modelos estocásticos -...
TRANSCRIPT
Modelos Estocásticos
Breve introducción
Definición
• Se denomina estocástico (del latín stochasticus:
"hábil en hacer conjeturas") a un sistema cuyo
comportamiento es intrínsecamente no
determinístico: no se puede
predecir con exactitud cuál
será el próximo valor que arrojará
el sistema
• El comportamiento de un sistema estocástico
puede ser el resultado conjunto de la acción
de elementos predecibles
y elementos aleatorios.
¿Por qué los fenómenos son
estocásticos? • Las variables en sí son perturbadas o
siguen comportamientos estocásticos
• Los parámetros del sistema son
perturbados de forma estocástica
¿Si tuviéramos conocimiento completo del
sistema, seguirían existiendo variables
aleatorias?... o variables determinísticas?. ¿El movimiento de la hormiga es aleatorio??
Para qué simular fenómenos
estocásticos?
• Estimar las características de la respuesta de un
sistema probabilístico: asumiendo que el mismo
es estacionario (clasificación fenomenológica de las
señales)
• Encontrar
– la dispersión de la distribución
– tendencia central
– probar una probabilidad nula
Simulación de fenómenos
estocásticos • Agregar aleatoriedad a un modelo determinístico
(parámetros y/o variables de estado)
• Sistemas intrínsecamente probabilísticos
Ej.Modelos de Markov: la dinámica del
sistema puede darse sólo en determ.
estados, la transición es probabilística
Métodos Monte Carlo • Una clase de algoritmos computacionales que se
basan en
– repetir muestreo aleatorio
– calcular los resultados
Guerra naval! AGs?
• Permiten simular sistemas físicos y/o matemáticos
complejos:
– sistemas con muchos grados de
libertad acoplados (fluidos)
– sistemas inherentemente
estocásticos
• estructuras celulares o macromoleculares
• canales de membrana
Métodos Monte Carlo
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
• Todos poseen el siguiente conjunto de
pasos:
1. Definir el dominio de las posibles entradas
2. Generar entradas de forma aleatoria usando
una determinada distribución de probabilidades
3. Generar el cómputo
determinístico de los
resultados
4. Superponer los resultados
de los cómputos individuales
para obterner el resultado final Juego Guerra Naval
x
x
y
f(x)
puntos de n
curva la bajo puntos de no
o
Adxxf )(
• Este argumento se puede aplicar también a volúmenes.
• El error del cálculo es proporcional a: N/1
• Ejemplo clásico:
Área debajo de una curva.
Dada un área A fácil de medir,
que contiene una curva f(x) difícil de integrar, se puede calcular el área debajo de la curva mediante la generación N veces de dos números aleatorios (x, y) que representen las coordenadas.
Se cuentan los puntos por encima y por debajo de la curva.
Monte Carlo: método de fuerza bruta
≈
• Aplicado a modelización:
– Múltiples objetos con dinámicas aleatorias
– Cuando necesitamos estimar las
características probabilísticas de la
respuesta del modelo (por ej.
tendencia central y dispersión
de distribución)
Monte Carlo: método de la
fuerza bruta
EEG, secuencias de Bases, etc.
Generación de Series de Números Aleatorios
• Rol preponderante en el proceso de simulación.
• Para simular necesitamos de números aleatorios como
semillas para generar muestras de V.A.
Características de un generador :
1. Distribución Uniforme.
2. NO Correlación Serial.
Las computadoras son Sistemas Determinísticos
Variables pseudoaleatorias
v
Generación de Series de Números Aleatorios
Fenómenos Físicos Procedimientos
Matemáticos
Números
Aleatorios
Validación de
Series de NA
Variables
U(0,1)
Variables
Aleatorias
Tabla de Nros.
aleatorios
Xi+1=(aXi+c) mod m
Series de Nros. Aleatorios ideales
1. Distribución Uniforme.
Cualquier número que
pertenezca al rango de interés
debe tener la misma
probabilidad de resultar
“sorteado”.
2. NO Correlación Serial.
La aparición de un número en
la secuencia, no afecta la
probabilidad de que aparezca
otro (o el mismo) número.
Ejemplo
La sucesión 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5...
es uniforme pero está correlacionada.
Si dos sucesiones están negativamente correlacionadas,
entonces que xi y yi sean grandes es un evento poco
probable
Existen Tests que verifican las condiciones de uniformidad y
correlación serial...
Series de Números Aleatorios
Colección DIEHARD de tests de aleatoriedad (George Marsaglia, http://www.stat.fsu.edu/pub/diehard/)
Otros tests de aleatoriedad y generadores alternativos de números aleatorios (http://burtleburtle.net/bob/rand/testsfor.html)
Y ALLÍ TENEMOS NUESTRO GENERADOR DE NUMEROS ALEATORIOS
NUEVE NUEVE
NUEVE NUEVE
NUEVE NUEVE
¿ESTÁ SEGURO QUE SON ALEATO-RIOS?
ESE ES EL PROBLEMA CON LA ALEATORIE-DAD: NUNCA SE PUEDE ESTAR SEGURO.
TOUR DE COMPUTABILIDAD
Series de números aleatorios
“número aleatorio”.
“serie de números aleatorios”
• “Una sucesión de números es aleatoria si no puede
reproducirse eficientemente mediante un programa
más corto que la propia serie”
• “Una sucesión de números es aleatoria si nadie que
utilice recursos computacionales razonables en
tiempo razonable puede distinguir entre la serie y
una sucesión verdaderamente aleatoria de una forma
mejor que tirando una moneda fiel para decidir cuál
es cuál”
Serie de Números Aleatorios
• Son números que deben cumplir los requisitos
de espacio equiprobable, es decir, que todo
elemento tenga la misma probabilidad de ser
elegido y que la elección de uno no dependa
de la elección del otro.
Propiedades deseables de un
Generador de Nro. Aleatorio
1. Uniformemente distribuidos.
2. Estadísticamente independientes (no correlación).
3. Periodo largo (sin repetición).
4. Reproducibles y mutables.
5. Sencillo en su implementación.
6. Portabilidad.
7. Método rápido de generación.
8. Poca memoria para la generación.
Mecanismos de generación
• Tablas de números aleatorios – RAND (1955), 100,000 números aleatorios
(ruido electrónico)
• Fenómenos físicos – Ruido blanco producido por circuitos
electrónicos
– Recuento de partículas emitidas
– Lanzamiento de monedas
– Rueda de la fortuna
• Procedimientos matemáticos – Se usan algoritmos para la generación de
números aparentemente aleatorios, se entrega una semilla y se generan los sucesores mediante una función
1. Uniformemente
distribuidos.
2. Estadísticamente
independientes.
1. Periodo largo (sin
repetición).
1. Reproducibles y
mutables.
2. Sencillo en su
implementación.
3. Portabilidad.
1. Método rápido de
generación.
2. Poca memoria para la
generación.
Otros números aleatorios “naturales”
Otra opción es el uso de observaciones del mundo real en
la generación de números “al azar”.
Ejemplos:
Uso de la temperatura dentro de la computadora:
Decide un límite de temperatura T.
•Si la temperatura actual es mayor
que T, la salida es uno.
•Si la temperatura es menor o igual
a T, la salida es cero.
Uso del reloj de la computadora:
Toma el último dígito D de la hora actual.
•Si D es par, la salida es cero.
•Si D es impar, la salida es uno.
Disco rígido
……………………………………...
Números aleatorios
Existen algoritmos para generar números pseudo-aleatorios,
es decir, que parecen como si hubieran sido generados
totalmente al azar, aunque no lo son.
Un ejemplo:
Xt+1 = Xt2 mod 31417
Un ejemplo más simple (aritmética entera):
Xt+1
= (a Xt + c) mod m
generador lineal congruencial (GLC) de Lehmer, 1948
En computadoras IBM a=314, 159, 269; c=453, 806, 245; m=231-1
Con m=232-1 genera enteros de hasta 32 bits
Si se mantienen las constantes las secuencias son correlacionadas
Una secuencia de ejemplo
Asignamos en el método de Lehmer X0 = 6, a = 21, c = 3 y m = 100:
X1 = (21 * 6 + 3) mod 100 = 129 mod 100 = 29
Secuencia generada: 6, 29, 12, 55, 58, 21, 44, 27, 70, 73, 36, 59, 42, 85, 88, 51, 74, 57, 0, 3,
66, 89, 72, 15, 18, 81, 4, 87, 30, 33, 96, 19, 2, 45, 48, 11, 34, 17, 60, 63, 26, 49, 32, 75, 78, 41, 64, 47,
90, 93, 56, 79, 62, 5, 8, 71, 94, 77, 20, 23, 86, 9, 92, 35, 38, 1, 24, 7, 50, 53, 16, 39, 22, 65, 68, 31, 54,
37, 80, 83, 46, 69, 52, 95, 98, 61, 84, 67, 10, 13, 76, 99, 82, 25, 28, 91, 14, 97, 40, 43
Está combinación nos da números de 0 a 99 y después vuelve a repetir
la misma secuencia. Es un algoritmo muy simple por lo cual repite
bastante rápidamente.
Existen otros muy buenos con cuales no se puede predecir con facilidad
qué número es el siguiente habiendo observado los anteriores.
0 ≤ x ≤ 1 P(x)dx = dx
Es el generador básico de números aleatorios.
Todos los lenguajes de programación cuentan con uno de
estos generadores:
Ej. FORTRAN: iseed=1. .
x=ran(iseed)
Normalmente están basados en generadores lineales
congruenciales (GLC)..
Números aleatorios: distribución uniforme
Método de la inversa de la curva de acumulación
Método de Box-Muller para Distribuc. Normal Standard
)2sin()ln(2
)2cos()ln(2
212
211
UUz
UUz
mszy
No funciona para la distribución normal
Con esta configuración de ejes, supongamos que queremos generar
números aleatorios que sigan una densidad de probabilidad P(y), que
tiene asociada una probabilidad acumulada F(y)
si F(y) es invertible, entonces el número aleatorio y=F−1(x).
Por lo tanto, se generan números aleatorios x bajo una distribución
uniforme, y se transforman en números aleatorios y bajo la distribución
P(y).
Números aleatorios: inversa de la curva de
acumulación
(Fig. © “Numerical Recipes”)
Método de la Inversa de la
Curva de Acumulación 1. Determinar la pdf de x: (f(x))
2. Integrar para obtener la cdf: (F(x))
– Determinar la constante de integración (conociendo
F(x)=1 o F(x)=0 u otro)
3. Hacer que F(x) tome valores de distribución
uniforme (U(0,1))
4. Invertir F(x) y obtener x (los valores según la
distribución buscada)
Ejemplo de método de
transformación
• Ángulo de giro en Insectos
cdf
cdf
Clustering con escarabajos
1,0
5.0
UF
C
2
1
2/1
4/1
2
1
2/1
4/1
Distribución tipo “Wrapped Cauchy”
ρ distribución de concentrac. ~ σ
ϴ ángulo promedio
>
Ejemplo Modelización estocástica de
compuertas de canales iónicos
LL
NaNa
gg
hmgg
)5
)4 3
Modelo Matemático por
MonteCarlo
αm(v) = 0.1(45+v)/(1-e-((45+v)/10)),
βm(v) = 4e-((70+v)/18),
αn(v) = 0.01(v+60)/(1-e-((60+v)/10)),
βn(v) = 0.125e-((70+v)/80)
αh(v) = 0.07 e-((70+v)/20),
βh(v) = 1/(1+e-((40+v)/10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )( )6
Unidad abierta
Unidad cerrada
βn αn
1) Para cada canal:
2) Se cuentan todos los No y los Nc 4
)3
tot
okk
N
Ngg
En cada instante:
hhdt
dh
mmdt
dm
hh
mm
)1(
)1(
Bibliografía
• “Modeling Biological Systems. Principles and applications”, J. Haefner, Springer, 2005.
• “Computational Cell Biology”, Ch. P. Fall, Springer, 2002.
• “Numerical recipes” Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery, Cambridge University Press, 2007.
• “Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications” G. S. Fishman, Springer, 1995.
• “Mathematical Modeling of Complex Biological Systems”, A. Bellouquid – M. Dellitala, Birkhauser, 2006.
• "Computer Modelling of Complex Biological Systems", S. Sitharama Iyengar, CRC Press.