MODELOS DE LINEA DE ESPERASe han elaborado modelos para ayudar a los administradores a entender y tomar mejores decisiones sobre la operacin de las lneas de espera. En la terminologa de los mtodos cuantitativos, una lnea de espera tambin se conoce como cola y el cuerpo de conocimiento que tiene que ver con las lneas de espera se conoce como teora de las colas o simplemente teora de colas.

Los modelos de lnea de espera consisten en frmulas y relaciones matemticas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas (medidas de desempeo) para una cola.

Las caractersticas operativas de inters incluyen las siguientes:1. Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistema2. Cantidad promedio de unidades en la lnea de espera3. Cantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la lnea de espera ms la cantidad de unidades que se estn atendiendo)4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la lnea de espera5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera ms el tiempo de servicio)6. Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LINEA DE ESPERA

Para ilustrar las caractersticas bsicas de un modelo de lnea de espera, consideramos la cola en el Burger Dome, que vende hamburguesas, papas fritas, refrescos y malteadas, as como un nmero limitado de artculos de especialidad y postres. Aunque a Burger Dome le gustara servir inmediatamente a cada cliente, a veces llegan ms comensales de los que puede manejar el personal de Burger Dome, por tanto, los clientes esperan en lnea para hacer sus pedidos y recibir sus alimentos.

A Burger Dome le preocupa que los mtodos que se usan actualmente para servir a los clientes dan como resultado tiempos de espera excesivos. La administracin desea realizar un estudio con el fin de ayudar a determinar el mejor enfoque para producir los tiempos de espera y mejorar el servicio.

Lnea de espera de un solo canal:Cada cliente que entra al restaurante de Burger Dome debe pasar por un canal, una estacin para tomar y surtir el pedido, para colocar el pedido, pagar la cuenta y recibir el producto. Cuanto llegan ms clientes forman una lnea de espera y aguardan que se desocupe la estacin para tomar y surtir el pedido.

Distribucin de llegadas:Definir el proceso de llegada para una lnea de espera implica determinar la distribucin de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de lnea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cundo ocurrir. En tales casos los analistas cuantitativos han encontrado que la distribucin de probabilidad de poisson proporciona una buena descripcin del patrn de llegadas.

Distribucin de tiempos de servicio:El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la instalacin una vez el servicio ha iniciado.Se puede utilizar la distribucin de probabilidad exponencial para encontrar la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo t.

Disciplina en la lnea de espera:

Al describir un sistema de lnea de espera debemos definir la manera en que las unidades que esperan el servicio se ordenan para recibirlo. En general para la mayora de las lneas de espera orientadas al cliente, las unidades que esperan servicio se acomodan segn el principio el primero que llega, el primero al que se sirve; este enfoque se conoce como disciplina de lnea de espera o disciplina de cola FCFS (first-come, first served).

Sin embargo algunas situaciones exigen disciplinas de cola diferentes: El primero que llega, primero al que se le sirve ltimo en entrar, primero en salir Atencin primero a la prioridad ms alta

Operacin de estado estable:

Generalmente la actividad se incrementa gradualmente hasta un estado normal o estable. El perodo de comienzo o principio se conoce como perodo transitorio, mismo que termina cuando el sistema alcanza la operacin de estado estable o normal.

MODELOS DE LNEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES

Frecuentemente, los modelos de lnea de espera se basan en suposiciones como las llegadas de Poisson y los tiempos de servicio exponenciales. Cuando se aplica cualquier modelo de lnea de espera, deben recolectarse datos sobre el sistema real para asegurar que las suposiciones del modelo son razonables.

Caractersticas operativas:

A continuacin, las frmulas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas de estado estable para una lnea de espera de un solo canal.El objetivo de las frmulas es mostrar cmo se puede dar informacin acerca de las caractersticas operativas de la lnea de espera.

Cmo usan los administradores los modelos de lnea de espera:

Los resultados de la lnea de espera de un solo canal para Burger Dome muestran varias cosas importantes sobre su operacin. En particular, los clientes esperan un promedio de tres minutos antes de comenzar a colocar un pedido, lo cual parece un poco largo para un negocio basado en el servicio rpido. Adems los hechos de que la cantidad promedio de clientes que esperan en la lnea es de 2.25 y que 75% de los clientes que llegan tienen que esperar para que los atiendan son indicadores de que debera hacerse algo para mejorar la operacin.

Mejora de la operacin de la lnea de esperaDespus de revisar las caractersticas operativas proporcionadas por el modelo de lnea de espera, la administracin de Burger Dome concluy que es deseable disear mejoras que reduzcan los tiempos de espera; para ello, a menudo los analistas se centran en formas de mejorar la tasa de servicio. Por lo general, las mejoras en la tasa de servicio se obtienen realizando los siguientes cambios de manera individual o conjuntamente.

MODELOS DE LNEA DE ESPERA CON CANALES MLTIPLES CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALESConsiste en dos o ms canales de servicio que se supone son idnticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales mltiples, las unidades que llegan esperan en una sola lnea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas.A continuacin, las frmulas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas de estado estable para lneas de espera con mltiples canales. Estas formulas son aplicables si existen las siguientes condiciones.1. Las llegadas siguen una distribucin de probabilidad de Poisson.2. Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribucin de probabilidad exponencial.

ANLISIS ECONMICO DE LAS LNEAS DE ESPERA

Antes de que pueda llevarse a cabo un anlisis econmico de una lnea de espera, debe elaborarse un modelo de costo total, el cual incluye el costo de esperar y el costo de servicio.

Para realizar un anlisis econmico de una lnea de espera debemos obtener estimaciones razonables del costo de esperar y el costo de servicio. En el problema de Burger Dome, el costo de esperar sera el costo por minuto para un cliente que espera por servicio. Este costo no es un costo directo para Burger Dome; sin embargo, si Burger Dome lo ignora y permite lneas de espera largas, los clientes comern en otra parte. Por tanto Burger Dome experimentar prdida en ventas y en efecto, incurrir en un costo.Generalmente es ms fcil determinar el costo del servicio. Este es el costo relevante asociado con la operacin de cada canal de servicio; en el problema de Burger Dome, incluira los salario y prestaciones del empleado y cualquier otro costo directo asociado con la operacin del canal de servicio. En Burger Dome este costo se estima en $7 por hora. Suponemos que Burger Dome est dispuesto a asignar un costo de $10 por hora para el tiempo de espera del cliente. Usamos la cantidad promedio en el sistema, L.

Substituyendo frmulaSistema de un solo canal (L=3 clientes)TC= 10 (3) + 7 (1) = $37.00 por hora

Sistema de dos canales (L=0.8727 clientes)TC= 10 (0.8727) + 7 (2)= $22.73 por hora

Por tanto, con base en los datos de costo proporcionados por Burger Dome, el sistema de dos canales proporciona la operacin ms econmica.

La forma general de las curvas de costo en el anlisis econmico de las lneas de espera consiste en que el costo del servicio aumenta conforme aumenta la cantidad de canales; pero con ms canales, el servicio es mejor. Como resultado, el tiempo de espera y el costo disminuyen conforme se aumenta la cantidad de canales. Puede encontrarse la cantidad de canales que proporcionar una buena aproximacin al diseo de costo total mnimo evaluando el costo total para varias alternativas de diseo.

IntroduccinUna lnea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema est formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, mquinas, semforos, gras, etctera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etctera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenmenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variacin que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utilizacin de modelos estocsticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas. Una lnea de espera puede modelarse como un proceso estocstico en el cual la variable aleatoria se define como el nmero de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2, . . . , N\ y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia. ObjetivoEl objetivo es determinar qu nivel de servicio, ya sea por cantidad de entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar para minimizar el costo total del sistema. Este costo est formado tanto por costo de servicio como por el que causa la espera. Estructura de un sistema de lnea de esperaLnea de espera de un solo canalCada cliente debe pasar por un canal, una estacin para tomar y surtir el pedido, para colocar el pedido, pagar la cuenta y recibir el producto. Cuanto llegan ms clientes forman una lnea de espera y aguardan que se desocupe la estacin para tomar y surtir el pedido. Modelo de lnea de espera y programacin lineal Distribucin de llegadasPara determinar la distribucin de probabilidad para la cantidad de llegadas en un perodo dado, se puede utilizar la distribucin de Poisson. /= Media o cantidad promedio de ocurrencia en un intervalo e= 2.17828 X= cantidad de ocurrencias en el intervalo Modelo de lnea de espera y programacin lineal El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la instalacin una vez el servicio ha iniciado. Se puede utilizar la distribucin de probabilidad exponencial para encontrar la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo t. e= 2.17828 = cantidad media de unidades que pueden servirse por perodo Modelo de lnea de espera y programacin lineal Disciplina de la lnea de esperaManera en la que las unidades que esperan el servicio se ordenan para recibirlo. El primero que llega, primero al que se le sirve ltimo en entrar, primero en salir Atencin primero a la prioridad ms alta Operacin de estado estable Generalmente la actividad se incrementa gradualmente hasta un estado normal o estable. El perodo de comienzo o principio se conoce como perodo transitorio, mismo que termina cuando el sistema alcanza la operacin de estado estable o normal. Modelos de lnea de espera de un solo canal con llegadas de poisson y tiempos de servicio exponencialesA continuacin, las frmulas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas de estado estable para una lnea de espera de un solo canal. El objetivo de las frmulas es mostrar cmo se puede dar informacin acerca de las caractersticas operativas de la lnea de espera. Modelo de lnea de espera y programacin lineal Cmo se puede mejorar la operacin de lnea de espera?Caractersticas operativas para el sistema con la tasa media de servicio aumentada a =1.25 clientes por minuto. Modelo de lnea de espera y programacin lineal Modelo de lnea de espera y programacin lineal Modelo de lnea de espera y programacin lineal Anlisis econmico de las lneas de esperaAntes de que pueda llevarse a cabo un anlisis econmico de una lnea de espera, debe elaborarse un modelo de costo total, el cual incluye el costo de esperar y el costo de servicio. Cw= costo de esperar por perodo para cada unidad L= cantidad promedio de unidades en el sistema Cs= costo de servicio por perodo para cada canal K= cantidad de canales La forma general de las curvas de costo en el anlisis econmico de las lneas de espera consiste en que el costo del servicio aumenta conforme aumenta la cantidad de canales; pero con ms canales, el servicio es mejor. Como resultado, el tiempo de espera y el costo disminuyen conforme se aumenta la cantidad de canales. Puede encontrarse la cantidad de canales que proporcionar una buena aproximacin al diseo de costo total mnimo evaluando el costo total para varias alternativas de diseo. Modelo de lnea de espera y programacin lineal Programacin linealIntroduccinLa programacin lineal es una tcnica matemtica relativamente reciente (sigloXX), que consiste en una serie de mtodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimizacin en el mbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programacin lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de ms variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado Mtodo Simplex (ideado por G.B.Danzig, matemtico estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matemtico indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es ms rpido que el mtodo simplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran nmero de variables, se implementan en ordenadores. La programacin lineal constituye un importante campo de la optimizacin por varias razones, muchos problemas prcticos de la investigacin de operaciones pueden plantearse como problemas de programacin lineal. Algunos casos especiales de programacin lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancas se consideraron en el desarrollo de las matemticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigacin sobre algoritmos especializados en su solucin. Una serie de algoritmos diseados para resolver otros tipos de problemas de optimizacin constituyen casos particulares de la ms amplia tcnica de la programacin lineal. Histricamente, las ideas de programacin lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teora de optimizacin tales como la dualidad, la descomposicin y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programacin lineal es muy usada en la microeconoma y la administracin de empresas, ya sea para aumentar al mximo los ingresos o reducir al mnimo los costos de un sistema de produccin. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestin de inventarios, la cartera y la gestin de las finanzas, la asignacin de recursos humanos y recursos de mquinas, la planificacin de campaas de publicidad, etc. Otros son:1. Optimizacin de la combinacin de cifras comerciales en una red lineal de distribucin de agua.2. Aprovechamiento ptimo de los recursos de una cuenca hidrogrfica, para un ao con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.3. Soporte para toma de decisin en tiempo real, para operacin de un sistema de obras hidrulicas;4. Solucin de problemas de transporte.Pasos para resolver un problema de programacin lineal1. Elegir las incgnitas.2. Escribir la funcin objetivo en funcin de los datos del problema.3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando grficamente las restricciones.5. Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).6. Calcular el valor de la funcin objetivo en cada uno de los vrtices para ver en cul de ellos presenta el valor mximo o mnimo segn nos pida el problema (hay que tener en cuenta aqu la posible no existencia de solucin si el recinto no est acotado).Ejemplo de programacin linealUnos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confeccin de 750 m de tejido de algodn y 1000 m de tejido de polister. Cada pantaln precisa 1 m de algodn y 2 m de polister. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodn y 1 m de polister. El precio del pantaln se fija en 50 y el de la chaqueta en 40 . Qu nmero de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que stos consigan una venta mxima? 1Eleccin de las incgnitas. x = nmero de pantalones y = nmero de chaquetas 2Funcin objetivo. f(x,y)= 50x + 40y