modulo de autoaprendizaje - geometría

Modulo de Autoaprendizaje

Hola yo soy Bart, ahora coloca atención yo seré el encargado de entregarte los contenidos que te servirán para el futuro, cada vez

que yo aparezca tendrás que estar muy atento, si deseas

aprender lo que te iré entregando sobre Geometría Plana, porque luego estos serán evaluados por

mi hermana Lisa.

Hola, yo soy Lisa y seré la encargada de que ponerte a prueba ósea soy la

encargada de las evaluaciones así que cada vez que me veas es porque esta

cerca una evaluación suerte!!!!!!! Y ánimo para salir airoso de las pruebas

que se te irán apareciendo en el camino

Comencemos con nuestro Modulo Escribe aquí lo que sepas sobre la geometría Escribe aquí lo que sepas sobre la geometría plana materia que debes aprender para lograr plana materia que debes aprender para lograr pasar este nuevo desafío que es primero medio.pasar este nuevo desafío que es primero medio.

Ya es hora de comenzar este modulo así que

prepárate porque se te viene por delante un

trabajo arduo e intenso bueno a comenzar

entonces… Animo!!!!!!!! En la siguiente Diapositiva

tendrá un temario donde puedes elegir lo que

quieras estudiar

Geometría Plana: definición

Algo que debes saber.

Ángulos.

Triángulos.

Congruencia de Triángulos.

Perímetro y áreas de regiones poligonales y circulares.

GEOMETRIA PLANA

• Es la parte de la geometría que estudia las figuras planas es decir pueden dibujarse sobre una superficie plana.

Algunos ejemplo de figuras geométricas, son :

triángulo octágono circunferencia

Pentágono rombo , etc….

Términos que debes dominar para comenzar con este modulo

El Punto: Solo tiene posición. No Solo tiene posición. No posee ni longitud , ni anchura, ni posee ni longitud , ni anchura, ni espesorespesor

PUNTO

La Línea: posee longitud, pero carece de anchura y posee longitud, pero carece de anchura y espesor. Las líneas pueden ser rectas o curvas.espesor. Las líneas pueden ser rectas o curvas.

La Línea Recta: se considera originada por un punto que se considera originada por un punto que se mueve siempre en la misma dirección y sentido.se mueve siempre en la misma dirección y sentido.

Línea RectaLínea RectaLa línea recta es la más corta que se puede trazar La línea recta es la más corta que se puede trazar entre dos puntos.entre dos puntos.

La Línea CurvaLa Línea Curva: se considera originada por un punto que cambia se considera originada por un punto que cambia permanentemente de dirección durante su movimiento.permanentemente de dirección durante su movimiento.

Línea Curva

El Plano:El Plano: Posee longitud y anchura, Posee longitud y anchura, pero carece de espesor.pero carece de espesor.

PLANOPLANO

Semirrecta y rayo:

Considera un punto Considera un punto AA en la recta en la recta LL

A

Se dice que el punto Se dice que el punto AA separa la recta separa la recta L L en dos subconjuntos de en dos subconjuntos de puntos y se llaman puntos y se llaman SEMIRRECTAS , SEMIRRECTAS , , El punto , El punto AA es la es la frontera de separación, es decir, el punto frontera de separación, es decir, el punto AA no pertenece a ninguna no pertenece a ninguna de ellas.de ellas.

SemirrectasSemirrectas

LB C

AC,AB

A C

A B

ANGULOSÁngulosÁngulos: es la porción de plano comprendida entre de dos rayos , que tiene un origen común.

Los rayos OA y OB son los lados del ángulo y el punto común O, de estos rayos es su vértice.

Un ángulos se representa por el símbolo , por lo tanto, el ángulo de la figura se indica como: AOB.

También los ángulos se pueden representar mediante letras del alfabeto griego como: , etc., o letras minúsculas como: x, y, z, etc.

,,,

Tipos de ángulos.• DEFINICIONES:• Angulo recto: angulo

cuya medida es 90º.

• Angulo agudo: angulo cuya medida está entre 0º y 90º, es decir 0º < < 90º

• Angulo obtuso: ángulo cuya medida 90º < < 180º

• Angulo extendido o llano: ángulo cuya medida = 180º.

• Angulo cóncavo: cuya medida es mayor que 180ºy menor que 360º, es decir :

• 180º < < 360º

• Angulo completo: cuya medida es 360º ,

• = 360º

Pares de ángulos.

• Angulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes si solo si, tienen el vértice y un lado en común.

• Angulos opuestos por el vértice: dos ángulos son opuestos por el vértice, si sus lados forman dos pares de rayos opuestos.

• Los ángulos opuestos por el vértice son iguales :

1 = 2 y 3 = 4

Ejemplos :

1) 3x-10º

x+80º

x = ?

2)

123

4 65

¿Verdadero o Falso?

Son ángulos opuestos por el vértice :

a) 1 y 4 _____

b) 3 y 6 _____

c) 2 y 4 _____

d) 1 y 5 _____

• Angulos complementarios: si la suma de las medidas es 90º entonces, los ángulos se llaman complementarios y cada uno se llama el complemento del otro.

+ = 90º

EJEMPLOEJEMPLO:

1) El complemento de 30º , es………..60º ( 90º - 30º )

2) El complemento de 45º , es ……… 45º ( 90º - 45º )

3) El complemento de “x” , es ……… 90º - x

4) El complemento de “2a” , es ……….

5) El complemento de “x + 20º” , es ……….

6) El complemento de “ + 10º” , es ………..

7) El complemento del complemento de 40º , es ……

8) El complemento del complemento de “x” , es……….

• Angulos suplementarios: si los ángulos suman 180º :

+ = 180º

Los ángulos y se llaman suplementarios, y así uno es el suplemento del otro.

EJEMPLOEJEMPLO:

1) El suplemento de 40º , es……….140º ( 180º - 40º )

2) El suplemento de 45º , es ……… 135º ( 180º - 45º )

3) El suplemento de “x” , es ……… 180º - x

4) El suplemento de “2a” , es ……….

5) El suplemento de “x + 20º” , es ……….

6) El suplemento de “ + 10º” , es ………..

7) El suplemento del suplemento de 40º , es ……

8) El suplemento del complemento de “x” , es……….

• Un par lineal: los ángulos forman un par lineal si solo si, son adyacentes y sus lados no comunes son opuestos.

Bisectríz de un ángulo.

La bisectríz de un ángulo es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos adyacentes y congruentes (tienen la misma medida).

AOP = POB

Es decir

=

EJEMPLO :

1)

2)

A

B

C

D

34º

x

AC es bisectríz , entonces x = ?

L1

L2

A O B

C L1 y L2 son bisectrices de BOC y COA

Entonces L1OL2 = ?

Pares de Ángulos formados por dos rectas cortadas por una

transversal

1.Ángulos internos

Son los que se forman por dos rectas cortadas por una transversal y que quedan entre las dos rectas.

Ángulos externos

Son los que se forman por dos rectas, formadas por una transversal y que quedan fuera de ellas.

Ángulos alternos internos

Son dos ángulos internos no adyacentes, situados a uno al lado del otro de la transversal. Estos pares son:

Ángulos alternos externos.

Son dos ángulos externos no adyacentes, situados a uno y otro lado de la transversal. Estos pares son:

Ángulos correspondientes.

Son dos ángulos, situados del mismo lado de la transversal y del mismo lado de las rectas uno interno y el otro externo. Estos pares de ángulos son:

Ángulos conjugados internos.

Es un par de ángulos internos que están situados del mismo lado de la transversal. Estos pares son:

Ángulos conjugados externos.

Son dos ángulos externos, que están situados del mismo lado de la transversal.

Estos pares son:

Rectas paralelas• Son rectas que están en un mismo plano y no se cortan

por mucho que se prolonguen.

Las paralelas se representan por el símbolo L1//L2

Transversales de dos o más rectas.

Se llama transversal de dos o mas rectas, a otra recta que las corta.

ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE.

1) Los ángulos alternos internos entre rectas paralelas son iguales, es decir :

3 = 6 ; 4 = 5

2) Los ángulos correspondientes entre rectas paralelas, son iguales, es decir :

1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8

3) Los ángulos alternos externos entre rectas paralelas, son iguales, es decir :

1 = 8 ; 2 = 7

L1

L2

12

3 4

5 6

78

Enunciados Figuras En símbolos

SABIAS QUE?...SABIAS QUE?...

Bart, yo creo que ya es hora de su primera evaluación.

Es correcto Homero, Lisa se va a encargar de

eso ahora.

1) Si + =90º estos ángulos se llaman:

A) suplementarios

B) complementarios

C) convexos

D) opuestos

A llegado la hora de tu primera evaluación, lee con paciencia y

contesta a conciencia, suerte!!!!!!

2) Si el ángulo

< 90º este se llama:

A) convexo

B) Llano

C) Grave

D) agudo

3) Angulo es un :

A) Figura formada por la unión de dos rayos.

B) Figura cerrada

C) Formado por rectas paralelas

D) Líneas unidas por un circulo

4) Angulos conjugados externos son:

A)Son ángulos externos situados al mismo lado de la transversal.

B)Son ángulos internos situados al mismo lado de la transversal.

C) Ángulos situados al mismo lado.

D) Ángulos que suman 90º.

5) Las bisectrices de ángulos adyacentes suplementarios forman ángulos de:

A) 90º

B) 180º

C) 360º

D) 270º

6) Si el ángulo vale 40º cuanto vale :

A) 45º

B) 30º

C) 10º

D) 65º

El triángulo A,B,C se indica por . Los puntos A,B y C se llaman vértices y los segmentos AB, AC y BC se llaman lados, que se indican generalmente por las letras minúsculas a, b y c.

Triángulos.• Sí A, B, C son tres puntos cualesquiera no

alineados, entonces la unión de los segmentos AB, AC, BC a es tos se le denomina triángulo.

ÁNGULOS DEL TRIÁNGULOÁNGULOS DEL TRIÁNGULO

x

y

zA

B

C

Ángulos interiores :

, ,

+ + = 180º

Ángulos exteriores :

x , y , z

x + y + z = 360º

Clasificación de los triángulos• De acuerdo con los lados:

Triangulo escaleno:Es el que tiene sus tres lados desiguales.

• Triángulos isósceles:

Es el que tiene dos de sus lados congruentes (tienen igual medida)

=

Los ángulos , se llaman ángulos basales

• Triangulo equilátero:

Es que tiene sus tres lados congruentes (tienen igual medida)

Los ángulos del triángulo equilátero son todos iguales a 60º :

= = = 60º

ALGUNAS PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO

A

B C

a

a

ah

1) La altura es bisectriz

2) La altura dimidia a la base

3) h =

4) Área =

2

3a

4

32a

4

32a

De acuerdo con los triángulos.• Triangulo rectángulo:

Es el que tiene un lado recto (90º)

222BCACAB

El lado opuesto al ángulo recto (AB) se llama hipotenusa, y los que forman el ángulo recto se llaman catetos (AC y BC)

Se cumple que :

c2 = a2 + b2

b

c

a

• Triangulo acutángulo:

Es el que tiene sus tres lados agudos (menores que 90º)

ab

c

c2 < a2 + b2

• Triángulo obtusángulo:

Es el que tiene un ángulo obtuso (mayor que 90º)

c2 > a2 + b2

Enunciado Figura En símbolo

Rectas y puntos notables en el Triángulo.• Bisectriz de los ángulos

interiores de un triángulo: Bisectriz de un ángulo de un

triángulo es el rayo que divide en dos ángulos adyacentes y congruentes.Las tres bisectrices de lo ángulos interiores de un triángulo se intersectan en un punto que se llama incentro y se designa con la letra I en la figura.

• Alturas de un triángulo:La altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto.Las tres alturas se intersectan en un punto llamado ortocentro y se designa con H en la figura.a) En un triángulo obtusángulo, las alturas correspondientes a los lados del ángulo caen fuera del triángulo.b) Las alturas de un triángulo equilátero son iguales entre sí y coinciden con las correspondientes bisectrices.

• Transversales medias de un triángulo:Las transversal media de un triángulo es el segmento de recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.Las tres transversales media de un triángulo se intersectan en un punto, llamado baricentro (o centro de gravedad ) y se designa por G en la figura.

PROPIEDADES DE LAS TRANSVERSALES DE GRAVEDADA

B D C

FE

G

El centro de gravedad divide a cada transversal de gravedad en la razón 2 : 1 , es decir :

AG = 2 GD .

BG = 2 GE .

CG = 2 GF .

• Mediatrices o simetrales de un triángulo:La mediatriz de un lado de un triángulo es la recta perpendicular a ese lado en su punto medio.Las tres mediatrices de los lados de un triángulo se intersectan en un punto llamado circuncentro que el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y se designa con la letra O.

• Medianas de un triángulo:

Las Medianas de un triángulo son los segmentos que unen los puntos medios de los lados del triángulo ABC

Teorema de Pitágoras• El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los dos

catetos (Hipotenusa: se le denomina al lado mayor de un triángulo, Cateto: se le denomina a cualquiera de los otros dos lados del triángulo)

c2 = a2 + b2

Teorema de Euclides• La altura al cuadrado de un triángulo rectángulo es igual al producto

de los segmentos que ella determina en la hipotenusa.• La medida de un cateto al cuadrado del triángulo es igual al producto

de su proyección por la hipotenusa.

pcb

qca

qph

2

2

2

¿Cómo saber si un triángulo es rectángulo, acutángulo u obtusángulo?

• Un triángulo es rectángulo cuando el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

c2 = a2 + b2

• Un triángulo es acutángulo, cuando el cuadrado del lado mayor es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

c2 < a2 + b2

• Un triángulo es obtusángulo, cuando el cuadrado del lado mayor es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

c2 > a2 + b2

Triángulos, esto es perfecto...

Ahora que ya viste como se resuelve un ejercicio con

los ejemplos anteriores, en tu cuaderno tendrás que resolver los que aparecen

a continuación...

• Se dice que dos figuras geométricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño, se puede decir que es una copia exacta de la otra u otras.Para representar la expresión “es congruente con”, se emplea el simbolo .

El símbolo es una combinación =, que se emplea para indicar la igualdad del tamaño y del que se emplea para significar la igualdad de forma.

Congruencia de triángulos.

Cuadrados congruentes Circunferencias congruentes

Triángulos Congruentes.• Ángulos Congruentes:

Dos ángulos son congruentes cuando estos poseen la misma abertura ósea tienen la misma medida.

• Segmentos Congruentes:

Dos segmentos son congruentes, si estos poseen la misma longitud.

• Triángulos Congruentes:

Dos triángulos son congruentes, sí sus lados y sus ángulos homólogos son congruentes. Es decir:

A veces es recomendable

mostrar congruencia por medio de marcas como lo podemos

observar en la figura.

• Los lados homólogos:

Son los opuestos a los ángulos congruentes.

• Los ángulos homólogos:Son los opuestos a los lados congruentes.

• Un lado de un triángulo:Se dice estar comprendido por los ángulos cuyos vértices son los extremos del segmento.

• Un ángulo de un triángulo:

Se dice estar comprendido por los lados del triángulo que están en los lados del ángulo.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1. CRITERIO ANGULO - LADO - ANGULO ( A . L ..A)

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos adyacentes a él :

C A : A = A’ C’ L : AB = A’B’ A : B = B’ ’ ’A B A’ B’

2. CRITERIO LADO - ANGULO - LADO ( L . A .L )

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos :

C L : AC = A’C’ C’ A : = ’ L : AB = A’B’ ’ ’A B A’ B’

3. CRITERIO LADO - LADO - LADO ( L . L. L . )

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales :

C L : AC = A’C’ C’ L : BC = B’C’ ’ L : AB = A’B’ ’ ’A B A’ B’

4. CRITERIO LADO - LADO - ANGULO ( L . L. A . )

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos :

C L : AC = A’C’ C’ L : BC = B’C’ ’ A : = ’ ’ ’A B A’ B’

Principios de la congruencia de triángulos que debes conocer

C o n g r u e n c i a e s l o q u e m á s m e g u s t a . . .

Pon atención, tú eres quien aprende...

1). Δ ABC congruente Δ ABD. Determinar el valor de X e Y. Solución:

x + 18º = 32 º ^ 2y + 3º = 117º

X = 132º - 18º ^ 2y = 117º - 3º

X = 14º ^ 2y = 114º

y = 57

2). ΔACD congruente ΔBCD.Determinar el valor de x e y.

Solución:

(a) 3x + 8 = 2y (b) 2x = y

Sustituyendo (b) en (a) 3x + 8 = 2 · 2x

3x + 8 = 4x

X = 8

Como y = 2x y =2 · 8 . y = 18

A q u í t i e n e s m a s e j e r c i c i o s...

1). ΔACE. Hallar el valor de AB.

2). Determinar cuales de los siguientes triángulos son congruentes.

3). ABCD es un paralelogramo.hallar x e y.

4). ΔADE congruente ΔBCE. Determinar x e y.

5). ΔABC congruente ΔABD. Hallar x e y

6). El ΔACD congruente Δ BCE. Hallar x e y

7). ΔACE congruente ΔBDE. Hallar x e y.

8). La figura ABCD es un rombo. Hallar x e y.

9). ABCD es un rombo. Hallar x e y.

Comprueba tus respuestas...

º

Perímetro y áreas de regiones poligonales y circulares.

• Paralelogramo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Paralelogramos especiales:

Rectángulo: Tiene sus ángulos rectos y sus lados adyacentes desiguales.

• Cuadrado: Tiene todos sus ángulos rectos y todos sus lados congruentes.

Rombo: tiene todos sus lados congruentes y los ángulos adyacentes desiguales.

CUADRADO

1) 4 lados iguales : AB = BC = CD = DA

2) 4 ángulos rectos

3) Diagonales iguales : AC = BD

4) Diagonales son bisectrices

5) diagonales se bisecan :

AO = OC , BO = OD

6) Diagonales perpendiculares entre sí.

7) Perímetro = 4a

8) Área = a2

9) AOB DOC AOD BOC

o

a

a

RECTANGULO

• lados paralelos iguales :

AB = DC , AD = BC

2) 4 ángulos rectos

3) Diagonales iguales : AC = BD

4) Diagonales se bisecan :

AO = OC , BO = OD

5) AOB DOC , AOD BOC

6) Perímetro = 2a + 2b

7) Área = ab

O

a

b

ROMBO

• 4 lados iguales : AB = BC = CD = DA

• 4 ángulos oblicuos

• Las diagonales son bisectrices

• sus diagonales se bisecan:

AO = OC , BO = OD

5) diagonales perpendiculares entre sí

6) Perímetro = 4a

7) Área = (d1 d2)/2

8) AOB DOC AOD BOC

o

d

221 dd

221 dd

221 dd

ROMBOIDE

• lados paralelos iguales:

AB = CD , AD = BC

2) ángulos oblicuos

3) sus diagonales se bisecan

AO = OC , BO = OD

4) AOB DOC ,

AOD BOC

5) Perímetro = 2a + 2b

6) Área = base altura

O

Trapecio.

• Es un cuadrilátero que tiene dos, y solo dos lados opuestos paralelos, estos lados se llaman bases del trapecio.

Trapecio isósceles: Es el que tiene sus

lados no paralelos congruentes.

• Trapecio rectángulo: Es el que tiene dos ángulos rectos.

POLÍGONOS. POLÍGONO es una figura limitada por segmentos de rectas.Los polígonos pueden ser cóncavos o convexos.

POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÓNCAVO.

Se clasifican de acuerdo al número de lados:3 lados es un _________________4 lados es un5 lados es un

6 lados es un 10 lados es un 20 lados es un

ANGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO

La suma de los ángulos interiores se obtiene multiplicando 180º por el número de lados del polígono menos dos: S = 180º ( n - 2 )

DIAGONALESNúmero de diagonales que parten de un sólo vértice.El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, desde un mismo vértice se obtiene restando tres al número de lados: d = n - 3

NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES.

El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados se obtiene según la siguiente fórmula:

D = n ( n - 3)/2

POLIGONO REGULAR.Es el polígono que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos congruentes. Además se puede inscribir en una circunferencia.

a) Angulo Interno: como tiene todo sus ángulos congruentes, se divide la suma total por el número de ángulos: i = 180º(n – 2) / n

b)Angulo del centro: se divide 360º por el número de lados del polígono:

c = 360º/n

c) Angulo exterior: también se obtiene dividiendo 360º por el número de lados.

i

cc

e

La Circunferencia y el Círculo.

• La Circunferencia: es una curva cerrada cuyos puntos se hallan todos a igual distancia de otro punto fijo llamado centro de la circunferencia.

Circunferencia de centro O

Circulo de centro O

• El Círculo: es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y los interiores a la misma.

Elementos de la circunferencia y el Círculo.

• Radio: Es el segmento que une el centro con el punto de la circunferencia.

Arco: Es una parte de la circunferencia y se representa por

• Cuerda: Es todo segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: Es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia es decir, es la mayor

cuerda. El diámetro es igual a dos veces

el radio.

• Semicircunferencia: Es un arco igual a la mitad de la circunferencia.

Circunferencia concéntricas: son las que tienen el mismo centro.

• Angulo del centro: Es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, ósea es el que se forma por dos radios.

Angulo inscrito: Es el que tiene su vértice en la circunferencia y cuyos lados son dos rayos secantes

• Semicírculo: Es la parte de un círculo comprendido entre el diámetro y la circunferencia. (La mitad de un círculo).

Sector circular: Es la parte de un círculo comprendida entre dos radios y el arco que subtienden.

• Segmento circular: Es la parte de un círculo comprendido entre una cuerda y el arco que subtiende.

Perímetros y Áreas.• Perímetro: Se llama perímetro de una figura plana, a la

suma de las longitudes de sus lados.

Área: Se llama área de una figura plana, al número

de unidades cuadradas que contiene su superficie.

Formulas de Perímetros

Formulas de Áreas

Aquí aprenderás como resolver un

ejercicio...

E j e r c i c i o s r e s u e l t o s

1). Calcular el perímetro de un sitio cuadrado ABCD de lado 30m.

Solución: el perímetro de un cuadrado esta dado por

P = 4a P = 4·30m P =120m

El área esta dada por:

A = a² A = (30m)² A = 900m²

2). Hallar el área del paralelogramo ABCD, si AC = 50m, BE =18m y CE =30m.

Solución: el área de un paralelogramo esta dado por:

A = AB ·CE

Previamente, hay que determinar el valor de la base AB. Usando el teorema de Pitágoras, se tiene: AE² = AC² – CE² AE² =50² – 30²

=2500 – 900

=1600m²

AE² =1600m² AE = 40m

Pero: AB = AE – BE

AB = 40m – 18m AB = 22m

Luego: A = (22m)(30m)

A = 660m²

3). Determinar el área de un ΔABC, si AB = 25m y CD = 10m.

Solución: el area de un Δ esta dada por:

A = AB·CD A = (25m)(10m) . 2 2

A = 250m² . . 2

A = 125m²

4). Hallar el perímetro y el área del sector circular de la figura(considere π = 3).

Solución: el perímetro de un sector circular esta dado por:

P = s + 2r P = π·α·r + 2r . 180

P = 3·72·6m + 2·6m . 180

P = 7,2m + 12m

P = 19,2m


A = π α r² A = 3· 72(6m)² . 360 360

A = 3·72·36m² . 360

A = 21,6m²

5). Hallar el perímetro y el área de corona circular de la figura, si los radios son rı = 5cm y r₂ = 11cm (considere π = 3).

Solución: el perímetro esta dado por:

P = 2π (rı + r₂) P = 2·3(5+11)cm P = 6(16)cm P = 96cm


A = π²(r₂² - rı² ) A = 3(11² - 5² )cm² A = 3(121 – 25)cm² A = 3(96)cm²

A = 288cm²

6).Calcular el área de un rectángulo, si el perímetro es de 50m .

Solución: sean b y h la base y la altura del rectángulo. Luego el perímetro será:

2(b + h) = 50 b + h = 25 (1)

La diferencia entre la base y la altura es :

b – h = 5 (2)

de las ecuaciones (1) (2), resulta: b = 15m y h = 10m.

Por lo tanto:

A = b·h =15m·10m =150m²

7).En la figura:E,F,G y H son los puntos medios de los lados del rectángulo ABCD.¿Qué fracción es la parte sombreada respecto al total?

Solución:En el rectángulo ABCD , se observa que existen 8 triángulos congruentes , de los cuales tres están sombreados.Por lo tanto la parte sombreada corresponde a los ⅜ de total.

8). Calcular el área y el perímetro del segmento circular sombreado de la figura.

Solución: Área del segmento circular

A = A - A

A = π · r²·α – b · h . 360º 2

= π · 4²· 90º - 4·4 . 360º 2

Luego A = 4(π – 2)

Perímetro del segmento circular:

P =P + P P = π · r · α +√r² + r² . 180 . = π · 4 ·90º + √ 4² + 4² . . 180

Por lo tanto: P = 2(π + 2√ 2)

A h o r a t e t o c a p a s a r a l a p i z a r r a a r e s o l v e r e j

e r c i c i o s . . .

(Para esto debes sacar tu cuadernito y resolver los ejercicios)

1). Si se aumenta 2m el lado de un cuadrado , su área aumenta en 36cm². Hallar el lado.

2). Un rectángulo tiene 96m² de área y 44m de perímetro.hallar las longitudes de los lados.

3). ¿cuál es el área de un triangulo equilátero de lado 8 cm?.

4).la base de la casa de Juan esta en la razón 1:2 el ancho y el largo respectivamente y su área es 288cm². Hallar el ancho y el largo.

5). Hallar el radio de una circunferencia que tiene un arco de 120º y cuya longitud tiene 8π .

6). La diagonal de un rectángulo mide 10m y su altura 6m. Hallar su área.

7). Determinar el perímetro y el área del paralelogramo ABCD. Si AEB = 12m y AD = 10m y DE = 6m.

8). ABCD es un cuadrado de lado 8, unido a un semicírculo. Hallar el perímetro y el área de la parte sombreada.

9). ABCD es un cuadrado de lado 12. Hallar el perímetro y el área de la parte sombreada, si π = 3.

10). ABCD es un cuadrado de lado 14. Hallar el perímetro y el área de la parte sombreada, si π = 3.

E j e r c i c i o La figura muestra un circulo de radio 6. AB0 es un triangulo equilátero de lado 12 y C es punto medio a AB. Hallar el perímetro y el área de la parte sombreada, si π = 3.

FELICIDADES !!!!!

sigue adelante con las preguntas ....

Lo siento pero eso no es correcto, vamos intentalo de nuevo ¡¡

Intentar de nuevo

FELICIDADES !!!!!



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FELICIDADES !!!!!



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FELICIDADES !!!!!



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FELICIDADES !!!!!



Intentar de nuevo

FELICIDADES !!!!!



Intentar de nuevo

PROFESOR

ENCARGADO: ORLANDO TORRES

ASIGNATURA: ALGEBRA Y MODELOS

ANÁLITICOS.

INTEGRANTES: EMMANUEL CORREA.

LUIS VELÁSQUEZ.

AGRADECIMIENTOS A LA FAMILIA

SIMPSON S Y A TODOS AQUELLOS QUE

HICIERON POSIBLE LA PRODUCCIÓN

DE ESTE MODULO DE

AUTOAPRENDIZAJE SOBRE GEOMETRIA

PLANA Y EN ESPECIAL AL

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS POR

DARNOS ESTA OPORTUNIDAD.

Fin….

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modulo de autoaprendizaje - geometría

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