1

Potenciação

Potências de Base Real com Expoente Inteiro

Nestas condições há quatro situações em particular que iremos tratar. A saber, quando o expoente é maior

que um, quando é igual a um, quando é igual a zero e quando é negativo.

1ª caso - Expoente Maior que 1

De forma geral:

an = a............a , isto é, multiplicação de n fatores iguais a a.

Ex1.: 54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625

54, que se lê 5 elevado a 4, ou 5 elevado à quarta potência é igual ao produto de quatro fatores todos eles

iguais a cinco.

bases decimais:

Ex2.: 3,23 = 3,2 . 3,2. 3,2 = 32,768

bases fracionárias

Ex3.: (1/5)2 = 1/5 . 1/5 = 1/25

2º caso - Expoente Igual a 1

Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número:

Ex.: 71 = 7

3º caso - Expoente Igual a 0

Todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:

Ex.: 50 = 1

Obs.: 00 é indeterminado.

O expoente possui um papel fundamental na

potenciação, pois ele é quem define quantas

vezes a base será multiplicada por ela mesma.

Observe:

33 = 3x3x3 = 27

2

4º caso - Expoente Negativo

Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número

elevado ao oposto do expoente:

a-n = 1/an

3-2 = 1/32

(2/7)-3 = 1/(2/3)3 Repare

2,5-4 = 1/(2,5)4

Exercícios:

1- Traduza para a linguagem matemática:

a) o quadrado de 5;

b)o dobro do quadrado de 5;

c) o cubo de 5;

d) o triplo do cubo de 5

2 - Calcule:

a) 7² =

b) 4² =

c) 2⁵ =

d) 8¹ =

e) 9⁰ =

f) (-9)² =

g) (-5)³ =

3 - Determine:

a) (3/2)² =

b) (-1/2)⁴ =

c) (-1/3)³ =

d) (-4/5)⁰ =

e) (-5/9)¹ =

f) (+7/8)¹ =

g) (-1/2)⁵ =

h) (-4/3)² =

4 – Calcule:

a) ( -7)2 = b) -72

Os resultados são iguais ou diferentes? Por quê?

h) (-1)⁷ =

i) (-15)¹ =

j) (-10)⁰ =

k) (+3)⁴ =

l) (-1)⁵⁶ =

m) (-10)⁵ =

3

5 – Calcule:

a) ( -3)4 = d) ( -5)3 =

b) -34 = e) ( 1,4)2=

c) -53 = f) -1,42 =

Exercícios de contextualização:

Propriedades - Potências com mesma base

1º caso: am . an = a m + n

Ex.: 22 . 23 = 22 + 3 = 25 = 32

Conclusão: Quando multiplicamos potências de mesma base, podemos conservar a base e somar os

expoentes.

2º caso: am : an = am – n Ex.: 128 : 126 = 128 – 6 = 122 = 144

Conclusão: Quando dividimos potências de mesma base, podemos conservar a base e

subtrair os expoentes.

3o caso: (am)n = am.n Ex.: (32)3 = (3 . 3)3 = 93 = 9 . 9 . 9 = 729 ou (32)3 = 32 . 3 = 36 = 729

Conclusão: Para elevar uma potência a um expoente, podemos conservar a base e multiplicar os

expoentes.

4º caso: ( a.b)m = am.bm Ex.: ( 5.3)2 = 52 . 32

Conclusão: Se a base é uma multiplicação, podemos elevar cada fator ao expoente indicado.

Exercícios:

1) Reduza a uma só potencia as sentenças abaixo:

a) (+5)⁷ . (+5)² =

b) (+6)² . (+6)³ =

7 - Calcule:

a) (3/2)⁻² =

b) (1/2)⁻³ =

c) (2/3)⁻² =

d) (-1/4)⁻² =

e) (5/2)⁻3 = f) (-1/2)⁻⁴ =

6 - Calcule:

a) 7⁻² =

b) 5⁻³ =

c) 2⁻⁴ =

d) 2⁻⁵ =

e) (-3)⁻² =

f) –(-3)⁻² =

2 – Um gato come 4 ratos por dia. Quantos

ratos 4 gatos comem em 4 dias?

1 – Num depósito há 10 caixas, cada caixa

contém 10 pacotes e cada pacote contém 10

parafusos. Quantos parafusos há no total?

4

c) (-3)⁵ . (-3)² =

d) (-4)² . (-4) =

e) (+7) . (+7)⁴ =

f) (-8) . (-8) . (-8) =

g) (-5)³ . (-5) . (-5)² =

h) (+3) . (+3) . (+3)⁷ =

i) (-6)² . (-6) . (-6)² =

j) (+9)³ . (+9) . (+9)⁴ =

2) Reduza a uma só potência:

a) (-3)⁷ : (-3)² =

b) (+4)¹⁰ : (+4)³ =

c) (-5)⁶ : (-5)² =

d) (+3)⁹ : (+3) =

e) (-2)⁸ : (-2)⁵ =

f) (-3)⁷ : (-3) =

g) (-9)⁴ : (-9) =

h) (-4)² : (-4)² =

3) Aplique a propriedade de potência de um produto:

a) [(-2) . (+3)]⁵ =

b) [(+5) . (-7)]³ =

c) [(-7) . (+4)]² =

d) [(+3) . (+5)]² =

e) [(-4)² . (+6)]³ =

f) [(+5)⁴ . (-2)³]² =

4) Exercício 3: (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 108 . 4 . 10-3 é:

a) 206 b) 2 . 106 c) 2 . 109 d) 20 . 10-4

5) O valor da expressão (-10)² - 10² é:

a) 0 b) 40 c) -20 d) -40

5) O valor da expressão (-7)² + (+3) . (-4) – (-5) é :

a) 7 b) 37 c) 42 d) 47

6 – Use as propriedades de potencias nas expressões.

a) 73 . 75 =

b) 53 . 54 . 52 =

c) 105 : 105 =

d) 45 : 43 =

5

e) (52)5

f) [(56)0]8

g) (7 . 10)3

h) ( 2 . 32 . 52)4

7) Relacione corretamente a coluna da direita pela esquerda:

( A ) 53.52 ( ) 51

( B ) ( 73)4 ( ) 55

( C ) 53 : 52 ( ) 32. 22

( D ) ( 3 . 2 )2 ( ) 712

8) A expressão 10 3 é igual a :

a)10 b) 10000 c) 3 d) 1000

Atividade de contextualização:

Radicais:

A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada para resolver de equações e

simplificar de expressões aritméticas e algébricas.

Exemplo 1.

No exemplo acima os elementos de são:

1 – No chaveiro representado, são guardadas as chaves de um

estacionamento. Em cada gancho são colocadas 5 chaves. No

total, quantas chaves podem ser guardadas?

6

Obs.: Quando o índice é 2 , normalmente não se escreve. Veja:

Simplificação de Radicais através da Fatoração

Exemplo 1: Vamos simplificar a expressão decompondo 16 em fatores primos:

Exercícios:

1) Complete a tabela:

2) Determine as raízes:

Raiz de um número real:

1º caso: Índice par

Se o índice é par, todo número real positivo tem duas raízes:

Ex.: (-7 )2 = 49

(+7)2 = 49

Obs.:Como resultado tem que ser único faremos:

Importante: Não existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par.

Ex.:

2º caso: Índice ímpar

Se o índice é impar, existe apenas uma única raiz:

Ex.:

Obs.: A raiz só será negativa se radicando negativo e índice impar

radical

índice 3

radicando 9

7

Exercícios:

1 - Calcule caso exista no conjunto dos números naturais:

Atividade de contextualização:

Potência com expoente fracionário

Os expoentes racionais relacionam a potenciação e a radiciação:

Exemplo:

Exercícios:

1 – Escreva em forma de potência com expoente fracionário:

1- Um terreno quadrado tem 900m2 de área.

a) Quantos metros mede o seu perímetro?

b) Qual será a área, em m2, de um terreno com o

triplo da medida do lado desse quadrado?

2 - O volume de um cubo é 1 000 dm3. Qual é o

comprimento da aresta?

3 - José tem um galinheiro quadrado,

com uma área de 25m2, que precisa ser

cercado com tela. Quantos metros de tela

ele precisa comprar?

8

2 - Escreva em forma de radical:

a) 53/4 f) 79/4

b) 51/2 g) 92/1

c) a2/5 h) 66/5

d) m8/7 i ) 104/7

e) 26/7 j) 89/7

Equações do 2o grau

A equação do 2º grau tem a forma: ax2 + bx + c = 0 ( a 0)

Onde:

x a incógnita ( letra)

a,b e c coeficientes ( números)

Exemplos:

1 - x2 – 7x + 10= 0 , onde a = 1, b= -7 e c = 10 ( Equação completa)

2 - 8x2 – 4x = 0 , onde a = 8 , b=-4 e c = 0 (Equação incompleta falta c )

3 – 9x2 = 0 , onde a = 9 , b = 0 e c = 0 ( Equação incompleta falta b e c )

Atenção: a é coeficiente de x2

b é coeficiente de x

c é o termo independente ( aparece sem letra)

Lembre-se: As equações do 2º grau podem ser :

Equação completa: ax2 + bx + c = 0, ( a 0)

Ex.: x2 – 7x + 10 = 0 ( a = 1, b = -7 e c =10 )

Equação incompleta: ax2 + bx + c = 0, com b = 0 ou(e) c = 0

Ex1= 4x2 = 0 ( b = 0 e c = 0)

Ex2 = x2- 15 = 0 ( b = 0)

Ex3 = 5x2 – 8x = 0 ( c = 0 )

Exercícios:

1 - Sabendo que o grau de um polinômio é determinado pelo maior expoente da variável.

a) 3x² - 5x + 4 é um polinômio do _______ grau, pois o maior expoente da variável é ______.

b) 2x³ + x² + 5x – 3 = 0 é uma equação de _______ grau, pois o maior expoente da variável é_____.

c) 5x – 7 = 0 é uma equação de _______ grau, pois o maior expoente da variável é_____.

9

2 - Determine os coeficientes nas equações abaixo:

a) 7x² + 5x + 8 = 0 a = _____ b = ____ c = ____

b) y² ─ y ─ 1 = 0 a = _____ b = ____ c = ____

c) z² + 3z = 0 a = _____ b = ____ c = ____

d) 3x² ─ 4 = 0 a = _____ b = ____ c = ____

e) 5x² = 0 a = _____ b = ____ c = ____

3 - Marque com x as equações do 2º grau?

a) x2 + 2x + 1 = 0 e) 5x2 – 1 = 0

b)8x – 5x – 2 = 0 f) 6x2 – 8x = 0

c) 7x2 – 8x + 3 = 0 g) x3 – 5x2 + 4 = 0

d) 0x2 + 5x – 8 = 0 h) x – 7x – 1 = 0

Raiz da equação:

A raiz de uma equação é o valor de x que torna a equação verdadeira.

Ex.:

Exercícios:

Substitua os valores de x, pelos dados abaixo, na equação x² - 3x -10 = 0 e determine quais deles são

raízes dessa equação.

a) x = 5 _____________________________ 5 é raiz da equação? ____, porque ________________

b) x = 2 _____________________________ 2 é raiz da equação? ____, porque ________________

c) x = 0 _____________________________ 0 é raiz da equação? ____, porque ________________

d) x = -2 ____________________________ -2 é raiz da equação? ____, porque ________________

e) x = -5 ____________________________ -5 é raiz da equação? ____, porque ________________

As raízes da equação x² - 3x - 10 = 0 são x = ____ e x =_____.

Resolução de equações incompletas em IR.

Resolver uma equação do 2º grau é determinar os possíveis valores para x que tornem a igualdade

verdadeira.

1º caso – Equações da forma ax2 + c = 0, ( b = 0 )

Ee

Exercícios:

x2 – 49 = 0

(7)2 – 49 = 0

49 – 49 = 0

0 = 0 ( verdade)

Exemplos:

10

1 - Resolva as seguintes equações do 2º grau, sendo U = IR:

a) x² - 49 = 0 g) x2 - 48 = 1

b) 2x² - 32 = 0 h) x2 = 100

c) 5x² - 50 = 0 i) x2 = 1

d) 2x² + 18 = 0 j) 5x2 =15

e) x2 -36 = 0 k) 4x2 = 36

f) x2 -24 = 1 l) 21 = 7x2

2º caso – Equações da forma ax2 + bx = 0, ( c = 0 )

Para que um produto seja igual a zero basta que um dos fatores seja zero.

Exemplos:

a) x2 – 5x = 0 b) 3x2 – 10x = 0

Fatorando: x ( x – 5 ) = 0 Fatorando: x ( 3x – 10 ) = 0

x = 0 ou x = 5 x = 0 ou x = 10/3

Exercícios:

1 - Resolva as seguintes equações do 2º grau, sendo U = IR:

a) x2 – 7x = 0 g) x2 + x = 0

b) x2 + 5x = 0 h) 7x2 – x = 0

c) 4x2 – 9 x = 0 i) 2x2 = 7x

d) 3x2 + 5x = 0 j) 2x2 = 8x

e) 4x2 – 12 x = 0 k) 7x2 = -14x

f) 5x2 + x = 0 l) -2x2 + 10 x = 0

Atividade de contextualização

1 – Em um quadrado de lado x, o número que expressa a área é igual ao número que expressa o dobro de

seu perímetro.

a) Quanto mede o lado do quadrado?

b) Qual é o perímetro do quadrado?

c) Qual é a área do quadrado?

2 – A área da figura abaixo, formada por 5 quadrados, é 20. Quanto mede o lado de cada quadrado?

Fórmula Geral de Resolução:

Também conhecida com fórmula de Bháskara , permite encontrar as raízes de qualquer equação do 2º

grau, completa ou incompleta.

11

Exemplos:

Repare que > 0 x1 ≠ x2 reais ( diferentes).

Repare que = 0 x1 = x2 reais( iguais)

Repare que < 0 não existem raízes reais .

Exercícios:

1 - A – Classifique as afirmações em V (verdadeira) ou F (falsa).

a)( ) Quando o discriminante ( ), numa equação do 2.º grau, é menor que zero, ela não tem raízes reais.

b)( ) Quando o discriminante ( ), numa equação do 2.º grau, é maior que zero, ela tem raízes reais e

diferentes.

c)( ) Quando o discriminante ( ), numa equação do 2.º grau, é igual a zero, ela não tem raízes reais.

d)( ) Quando o discriminante ( ), numa equação do 2º. grau, é menor que zero, ela tem raízes reais e

iguais.

e)( ) Quando o discriminante ( ), numa equação do 2.º grau, é igual a zero, ela tem raízes reais e iguais

12

2 – Resolva as equações do 2º grau :

a) x2 + 2x + 1 = 0 h) x2 + 4x -12 = 0

b) x2 + 3 x – 10 = 0 i) x2 + 2x -15 = 0

c) x2 + 6x – 7 = 0 j) 3x2 – 7x + 2 = 0

d) x2 – 5x + 6 = 0 k) x2 -8x + 8 = 0

e) x2 – 8x + 12 = 0 l) 3x2 -7x + 2 =0

f) 6x2 + x – 1 = 0 m) x2 -6x + 9 = 0

g) –x2 – 4x – 5 = 0 n) x2 +16 =

3 – Escreva as equações seguintes na forma geral e resolva:

a) x2 + 3 = 4x e) x( x – 2) = 2( x + 6 )

b) -20 = -x – x2 f) x( 2x – 1 ) + 6 = 4 ( x + 1 )

c)13 – 2x – 15 x2 = 0 g) ( x – 1 ) ( x – 2 ) = 6

d) 4x2 + 7x + 3 = 2x2 +2x h) ( 2x – 3 ) ( x – 8 ) = 34

Atividade de contextualização:

1) Em uma festa de Natal , como presente, todos escreveram e deram um cartão onde cada participante

ganhou um. Todos os 156 cartões foram pendurados na árvore de Natal. Quantas pessoas haviam nesta

festa?

2) Se um quadrado de lado 5cm tiver seu lado aumentado de x, passará a ter uma área de 49 cm2. Quanto

vale x?

3) Para que valor de x a área do quadrado é igual à área do retângulo?