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MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS LINEALES

1

depende de dos factores: control. La exactitud de un sistema de lazo abierto

no tiene efecto sobre la acción de Un sistema de lazo abierto es aquél donde la salida

Sistema de lazo abierto.

Sistemas de control de lazo abierto y lazo cerrado.

mecánica.

a salida es una posición Servomecanismo Sistema de control realimentado cuy

salida de un sistema.

ersamente el valor de la Perturbación Es una señal que tiende a afectar adv

cumplen un objetivo determinado.

untamente y Sistema Combinación de componentes que actúan conj

estado final a partir de un estado inicial.

tado o conjunto de cambios graduales que llevan a un resul

cterizada por un Proceso Operación o secuencia de operaciones, cara

olado. Planta Cualquier objeto físico que ha de ser contr

definiciones:

ner en mente las siguientes que conforman un sistema de control es necesario te

iones que reciben los elementos Para uniformizar criterios respecto a las denominac

ón de la planta. interesante a pesar de proporcionar menor informaci

ntrada-salida" deja de ser estado" aunque no por ello el método de "relación e

a representación en "variables de Dentro de este contexto, por lo general se emplea l

ticular. la información de interés para cada problema en par

trar aquella que proporcione información complementaria por lo que se debe encon

a a la otra. Ambas contienen Estas diferentes representaciones no contradicen un

del mismo proceso.

rar representaciones diferentes sistema no es único, debido a lo cual se pueden log

se desarrolla a partir de un Es necesario comentar que el modelo matemático que

sistema.

cer el comportamiento del conjunto de ellas en base a las cuales podemos cono

una ecuación matemática o un que lo represente. El modelo matemático equivale a

io obtener un modelo matemático Para efectuar el análisis de un sistema, es necesar

Introducción.

MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS.


2

adecuadas. base a esta diferencia, adoptar acciones de control

l valor obtenido a la salida, y en establecer la diferencia entre en valor deseado y e

es medida y retroalimentada para lazo cerrado donde se puede apreciar que la salida

orama general de un sistema de sobre la acción de control. La figura 1.2 dá un pan

e la señal de salida tiene efecto Un sistema de control de lazo cerrado es aquél dond

Sistema de lazo cerrado.

la salida cambia en casi la misma proporción.

ier motivo esta cambia, entonces temperatura de operación del proceso. Si por cualqu

ado final de la salida es la sufran cambios. Otro factor que incide sobre el est

tomas de agua fria y caliente no constante es necesario que las temperaturas en las

agua en el tanque permanezca En esta se muestra que para que la temperatura del

puede apreciar en la figura 1.1. Un esquema típico de un control de lazo abierto se

ausencia de perturbaciones externas.

extenso período de tiempo en b) La repetitividad de eventos de entrada sobre un

a) La calibración del elemento de control.


3

hidráulicas, etc., dentro del mismo lazo.

o, mecánicas, eléctricas, térmicas, involucradas diferentes tipos de señales por ejempl

la misma, esto es, pueden estar señales en un lazo de control no necesariamente en

lecer que la naturaleza de las la salida. En estos ejemplos se ha pretendido estab

alimentación que sensa el estado de control de la planta en cuestión es la red de retro

la parte fundamental para el En cada una de estas figuras se puede apreciar que

cerrado.

para sistemas de control de lazo En las figuras de la 1.3 y 1.5 se dan dos ejemplos


4

condiciones iniciales cero".

de la entrada, suponiendo Laplace de la salida con la transformada de Laplace

lación de la transformada de invariantes en el tiempo esta definida como: "La re

n coeficientes constantes La función de transferencia de un sistema lineal co

ransferencia de sistema. Esta última expresión es denominada la función de t

emos: Relacionando la salida Y(s) con la entrada X(s) ten

iguales a cero llegamos a la siguiente expresión:

as condiciones iniciales son (1.1) en una ecuación algebraica considerando que l

ecuación integro-diferencial Usando la transformada de Laplace para convertir la

da y y(t) es la salida. donde: ai's y bi's son constantes, u(t) es la entra

entrada con la variable de salida de la forma:

que relacionan la variable de con coeficientes lineales invariantes en el tiempo

diferenciales de n-ésimo orden representada por un conjunto de ecuaciones integro-

istema de control, puede ser Una planta o cada una de las partes que forman un s

considera un campo interdisciplinario.

llo que la ingeniería de control se disciplinas de la ingeniería involucradas. Es por e

n, y de cada una de las de los procesos y de los elementos que los conforma

or se requiere de gran conocimiento una variable respecto a otra. Para lograr lo anteri

elacionen el comportamiento de dinámica de los mismos a partir de ecuaciones que r

sistemas, es necesario conocer la Una vez que se han definido los diferentes tipos de

Funciones de transferencia. 1.1


5

tablece para sistemas mecánicos gobernados por la segunda ley de Newton, la cual es

neral los sistemas mecánicos son cualquier cuerpo físico se comporta como tal. En ge

la vida común, ya que Los sistemas mecánicos son una parte fundamental de

1.4. Sistemas mecánicos.

- Sistemas térmicos.

- Sistemas de nivel de líquidos.

- Sistemas eléctricos.

- Sistemas mecánicos.

de equilibrio de los sistemas más comunes como son:

los elementos así como las leyes Es por esta razón que a continuación se estudiarán

rentes ramas de la ingeniería. elementos cuyo comportamiento es estudiado por dife

ada uno de ellos contiene conformada por subsistemas interconectados, donde c

de control este puede estar Dada la naturaleza multidisciplinaria de un sistema

e de entrada. 4) Relacionar la variable de salida con las variabl

condiciones iniciales cero.

ación considerando 3) Obtener la transformada de Laplace de cada ecu

nterés. diferenciales correspondientes a cada variable de i

las ecuaciones integro-2) Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear

sistema.

s físicas involucradas en el 1) Identificar las ecuaciones de equilibrio o leye

sistema es la siguiente:

a función de transferencia de un Una metodología a seguir para la determinación de l

s) salida del bloque de la figura 1.6 es Y(s) = H(s)X(

caciones simples. Con ello la el dominio de la frecuencia compleja s son multipli

cas lineales, y la operaciones en diferenciales se transforman en ecuaciones algebrai

ciones manejo matemático de los sistemas dado que las ecua

, simplifica en gran medida el El hecho de trabajar con funciones de transferencia


6

básicos resumidos en la tabla 1.1

os por el conjunto de elementos Los sistemas mecánicos de traslación están integrad

1.4.1 Sistemas mecánicos de traslación.

sistemas mecánicos.

neralidades de ambos tipos de entre cada caso. A continuación se describen las ge

pudiendo además interactuar acoplamiento conforma al sistema mecánico completo,

rentes elementos cuyo En cualquiera de los casos anteriores se tiene dife

aceleración angular".

cia multiplicado por la que "la suma de torques es igual al momento de iner

a segunda ley de Newton declara Cuando se trata de sistemas mecánicos de rotación l

etida dicha masa". igualan a la masa por la aceleración a que esta som

, sean estas aplicadas o reactivas, de traslación que "la suma de fuerzas en un sistema


7

la relación fuerza a desplazamiento queda como:

total está dado por:

ansformadas el desplazamiento arreglo en el que considerando las ecuaciones ya tr

stra un ejemplo de este tipo de desplazamientos de cada elemento. La figura 1.8 mue

al es la suma de los elementos. Además, la deformación o corrimiento tot

transmite a través de todos los En este tipo de arreglo la fuerza aplicada f(t) se

Elementos mecánicos en paralelo.

donde la impedancia mecánica es:

es iniciales iguales a cero es: Y su transformada de Laplace considerando condicion

ura 1.7 es: La ecuación de equilibrio para el arreglo de la fig

desplazamiento (Fig. 1.7).

entos tienen el mismo fuerzas actuantes en cada elemento y todos los elem

a f(t) es igual a la suma de las En un elemento mecánico en serie, la fuerza aplicad

Elementos mecánicos en serie.

mecánicos en paralelo.

cánicos en serie y arreglos lugar a dos configuraciones denominadas arreglos me

estos elementos entre sí da aceleraciones y fuerzas. La disposición que guardan

amientos, velocidades, En este caso las variables involucradas son desplaz


8

son:

uilibrio en cada desplazamiento Para el caso de la figura 1.9b las ecuaciones de eq

amente. comportamiento de los elementos k1 y k2-B respectiv

(t) y z(t) que afectan al que no tiene nada que ver con los desplazamientos x

o al desplazamiento y(t) mientras situa en serie tanto con k1 como con k2 y B respect

la parte superior e inferior, la intermedio, y tener el mismo desplazamiento y(t) en

locada como un elemento mientras que en la figura 1.9-b al estar la masa co

ma: relaciona la fuerza con el desplazamiento de la for

alelo dando la ecuación que último elemento, participa como si estuviera en par

la figura 1.9-a, la masa, al ser el elementos. Para ilustrar lo anterior veamos que en

que sea el último de los puede estar en paralelo con otros elementos a menos

de una masa es que esta no Un comentario importante respecto al comportamiento

donde la impedancia mecánica es:


9

mas de un elemento.

desplazamiento donde intervenga 5) Escribir las ecuaciones de equilibrio para cada

mediante una silla.

ondiente y reverenciarlas a tierra 4) Insertar las masas en su desplazamiento corresp

entre los desplazamientos que le correspondan.

es) en su orientación correcta 3) Insertar cada elemento (resortes y amortiguador

ellos.

s horizontales para cada uno de 2) Identificar los desplazamientos y dibujar línea

arriba y la tierra abajo. 1) Dibujar las coordenadas tal que la fuerza esté

el siguiente: El procedimiento para obtener la representación es

amientos. elementos pueden estar entre dos diferentes desplaz

ciadas a tierra, y que los demás considerando que las masas únicamente están referen

esplazamiento del sistema busca identificar los elementos conectados a cada d

la a tierra. Esta representación posible recurrir a la denominada representación sil

ercaladas en el arreglo, es En este caso, y sobre todo cuando existen masas int

resultar de difícil visualización. planteamiento de las ecuaciones de equilibrio puede

lan arreglos serie y paralelo, el Cuando en un sistema mecánico de traslación se mezcRepresentación silla a tierra.

anterioridad.

ue los pasos expuestos con La determinación de la función de transferencia sig

• en z(t):

• en y(t):

• en x(t):


10

(Fig. 1.11)Supongamos que tenemos un sistema como el siguiente

Sistemas de orden cero

:proporcional al desplazamiento

será directamente . De acuerdo con la ley de Hooke, fuerza opositora,

y éste generará una sola sistema posee solamente un componente, el resorte,

ento, En este caso, el fuerzas que se oponen y son generadas por el movimi

irección a la suma de las fuerza aplicada es igual en magnitud y opuesta en d

instante del tiempo la fundamental de la mecánica, que expresa que en cada

mos un principio Para obtener esta ecuación del movimiento, aplicare

las relaciona.problema consiste en obtener la ley del sistema que

, y nuestro , nuestra salida (output) es sistemas, nuestra entrada (input) es

. En términos de análisis de deberán ser funciones del tiempo e general

), se sobreentiende que en ) e en vez de e utilizaremos los símbolos

r que por su simplicidad de reposo correspondiente al 0 en la escala. A pesa

= 0) el resorte está en la posición derecha. Cuando no se aplica ninguna fuerza (

la cual medimos en la escala de la y al resorte, estirándolo en una cantidad

presentado aplica una fuerza Estas guías están exentas de fricción. El hombre re

mover en la dirección vertical. restringido por guías, de manera que sólo se puede

está sujeto por un extremo a un soporte rígido, y Un resorte de dureza

Fig. 1.11- Sistema mecánico de orden cero.

K

F

,

F

F y F(t y(t

F y t

F y

FK FKy

(2.1)


11

sistema :

describe la ley de este aquí podemos deducir la ecuación del movimiento que

de este sistema. De es la dureza del resorte, la propiedad fundamentaldonde K

:o también, resolviendo la ecuación para

(2.2)

y

, dada por el producto de la salida

, habrá un solo valor correspondiente expresa que para cada valor de la entrada,

peciales. Esta ecuación que su notación algebraica no presenta problemas es

ra nuestro estudio debido a Esta última ecuación es un buen punto de partida pa

(2.3)

F1

y1 . El término

den cero.Fig. 1.12.- Diagrama de bloques de un sistema de or

1.12) clarifica un poco más las cosas.

alida. El diagrama siguiente (Fig. otras palabras, la relación entre la entrada y la s

a para generar la salida, o en cantidad por la que el sistema multiplica la entrad

de nuestro sistema, la que se define como la función de transferenciala

será entonces

, o también

= 0 para

cterísticas :escalón", la cual se define por las siguientes cara

denomina una "función esto haremos que la entrada corresponda a lo que se

. Para para una entrada particular Examinamos ahora el comportamiento de

y F

F t para = 0 y F F1 t

, obtendremos los siguientes gráficos (Fig.1.13) :función del tiempo

a, para este tipo de entrada, en Si graficamos la entrada y la salida de este sistem

0

t


12

) :orma de los instantes del tiempo independientemente de la f

2.3) será válida para todos . Entonces, el gráfico (Fig. 1.14) de la ecuación (cero

sistemas de orden do como descriptos por una ecuación algebraica, es denomina

y no del tiempo. Este tipo de sistemas, depende sólo del valor de de

valor instantáneamente y sin ningún tipo de retraso. El sigue a Notemos que

stema de orden cero.Fig. 1.13.- Respuesta y entrada en escalón en un si

y F

y F

F(t

la señal de , podemos decir que el sistema cambia el tamaño de e físicas de

las diferencias en las unidades En términos de análisis de señales, sin considerar

Fig. 1.14.- Curva de ganancia.

F y


13

transforman en un amortiguador viscoso (Fig.1.15) :scosa, o sea, que se presentaban fricción, manifiesten ahora fricción vi

as lubricadas que no generales del dispositivo, sólo haremos que las guí

Sin cambiar las líneas Vamos a agregar a nuestro modelo una complicación.

Sistemas de primer orden

a 1.

ser mayor o menor ", entendiendo, por supuesto, que la ganancia puedeganancia

curva de ráfico anterior la "cambio de tamaño, pero no de forma, llamaremos al g

izar esta operación de comportamiento en el tiempo ni su forma. Para enfat

e), pero no cambia su entrada (es decir, multiplicándola por una constant

generada por el resorte. Tendremos entonces :), debe ser agregada a la fuerza dtdyla primera derivada del desplazamiento

, proporcional a la velocidad (esto es, a Esto significa que una segunda fuerza

FR/

movimiento será entonces :

a ecuación del es la resistencia viscosa del amortiguador. Nuestrdonde

(2.4)

R

(2.5)


14

rita como :. De esta manera la ecuación (2.5) puede ser re-escdtdy) = , haremos que para indicar la operación de diferenciación, o seael símbolo

mbolismo de (2.5). Usaremos Esto es posible, si introducimos un cambio en el si

ransferencia y una entrada. esté expresada como el producto de una función de t

el sentido en que la salida ecuación (2.5), en una forma similar a la (2.3), en

podemos transformar la Antes de hacer esto, sin embargo, podríamos ver si

características.

lgunas de sus que disponemos de estas soluciones y examinaremos a

esta exposición, asumiremos podemos llegar a estas soluciones. A los efectos de

on respecto a cómo . Dejaremos para más adelante las consideraciones ccomún

s de la variable independiente la salida están implícitamente relacionadas a travé

. De esta manera tanto la entrada como y la variable independiente dependiente

adas, entre la variable consistir en una relación funcional, libre de deriv

. La solución de esta ecuación puede sistema de primer ordenecuación un

stema descrito por esta mayor es la primera. Por esta razón, llamamos al si

o a que la derivada . Es una ecuación diferencial de primer orden debiddtdy

do a que contiene la derivada La ecuación (2.5) es una ecuación diferencial, debi

esta manera a un nuevo tipo de ecuaciones.

. Pasamos de y sistema, lo que indica que tenemos ahora dos propiedades del R K

/

y t

t

y

ss(y /

parámetro, la constante de tiempo

en un único y tema Es conveniente combinar las dos propiedades del sis

(2.6)

R K

ecuación (2.6) queda como :. En estos términos, la , definida como R/K

:y resolviéndola para

(2.7)

y

relación :

ma (Fig. 1.16) expresa esta entrada para generar la salida. El siguiente diagra

r la que el sistema multiplica la transferencia del sistema, porque es la cantidad po

tes la función de Una vez más, podemos llamar al término entre corche

(2.8)


15

= 0 para que se caracteriza porque

ión en escalón, recordando de entrada que en el primer ejemplo, o sea una func

). Utilizaremos el mismo tipo solución de la ecuación (2.5) para un particular

para una particular entrada, o sea, la Examinemos ahora el comportamiento de

.truco, que es además de algún significado intuitivo

eso hemos elegido este podremos resolver nuestra ecuación diferencial. Por

ión de transferencia y encontraremos exactamente la misma forma de la func

transformada de Laplace, se formaliza en forma rigurosa por el método de la

truco . Sin embargo, veremos más adelante que cuando estepor una función de

que significa multiplicar notación, y nosotros no sabemos verdaderamente aún

es solamente un truco de a por ecuación (2.5), ya que la sustitución de la derivad

en la resolución de la Por supuesto, a esta altura no hemos avanzado mucho

mer orden.Fig.1.16.- Diagrama de bloques de un sistema de pri

s

F

s

y

F(t

F t para = 0 y F F1 t

constante de tiempo

diferentes valores de la función de entrada y un par de respuestas para dos

= 0). Graficando nuevamente la análisis comienza con el sistema a cero (

0, y que nuestro

y

momento en el cual se mide.

sino también del de escalón como entrada depende no solamente del valor

que sigue a la aplicación de una función tipo . El valor de estacionario

llegue a su valor que forma instantánea, sino que hay un retraso antes de

en no sigue más a lida comparado con el de un sistema de orden cero. La sa

mportamiento de este sistema Podemos notar en seguida una diferencia entre el co

, tendremos (Fig. 1.17) :

y F

y

F1/K y

F


16

ncia, retraso . El otro factor de la función de transfere

o no nos dice nada sobre el determina la ganancia en el estado estacionario per

n de transferencia 1/estado. Entonces, el término constante de la funció

lamente es válida para este estacionario ("steady-state gain curve"), ya que so

ganancia en el estado cero. Sin embargo, esta curva deberemos llamarla de

para un sistema de orden obtendremos el mismo tipo de curva de ganancia que

, contra el correspondiente caso, y entonces graficamos este valor de

llegue a su valor final estacionario en cada de diversa magnitud, esperamos que

samos funciones en escalón también altera su comportamiento en el tiempo. Si u

señal de entrada sino que Nuestro sistema no solamente cambia el tamaño de la

stema de primer orden.Fig. 1.17.- Respuesta y entrada en escalón en un si

y

y F

K

"overshoot") ni oscilación.e (técnicamente forma exponencial y no muestra el efecto de desbord

acionario, o máximo, en . La salida se aproxima a su valor en el estado estorden

de primer a se denomina comportamiento en el tiempo, y esta particular form

, determina el


17

a gravedad (Fig. 1.18):lea 0 cuando solamente esté actuando la fuerza de l

cala de manera que ésta en la punta libre del resorte, y reajustamos la esinercia

Colocaremos una masa de Vamos a agregar al modelo una última complicación.

Sistemas de segundo orden

M

. Tendremos entonces :dtdesplazamiento

segunda derivada del fuerza es proporcional a la aceleración, o sea a la

egunda ley de Newton, esta reactancia inercial de la masa. De acuerdo con la s

, causada por la , Ahora ha sido generada una tercera fuerza opositora

Fig. 8.- Sistema mecánico de segundo orden.

FM

d2y/ 2

transforma en la siguiente:que ya tenemos, nuestra ecuación del movimiento se

rza a las otras dos es la inercia de la masa. Agregando esta nueva fuedonde

(2.9)

M

sistema de segundo ordense denomina un

el sistema que es así descrito Esta ecuación es una diferencial de segundo orden y

(2.10)

.


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Frecuencia angular natural

a :, en dos parámetros definidos de la siguiente maner y

, propiedades del sistema, Una vez más, resulta conveniente combinar las tres M

R K

Factor de amortiguamiento

(2.11)

siguiente :

ón (2.10) se transforma en la En términos de estos parámetros entonces, la ecuaci

modelo existe a nivel de las guías., o sea el amortiguamiento que en nuestro este movimiento, lo cual depende de

a que tan rápido se amortigüe frecuencia. El segundo parámetro (2.12) se refiere

ercial, diminuirá la aumentamos la masa, y por lo tanto su reactancia in

ia, y a la inversa, si Cuanto más duro es el resorte, mayor es la frecuenc

, y se relaciona de acuerdo a (2.11). y sistema, o sea que sólo depende de

oscilación es natural del una oscilación en el sistema. La frecuencia de esta

eña fuerza, obtendremos colocamos una masa en la otra, y aplicamos una pequ

sujetamos por un extremo, y , encontraremos que, si tomamos un resorte al cual

y la reactancia inercial sorte obtener un parámetro que relacione la dureza del re

siguiente. Si queremos El origen de seleccionar estos dos parámetros es el

(2.12)

K

M

K M

R

. La ecuación anterior queda :dt d

) y dt dy) = do que notacional como hicimos en el caso anterior, hacien

sferencia, otro truco Emplearemos ahora, para obtener una función de tran

(2.13)

s(y / s2(y

= 2y/ 2

: y resolviéndola para

(2.14)

y

(2.15)


19

dar la salida.sistema, por el cual se multiplica la entrada para

n de transferencia del Nuevamente, el término entre corchetes es la funció

estacionario, y una función de

que determina la ganancia en el estado Contiene además el término 1/

do orden.Fig. 9.- Diagrama de bloques de un sistema de segun

K

s

de relación de amortiguamiento

es para tres valores diferentes puede ser ilustrado por los gráficos correspondient

ón. Este comportamiento casos anteriores, por medio de una entrada en escal

misma manera que en los Examinemos ahora la respuesta de este sistema de la

lag de segundo ordencomportamiento temporal es un

forma particular de que determina el comportamiento en el tiempo. Esta

.

(Fig. 1.10).


20

ratio") entre 0 y 1 (0 detectar. Para valores de amortiguamiento ("damping

de luego de un tiempo. Sin embargo, algo nuevo se puevalor estacionario

en forma instantánea sino que llega a un no sigue a Vemos una vez más que

stema de segundo orden.Fig. 1.10.- Respuesta y entrada en escalón en un si

y F

F1/K

señal de entrada.

ortamiento temporal de la nuestro sistema altera tanto el tamaño como el comp

e preceden. Nuevamente, el estado estacionario, y no para los estados que l

ta relación sólo es válida para como en el caso de los sistemas de primer orden, es

ipo que ya hemos visto, pero, puede ser leído de la curva de ganancia del mismo t

nario, entonces el valor de de energía cinética. Si esperamos al estado estacio

tencial, y la masa un reservorio este caso el resorte es el reservorio de energía po

y otro sentido entre ellos. En almacenadores de energía, que la dejan pasar en uno

xistencia de dos elementos que ocurra este tipo de oscilación requiere de la e

lizarse en el mismo. El oscila alrededor de su valor final antes de estabi1), y

y


21

toria. Al igual en que los cuyo elemento motriz es un motor o una máquina rota

. Estos abarcan cualquier sistema frecuencia se encuentran en aplicaciones cotidianas

o de sistemas que con mayor Los sistemas mecánicos de rotación son quizá el tip

1.4.2. Sistemas mecánicos de rotación.

ilustrar los aspectos fundamentales del tema.ado hasta ahora servirán para ahora este tipo de casos. Los ejemplos que se han d

. No vamos a detallar determinado de ecuaciones de primer y segundo orden

ones lineales de un número podemos expresar su salida en términos de combinaci

ema permanezca lineal, progresivamente. Sin embargo, mientras nuestro sist

el sistema puede incrementarse de la ecuación diferencial que define nuestra ley d

varias maneras, el orden Introduciendo componentes adicionales conectados de

Sistemas de orden elevado


22

aplicado tenemos:

r con la variable de entrada par Relacionando la variable de salida velocidad angula

Aplicando la transformada de Laplace:

donde:

la condición de equilibrio queda descrita por:

que:

.11 la ley de Newton establece Por ejemplo para el sistema mostrado en la figura 1

lineal por medio de:

ener a partir del desplazamiento mientras que el desplazamiento angular se puede obt

a fuerza esta dado por: radio de los elementos, así, el par en función de l

s mecánicos de traslación por el variables están relacionadas con las de los sistema

r y la aceleración angular. Estas torque, el desplazamiento angular, velocidad angula

s de rotación son el par o Las variables involucradas en los sistemas mecánico

transmisión, sistemas de poleas, turbinas, etc.

podemos citar tornos, cajas de Dentro de las aplicaciones de este tipo de sistemas

se encuentran resumidos en la tabla 1.2.

to de elemento básicos los cuales sistemas mecánicos de traslación se tiene un conjun


23

voltaje-corriente indicadas.

.3 y cumplen con las relaciones ser cualquiera de los elementos dados en la tabla 1

. En la figura 1.12 las Z's pueden distribuye entre todos los elementos (figura 1.12b)

les mientras que la corriente se los elementos tiene el mismo voltaje en sus termina

circuito eléctrico en paralelo todos los elementos (figura 1.12a). por otro lado, en un

taje se encuentra repartido entre todos los elementos del arreglo mientras que el vol

circula la misma corriente por mencionaremos que en un circuito eléctrico en serie

onados. Aquí únicamente particularidades de cada uno de los circuitos menci

pueden encontrar las LCK. En cualquier texto de análisis de circuitos se

eléctrico en paralelo se emplea la usa la LVK mientras cuando se trata de un circuito

un circuito eléctrico en serie se un sistema eléctrico. Normalmente cuando se analiza

predecir el comportamiento de de ecuaciones integro-diferenciales necesarias para

ara determinar el conjunto Ambas leyes pueden ser usadas de manera combinada p

igual a cero". "La suma algebraica de las corrientes en un nodo es

Ley de corrientes de Kirchhoff (LKC )

cero".

argo de un trayectoria cerrada es "La suma algebraica de las caidas de tensión a lo l

Ley de Voltaje de Kirchhoff (LKV)

cuales establecen lo siguiente:

e y corriente (LKV y LKC) las son conocidas como las leyes de Kirchhoff de voltaj

iento de los sistemas eléctricos ecuaciones de equilibrio que gobiernan el comportam

en los dispositivos. Las que relacionan las variables de voltaje y corriente

bién se incluye las expresiones elementos que aparecen en la tabla 1.3 en donde tam

unto básico compuesto por los inmenso, por lo general se puede considerar un conj

e componentes eléctricos es involucran variables eléctricas. Aunque el número d

los lazos de control son los que Otro de los sistemas que con frecuencia aparecen en

1.5. Sistemas Eléctricos.


24

:

LVK tenemos que elementos R, L y C de la tabla 1.3. Si aplicamos la

os bloques de impedancia por esquema propuesto en la figura 1.12a sustituyendo l

ura 1.13 se ha retomado el de los cuales circula la misma corriente. En la fig

á formado por elementos a través Como ya se indicó un sistema eléctrico en serie est

Sistemas eléctricos en serie.


25

condición de equilibrio para el nodo a será:

(LCK), de este modo la anteriormente citada ley de corrientes de Kirchhoff

tamiento del circuito es la circuitos en paralelo la ley que gobierna el compor

referencia o tierra. Para el caso de es el nodo a dado que el otro nodo existente es la

nálisis, que para nuestro ejemplo equilibrio debe ser determinada para el nodo bajo a

lo en el cual la ecuación de muestra el esquema más simple de un circuito parale

los es el mismo. La figura 1.14 voltaje aplicado a las terminales de cada uno de el

rman el circuito mientras que el encuentra distribuida en todos los elementos que fo

encionado, la corriente se En un sistema eléctrico en paralelo como ya se ha mSistemas eléctricos en paralelo.

función de transferencia.

ntrada y por lo tanto obtenemos la de la cual ya podemos relacionar la salida con la e

de interés Vo(s) y V(s) expresión que involucra únicamente a las variables

do en (1.15) obtenemos una despejando la corriente I(s) de (1.16) y sustituyen

de la variable compleja s. obtenemos las ecuaciones algebraicas en el dominio

a las dos ecuaciones precedentes la tabla 1.3. Aplicando la transformada de Laplace

relaciones voltaje-corriente de impedancias complejas derivadas de transformar las

ndo directamente las diferenciales como en los pasos anteriores o emplea

ando las ecuaciones Cabe mencionar que el análisis puede hacerse plante

el voltaje de salida será:

rdo al elemento tenemos: Sustituyendo las relaciones de la tabla 1.3 de acue


26

H = columna hidrostática [m].

bulento[m2.5/seg]. Kt = coeficiente de proporcionalidad para flujo tur

inar [m2/seg]. Kl = coeficiente de proporcionalidad para flujo lam

Q = gasto en [m3/seg].

donde:

hidrostática:

a la raiz cuadrada de la columna mientras que para flujo turbulento es proporcional

lumna hidrostática, es decir: para flujo laminar el gasto es proporcional a la co

cambio en el gasto.

e niveles en el recipiente entre el casos se define como el cociente de la diferencia d

jo es turbulento. En ambos se comporta como un sistema no lineal cuando el flu

lineal cuando el flujo es laminar y La resistencia el flujo debida a una restricción es

un tanque que almacena un fluido. conceptos de resistencia el flujo y capacitancia en

líquidos es necesario definir los Para iniciar el estudio de los sistemas de nivel de

1.6 Sistemas de Nivel de Líquidos.

función de transferencia.

iable de entrada I(s) obtenemos la Relacionando la variable de salida Va(s) con la var

cero tenemos que (1.19) tomará la forma:

ondiciones iniciales iguales a aplicando la transformada de Laplace considerando c

de las relaciones de la tabla 1.3 tenemos que:


27

ajo estudio. considerar como la sección transversal del tanque b

apacitancia de un tanque se puede lo cual resulta en unidades de área por lo que la c

hidrostática. del líquido acumulado entre el cambio en la columna

ne como el cociente de la variación Por otro lado, la capacitancia de un tanque se defi

nto de operación. columna hidrostática sean pequeñas alrededor del pu

las variaciones en el gasto y en la Esta aproximación es válida solo en el caso en que

entonces tenemos que:

Siendo

jo turbulento queda como: con lo cual la expresión para la resistencia al flu

donde la diferencial del gasto es:

esta dada por:

cia al flujo debida a una restricción de igual forma para un flujo turbulento la resisten

n flujo laminar tenemos: de la definición de resistencia, para un sistema co


28

tá clase de sistemas. cantidades físicas involucradas en el estudio de es

de las variables, elementos, y y la temperatura T(t). La tabla 1.4 hace un resumen

la razón del flujo calorífico q(t) Las variables involucradas en sistemas térmicos son

o. que exista una mezcla perfecta de fluido en el medi

eños, aire o líquidos, siempre desea representar el comportamiento de cuerpos pequ

oximación es válida cuando se casos prácticos no se cumple, sin embargo, esta apr

orme, lo que en la mayoría de los que la temperatura del cuerpo bajo estudio sea unif

ica para garantizar linealidad es diferenciales lineales es limitado La condición bás

en ser descritos por ecuaciones En general, el número de sistemas termicos que pued

1.7 Sistemas Térmicos.

llegamos a la función de transferencia:

e entrada (flujo de entrada) Relacionando la variable de salida (nivel) con la d

es iniciales cero tenemos: Transformando esta expresión considerando condicion

tenemos: Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior

flujo de la restricción como:

ido en función de la resistencia al cantidad de gasto a la salida del tanque está defin

de líquido almacenado. La en (1.29) el término de la izquierda es la cantidad

; es decir: tiempo es igual a la cantidad de líquido acumulado"

alida en una unidad pequeña de "La diferencia del gasto de entrada y el gasto de s

equilibrio viene declarada como: En los sistemas de nivel de líquido la condición de


29

o de la ecuación: transferencia calorífica dentro del cuerpo por medi

atura se relaciona con la razón de Por otro lado, la velocidad del cambio en la temper

. medio circundante y T1 es la temperatura del cuerpo

nde T2 es la temperatura del la diferencia de temperatura a través del cuerpo do

or en un cuerpo es proporcional a la cual indica que la razón de transferencia de cal

temperatura queda como:

l flujo calorífico y la Esta condición expresada en términos de la razón de

ado más el calor liberado” administrado a un sistema es igual al calor almacen

stablece: que "el calor La condición de equilibrio para sistemas térmicos e


30

carga obtenemos: Si expresamos la ecuación (1.35) en términos de la

y para el sistema mecánico:

Para el circuito eléctrico:

siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales:

18 podemos determinar el Considerando los sistemas mostrados en la figura 1.

1.8.1. Analogía fuerza-voltaje.

en particular.

emos nuestra atención a este caso sistemas mecánicos y eléctricos, por lo que enfocar

an aquellas que relacionan Dentro de las analogías de sistemas mas comunes est

análogo al original.

icos cuyo comportamiento sea diferenciales a sistemas ya sean mecánicos o eléctr

convertir las ecuaciones especialidad en particular por lo que es necesario

hacia usuarios de una general los simuladores de procesos están enfocados

ase de simulador a utilizar. Por lo persona que efectúa la simulación determinará la cl

disciplina de ingeniería de la derivadas del proceso de modelado. Sin embargo, la

r simulaciones de las ecuaciones En una gran cantidad de casos, es necesario realiza

1.8 Analogías


31

s da: que expresa da en términos del flujo magnético no

cuito eléctrico son: Las ecuaciones que describen el sistema para el cir

mecánico y un sistema eléctrico.

es de fuerza de un sistema establecer la relación existente entre las ecuacion

ostrados en la figura 1.19 para De manera similar podemos considerar los sistemas m

1.8.2. Analogía fuerza-corriente.

resumidas en la tabla 1.5:

establecer las relaciones tienen una ecuación diferencial idéntica, y podemos

stemas análogos, esto es, Si comparamos (1.36) y (1.37) observamos que son si


32

represente al sistema total. a su vez puede ser usada para generar un bloque que

nción de transferencia parcial que otra. Por lo general en un bloque se incluye una fu

variable con respecto a la Un elemento muestra la dependencia funcional de una

(c) Puntos de Bifurcación.

(b) Detectores de error.

(a) Elementos.

les: sistema, y está constituido de tres partes principa

fica de las variables de un Los diagramas de bloques son una representación grá

1.9 Diagramas de Bloques.

s analogías fuerza-corriente. relaciones dadas en la tabla 1.6 que son denominada

a obtener obtenemos las fuerza voltaje podemos comparar (1.36) y (1.38) par

mismo que para la analogía Dado que el sistema mecánico ha sido considerado el


33

a, etc.. ser voltaje, presión, corriente, intensidad luminos

del sistema de medición B(s) puede salida puede ser temperatura , la señal a la salida

e la otra, es decir, mientras la pueden ser de naturaleza totalmente diferente una d

unto del diagrama de bloques Es importante hacer notar que las señales en cada p

salida deseado.

ha alcanzado el valor de • Señal de error E(s) que nos indica si un sistema

eferencia, y: • Señal de entrada R(s) también llamada señal de r

. • Señal de salida C(s) que es la señal a controlar

sistema de medición.

s) que representa al • Función de transferencia de retroalimentación H(

decir, la planta a controlar.

objeto del control, es • Función de transferencia directa G(s) que es el

Estas funciones y señales son:

erés. industrial, así como las principales señales de int

es usadas en el ámbito del control representan las funciones de transferencia esencial

a figura 1.23 donde se lazo cerrado en su forma más simple se muestra en l

. La forma general del sistema de de bloques de un sistema de control de lazo cerrado

a representación en diagramas Usando estos elementos básicos es posible obtener l

elementos del diagrama (figura 1.22).

una salida se deriva hacia otros Y por último un punto de bifurcación es aquél donde

sumador de señales

to puede ser usado como un de dos señales incidentes. En ocasiones este elemen

diagrama que entrega la diferencia Un detector de error (figura 1.21) es una parte del


34

la magnitud esta dada por: magnitud y la fase de la función G(s)H(s), esto es,

ue contiene información de la complejo, entonces la ecuación (1.42) es un fasor q

variable compleja s es un número condición de inestabilidad. Dado que el valor de la

ente corresponde a una dicha función quedará indeterminada, lo que físicam

cerrado será cero y por lo tanto denominador de la función de transferencia de lazo

umple con esta condición, el algún valor de la variable compleja ω + σ = j s , c

e transferencia de lazo abierto, en lo cual sugiere el hecho de que cuando la función d

cuación (1.41) obtenemos: la función de transferencia de lazo abierto de la e

sistemas de control. Si despejamos análisis necesarias para la definición y diseño de

esarrollo de las herramientas de los capítulos subsecuentes será utilizada para el d

s contienen información que en las ecuaciones (1.40) y (1.41). Estas dos ecuacione

ditar sobre la importancia de En este momento es necesario detenerse un poco a me

cterística. a esta última ecuación se le llama la ecuación cara

del polinomio dado por:

o cerrado están en las soluciones está el observar que los polos de la función de laz

zo abierto. En segundo término que es denominada la función de transferencia de la

retroalimentación:

e la función de transferencia de producto de la función de transferencia directa y d

, esta la función formada por el para los objetivos de este trabajo. En primer lugar

que son de suma importancia En esta ecuación se pueden identificar dos términos

cerrado:

nción de transferencia de lazo siguiente ecuación que es la forma general de la fu

n la figura 1.23 llegamos a la Manipulando algebraicamente las señales presentes e


35

comportamiento del sistema.

ta afectan en menor medida el variaciones de las funciones de transferencia direc

rol de lazo cerrado es que las Una de las mayores ventajas de los sistemas de cont

aplica en el caso de más de una entrada.

función de transferencia no se En la ecuación (1.45) se aprecia que el concepto de

esperada C(s) es:

as. De esta forma la respuesta separado para posteriormente sumar las dos respuest

entrada y la perturbación por de superposición considerando la contribución de la

de analizar utilizando el principio sistema tiene una perturbación externa, este se pue

r de sistemas lineales, cuando un Como la función de transferencia se obtiene a parti

señal de perturbación externa (ffigura1.24).

de la segunda entrada es una caso donde se tengan dos entradas y una salida, don

nos limitaremos unicamente al embargo para los sistemas que nos interesa estudiar

le-input multiple-output). Sin más de una entrada y más de una salida (MIMO multip

a encontrar sistemas que tienen simple-input simple-output). Es común en la práctic

O de las siglas en ingles los que hemos tratado hasta el momento (sistema SIS

a entrada y una sola salida como comentar que no todos los sistema contienen una sol

de bloques, es conveniente Continuando con nuestra discusión de los diagramas

portancia. posteriores por lo que su comprensión es de suma im

siones en los capítulos respectivamente, y serán usadas en innumerables oca

nes de módulo y ángulo A la ecuación (1.43) se le conoce como las condicio


36

simples:

rla siguiendo dos reglas muy de bloques a su mínima expresión es posible realiza

La reducción de los diagramas adopta la forma general dada en la ecuación (1.39).

ya función de transferencia como la mostrada anteriormente en la figura 1.23 cu

llegar a una forma mínima Una vez obtenido el diagramas a bloques, es posible

r el sistema completo. 4. Juntar todos los bloques individuales para forma

3. Representar cada elemento en un bloque.

iniciales iguales a cero.

o con condiciones 2. Tomar la transformada de Laplace de cada element

dinámico del sistema.

entan el comportamiento 1. Escribir las ecuaciones diferenciales que repres

resumidas cuentas la mecánica es la siguiente:

la función de transferencia. En procedimiento similar al usado para la obtención de

se mencionó que se sigue un Para trazar adecuadamente el diagrama a bloques ya

. ecuaciones como las que a continuación se ilustran:

emos obtener un conjunto de su vez aparezca como causa en otras ecuaciones, pod

lo una vez como efecto y que a cuidado de que cada variable de interés aparezca so

gualadas a cero, teniendo transformada de Laplace con condiciones iniciales i

o del sistema y obtener la ecuaciones diferenciales del comportamiento dinámic

era natural al plantear las otra. Por lo general estas relaciones se dan de man

ecto de una variable respecto a en establecer adecuadamente las relaciones causa-ef

e bloques se debe tener cuidado cuenta que para simplificar el trazo de diagramas d

encia. Es importante tomar en al empleado para determinar una función de transfer

to para su obtención es semejante importantes en un lazo de control, y el procedimien

desea conocer las variables Los diagramas de bloques son importantes cuando se

s. 1.9.1 Procedimiento para trazar diagramas de bloque


37

cual podemos definir los siguientes elementos:

n gráfico de flujo de señal del transformadas del sistema. La figura 1.23 muestra u

bujan las ecuaciones consiste fundamentalmente en la forma en como se di

sección anterior. La diferencia para la obtención de los diagramas de bloques en la

o de señal es idéntico al que se usó grandes. El método para trazar los gráficos de fluj

relativamente

de las ecuaciones de sistemas diagramas de bloques que simplifica la manipulación

s una forma alternativa de de bloques. De hecho un gráfico de flujo de señal e

mo se realizó con los diagramas ecuaciones algebraicas en s, de manera similar a co

que representan el sistema en (GFS), se transforman las ecuaciones diferenciales

o de los gráficos de flujo de señal de ecuaciones lineales de un sistema. Para el emple

étodo gráfico de representación Al igual que los diagramas de bloques, este es un m

1.9.2. Gráficos de flujo de señal.

debe permanecer constante.

l lazo de retroalimentación 2. El producto de las ganancias de los bloques en e

debe permanecer constante.

ados en el camino directo 1. El producto de las ganancias de los bloques ubic


38

de ganancia de Masón definida por:

o se evalúa a partir de la fórmula seleccionadas. La ganancia entre dos nodos del graf

iables de entrada y salida cuando exista una trayectoria directa entre las var

ciones de transferencia siempre y Teniendo el grafo, es posible obtener todas las fun

del mismo.

la información relacional dentro planteadas, la forma topológica puede variar no así

ones diferenciales están bien selección de relaciones causa-efecto. Si las ecuaci

no se haya seguido la misma relaciones entre las variables de un sistema aunque

ntiene todas las posibles del sistema?. La respuesta es simple: El gráfico co

n las ecuaciones transformadas gráficamente las relaciones de variables que ofrece

Cual es el objetivo de mostrar Ya con un grafo dibujado, la pregunta obligada es ¿

e la ganancia del G.F.S. 1.9.3. Fórmula general de Masón para la obtención d

6. de flujo de señal como el mostrado en la figura 1.2

7) dará por resultado un gráfico variable. Por ejemplo el sistema de ecuaciones (1.4

o del grafo representa a una nodos como un elemento de suma. Para esto, cada nod

fo, comportándose cada uno de los una variable respecto a las otras variables del gra

as dependencias funcionales de forma, dentro del grafo están representadas todas l

ntido de las flechas. De esta fluye, como su nombre lo indica, solamente en el se

o de flujo de señal, es que la señal Una de sus características principales en un grafic


39

unitario.

recta, su cofactor asociado será forma, si todos los lazos tocan a la trayectoria di

toria directa en cuestión. De esta eliminar todos aquellos lazos que tocan a la trayec

alvedad de que se deben misma manera que el determinante del grafo con la s

ia directa se determina de la Por otro lado el cofactor asociado a cada trayector

ad y el tamaño del grafo. mencionados, esto depende solamente de la complejid

os los tipos de lazos disjuntos sucesivamente. No necesariamente deben aparecer tod

de tres lazos disjunto y así que Li,j,k son los productos de las transmitancias

cias de lazo disjuntos mientras Li,j corresponden a los productos de las transmitan

iduales que aparecen en el grafo, representan a las transmitancias de los lazos indiv

es fácil de interpretar. Los Li La ecuación (1.49) para el cálculo del determinante

expresión: El determinante del grafo se calcula a partir de la

modelos matematicos de sistemas . · pdf filey su transformada de laplace considerando...

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