matemática iv - módulo 1.pdf

Mdulo 1

Clculo integral

www.tmpress.ro

Lic. Olga Cardozo 2

Clculo Integral

www.youtube.com

Dada una funcin f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real,

la integral b

adx)x(f es igual al rea de la regin del plano xy limitada entre la

grfica de f, el eje x, y las lneas verticales x = a y x = b, donde son negativas

las reas por debajo del eje x.

La palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin de primitiva:

una funcin F, cuya derivada es la funcin dada f. En este caso se denomina

integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artculo son las

integrales definidas. Algunos autores mantienen una distincin entre integrales

primitivas e indefinidas.

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII, a travs del teorema fundamental del

clculo, que desarrollaron las dos de formas independientes, la integracin se

conecta con la derivacin, y la integral definida de una funcin se puede

calcular fcilmente una vez se conozca una antiderivada. Las integrales y las

Lic. Olga Cardozo 3

derivadas pasaron a ser herramientas bsicas del clculo, con numerosas

aplicaciones en ciencia e ingeniera.

Bernhard Riemann dio una definicin rigurosa de la integral. Se basa en un

lmite que aproxima el rea de una regin curvilnea a base de partirla en

pequeos trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer

nociones ms sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos

de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integracin. La

integral curvilnea se define para funciones de dos o tres variables, y el

intervalo de integracin [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos

puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se

sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempean un papel fundamental

en la geometra diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral

surgieron primero a partir de las necesidades de la fsica, y tienen un papel

importante en la formulacin de muchas leyes fsicas cmo, por ejemplo, las

del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integracin se basan en la

teora matemtica abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue

desarrollada por Henri Lebesgue.

Las integrales o antiderivadas

La integracin es un concepto fundamental de las matemticas avanzadas,

especialmente en los campos del clculo y del anlisis matemtico.

Bsicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente

pequeos.

El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las

matemticas en el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en

la ingeniera y en la matemtica en general y se utiliza principalmente para el

clculo de reas y volmenes de regiones y slidos de revolucin.

Lic. Olga Cardozo 4

Se dice que una funcin F: es una primitiva de f: , si f es la

derivada de F , o sea : )x(fdx

)x(dF y se expresa escribiendo: )x(Fdx)x(f .

En la simbologa dx o b

adx representa el proceso de hallar la funcin

primitiva en funcin de la variable x. Se distingue la primera expresin como

integral indefinida y a la segunda como integral definida ya que posee dos

valores lmites llamados lmites de integracin.

Al hallar la primitiva de una funcin, se obtiene una funcin.

Al hallar la valoracin de los lmites de integracin se obtiene un nico valor

numrico real. Se denomina dominio de integracin a la regin sobre la cual

se integra la funcin.

Propiedades del clculo de primitivas

De las reglas de derivacin: Del producto de una constante por una funcin, de

una suma de funciones y de una diferencia de funciones, se deducen las

siguientes propiedades de la integral indefinida:

1- La integral del producto de una constante por una funcin es igual al

producto de la constante por la integral de la funcin.

dx)x(fkdx)x(f.k .

Lic. Olga Cardozo 5

2- La integral de una suma algebraica de funciones es igual a la suma

algebraica de las integrales de las funciones.

dx)x(hdx)x(gdx)x(fdx)x(h)x(g)x(f .

En Clculo infinitesimal, la funcin primitiva o antiderivada de una funcin

f es una funcin F cuya derivada es f, es decir, F (x) = f(x).

Una condicin suficiente para que una funcin f admita primitivas sobre un

intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una funcin f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad,

que difieren entre s en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f,

entonces existe un nmero real C, tal que F1 = F2 + C.

A C se le conoce como constante de integracin. Como consecuencia, si F es

una primitiva de una funcin f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho

conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como: f

dx)x(f .

El proceso de hallar la primitiva de una funcin se conoce como integracin

indefinida y es por tanto el inverso de la derivacin.

Lic. Olga Cardozo 6

Clculo de primitivas

Primitivas inmediatas: son las ms sencillas de resolver. Se ajustan a

formatos establecidos.

Polinmicas o potenciales

C1n

xdxx

1nn

n

Cxdx

Cxlnx

dxdxx 1

Exponenciales

1a

Caln

adxa

Cedxe

xx

xx

Trigonomtricas

Csenxxdxcos

Cxcossenxdx

Recordar: La C que se agrega a la primitiva se llama constante de

integracin y representa el trmino independiente de la funcin al ser derivada.

Ejemplos

Cx34

xxCx3

13

x

14

x5

dx3dxxdxx5

dx3dxxdxx5

dx3xx5.1

45

1314

34

34

34

Lic. Olga Cardozo 7

Cx3

8

x

3

x

4xln2xx

2

3

C3

x8

2

x6

1

x4xln2x

2

x3

C14

x8

13

x6

12

x4xln2x

11

x3

dxx8dxx6dxx4x

dx2dxxdx3

x

dx8

x

dx6

x

dx4

x

dx2dxxdx3

dxx2

16dx

x2

x12dx

x2

x8xd

x2

x4xd

x2

x2dx

x2

x6

dxx2

16x12x8x4x2x6.2

32

2

3212

14131211

432

432

444

2

4

3

4

4

4

5

4

2345

:

Cx23

x2C

2

1

x

2

3

xC

12

1

x

12

1

x

dxxdxx

dxxx

dx

x

1x

dxx

1x.3

32

1

2

31

2

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Cxcos3xln25ln3

5e2

senxdx3x

dx2dx5

3

1dxe2

senxdx3dxx

2dx

3

5dxe2

dxsenx3x

2

3

5e2.4

xx

xx

xx

xx

Lic. Olga Cardozo 8

Encontrar las funciones primitivas de las funciones dadas

dxxcos83

2

5

e.4

dxxx.3

dxx

5x8x5x3x2.2

dx1x3x.1

xx

3

3

234

2

Csenx8aln3

2

5

e

C3

x4

3

x2

Cx

5

x

8xln5x3x

Cx2

x3

3

x

xx

3 43

2

2

23

dxsenx5x

55

7

e2.8

dxx

2x2.7

dxx2

6x2x8x44x12x6

dx3xx5.5

xx

3

2345

34

Cxcosxln55ln

5

7

e2

Cx4x3

4

x2

3

x

1xln4x22x3

6

x

Cx3x2

1

x3

5

xx

3

2

23

23

dx4

senx3xcos3.12

dxx

xx5.11

dxx4

5x8x5x3x2.10

dx1x3x.9

x

3

5

234

12

C4

xcos

3ln

3senx3

C3

x

x

1

x2

5

C.x10x3

4x

2

1x

14

3x

9

4

Cxxln33

x

x

3

2

3579

3

Lic. Olga Cardozo 9

MTODOS DE INTEGRACIN

No siempre las funciones sern simples, en ocasiones se presentarn

funciones compuestas. Es decir una funcin F(u) donde u = f(x).

Para la resolucin de integrales se utilizan diferentes artificios de clculo, cuyo

objeto es transformar la expresin a integrar en otra, u otras, de integracin

ms sencilla. A dichos artificios se les denominan mtodos de integracin.

Para los casos en los que el clculo no es inmediato, se debe recurrir a

procesos y convertir la expresin en inmediata.

Mtodo de integracin por sustitucin o cambio de variable se basa en la

regla de la cadena: dx))x('u)).x(u(f , o sea, la funcin y su derivada estn

presentes.

Consiste, en lneas generales, en tomar una nueva variable, t tal que sea una

funcin continua y que admita funcin inversa.

De esta forma se ha transformado la integral indefinida en otra, funcin de la

nueva variable t.

Si la eleccin de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es ms

sencilla de integrar. El xito de la integracin depende, en grado considerable,

de la habilidad para elegir la sustitucin adecuada de la variable.

El mtodo se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una

nueva variable t, de modo que se obtenga una integral ms sencilla.

Pasos para integrar por sustitucin.

Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos trminos:

Lic. Olga Cardozo 10

Sea dx))x('u)).x(u(f entonces haciendo t = u(x)

dt = u(x)dx

Sustituyendo en la integral original se transforma en dt).t(f .

La integral resultante es mediata. dt).t(f = F(t)+C.

Una vez obtenida la funcin primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la

variable substituyendo t = u (x).

As se tiene la integral indefinida en funcin de la variable inicial x.

Como un resumen se hallaran primitivas con aquellas funciones potenciales nu

racionales , exponenciales ue ; ua , logartmicas uln , trigonomtricas senu;

ucos de funciones compuestas, es decir aquellas con forma u = f(x):

Para ello, recodaremos las frmulas de derivacin

Polinmicas o potenciales 'nnn uu.n'uud n

0'kkd

1'xxd

Logartmica u

'u'ulnulnd

Exponenciales 1aaln'.u.a'aad

'u.e'eed

uuu

uuu

Trigonomtricas senu'.u'ucosucosd

ucos'.u'senusenud

Observacin: resulta importante recordar el siguiente resumen de

sustituciones:

En funciones potenciales la base

En funciones exponenciales el exponente


En funciones trigonomtricas el ngulo de la funcin.

Recordar adems:

Las funciones radicales son funciones potenciales de potencia fraccionaria:

nm

n m xx . Ejemplo: 32

3 2 x1x1

Las funciones racionales son funciones potenciales de potencia negativa:

nxx

1n

. Ejemplo:

22

x1.2x1

2

Ejemplos:

1. dx5x34

Es una integral mediata en forma de funcin potencial, entonces la t es la base

de la funcin:

Hacemos:

dx3

dt

dx3dt

5x3t

y sustituyendo y aplicando las propiedades de integrales

queda: dtt31

3

dttdx5x3 44

4

Es una funcin potencial, se aplica 1n

xdxx

1nn

donde n = 5

C14

t

3

1 14

= C5

t

3

1 5 = C

15

t5

Luego se vuelve a la variable original, entonces : C5x315

1 5

2. dx1xx2

Es una integral mediata en forma de funcin potencial, ya que la funcin radical

puede expresarse como potencia fraccionaria: nm

n m xx , entonces la t es la

base de la funcin:

Se escribe la funcin como: dx1xx 21

2


Hacemos:

dxx2

dt

xdx2dt

1xt 2

y sustituyendo

x2

dtt.xdx1xx 2

12

12

simplificando: dtt21

21

Es una funcin potencial, se aplica C1n

xdxx

1nn

donde n = 21

C

12

1

t

2

11

2

1

= C

2

3

t

2

1 23

= Ct3

12

3

Luego se vuelve a la variable original, entonces: C1x3

12

32

3. 1x5dxx

3

2

Es una integral mediata en forma de funcin racional, que se rescribe

recordando que nxx

1n

entonces

dx1x5x132 se convierte en la funcin

cuya integral se obtiene aplicando Cxlndxx 1

Entonces la t es la base de la funcin:

Hacemos:

dxx15

dt

dxx15dt

1x5t

2

2

3

y sustituyendo

2

12132

x15

dttxdx1x5x

Y simplificando: dtt

15

1 1

De ah: Ctln.15

1

Luego se vuelve a la variable original, entonces: C1x5ln15

1 3

4. 32x1

xdx7



recordando que nxx

1n

entonces

dxx1x732 se convierte en la funcin

potencial con n = - 3 cuya integral se obtiene aplicando C1n

xdxx

1nn


Hacemos:

dxx2

dt

xdx2dt

x1t 2

y sustituyendo

x2

dttx7dxx1x7

332

Y simplificando y aplicando propiedades de las integrales : dtt

2

7 3

De ah: Ct4

7C

t

1

4

7C

2

t

2

7C

13

t

2

722

213

Luego se vuelve a la variable original, entonces:

Cx14

722

5. dxex2

Es una integral mediata en forma de funcin exponencial, sustituyendo por t el

exponente y encontrando la solucin con : Cedxe xx

Entonces la t es el exponente:

Hacemos:

dx2

dt

dx2dt

x2t

Sustituyendo y aplicando propiedades de integrales dte21

2

dte tt

De ah: Ce2

1Ce

2

1 x2t , luego de volver a la variable original.

6. xx

e1

dxe



recordando que nxx

1n

entonces,

dxe1e1xx se convierte en la funcin

potencial con n = - 1 cuya integral se obtiene aplicando Cxlndxx 1 .


Hacemos:

dxe

dt

dxedt

e1t

x

x

x

Sustituyendo y simplificando:

dtte

dtte

1

x

1x

De ah: Ctln Ce1ln x , luego de volver a la variable original.

De igual modo pueden hallarse las integrales de distintos tipos de funciones,

representndolas como funciones potenciales, o bien aplicables al ln.

C

314

3lndx

3

dt.3ln

C314

3lnC

4

t.3lndx

3ln

3dt

C15

t3ln31t

dtt3ln3

dt3lnt3dx313

31

dx3.7

4xx

4x4x

15x

5

x

5x5xx

5x

x

dxxcos

dt

C3

xsenxdxcosdt

C3

tC

12

tsenxt

dttxcos

dtxcostxdxcosxsen.8

3

312

222


dxsenx

dt

Cxcoslnsenxdxdt

Ctlnxcost

dttsenx

dttsenxdxxcossenxdx

xcos

senxtgxdx.9 1

11

dxxcos

dt

Csenx

3xdxcosdt

Ct

3C

1

t3C

12

t3senxt

dtt3xcos

dtxcost3xdxcosxsen3

xsen

xdxcos3.10

112

222

2


32

2

42

2

3

2

1x6x

dx3x.5

1xx

dx1x2.4

1x

xdx12.3

dxx1x.2

x23

dxx.1

C

1x6x

1

C1xxln

C1x

2

C3

x1.

C6

x23ln

22

2

32

32

3

6x

x

x3

x5

x

x

x2

3xx

e1

dxe3.10

e

dx3e4..9

e1

dxe4..8

dxe1..7

dxx22e..644

C

e1.5

3

Ce

1e2

Ce1ln4

Ce1

C2

x

2ln4

2

4

e

5x

x3

x2

x

3x2

4xx 44


5x

x

x3

x5

x

x

3 xx

xx2

52

dx5.15

a

dx1a.14

21

dx2.13

dx133.12

xdx22e1122

C

52.5ln.4

1

Ca3

1

2

a

aln

1

C2ln

21ln

C3ln

13

Cx2ln2

2

4

e

4x

x3

x2

x

3 4x

2xx2 22

2x

xx

3

x3xx

esen1

dxecose.20

dxxcos

xcossenx.19

xsen

xdxcos.18

dx3sen3cos3.17

xcos1

senxdx16

C

esen1

1

Cxxcosln

Csenx2

1

C3ln4

3sen

Cxcos1ln

x

x4

Mtodo de integracin por partes se basa en la derivada de un producto y se

utiliza para resolver algunas integrales de productos, que tengan la forma

u.dv.

vduv.udv.u

dv.udespejandodxdv.udxv.ud v.u

dvv' y duu' llamandodx'v.udxv'.u v.u

dx'v.uv'.u dx'v.u

: xa respecto igualdad la Integrando

dv.uv.ud :quedara 'v.uv'.u'v.u

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que ser conveniente que la

integral de v' sea inmediata.


Importante:

Las funciones polinmicas, logartmicas y arco tangente se eligen como

u.

Las funciones exponenciales y trigonomtricas del tipo seno y coseno, se

eligen como dv

Observacin: resulta importante recordar el siguiente resumen de

integraciones por partes:

dxe.xxn senxdx.x

n dxe.senxx

xdxln.xn xdxcos.x

n dxe.xcosx , entre otros

Ejemplos

Observacin: En los resultados siempre que se pueda, se encuentra el

factor comn

x

x

xxxxxx

evdxdu

egrandointderivando

dxedvxu

C1xeCexedxexedxxe.1

xcosvdxdu

egrandointderivando

senxdxdvxu

Csenxxcosxdxxcosxcosxxsenxdx.2


C3

1xln

3

x

3

xv

x

dxdu

C9

xxln

3

xegrandointderivando

dxxdvxlnu

C3

x

3

1xln

3

xdxx

3

1xln

3

x

x

dx.

3

xxln

3

xxdxlnx.3

33

33

2

332

3332

C2

1xln

x2

1

x2

1

2

xv

x

dxdu

Cx4

1

x2

xlnegrandointderivando

C2

x

2

1

x2

xlndxxdvxlnu

dxx2

1

x2

xln

x

dx

2

1

x2

xln

x

dx.

x2

1

x2

xln

x

xdxln.4

22

2

22

2

2

3

3

232223


xdxln.5

dx3,x.4

xdxcosx5.3

dxxe.2

xdxln.1

2

x

x

C1xln2xlnx

C3ln

1x

3ln

3

Cxcosxsenx5

C1xe

C1xlnx

2

x

x

dxxcosln.senx.10

dxxln.9

xsenxdx3.8

dxe3

x.7

x

dxx2ln6

2

x

7

C1xcoslnxcos

C2xlnx

Csenxxcosx3

C1x3

e

C6

1x2ln

x6

1

2

x

6


Combinando casos: en situaciones se debe resolver la primitiva aplicando los

dos mtodos estudiados:

dxxe.1x2

Es una integral mediata en formato de funcin exponencial integrable como

xx edxe , debiendo ser el exponente la variable t

dx2

dt

dx2dt

x2t

Pero para sustituir se necesita hacer 2

tx

Entonces: dte4t

2

dte

2

t tt

Ahora se considera la integracin por partes, donde u = 4

t y dv = dte t y

aplicar luego la frmula vduv.u

t

t

ev4

dtdu

dtedv4

tu

4

dtee

4

t tt

C1te4

1Ce

4

1e

4

tdte

4

1e

4

t ttttt

Volviendo a la variable original : C2

1xe

2

1C1x2e

4

1 x2x2

xdx5xsen3.2

Es una integral mediata de funciones trigonomtricas.

La variable t ser el ngulo de la funcin seno, en este ejemplo

dx5

dt

dx5dt

x5t

Pero para sustituir se necesita hacer 5

tx

sentdt25t3

5

dtsent

5

t3


Ahora se considera la integracin por partes, donde u = 25

t3 y dv = sentdt y

aplicar luego la frmula vduv.u

tcosv25

dt3du

sentdtdv25

t3u

Csenttcos.t25

3C)sent(

25

3tcos.

25

t3

tdtcos25

3tcos.

25

t3

25

dt3tcos)tcos(

25

t3

Volviendo a la variable original:

C5

x5senx5cosx

5

3Cx5senx5cos.x5

25

3

xdx22e32xx

Este ejemplo combina las propiedades y los mtodos de integracin

xdx2xdx2dxe.xxdx22e22 xxxx

El primer trmino es combinado de casos

Es mediata de funcin exponencial, entonces la variable t debe ser el

exponente

dx dt

-dx dt-

-xt

Pero para sustituir se necesita hacer xt-

Sustituyendo: dte.tdte.tdxe.x ttx

Ahora integramos por partes haciendo u = -t y dv = dte t aplicando

vduv.u

ev dt du

dtedv tu

t

t

C1teCeet dteet ttttt

Usando la variable original ; C1xe-x C1xe -x (1)


El segundo trmino es mediata con formato de funcin exponencial, o sea la

variable t ser el exponente

xdx2

dt

2xdx dt

xt 2

C2ln.2

2 C

2ln

2

2

1 td2

2

1

2

dt2 xdx2

2

2xt

ttx (2)

El tercer trmino es inmediata con formato de funcin potencial con n = 1

CxC2

x2xdx2xdx2 2

2

(3)

Reuniendo los resultados parciales (1), (2) y (3):

:finalsultadoRe Cx2ln.2

21xe 2

xx-

2

Ejercicios de aplicacin

dx4x2x.6

dxx5x

2x3lne2x.5

dx7.3

x2.4

dx4xln.3

dx1x5xsen6.2

dxxe2.1

2

3

x3

3

x2

x5

2

3

x2

Cx

2xln

2ln2

2

C4

x5xln2

3

1x3ln

3

xe

3

2

C7ln

1t

7ln6

7.25

C34xln4x

C1x5sen1x5cosx6

C1x22

e

2

x

43x

x5

2

3

x2

2

3


Mtodo de integracin por descomposicin en fracciones simples

Para aquellos casos en los que hay que integrar una funcin racional

)x(q

)x(p.

Puede suceder que el grado del numerador sea mayor o igual a del

denominador (caso 1), o bien que el denominador sea factorizable (caso

2).

Para el caso 1, se resuelve una divisin polinmica entre el numerador y

el denominador y se rescribe la expresin aplicando : )x(d

)x(r)x(c

)x(d

)x(D

Donde: D(x) Dividendo; d(x) divisor; c(x) cociente y r(x) resto.

Ejemplos

1. dx2x

5x3x2

El grado del numerador es 2 y el del denominador es 1

Por lo tanto, hay que dividir:

)3(

2x

5x

1xx2x

2x5x3x

2

2

d(x) = x + 2 c(x) = x + 1 r(x) = 3

Entonces:

dx

2x

3dx1xdx

2x

31xdx

2x

5x3x2

Aplicando propiedades de la integral:

2x

dx3dxxdx

dx2x3dxxdx

1


Las integrales tienen: formato potencial con n = 1, a la que se puede

aplicar

C1n

xdxx

1nn

; la otra funcin se le puede aplicar: Cxdx y a la otra

es una integral mediata en forma de funcin racional, que al rescribir

recordando nn

xx

1 se vuelve potencial con n = -1 , en ese caso la variable t

ser la base y se podr aplicar : Cxlndxx 1

Hacemos: dxdt

2xt

y sustituyendo

dttdx2x 11

Entonces:

dx2x3dxxdx1

= dtt3dxxdx 1 =

Ctln3x11

x 11

C2xln3x2

x2

2. dx2x

5x

El grado del numerador es 1 y el del denominador es 1

Por lo tanto, hay que dividir:

312x

2x5x

d(x) = x + 2 c(x) = 1 r(x) = 3

Entonces:

dx

2x

31dx

2x

5x

Aplicando propiedades de la integral:

dx

2x

3dx =

dx2x3dx

1

Las integrales pueden resolverse Cxdx y la otra es mediata en formato

de funcin potencial resoluble haciendo Cxlndxx 1


Hacemos: dxdt

2xt

y sustituyendo

dttdx2x 11

Entonces:

dx2x3dx1

= dtt3dx 1 = Ctln3x

Haciendo t = x + 2 la solucin es C2xln3x

Para el caso 2, el denominador debe factorearse en al menos dos factores,

obtenindose as cuatro situaciones posibles: factores lineales sin repeticin,

factores lineales con repeticin, factores de forma cuadrtica sin repeticin y

factores de forma cuadrtica con repeticin.

Factores lineales sin repeticin

El denominador tiene dos o ms factores lineales sin repeticin.

A cada factor se le asigna una variable A, B, C para rescribir la funcin original

Luego se resuelve el sistema de ecuaciones lineales construidas a partir del

clculo hecho.

Ejemplo:

dx3x4x

2x2

Factoreando: 1x3x3x4x2 y reemplazando:

dx1x3x

2x


B3A2

BA1

osmintrdeigualacinPor

B3ABAx2x

comnfactorHallando

B3ABxAx2x

:Asociando

B3BxAAx2x

:vaDistributi

1x3x

3xB1xA

1x3x

2x

MCMHallando

1x

B

3x

A

1x3x

2x

Resolviendo el sistema de ecuaciones

2

1B

B21

B212

2

1

2

11AB3B12

B3A2

B1ABA1

dx1x

2

1

3x2

1

dx1x

B

3x

Adx

1x3x

2x

1x

dx

2

1

3x

dx

2

1

dx1x2

1dx3x

2

1 11

cada integral es mediata de formato n = -1 que se resuelve por

Cxlndxx 1


Hacemos: dxdt

3xt

y sustituyendo

dttdx3x 11

Hacemos: dxdt

1xt

2

2

y sustituyendo

2

1

2

1dttdx1x

Entonces:

2

1

2

1dtt

2

1dtt

2

1= Ctln

2

1tln

2

12

Reemplazando las sustituciones hechas, la solucin es

C1xln2

13xln

2

1

Factores lineales con repeticin

El denominador tiene dos o ms factores lineales con repeticin.

A cada factor se le asigna una variable A, B, C para reescribir la funcin original

Luego se resuelve el sistema de ecuaciones lineales construidas a partir del

clculo hecho.

Ejemplo:

dx1x2x

2x2

Factoreando: 22 1x1x2x y reemplazando:

dx1x

2x2


BA2

A1

osmintrdeigualacinPor

BAAx2x

:Asociando

BAAx2x

:vaDistributi

1x

B1xA

1x

2x

MCMHallando

1x

B

1x

A

1x

2x

22

22

Reemplazando el valor de A

1B

12B

B12

dx

1x

1

1x

1dx

1x

B

1x

Adx

1x

2x222

1x

dx

2

1

3x

dx

2

1

dx1xdx1x21

cada integral es mediata de formato potencial con n = -1 y n = -2,

respectivamente, que se resuelve por Cxlndxx 1 y por C

1n

xdxx

1nn

Hacemos: dxdt

1xt

y sustituyendo

dttdx1x 11

en el primer trmino

y

dttdx1x 2

2 en el segundo trmino

Entonces:

dttdtt21

= C12

ttln

12

= C1

ttln

1

Reemplazando las sustituciones hechas, la solucin es

C1x

11xln


Observacin: Para expresiones algebraicas con potencia cuadrada, sin y con

repeticin se sigue un proceso similar para obtener los parmetros A, B, C, D

que se necesiten con el formato: A + Bx, o C + Dx

Ejercicios de intensificacin

dxxx

1.10

dxxx

1xx3.9

dxx2xx

2x4.8

dx4x

2x5.7

dx6xx

x.6

dx1x

1x3x.5

dx2x

1x3x.4

dx1x

x.3

dx1x

4x5x.2

dx1x

x.1

2

23

2

23

2

2

2

2

23

23

2

2

2

C1xlnxln.10

C1xln3x

1.9

C1xln22xlnxln.8

C2xln22xln3.7

C2xln5

43xln

5

9x.6

C1xln2

31xln

2

1x3

2

x.5

C2xlnx3

x.4

C1xlnx2

x.3

C1xln.10x62

x.2

C1xlnx2

x.1

2

3

2

2

2

BIBLIOGRAFA

Budnick, F. (1990) Matemtica aplicada a la Administracin, Economa y Ciencias

Sociales, Mxico: Ed. Mc. Graw.

Rotela, A (2003) Manual de ejercicios y Problemas. Asuncin: Ed. Litocolor.

Ayra ,J. ( 1992) Matemtica aplicada a la Administracin y Economa. Mxico: Ed. Mc.

Graw-Hill.

matemática iv - módulo 1.pdf

Documents