Módulo 3Factorización de trinomios de la

forma x2 + bx + c

Por Prof. Federico Mejía

x2 + 3x + 2 x2 + 7x + 10 a2 – 4a - 5 x2 + 5x – 24 x2 – 9x + 8

Factorice cada polinomio:

Pre-prueba

x2 – 2x + 4 x2 + 4xy + 4y2

a2 – 4ab – 12b2

x2 – 3x – 40 x2 + 9x + 15

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Soluciones a los problemas

x2 + 3x + 2x2 + 7x + 10a2 – 4a - 5x2 + 5x – 24x2 – 9x + 8x2 – 2x + 4x2 + 4xy + 4y2

a2 – 4ab – 12b2

x2 – 3x – 40x2 + 9x + 15

Solución

(x + 2) (x + 1)(x + 5) (x + 2)(a – 5) (a + 1)(x + 8) (x – 3)(x - 8) (x – 1)Polinomio primo(x + 2y) (x + 2y)(a – 6b) (a + 2b)(x – 8) (x + 5)Polinomio primo

Problema

Factorizar un trinomio

• Factorizar un trinomio de la forma

x2 + bx + c donde b, c son números enteros, consiste en expresarlo en la forma (x + m) (x + n), es decir, x2 + bx + c = (x + m) (x + n) donde m, n son también números enteros.

Procedimiento

Primer Paso

• Listamos todos los factores o divisores de c (positivos y negativos).

Procedimiento (cont.)

Segundo Paso

• Escogemos dos enteros m, n tales que su suma sea igual a b y su producto sea igual a c, es decir:

• m + n = b

• (m)(n) = c

Procedimiento (cont.)

Tercer Paso

• Expresamos al trinomio x2 + bx + c como el producto (x + m)(x + n), es decir,x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

Observaciones

• Si c es un entero positivo entonces m, n poseen signos iguales.

• Si c es un entero negativo entonces m, n poseen signos opuestos.

• Es posible que no existan los dos enteros m, n con las condiciones mencionadas en el segundo paso. En este caso el trinomio no se puede factorizar y decimos que es un polinomio primo.

Ejemplo 1

• Factorizar x2 + 5x + 6

Primer Paso:

Listamos todos los factores o divisores de 6:

+- 1, +- 2, +- 3, +- 6

Ejemplo 1 (cont.)

Segundo Paso:

• De la lista anterior, escogemos dos enteros cuya suma sea +5 y cuyo producto sea +6.

• Los dos enteros son +2 y +3 porque 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.

Ejemplo 1 (cont.)

Tercer Paso:

• Expresamos al trinomio x2 + 5x + 6 como el producto (x + 2)(x + 3), es decir, x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

• Observemos que como 6 es positivo, 2 y 3 poseen signos iguales.

Ejemplo 2

• Factorizar x2 + 2x - 15

Primer Paso:

Listamos todos los factores o divisores de 15:

+- 1, +- 3, +- 5, +- 15

Ejemplo 2 (cont.)

Segundo Paso:

• De la lista anterior, escogemos dos enteros cuya suma sea +2 y cuyo producto sea -15.

• Los dos enteros son +5 y -3 porque 5 + -3 = 2 y 5 x -3 = -15.

Ejemplo 2 (cont.)

Tercer Paso:

• Expresamos al trinomio x2 + 2x - 15 como el producto (x + 5)(x - 3), es decir, x2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3).

• Observemos que como -15 es negativo, 5 y -3 poseen signos opuestos.

Ejemplo 3

• Factorizar x2 - 6x + 8

Primer Paso:

Listamos todos los factores o divisores de 8:

+- 1, +- 2, +- 4, +- 8

Ejemplo 3 (cont.)

Segundo Paso:

• De la lista anterior, escogemos dos enteros cuya suma sea -6 y cuyo producto sea +8.

• Los dos enteros son -2 y -4 porque (-2) + (-4) = -6 y (-2) x (-4) = +8.

Ejemplo 3 (cont.)

Tercer Paso:

• Expresamos al trinomio x2 - 6x + 8 como el producto (x - 2)(x - 4), es decir, x2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4).

• Observemos que como +8 es positivo, -2 y -4 poseen signos iguales.

Ejemplo 4

• Factorizar x2 + 9x + 15

Primer Paso:

Listamos todos los factores o divisores de 15:

+- 1, +- 3, +- 5, +- 15

Ejemplo 4 (cont.)

Segundo Paso:

• De la lista anterior, escogemos dos enteros cuya suma sea +9 y cuyo producto sea +15.

• Observamos que no existen dos enteros con estas condiciones.

Ejemplo 4 (cont.)

Conclusion:

• Podemos concluir que el trinomio no se puede factorizar y decimos quex2 + 9x + 15 es un polinomio primo.

x2 + 3x + 2 x2 + 7x + 10 a2 – 4a - 5 x2 + 5x – 24 x2 – 9x + 8

Factorice cada polinomio:

Post-prueba

x2 – 2x + 4 x2 + 4xy + 4y2

a2 – 4ab – 12b2

x2 – 3x – 40 x2 + 9x + 15

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Soluciones a los problemas

x2 + 3x + 2x2 + 7x + 10a2 – 4a - 5x2 + 5x – 24x2 – 9x + 8x2 – 2x + 4x2 + 4xy + 4y2

a2 – 4ab – 12b2

x2 – 3x – 40x2 + 9x + 15

Solución

(x + 2) (x + 1)(x + 5) (x + 2)(a – 5) (a + 1)(x + 8) (x – 3)(x - 8) (x – 1)Polinomio primo(x + 2y) (x + 2y)(a – 6b) (a + 2b)(x – 8) (x + 5)Polinomio primo

Problema