modelos de sistemas continuos
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C. Modelos de Sistemas Continuos. Ing. Rafael A. Díaz Chacón U.C.V. RAD/00. Sistema de Ecuaciones Diferenciales: Representación General. RAD/00. Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales: Representación General. RAD/00. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Modelos de Sistemas Continuos
Ing. Rafael A. Díaz Chacón U.C.V.
C
RAD/00
Sistema de Ecuaciones Diferenciales: Representación General
ddtx t f x t x t x t t
ddtx t f x t x t x t t
ddtx t f x t x t x t t
n
n
n
1 1 1 2
2 2 1 2
3 3 1 2
( ) ( ( ), ( ),......., ( ), )
( ) ( ( ), ( ),......., ( ), )
( ) ( ( ), ( ),......., ( ), )
.
.
........ ............ ........ ............ddtx t f x t x t x t tn n n( ) ( ( ), ( ),......., ( ), ) 1 2
RAD/00
Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales: Representación General
RAD/00
ddtx t a t x t a t x t a t x t w t
ddtx t a t x t a t x t a t x t w t
ddtx t a t x t a t x t a t
n n
n n
n
1 11 1 12 2 1 1
2 21 1 22 2 2 2
3 31 1 32 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... (
) ( ) ( )
.
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )
x t w t
ddtx t a t x t a t x t a t x t w t
n
n n n nn n n
3
1 1 2 2
........ ............ ........ ............
Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales: Representación Matricial
RAD/00
( ) ( ) ( ) ( ) X t A t X t t W
Sistema de Ecuaciones en Diferencias: Representación General
RAD/00
x k f x k x k x k kx k f x k x k x k kx k f x k x k x k k
n
n
n
1 1 1 2
2 2 1 2
3 3 1 2
111
( ) ( ( ), ( ),......., ( ), )( ) ( ( ), ( ),......., ( ), )( ) ( ( ), ( ),......., ( ), )
.
.
........ ............ ........ ............x k f x k x k x k kn n n( ) ( ( ), ( ),......., ( ), ) 1 1 2
Sistema de Ecuaciones Lineales en Diferencias : Representación Matricial
RAD/00
X k A k X k B k I k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Métodos de Solución Analítica
RAD/00
•Variables Separables
•Coeficientes Homogéneos
•Ecuaciones Exactas
•Factor Integrante
Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior: Métodos de Solución Analítica
RAD/00
•Ecuación Característica
•Transformada de Laplace
a xd ydx
g xi
i
ii
n
( ) ( )
0
Ecuaciones Diferenciales: Métodos de Solución Numérica
RAD/00
•Euler
•Euler Modificado (Huen)
•Runge-Kutta
•Corrección de Error de Fehlberg
dydt
f t y a t b y a ( , ), , ( )
Ecuaciones Diferenciales: Método de Euler
RAD/00
ww w h f t wi i i i
0
1
* ( , )
Ecuaciones Diferenciales: Método de Euler Modificado
RAD/00
w
w wh
f t w f t w h f t wi i i i i i i i
0
1 12
*( ( , ) ( , * ( , )))
dydt
y t t y 1 0 1 0 1 ( )
Ecuaciones Diferenciales: Comparación Euler y Euler Modificado
RAD/00
dydt
yt
t t y 2
1 2 1 02e t ( )
Ecuaciones Diferenciales: Método de Runge-Kutta
RAD/00
wk h f t w
k h f thw
k
k h f thw
k
k h f t w k
w w k k k k
i i
i i
i i
i i
i i
0
1
21
32
4 1 3
1 1 2 3 4
2 2
2 2
16
2 2
* ( , )
* ( , )
* ( , )
* ( , )
*( )
Ecuaciones Diferenciales: Comparación de Errores (1)
RAD/00
TIEMPO ERROR EULER ERROR HUEN ERROR RK40 0 0 0
0,05 0,0012294 0,0000205 2,5826E-90,1 0,0023374 0,0000688 4,9133E-9
0,15 0,0033329 0,0001412 7,0106E-90,2 0,0042245 0,0002345 8,8915E-9
0,25 0,0050198 0,0003458 1,0572E-80,3 0,0057263 0,0004724 1,2068E-8
0,35 0,0063507 0,0006119 1,3393E-80,4 0,0068996 0,0007619 1,456E-8
0,45 0,0073787 0,0009205 1,5581E-80,5 0,0077937 0,0010859 1,6468E-8
0,55 0,0081497 0,0012563 1,7231E-80,6 0,0084515 0,0014303 1,7881E-8
0,65 0,0087036 0,0016066 1,8426E-80,7 0,0089103 0,0017839 1,8875E-8
0,75 0,0090753 0,0019611 1,9237E-80,8 0,0092023 0,0021373 1,9519E-8
0,85 0,0092946 0,0023117 1,9728E-80,9 0,0093553 0,0024834 1,9869E-8
0,95 0,0093874 0,0026519 1,995E-81 0,0093935 0,0028165 1,9976E-8
dydt
y t t y 1 0 1 0 1 ( )
Ecuaciones Diferenciales: Comparación de Errores (2)
RAD/00
dydt
yt
t t y 2
1 2 1 02e t ( )
TIEMPO ERROR EULER ERROR HUEN ERROR RK41 0 0 0
1,05 0,0177405 0,0069335 0,00000031,1 0,0395335 0,0159029 0,0000006
1,15 0,0657907 0,0271223 0,00000101,2 0,0969465 0,0408140 0,0000014
1,25 0,1334598 0,0572086 0,00000191,3 0,1758154 0,0765458 0,0000023
1,35 0,2245265 0,0990750 0,00000281,4 0,280136 0,1250561 0,0000033
1,45 0,3432187 0,1547596 0,00000391,5 0,4143839 0,188468 0,0000044
1,55 0,4942771 0,2264761 0,00000501,6 0,5835829 0,269092 0,0000057
1,65 0,6830274 0,3166375 0,00000631,7 0,7933808 0,3694494 0,0000070
1,75 0,9154609 0,4278801 0,00000771,8 1,050135 0,4922985 0,0000084
1,85 1,198326 0,5630909 0,00000921,9 1,36101 0,6406623 0,0000100
1,95 1,539228 0,7254371 0,00001082 1,734084 0,8178605 0,0000117