modelos analisis puentes

DISEÑO PUENTE VEHICULAR SAN PEDRO DE CONDO

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

CAPITULO I

FUNDAMENTO TEÓRICO

En vista de la complejidad del análisis teórico para la distribución de las cargas de las ruedas y la

alta indeterminación sobre las vigas por tener tantas variables, existen diferentes métodos y

modelos del análisis y el cálculo estructural que se han desarrollado para aplicarse a este tipo de

puentes.

Antes de la construcción de cualquier sistema estructural, se deben emplear amplios criterios de

ingeniería y procesos de análisis. Durante este proceso, muchas suposiciones de ingeniería son

rutinariamente usadas en la aplicación de principios de ingeniería y teorías para la práctica. Un

subconjunto de estas suposiciones es usado en una multitud de métodos analíticos disponibles

para análisis estructurales.

1.1. MÉTODOS APROXIMADOS.

Se basan en el empleo de fórmulas, tablas y coeficientes especificados para modelos generales de

puentes. Usualmente se encuentran enunciados en los reglamentos, a modo de recomendaciones

o requisitos mínimos.

Dentro de ellos se destaca el reglamento americano AASTHO STANDARD Y AASTHO LRFD.

1.1.1. MODELO AASTHO STANDARD.

Para el diseño de las vigas, las cargas actúan como puntales tanto en el sentido longitudinal como

en el transversal, en cambio en losas se distribuye en lo que se denomina ancho de distribución.

Si nos imaginamos una sección transversal de un puente, la reacción de cada fila de ruedas en el

sentido longitudinal no incidirá en su totalidad sobre una sola viga, sino que la influencia sobre

cada viga será de todas y cada una de las filas de ruedas. Para considerar esta influencia se tiene

para las vigas interiores las denominadas fracciones de carga que son coeficientes en función de la

separación entre ejes de vigas. O sea que tanto el esfuerzo cortante como el momento flector que

se calculan para una sola fila de ruedas al ser multiplicados por la fracción de carga dan la

solicitación en cada viga interior.

En cambio para las vigas exteriores o laterales se asume que la losa o el piso actúan como

simplemente apoyados sobre la viga inmediata interior, por otra parte se debe ubicar el camión tipo

a una distancia de 0.6 m. del bordillo y si se aplica pesos unitarios a las ruedas la fracción de carga

para las vigas exteriores será la reacción isostática sobre ella.

Vigas longitudinales interiores.

El momento flector por carga viva para cada viga interior será determinado aplicando la fracción de

carga que se la obtiene de la tabla1 donde S es la separación promedio entre ejes de vigas

longitudinales.



Tabla fracción de carga interno.

Clase de piso Una faja de trafico Dos o más fajas de trafico MADERA Tablones 0.820*S 0.8655*S Tablas de canto de 0.1 m 0.730*S 0.820*S Tablas de canto >= 0.15 m 0.656*S 0.772*S Si S > 1.5 m

Ver Nota1. Si S > 2.0 m Ver Nota1.

HORMIGÓN ARMADO Sobre Vigas I de acero o de hormigón prefabricado

0.469*S Si S > 3.05 m Ver Nota1

0.596*S Si S > 4.26 m Ver Nota1

Sobre vigas T de hormigón 0.505*S Si S > 1.83 m Ver Nota1

0.547*S Si S > 3.05 m Ver Nota1

Vigas de sección cajón 0.410*S Si S > 3.60 m Ver Nota 2.

0.469*S Si S > 4.90 m Ver Nota 2.

Sobre vigas de madera 0.547*S Si S > 1.83 m Ver Nota1

0.656*S Si S > 3.05 m Ver Nota1

PARRILLA METÁLICA Espesor menor a 0.1 m. 0.730*S 0.820*S 0.547*S

Si S > 1.80 m Ver Nota1

0.656*S Si S > 3.20 m Ver Nota1

Tabla 1.

Nota 1. En este caso, la carga en cada viga longitudinal será la reacción producida por las cargas

de las ruedas, suponiendo que entre las vigas longitudinales el piso actúa como simplemente

apoyado.

Nota 2. La carga viva en las aceras será suprimida para las vigas de la sección cajón, tanto

interiores como exteriores diseñadas de acuerdo con la distribución de la carga de ruedas indicada

acá.

Vigas longitudinales exteriores.

El momento flexor por carga viva, para las vigas longitudinales exteriores será determinado

aplicando al larguero la reacción de la carga de la rueda suponiendo que entre las vigas

longitudinales el piso actúa como si fuera simplemente apoyado.



Para fracción de carga interno si sobrepasa el límite de espaciamiento permitido (Suma de

reacciones en la viga interior R2+R2’).

Para fracción de carga externo la reacción de la viga exterior R1.



1.1.2. MODELO DE AASTHO LRFD.

Los métodos aproximados para la distribución de carga en puentes viga-losa son apropiados para

los tipos de secciones transversales mostradas en Tabla 5.15 o [A 4.6.2.2.1-1]. Los factores de

distribución de carga, generados de las expresiones encontradas en las Tablas [A 4.6.2.2.2a-f] y

[A.4.6.2.2.3a-c], dan como resultado un número decimal o fracción del carril y sirven para el diseño

de la viga. Los efectos tridimensionales son tomados en consideración. Estas expresiones están en

función del área de la viga, de la anchura de la viga, de la profundidad de la viga, del ancho del

vuelo, del momento polar de inercia, de la constante torsional St. Venant, de la rigidez, de la

longitud de la viga, del número de vigas, del número de celdas, del espaciamiento de las vigas, de

la profundidad de la plataforma, y la anchura de la plataforma. La verificación se hizo usando

análisis detallados de plataformas de puentes, análisis simples de emparrillados, y un conjunto de

datos de aproximadamente 200 puentes de diversos tipos, geometría, y longitud de tramo. Las

limitaciones en el espaciamiento de vigas, longitud del tramo, y la profundidad del tramo reflejan las

limitaciones de este conjunto de datos.

El momento flector por sobrecarga para vigas interiores con tableros de hormigón se puede

determinar aplicando la fracción por carril especificada en la Tabla 5.16 o [A 4.6.2.2.2b-1].

El momento flector por sobrecarga para vigas exteriores con tableros de hormigón se puede

determinar aplicando la fracción por carril, g, especificada en la Tabla 5.17 o [A 4.6.2.2.2d-1].

Si los apoyos lineales son oblicuos y la diferencia entre los ángulos de oblicuidad de dos líneas de

apoyos adyacentes no es mayor que 10º, el momento flector en las vigas se puede reducir de

acuerdo con la Tabla 5.18 o [A 4.6.2.2.2c-1].

El corte por sobrecarga para las vigas interiores se puede determinar aplicando las fracciones por

carril especificadas en la Tabla 5.19 o [A 4.6.2.2.3a-1].

El corte por sobrecarga para las vigas exteriores se puede determinar aplicando las fracciones por

carril especificadas en la Tabla 5.20 o [A 4.6.2.2.3b-1].

Si la línea de apoyo es oblicua se deberá ajustar el corte en la viga exterior en la esquina obtusa

del puente. El valor del factor de corrección para los factores de distribución de carga se

determinara de la Tabla 5.21 o [A 4.6.2.2.3c-1].



1.2. MÉTODOS CLÁSICOS.

El análisis de puentes se realiza en dos etapas:

Calculando el tablero bajo la acción de las cargas concentradas (efectos locales).

Calculando el tablero como un elemento bidimensional.

Los esfuerzos transversales que se presentan en los elementos, siendo el más importante entre

ellos, los momentos flectores.

Realizando el reparto transversal de los esfuerzos longitudinales como los momentos flectores,

corte o reacciones, con la ayuda de coeficientes de concentración.

Estos procedimientos resultan más reales y consistentes que los anteriores, dándonos valores más

cercanos a los que se presentan en la estructura. Su empleo muy difundido antes del auge de la

computadora, siendo todavía muy usadas por aquellos que no dispongan de programas de

cómputo adecuadas.

Dentro de ellas tenemos la Pigeaud, Westergard, Courbon, etc.

Estos modelos dan resultados muy parecidos a los métodos AASTHO STANDARD.

1.2.1. MODELO DE COURBON.

El procedimiento del modelo de Courbon sus fundamentos se explican a continuación.

Como se sabe, la rigidez transversal de un puente compuesto por una losa y vigas longitudinales,

varía entre extremos.

Pueden ser nulas si las vigas se colocan una a lado de otra, sin que exista ninguna unión entre

ellas. En cambio la rigidez transversal puede ser infinita, si las vigas están unidas mediante una

losa de gran rigidez. Para el primer caso la carga es resistida por la viga en la que actúa en el

segundo caso deformada del tablero rota, pero permanece recta bajo la acción de carga. Esta

última es la suposición que se basa el modelo de Courbon.

La deducción de las ecuaciones de distribución de cargas laterales, se supone que el tablero es

simétrico.

Todo tren de cargas que actúa sobre la losa se puede descomponer en dos casos. Uno en el cual

la resultante de cargas verticales R se aplica en el centro cortante del puente (punto en el que se

aplicar la resultante de fuerzas para que todas las vigas experimenten la misma deformación) y un

segundo caso en que la carga excéntrica se reemplaza por un par.

De primer estado por ser simétrica la sección:

F1 + F2 + F3 + F4 = 1

Todas las reacciones son iguales.

∗ 1

Despejando Fi

1



Analizando el segundo estado.

Reacción en cada resorte:

∗ ∗ ∗

Igualando en momento que produce la resultante total con el que produce la suma de reacciones.

1 ∗ ∗ ∗ ∗

Sacando las constantes de la sumatoria:

1 ∗ ∗ ∗

Despejando en ángulo de rotación:

1 ∗

∗ ∑ 2

La reacción en la viga i será:

∗ ∗ ∗1 ∗

∗ ∑ 2 ∗

Simplificando:

∗

∑ 2

Sumando los dos estados tenemos:

1 ∗

∑ 2

Siendo Fi el factor de distribución a cada viga



1.2.2. MODELO DE GUYON MASSONNET.

El método de Guyon Massonnet es uno de los métodos aproximados para determinar el reparto

transversal de cargas en la superestructura de puentes. Tal método evalúa la rigidez transversal o

rigidez torsional de la estructura; su base consiste en el estudio de un sistema elástico equivalente

con una rigidez uniformemente distribuida, obtenido de la transformación de la rigidez de las vigas

que componen la estructura original.

Este método ofrece conjuntos de coeficientes de distribución para dos casos extremos: el de una

placa sin torsión y el de una con torsión total, de modo que la interpolación entre estos valores

permite obtener los coeficientes de cualquier puente de acuerdo con sus características

estructurales y geométricas.

Para este método, el ancho efectivo de la estructura, 2b, es definido como el número de vigas

multiplicado por el espacio entre ellas: np, donde n es el número de vigas y su longitud efectiva es

denotada como 2a. Debido a que el sistema equivalente es uniformemente distribuido, las

propiedades de la sección son manejadas por unidad de ancho. Las propiedades necesarias para

aplicar el método de Guyon se presentan a continuación:

Dónde:

Plong = Rigidez flexionante longitudinal

I= Inercia Longitudinal de viga más losa colaborante.

SepL= Separación de vigas longitudinales.

E = Modulo elástico del concreto.

SepL

EI LLong

*



Donde:

Ptrans = Rigidez flexionante transversal.

I= Inercia Transversal de viga o diafragmas + losa.

SepT= Separación de vigas Transversales.

E = Modulo elástico del concreto.

Dónde:

Ylong = Rigidez torsionante longitudinal

I= Inercia torsional de viga más losa colaborante.

SepL= Separación de vigas longitudinales.

G = Modulo rigidez torsional.

Dónde:

Ytrans = Rigidez torsionante transversal.

I= Inercia torsional transversal.

SepT= Separación de vigas Transversales.

G = Modulo rigidez torsional.

Estas propiedades geométricas son combinadas en un factor cuyo efecto es primario para los

coeficientes de distribución.

Por otro lado, las propiedades torsionales de la estructura son definidas a través de la variable alfa,

que engloba los valores correspondientes a la sección transversal y longitudinal.

El valor de será cero para la condición de una malla sin torsión y será igual a 1, para una losa con

la máxima rigidez torsional. Para cualquier otra condición esta variable toma un valor entre 0 y 1.

Hasta este punto, la superestructura del puente ha sido transformada en una losa equivalente de

ancho igual a 2b y un claro de 2a. Cuando una carga puntual es aplicada en la superestructura la

deflexión promedio de la sección transversal es igual a la que se generaría si tal carga fuera

uniformemente distribuida en el ancho efectivo de la losa.

SepT

EITTrnas

*

25.0

*2

Trans

Lonf

a

b

5.0)*(*2 LongTrans

LongTrans

SepL

GJ LLong

*

SepT

GJTTrnas

*



Este método considera que el perfil transversal de deformación es constante para todas las

posiciones a lo largo del claro de la estructura, al igual que las magnitudes de los momentos

flexionantes; así que propone una serie de coeficientes de distribución K que están expresados en

términos de deflexión, momento o esfuerzo promedio, y son aplicables para cualquier sección

transversal a lo largo de la superestructura.

Para hacer práctico el sistema de este método, los coeficientes de distribución ya han sido

tabulados, lo que genera un perfil con nueve estaciones en distancias uniformes a lo ancho de la

losa (-b, -3b/4, -b/2, -b/4, 0, b/4, b/2, 3b/4 y b). Tales valores están dados para un sistema cuya

rigidez torsional es nula, K0, así como para una losa cuyo valor alfa es igual a 1, K1. De modo que

para valores intermedios de alfa los coeficientes de distribución son:

Dónde:

Ka= coeficiente de distribución para el valor alfa correspondiente

K0 = coeficiente de distribución para un valor de alfa igual a 0

K1 = coeficiente de distribución para un valor de alfa igual a 1

1.3. MODELOS REFINADOS.

Con la sofisticación y equipos de programación de computo, se hizo posible para el especialista

poder emplear esta útil herramienta la computadora, realizando el análisis de modo más específico

y detallado, aproximándose así a valores más reales, los cuales no será posible obtener

calculándolo manualmente, sobre todo por el tiempo.

1.3.1. MODELO DE LA LOSA ORTOTROPA.

Idealiza el tablero en una estructura plana de rigidez equivalente, con características

elastomecanicas constantes o variables en diferentes puntos de ella.

En si convierte la estructura losa viga a una losa equivalente.

El cálculo es bidimensional ya que solo se resuelve una losa simple existiendo diferentes

procedimientos de soluciones (Series de Fourier, Diferencias finitas, elementos finitos, bandas

finitas, etc.)

Si la cantidad de vigas del puente es elevada siendo por lo tanto reducido el espaciamiento entre

ellas, el modelo de la losa ortótropa resulta eficiente.

Es muy parecido a modelo de Guyon Massonnet solo que vez de tablas se resuelve la estructura

por otro método como ser elementos finitos, diferencis finitas o series de Fourier.

*)01(0 KKKK



1.3.2. MODELO DEL EMPARRILLADO PLANO.

El método consiste en sustituir la losa del puente por un entramado este modelo es mayormente

resuelto por métodos matriciales con el de rigidez.

La modelación de puentes se realiza mediante un emparrillado con el objetivo de repartir las

cargas para así obtener los esfuerzos torsores, flectores y de corte en un sistema donde colabora

en la resistencia la viga y losa, la losa cumple la función de formar un diafragma rígido, distribuir las

cargas a las vigas y colaborar con la resistencia es este punto se integra un factor denominado

“ancho colaborarte” que es la distancia en que la losa colabora en la resistencia con la viga, que

es obviamente menor al valor en que la losa aporta en el peso.

Un tablero de vigas, o emparrillado, se simplifica en el caso de un puente ya que la sustentación

existe solamente en dos bordes del rectángulo, en el cual las vigas transversales cumplen dos

funciones principales:

Repartir las cargas concentradas entre todas las longitudinales con el objetivo que éstas

trabajen en forma conjunta y se produzca un intercambio continuo de esfuerzos verticales

principalmente, cuando una o más de estas vigas esta mas cargada que el resto.

Rigidizar las almas de las vigas principales, las que usualmente son muy esbeltas

La primera de estas funciones de las vigas transversales es la más importante, en un

puente compuesto por varias vigas longitudinales, nunca todas ellas tendrán al mismo

tiempo el total de la carga de diseño supuesta, pero a menos que podamos asegurar que

las menos cargadas tomarán algo del exceso de carga de las más solicitadas, todas serán

dimensionadas para la carga más pesada que cada viga puede tener. Las proporciones en

que una carga

VIGAS LONGITUDINALES

Las vigas longitudinales son aquellas dispuestas en el sentido largo del puente y son las

encargadas de soportar las cargas transmitidas por la losa, y a su vez transmitir estos esfuerzos a

los apoyos.

Las propiedades resistentes de las vigas son calculadas mediante métodos tradicionales como

vigas doble Te, Steinner, etc., se debe tener en consideración el ancho de la cabeza en

compresión que debe utilizarse en la determinación de la inercia de la viga longitudinal, el criterio

anterior es válido cuando la separación entre las vigas no es muy grande.



VIGAS TRANSVERSALES

Las vigas transversales tienen como función recibir las sobrecargas provenientes del camión

AASHTO y transmitirlas a las vigas longitudinales.

La rigidez a flexión de las vigas transversales del emparrillado será la correspondiente a las vigas

que se muestran en la figura, existen dos tipos de vigas transversales estas son las externas y las

intermedias, en ambas el espesor constante, pero el ancho de las vigas externas es la mitad de las

vigas intermedias.



1.3.3. MODELO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.

Representa la más potente y versátil herramienta del ingeniero.

La idealización estructural se realiza con el mínimo de complicaciones y artificio. Traduce el

sistema en elementos específicos: elementos viga, elemento losa, elemento lamina.

La generalidad de su aplicación a situaciones reales, así como el tratamiento, dentro del mismo

procedimiento de estructuras con muy diferente problemática hacen de este método el predilecto.

Hasta la llegada del Método de los Elementos Finitos (MEF), los sistemas continuos se abordaban

analíticamente, pero por esa vía sólo es posible obtener solución para sistemas con geometría muy

sencilla, y/o con condiciones de contorno simples.

También se han utilizado técnicas de diferencias finitas, pero éstas plantean problemas cuando los

contornos son complicados.

Como precursores del MEF debe citarse a Argyris y Kelsey (Stuttgart, 1955) y a Turner, Clough,

Martin y Topp (Boeing, 1956), aunque con posterioridad el número de autores en el campo del

MEF ha sido enorme, siendo uno de los campos de la ingeniería a los que más esfuerzos de

investigación se han dedicado.

HIPÓTESIS DE DISCRETIZACIÓN

En una estructura discreta, su deformación viene definida por un número finito de parámetros

(deformaciones y/o giros), que juntos conforman el vector de deformaciones ∆, y la estructura tiene

tantas formas de deformarse como términos tenga dicho vector. Un medio continuo tiene infinitas

formas posibles de deformarse, independientes unas de otras, ya que cada punto puede

desplazarse manteniendo fijos cualquier número finito de los puntos restantes, por grande que sea

este último.

Por lo tanto la configuración deformada de la estructura no puede venir dada por un vector finito ∆

como el anterior, sino que es una función vectorial u, que indica cuáles son las deformaciones de

cualquier punto, y que tiene tres componentes escalares:

Esta función es la solución de la ecuación diferencial que gobierna el problema, y si éste está bien

planteado, cumplirá las condiciones de contorno impuestas, pero en principio no puede asegurarse

que esta función u tenga una expresión analítica manejable, ni siquiera que pueda calcularse. Por

lo tanto la función u no podrá conocerse en general.

Para resolver este problema, el Método de los Elementos Finitos recurre a la hipótesis de

discretización



FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN

Consideremos un elemento finito cualquiera, definido por un número de nudos n.

Para facilitar la exposición se supondrá un problema de elasticidad plana. Un punto cualquiera del

elemento tiene un desplazamiento definido por un vector u, que en este caso tiene dos

componentes:

Los nudos del elemento tienen una serie de grados de libertad, que corresponden a los valores que

adopta en ellos el campo de desplazamientos, y que forman el vector denominado δe . Para el

caso plano este vector es:



En este ejemplo se supone que como deformaciones de los nudos se emplean sólo los

desplazamientos, pero no los giros, lo cual es suficiente para elasticidad plana, como se verá más

adelante. En otros elementos (p.e. vigas o cáscaras) se empleanademás los giros.

La hipótesis de interpolación de deformaciones:

Donde Ni son las funciones de interpolación del elemento, que son en general funciones de las

coordenadas x,y. Nótese que se emplean las mismas funciones para interpolar los

desplazamientos u y v, y que ambos desplazamientos se interpolan por separado, el campo u

mediante las Ui y el campo v mediante las Vi. Es decir que la misma Ni define la influencia del

desplazamiento del nudo i en el desplazamiento total del punto P, para las dos direcciones x e y.

La interpolación de deformaciones puede ponerse en la forma matricial general:

u = N*δe

La matriz de funciones de interpolación N tiene tantas filas como desplazamientos tenga el punto P

y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del elemento.

Las funciones de interpolación son habitualmente polinomios, que deben poderse definir

empleando las deformaciones nodales del elemento. Por lo tanto se podrán usar polinomios con

tantos términos como grados de libertad tenga el elemento.

Para problemas de elasticidad la estructura de esta matriz es normalmente del tipo:

Sin embargo, el aspecto de esta matriz puede ser distinto para otros elementos, como las vigas o

las placas a flexión.



Las funciones de interpolación están definidas únicamente para el elemento, y son nulas en el

exterior de dicho elemento. Estas funciones tienen que cumplir determinadas condiciones y aunque

éstas se verán en detalle más adelante, con la expresión anterior se puede deducir que la función

de interpolación Ni debe valer 1 en el nudo i y 0 en los restantes nudos. Esta condición resulta

evidente si se tiene en cuenta que los términos del vector δe son grados de libertad y por lo tanto

son independientes, y deben poder adoptar cualquier valor.

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Antes de estudiar los criterios para garantizar la convergencia en el MEF es necesario definir dicho

concepto, en el ámbito del MEF. Se dice que un análisis por el MEF es convergente si al disminuir

el tamaño de los elementos, y por lo tanto aumentar el número de nudos y de elementos, la

solución obtenida tiende hacia la solución exacta.

Hay que indicar que en el análisis por el MEF, se introducen, además de la hipótesis de

discretización, otras aproximaciones, que son fuentes de error en la solución: integración numérica,

errores de redondeo por aritmética finita... El concepto de convergencia aquí analizado se refiere

solamente a la hipótesis de discretización, prescindiendo de los otros errores, que deben ser

estudiados aparte, y cuyo valor debe en todo caso acotarse.

Las funciones de interpolación elegidas para representar el estado de deformación de un medio

continuo deben satisfacer una serie de condiciones, a fin de que la solución obtenida por el MEF,

converja hacia la solución real.

Criterio 1

Las funciones de interpolación deben ser tales que cuando los desplazamientos de los nudos del

elemento correspondan a un movimiento de sólido rígido, no aparezcan tensiones en el elemento.

Este criterio se puede enunciar también de forma más sencilla: las funciones de interpolación

deben ser capaces de representar los desplazamientos como sólido rígido, sin producir tensiones

en el elemento.

Esta condición es evidente, pues todo sólido que se desplaza como un sólido rígido, no sufre

ninguna deformación ni por lo tanto tensión. Sin embargo adoptando unas funciones de

interpolación incorrectas, pueden originarse tensiones al moverse como sólido rígido.

Por ejemplo en la figura 1.11, los elementos del extremo se desplazan como un sólido rígido, al no

existir tensiones más allá de la fuerza aplicada.



Empleando la formulación desarrollada más adelante, si se aplican unas deformaciones en los

nudos de valor δR que representan un movimiento de sólido rígido, las deformaciones unitarias en

el interior del elemento son:

Según este criterio, las tensiones correspondientes deben ser nulas en todo punto del elemento:

Criterio 2

Las funciones de interpolación deben ser tales que cuando los desplazamientos de los nudos

correspondan a un estado de tensión constante, este estado tensional se alcance en realidad en el

elemento

Claramente, a medida que los elementos se hacen más pequeños, el estado de tensiones que hay

en ellos se acerca al estado uniforme de tensiones. Este criterio lo que exige es que los elementos

sean capaces de representar dicho estado de tensión constante.

Se observa que este criterio de hecho es un caso particular del criterio 1, ya que un movimiento

como sólido rígido (con tensión nula) es un caso particular de un estado de tensión constante. En

muchas ocasiones ambos criterios se formulan como un sólo criterio.

A los elementos que satisfacen los criterios 1 y 2 se les llama elementos completos.

Criterio 3

Las funciones de interpolación deben ser tales que las deformaciones unitarias que se produzcan

en las uniones entre elementos deben ser finitas. Esto es lo mismo que decir que debe existir

continuidad de desplazamientos en la unión entre elementos aunque puede haber discontinuidad

en las deformaciones unitarias (y por lo tanto en las tensiones, que son proporcionales a ellas).

La figura ilustra las posibles situaciones, para un caso unidimensional donde la única incógnita es

el desplazamiento u en la dirección x. En la situación de la izquierda existe una discontinuidad en

el desplazamiento u, que da lugar a una deformación unitaria infinita: esta situación no está



permitida por el criterio 3. En la situación mostrada a la derecha la deformación es continua,

aunque la deformación unitaria no lo es: esta situación está permitida por el criterio 3.

Este criterio debe cumplirse para poder calcular la energía elástica U almacenada en toda la

estructura, como suma de la energía de todos los elementos.

Donde el sumando Ucont representa la energía elástica acumulada en el contorno entre los

elementos, que debe ser nula.

Si este requerimiento no se cumple, las deformaciones no son continuas y existen deformaciones

unitarias ε infinitas en el borde entre elementos. Si la deformación unitaria en el contorno es infinita

ya que, aunque el volumen de integración (volumen del contorno) es nulo, su integral puede ser

distinta de cero, con lo que se almacena energía en los bordes entre elementos, lo cual no es

correcto.

Sin embargo, si la deformación unitaria en el contorno es finita (aunque no seacontinua entre los

elementos unidos), la energía que se acumula es:



En el caso plano o espacial este requerimiento aplica a la componente del desplazamiento

perpendicular al borde entre elementos, ya que ésta es la única que acumula energía.

Este criterio puede expresarse de manera más general diciendo que en los contornos de los

elementos deben ser continuas las funciones de interpolación y sus derivadas hasta un orden n-1,

siendo n el orden de las derivadas existentes en la expresión de la energía potencial Π del sistema.

Es decir que las funciones de interpolación deben ser continuas de tipo Cn-1.

El orden n de las derivadas existentes en la energía potencial Π del sistema, siempre es la mitad

del orden de la ecuación diferencial que gobierna el problema m (n=m/2).

Para elementos de tipo celosía o viga, este requerimiento es fácil de cumplir pues la unión entre

elementos se hace en puntos discretos, y se usan los mismos desplazamientos y giros para todos

los elementos que se unen en un nudo.

Para elasticidad plana la ecuación diferencial es de orden m=2, con lo que energía potencial es de

orden n=1. En efecto esta última se expresa en términos de ε, que son las derivadas primeras de

las deformaciones. Luego las funciones de interpolación deben ser continuas en los contornos de

tipo C0, es decir no se exige continuidad a la derivada de la función de interpolación en el contorno

del elemento, sino sólo a la propia función.

Para problemas de flexión de vigas y de placas delgadas, la ecuación diferencial es de orden m=4,

luego la energía potencial es de orden n=2. Por lo tanto las funciones de interpolación elegidas

deben ser continuas C1 en el contorno del elemento: tanto la función como su derivada primera

deben ser continuas.

A los elementos que cumplen este tercer criterio se les llama compatibles.

modelos analisis puentes

Documents