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Investigación deOperaciones II

Modelos de Líneas de Espera

Se han desarrollado modelos que sirvan para que los gerentes entiendan y tomen mejores decisiones en relación con la operación de las líneas de espera.

En la terminología de las ciencias de la administración, una línea de espera se conoce como cola, y la serie de conocimientos que tienen que ver con las líneas de espera como teoría de colas.


Los modelos de línea de espera se componen de fórmulas y relaciones matemáticas que pueden utilizarse para determinar las características de operación (medidas de desempeño) de una línea de espera. Las características de operación de interés incluyen:

1. La probabilidad de que no haya unidades en el sistema2. El número promedio de unidades en la línea de espera3. El número promedio de unidades en el sistema (el número

de unidades en la línea de espera más el número de unidades que están siendo atendidas)

4. El tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera

5. El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo para que atiendan)

6. La probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para que la atiendan


Estructura de un Sistema de Línea de Espera

Para ilustrar las características básicas de un modelo de línea de espera, consideramos la línea de espera en el restaurante de comida rápida Burger Dome.

Aunque a Burger Dome le gustaría atender de inmediato a cada cliente, en ocasiones llegaban más clientes de los que podían ser atendidos por el personal. Por tanto, los clientes hacían cola para hacer y recibir sus pedidos.

A Burger Dome le preocupa que los métodos que actualmente utiliza para atender a los clientes ocasionen tiempos de espera excesivos. La gerencia desea estudiar la línea de espera para determinar el mejor método de reducir los tiempos de espera y mejorar el servicio.


Línea de espera de canal único

En la operación actual de Burger Dome, un despachador toma el pedido de un cliente, de- termina el costo total del pedido, recibe el dinero del cliente y luego surte el pedido.

Una vez que el pedido del primer cliente se surte, el despachador toma el pedido del siguiente que espera a que lo atiendan. Esta operación es un ejemplo de una línea de espera de canal único.


Distribución de las llegadas

La definición del proceso de llegada a una línea de espera implica determinar la distribución probabilística del número de llegadas en un lapso de tiempo determinado.

En muchas situaciones de línea de espera las llegadas ocurren al azar e independientemente de otras llegadas, y no podemos predecir cuándo ocurrirá una. En esos casos, los analistas cuantitativos han encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson provee una buena descripción del patrón de llegadas.

La función de probabilidad de Poisson da la probabilidad de X llegadas en un periodo de tiempo específico. La función de probabilidad es la siguiente.


El número medio de llegadas por periodo de tiempo λ se llama tasa de llegadas.

Suponga que Burger Dome analizó los datos sobre llegadas de clientes y concluyó que la tasa de llegadas es de 45 clientes por hora.

Durante un periodo de un minuto, la tasa de llegadas sería λ= 45 clientes/60 minutos = 0.75 clientes por minuto.

Así, podemos utilizar la siguiente función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de x llegadas de clientes durante un periodo de un minuto.


Por tanto, la probabilidades de 0, 1 y 2 llegadas de clientes durante un periodo de un minuto son


La probabilidad de que no lleguen clientes en un periodo de un minuto es de 0.4724, la probabilidad de que llegue un cliente en un periodo de un minuto es de 0.3543 y la probabilidad de que lleguen dos clientes en un periodo de un minuto es de 0.1329.

La tabla muestra las probabilidades de llegadas de clientes durante un periodo de un minuto.


Distribución de los tiempos de servicio

El tiempo de servicio es el tiempo que un cliente emplea en la instalación de servicio una vez que éste se ha iniciado.

En Burger Dome, el tiempo de servicio se inicia cuando un cliente comienza a hacer el pedido con el despachador y continúa hasta que el cliente recibe el pedido.

Los tiempos de servicio rara vez son constantes. En Burger Dome, el número de productos y la combinación de estos pedidos varían considerablemente de un cliente al siguiente. Los pedidos pequeños pueden manejarse en cuestión de segundos, pero los grandes pueden requerir más de dos minutos.


Los analistas cuantitativos determinaron que si se puede suponer que la distribución probabilística del tiempo de servicio sigue una distribución probabilística exponencial, existen fórmulas que proporcionan información útil sobre la operación de la línea de espera.

Utilizando una distribución probabilística exponencial, la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor que o igual a un tiempo de duración t es


El número medio de unidades que pueden ser atendidas por periodo de tiempo, µ, se llama tasa de servicio.

Suponga que Burger Dome estudió el proceso de toma y entrega de pedido y encontró que un despachador puede procesar un promedio de 60 pedidos por hora. Basada en un minuto, la tasa de servicio sería µ = 60 clientes/60 minutos = 1 cliente por minuto.

Por ejemplo, con µ = 1, podemos utilizar la ecuación para calcular probabilidades como la probabilidad de que un pedido pueda ser procesado en 1/2 minuto o menos, 1 minuto o menos y 2 minutos o menos. Estos supuestos son


Disciplina en las colas

Al describir un sistema de línea de espera, debemos definir la manera en la que las unidades que esperan se organizan para ser atendidas.

Para la línea de espera de Burger Dome, y en general para la mayoría de las líneas orientadas al cliente, las unidades que esperan ser atendidas se acomodan de modo que la primera que llega es la primera en ser atendida; este método se conoce como disciplina FCFS en las colas.


Operación constante

Cuando el restaurante Burger Dome abre en la mañana, no hay clientes en el restaurante. Gradualmente, la actividad se incrementa de forma constante o normal.

El comienzo o periodo de inicio se conoce como periodo transitorio.

El periodo transitorio finaliza cuando el sistema alcanza la operación constante o normal.

Los modelos de línea de espera describen las características de operación constante de una línea de espera.


Modelo de línea de espera de canal único con llegadas Poissony tiempos de servicio exponenciales

A continuación se presentan fórmulas que pueden utilizarse para determinar las características de operación constante de una línea de espera de canal único.

Las fórmulas son apropiadas si las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio llevan una distribución de probabilidad exponencial. Como estos supuestos son válidos para el problema de la línea de espera de Burger Dome, demostramos cómo pueden utilizarse las fórmulas para determinar las características de operación de Burger Dome y, por tanto, aportan información útil a la gerencia para la toma de decisiones.

La metodología matemática utilizada para determinar las fórmulas de las características de operación de líneas de espera es algo compleja. Sin embargo, nuestro propósito es más bien demostrar como las fórmulas dan información sobre las características de operación de la línea.


Características de operaciónLas fórmulas siguientes se utilizan para calcular las características de operación constante de una línea de espera de canal único con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales, donde

λ = número medio de llegadas por periodo de tiempo (tasa de llegadas) � µ = número medio de servicios por periodo de tiempo (tasa de servicios)

La probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

El número promedio de unidades en la línea de espera:

El número promedio de unidades en el sistema:


El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

La probabilidad de que una unidad que llega no tenga que esperar a ser atendida:

La probabilidad de que haya n unidades en el sistema:

El tiempo promedio que una unidad pasa en la cola:


Características de operación en el problema de Burger Dome

Recuerde que en el problema de Burger Dome teníamos una tasa de llegadas de λ=0.75 clientes por minuto y una tasa de servicios de µ =1 cliente por minuto. Por tanto, con µ > λ, las ecuaciones (15.4) a (15.10) pueden usarse para obtener las características de operación de la línea de espera de canal único de Burger Dome:


Modelo de línea de espera de múltiples canales con llegadas Poisson y tiempos de servicio

exponenciales

Una línea de espera de múltiples canales se compone de dos o más canales de servicio que se supone son idénticos en función de capacidad de servicio.

En el sistema de múltiples canales, las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego se dirigen al primer canal disponible para ser atendidas.


En esta sección se presentan fórmulas para determinar la características de operación constante de una línea de espera de múltiples canales.

Estas formulas son apropiadas si existen las siguientes condiciones:

1. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.

2. El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial.

3. La tasa de servicios es la misma para cada canal.4. Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego

se dirigen al primer canal abierto para que las atiendan.


Características de operación

Las siguientes fórmulas se utilizan para calcular las características de operación de líneas de espera de múltiples canales, donde λ tasa de llegadas del sistemaµ tasa de servicios de cada canal k número de canales

1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:


Número promedio de unidades en la línea de espera.

Número promedio de unidades en el sistema:

Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera:


Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la atiendan:

Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:


Como µ es la tasa de servicios de cada canal, kµ es la del sistema de múltiples canales.

Al igual que para el modelo de espera de canal único, las fórmulas de las características de operación de líneas de espera de múltiples canales se aplican sólo en situaciones en las que la tasa de servicios del sistema es mayor que su tasa de llegadas, en otros términos, las fórmulas se aplican sólo si kµ es mayor que λ.


Características de operación en el problema de Burger Dome

Para ilustrar el modelo de línea de múltiples canales, volvamos al problema de la línea de espera del restaurante de comida rápida Burger Dome.

Suponga que la gerencia desea evaluar la conveniencia de abrir una estación de procesamiento de pedidos de modo que dos clientes puedan ser atendidos al mismo tiempo. Suponga una línea de espera única con el primer cliente que se dirige al primer despachador disponible.

Evaluemos las características de operación de este sistema de dos canales.


Utilizamos las ecuaciones para el sistema de k=2 canales. Con una tasa de llegadas de λ= 0.75 clientes por minuto y una tasa de servicios de µ= 1 cliente por minuto para cada canal, se obtienen las características de operación:


Ahora podemos comparar las características de operación constante del sistema de dos canales con las características de operación del sistema de canal único original


La nueva Fore and Aft Marina estará́ localizada en el río Ohio cerca de Madison, Indiana. Suponga que esta empresa decide construir un muelle donde un bote a la vez puede atracar para cargar combustible y operaciones de servicio.

El gerente de Fore and Aft Marina desea investigar la posibilidad de agrandar el muelle de modo que dos botes puedan detenerse al mismo tiempo para cargar combustible y para que le den servicio. Suponga que la tasa de llegadas es de 5 botes por hora y que la tasa de servicios de cada canal es de 10 botes por hora.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el muelle esté ocioso? 2. ¿Cuál es el número promedio de botes que estarán esperando a que les

den servicio? 3. ¿Cuál es el tiempo promedio que un bote pasará esperando a que le den

servicio? 4. ¿Cuál es el tiempo promedio que un bote pasará en el muelle?

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