Modelos Cualitativos

Sesión 10Eduardo Morales / L. Enrique Sucar

Fundamentos de Inteligencia Artificial

El conocimiento superficial representa conocimiento que puede utilizarse en situaciones específicas, en donde las conclusiones se derivan directamente de las observaciones.

Conocimiento Superficial vs. Profundo

Normalmente los SE tienen conocimiento superficial en forma de reglas de producción.

IF el tanque está vacío Then el coche no arranca

Un sistema físico puede describirse en términos de sus componentes y conexiones.

v.g.,

La motivación es capturar conocimiento de sentido común de los expertos.

El conocimiento profundo se refiere a las estructuras internas y causales de un sistema y considera las interacciones entre sus componentes.

Generadorde Vapor

Normalmente se hace una simulación cualitativa y en este curso vamos a ver una herramienta de simulación llamada QSIM.

Una forma de representar conocimiento profundo es por medio de modelos cualitativos.

Surgió al tratar de resolver problemas de ingeniería y dándose cuenta que simuladores más grandes o mejores resolvedores de ecuaciones no solucionarían totalmente el problema.

Un modelo cualitativo consiste en un conjunto de variables de estado (o parámetros) del sistema y un conjunto de restricciones que relacionan las variables.

Dada una descripción inicial queremos predecir el comportamiento.

Ejemplo Tubo U

Modelo CualitativoTubo U

1. ƒ es continua en [a,b] 2. ƒ es continuamente diferenciable en

(a,b) 3. ƒ tiene un número finito de puntos de

inflexión (críticos) en cualquier intervalo cerrado

Variables Cualitativas: Operan sobre funciones razonables. Si, [a,b] R* la función

ƒ: [a,b] R* es una función razonable sobre [a,b] si:

4. existen los límites

limta ƒ’(t)= ƒ’(a)

limtb

ƒ’(t)= ƒ’(b)

y

Espacios Cualitativos: El espacio cualitativo está definido por un conjunto de símbolos totalmente ordenado (valores landmark o característicos)

Cada landmark es un nombre simbólico de un valor particular cuyo valor actual no se conoce. Por omisión (default): (-

∞,0, ∞)

l < l <…< l1 2 k

Se debe de incluir un valor landmark por cada punto de inflexión (i.e., ƒ '( t ) = 0), por lo que durante la simulación a veces es posible crear nuevos landmarks.

Variables para el Ejemplo del Tubo U

• CantA (0 Amax ∞)

• CantB (0 Bmax ∞)

• PresA (0 ∞)

• PresB (0 ∞)

• DPAB (- ∞ 0 ∞)

• flujo A->b (- ∞ 0 ∞)

• Total (0 ∞)

Las restricciones representan versiones cualitativas de operaciones matemáticas comunes, tales como suma, multiplicación y diferenciación, y permiten mapear directamente una gran cantidad de ecuaciones diferenciales.

QSIM es un sistema para simulación cualitativa desarrollado por B. Kuipers y otros.

Dado un conjunto incompleto de estados de variables y un conjunto de restricciones, QSIM determina todos los posibles estados que son consistentes con las restricciones.

Simulación cualitativa: QSIM

El estado cualitativo de una variable es una lista con su valor cualitativo (en o entre valores característicos) y la derivada cualitativa: aumentando (inc), decreciendo (dec) o constante (std)

Estado Cualitativo

Definición: Sean lt <…< lk los valores

característicos de ƒ: [a,b] R*

para cualquier t [a,b] .

Un estado cualitativo de ƒ en t, QS (ƒ,t), es un par <qval, qdir> definido como:

inc if ƒ’(t ) > 0

std if ƒ’(t) = 0dec if ƒ’(t ) < 0

qdir ={

l if ƒ (t ) = l ; un landmark

(l , l ) if ƒ (t ) (l , l )

j j

j j +1 j j +1

qval ={

A pesar de que está definido continuamente, la descripción se hace en puntos discretos.

Entre puntos distinguibles t y t podemos definir un valor cualitativo QS(ƒ,t ,t ) para todo el tiempo entre t y t .

i

i+1

i

i+1

i i+1

Si un sistema, es un conjunto F = {ƒ …,ƒ } de funciones , ƒi : [a,b] R*, el comportamiento cualitativo de un sistema se describe como una secuencia de estados de la forma:

1 m

QS(F,t ), QS(F,t ,t ), QS(F,t ), ... ,

QS(F,t , t ), QS (F,t ).

0 0 1 1

n-1 n n

Restricciones Cualitativas:

El estado cualitativo se expresa en términos de los valores de las variables.

Las relaciones entre las variables están dadas por las restricciones cualitativas: suma, mult, menos, deriv, M+ , M- y constante.

Dada cualquier ODE (ecuaciones

diferenciales ordinarias), éstas las

podemos traducir a su equivalente QDE

(ecuaciones diferenciales cualitativas),

pero una QDE puede mapear a un

número infinito de ODE.

d2u/dt - du/dt + arctan ku = 0

ƒ 1 = du/dt deriv(u, ƒ 1 ) ƒ 2 = d ƒ 1 / dt deriv(ƒ 1 , ƒ 2 ) ƒ 3 = ku mult(k,u, ƒ 3 ) ƒ 4 = arctan ƒ 3 M+(ƒ 3 , ƒ 4 ) ƒ 2 - ƒ 1 + ƒ 4 = 0 suma(ƒ 2 , ƒ 4 , ƒ 1 )

Ejemplo:

Los valores correspondientes son tuplas de valores landmark que pueden tomar las variables en un tiempo determinado (v.g., M +(x,y), [(0,0)] ).

[V ] = el signo de V

[V]V0 = signo(V - V0)

[V]0= signo(V) {[+] if V > 0[0] if V = 0[-] if V < 0

SUMA: suma (x,y,z) [( x1,y1,z1 ), ...] (corresponding

values)

SUMA: suma (x,y,z) [( x1,y1,z1 ), ...] (corresponding

values)

Suma [+] [0] [-]

[+]

[0]

[-]

[+]

[+]

[+]/ [0] / [-]

[+]/ [0] / [-][+]

[0]

[-] [-]

[-]

[X ] + [Y ] = [Z ] 1

[X] + [Y]= [Z]

Dado que x+y=z

[X]xi + [Y]yi = [Z]zi

Si (Xi,Yi,Zi) son valores correspondientes

2

3∞ ∞ ∞

MULT: mult (x,y,z) [(x1,y1,z1), ...][X]0 [Y]0 = [Z]0

mult

[+] [+][0][-]

[+]

[0] [0] [0]

[0] [-]

[-] [0] [+]

[0] [-]

1.

[Y]0 [X] + [X]0 [Y] = [Z] De (xy)’ = x’y+xy’

2.

MENOS:

Valores correspondientes: (0 0),(- , ),( ,- )

[X]xi = -[Y]yi

[X] = -[Y] 1.

2.

DERIV: y = dx/dt

3.

[X] = [Y]0 1.

∞∞ ∞ ∞

M+ (monotónicamente creciente)

M- (monotónicamente decreciente)

[X]xi = -[Y]yi

[X]xi = [Y]yi

[X] = [Y]

[X] = - [Y]

1.

1.

2.

2.

CONSTANT

Se pueden combinar los landmarks con valores cuantitativos para tener más información.

[X] =0

[X]a = 0

También pueden existir para operaciones de muchas variables.

si M+(x,y), y [x] * = [+] [y] * = [+],

si suma (x,y,z), y [x]0 = [+] y [z]0 = [-] [y]0 = [-]

QSIM también permite propagar descripciones cualitativas entre variables a través de restricciones,v.g.,

En el caso del tubo-U, dada la descripción inicial de Tanque A lleno y Tanque B vacío (CantA = Amax y CantB = 0), podemos propagar para conocer los otros valores de las otras variables.

Trans-P QS(f,ti)

P1 <Ij,std> <Ij,std>

P2 <Ij,std> <(Ij,Ij+1),inc>

P3 <Ij,std> <(Ij-1,Ij),dec>

P4 <Ij,inc> <(Ij,Ij+1),inc>

P5 <(Ij,Ij+1),inc> <(Ij,Ij+1),inc>

P6 <Ij,dec> <(Ij-1,Ij),dec>

P7 <(Ij,Ij+1), dec> <(Ij,lj+1),dec>

Trans-P QS(f,ti)

P1 <Ij,std> <Ij,std>

P2 <Ij,std> <(Ij,Ij+1),inc>

P3 <Ij,std> <(Ij-1,Ij),dec>

P4 <Ij,inc> <(Ij,Ij+1),inc>

P5 <(Ij,Ij+1),inc> <(Ij,Ij+1),inc>

P6 <Ij,dec> <(Ij-1,Ij),dec>

P7 <(Ij,Ij+1), dec> <(Ij,lj+1),dec>

SimulaciónTabla de Transiciones de Estados

SimulaciónTabla de Transiciones de Estados

QS(ƒ,ti,ti+1)QS(ƒ,ti,ti+1)

Trans - I QS(ƒ,ti,ti+1) QS(ƒ,ti,ti+1)

I1 <Ij,std> <Ij,std>

I2 <(Ij,Ij+1),inc> <Ij+1,std>

I3 <(Ij,Ij+1),inc> <Ij+1,inc>

I4 <(Ij,Ij+1),inc> <Ij,Ij+1),inc>

I5 <(Ij,Ij+1),dec> <Ij,std>

I6 <(Ij,Ij+1),dec> <Ij,dec>

I7 <(Ij,Ij+1),dec> <Ij,Ij+1),dec>

I8 <(Ij,Ij+1),inc> <I*std>

I9 <(Ij,Ij+1),dec> <I*std>

Entrada:1. Un conjunto de { ƒ1,... ƒm } de símbolos

representando funciones en el sistema2. Un conjunto de restricciones aplicadas

a los símbolos funcionales

ADD(f,g,h), MULT(f,g,h), MINUS(f,g), DERIV(f,g), M+(f,g), M-(f,g).

Cada una puede tener relacionada valores correspondientes

3. Cada función está asociada con un conjunto ordenado de símbolos, representando valores característicos (cada función tiene por lo menos el conjunto: {- ,0,+ })∞ ∞

4. Cada función puede tener asociada límites superiores e inferiores (valores característicos donde las restricciones ya no aplican) 5. Un punto temporal inicial, t0, y los valores cualitativos para cada de las ƒi

en t0Salida: una o más descripciones cualitativas para las funciones dadas.

1. Una secuencia {t0,…,tn} de símbolos, representando los puntos temporales

Cada descripción tiene:

2. Cada función ƒ i tiene un conjunto totalmente ordenado de valores característicos, posiblemente mayor que el original3. Cada función tiene una descripción cualitativa en cada punto temporal o intervalo entre puntos temporales

Selecciona un estado cualitativo de ACTIVOS

Algoritmo

Coloca en ACTIVOS el estado inicial.REPEAT Until ACTIVOS = vacío o Tiempo tiempo límite.

Para cada función determina sus posibles transiciones (usando las

tablas)

Paso 2:

Paso 1:

Para cada restricción, genera un conjunto de túplas y filtra de acuerdo

a consistencia

Paso 3:

Realiza filtrado de consistencia entre conjuntos de túplas (transiciones adyacentes deben de concordar con las transiciones de los parámetros comunes)

Paso 4:

Aplica filtros globales y añade los estados restantes a ACTIVOS

Genera todas las interpretaciones globales

Paso 5:

Paso 6:

1. No cambio

2. Valores infinitos

3. Reconocer estado

estable (quiescent)

4. Nuevos landmarks

Filtros:

6. Aparear estados e identificar ciclos

7. Propagar inconsistencias hacia atrás

8. Regiones de transición

5. Nuevos valores correspondientes en puntos temporales

QS(A,t0,t1) = < g,std >

Ejemplo: Tiro vertical

Restricciones: deriv ( Y,V ), deriv (V,A), A(t ) = g

Estado Inicial:

QS(V,t0,t1) = <(0, ), dec >

QS(Y,t0,t1) = <(0, ), inc >

∞

∞

Tiro Vertical

t0 t1

A – g, stdV – (0,inf), decY – (o,inf), inc

A I1:<g ,std> <g ,std> V I5:<(0, ),dec > <0,std>

I6:<(0, ),dec > <0,dec>I7:<(0, ),dec > <(0, ),dec>

I9:<(0, ),dec > <L*,std>Y I4:<(0, ),inc > <(0, ),inc> I8:<(0, ),inc > <L*,std>

∞∞

∞∞∞

∞

∞

∞

deriv (Y,V) deriv (V,A)(I4 ,I5)c (I5 , I1)c(I4 ,I6)c (I6 , I1)(I4 ,I7) (I7 , I1)(I4 ,I9)w (I9 , I1)c(I8 ,I5)w(I8 ,I6)(I8 ,I7)c(I8 ,I9)c

QS(A,t1) = <g,std> QS(V,t1) = <0,dec> QS(Y,t1) = <Ymax ,std >

Y V AI4 I7 I1I8 I6 I1

Tiro Vertical

t0 t1

A – g, stdV – (0,inf), decY – (0,inf), inc

A – g, stdV – 0, decY – L*, std

EjemploTanque

Se puede demostrar que QSIM garantiza incluir todos los comportamientos que exhiben las ecuaciones diferenciales originales (sound ), pero no garantiza incluir sólo esas (no complete ) y normalmente genera comportamientos que norepresentan realidades físicas.

Uno de los problemas es la ambigüedad en la derivada de expresiones complejas.

z = x y, x =inc, y = dec, entonces z = inc, dec o std

Por ejemplo:

Las derivadas sólo están restringidas por consideraciones de continuidad y no por valores característicos.

• Ignorar la dirección de cambio de una variable (Kuipers y Chiu '87)

Posibles soluciones (Kuipers y Chiu '87)

• Restricciones de “curvatura” cuando la derivada de una variable es cero para validar o refutar las curvaturas propuestas por QSIM (Kuipers y Chiu '87)

• Restricciones en las trayectorias de las variables en el plano de la fase (NIC: Non- Intersection of phase-space Constraint) (Lee y Kuipers '88, Struss '88)

• Incorporación de conocimiento cuantitativo • Abstracciones de comportamientos en uno solo • Derivadas de alto orden

Sesión 10Sesión 10

FinFin