mostrados:

a) 15b) 5c) 10d) 20e) 25

15. Hallar el mdulo del vector resultante, si P = 300 N , Q =100 N, S=340 N y T = 20 2 N

a) 300b) 500c) 200d) 400e) 100

EJERCICIOS DE AMPLIACIN

1. Hallar el mdulo de la resultante.

xy12N4N3N12Na) 7Nb) 24c) 25d) 16e) 15

2. Hallar el mdulo de la resultante

xy5337254020a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

3. xy12N4N3N12NHallar el mdulo de la resultante.

xy1612252a) 13b) 14c) 15d) 17e) 19

4. Determine el vector resultante.

a)

b)

c)

d)

e)

5. Determine el vector resultante:

a)

b) c) Cero

d)

e)

6. Si: E = 20, determinar el mdulo de la resultante. a) 20b) 30c) 40d) 50e) 60

7. El mdulo del vector resultantes es:

11a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9

8. Calcular el mdulo de la resultante.

xy1 cm7 cm5 cm3 cma) 4 cmb) 5

c) d) 8

e)

9. xy12N4N3N12NEn los siguientes casos hallar el mdulo de la resultante.a) 7Nb) 24c) 25d) 16e) 15

10.Calclar el valor de A para que la resultante se encuentra en el eje y

a) 52b) 5c) 32d) 2e) 4

10. Determinar el valor de B para que la resultante se encuentra en el eje x

a) 11b) 12c) 14d) 15e) 16

11.Calcilar el valor de para que la resultante de los vectores mostrados se encuentre en el eje y

a) 60b) 30c) 10d) 45e) 37

12.Calcular el valor de para que la resultante se encuentre en el eje x

a) 60b) 30c) 16d) 74e) 37

13.Determinar el mdulo del vector A para que la resultante forme 37 con el semieje positivo de las x. Adems B= 2 2 ; C = 7 a) 5b) 10c) 15d) 20e) 25

Ah, no olvidar que Albert Einstein dijo Nunca consideres el estudio como una obligacin, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.

Yo puedo!

Mdulo Interactivo de Aprendizaje Anlisis Vectorial Docente Shirley Crdova GarcaPgina 26