modelo electrodebil

Captulo 2

Modelo Estandar Electrodebil

2.1. Introduccion

La busqueda del conocimiento de los constituyentes fundamentales de la materia y delas interacciones que rigen su dinamica ha impulsado el desarrollo de la fsica de altasenergas, y con ello ha generado modelos que explican las observaciones experimenta-les. Particularmente, el modelo que ha tenido mayor exito hasta estos das, es el ModeloEstandar (ME) de las partculas elementales [4, 5], que consiste en una teora que describelas interacciones electrodebiles y fuertes (este modelo no incluye la interaccion gravitacio-nal). El ME no solo describe extremadamente bien los resultados experimentales; tambienocurre que algunas de sus predicciones, como la existencia de los bosones mediadores delas interacciones debiles y la relacion entre sus masas, fueron ya corroboradas incluso conprecision de varias cifras signicativas.

El proposito del presente captulo es realizar una breve introduccion a la dinamica delME, a n de presentar la metodologa de trabajo de la fsica de partculas elementales.

2.2. Partculas Elementales

Entendemos por partculas elementales a los constituyentes puntuales de la materia,esto es, sin subestructura conocida por debajo de los presentes lmites experimentales de1018 1019 m. Estas son de dos tipos; partculas materiales y partculas intermedias ode interaccion [6, 7].

Las partculas materiales del ME son fermiones de espn = 1/2 y se clasican a suvez en leptones y quarks. Los leptones son: el electron , el muon , el tau , y sus co-rrespondientes neutrinos , y . Las principales caractersticas de los leptones dentrodel ME se presentan en el cuadro 2.1. Cada uno de los leptones cargados tiene ademassu antipartcula, lo cual implica por ejemplo, que el electron tiene una antipartculallamada positron + que posee la misma masa que el electron pero carga opuesta. Es decirque en total tenemos 6 leptones cargados. En el caso de los neutrinos, debido a que tienen

10 CAPITULO 2. MODELO ESTANDAR ELECTRODEBIL

carga electrica nula, surgen dos posibilidades para ellos: en principio podran ser sus pro-pias antipartculas (lo cual los constituye en fermiones de Majorana), o en caso contrario,cada neutrino puede tener una antipartcula distinta a ella misma (constituyendolos enfermiones de Dirac). Si bien los neutrinos en el ME carecen de masa, existe evidencia ex-perimental reciente que conrma que esta, aunque pequena, no es cero, lo cual enriquecela fenomenologa de los mismos ya que implica la existencia de oscilaciones, angulos demezclas, violaciones de numeros cuanticos, etc. La deteccion de las masas de neutrinosconstituye as una de las primeras observaciones de fsica mas alla del ME. Actualmenteexisten numerosos modelos que pretenden describir la masa de los neutrinos as como susoscilaciones, pero un analisis detallado de los mismos se escapa del proposito del presentetrabajo doctoral. Por otra parte, los quarks son seis y se los denomina: up (), down (),charm (), strange (), top () y bottom (); se dice por tanto, que existen seis saboresde quarks, y a su vez, existen las correspondientes antipartculas de cada uno. Experi-mentalmente no ha sido posible encontrar quarks en estados aproximadamente libres .Como se mencionara posteriormente, se supone que estas partculas se encuentran en es-tados ligados llamados hadrones y clasicados a su vez en mesones [estados ligados dequark-antiquark, ( )] y bariones [estados ligados de tres quarks, ( )]. Esta descrip-cion de la estructura de los hadrones es consistente con los resultados de experimentosde dispersion profundamente inelastica, que muestran que los mesones tienen dos quarksde valencia y los bariones tres, pero debe hacerse la aclaracion que los hadrones sonestados muy complejos de interacciones entre quarks y partculas mediadoras. Las masasaproximadas de los quarks en el ME pueden verse en el cuadro 2.2 [8].Los estados queinvolucran a los quarks livianos , y muestran una simetra aproximada bajo elgrupo (3) , donde designa el sabor.

Cuadro 2.1: Leptones en el ME.

Lepton Masa [MeV/c2] Vida media [] CargaElectron 0.511 -1

Neutrino electronico 0 0Muon 105.658 2,197 106 -1

Neutrino muonico 0 0Tau 1777 (291,0 1,5) -1

Neutrino taonico 0 0

El segundo tipo de partculas son denominadas partculas mediadoras o de interacciony en general son bosones. Estos en el ME son: el foton , los bosones debiles ,+

y , mediadores de la interaccion electrodebil (en el ME la interaccion electromagneticay la debil estan vinculadas entre s), los ocho gluones ; = 1, .,8, mediadores de lainteraccion fuerte, y el boson de Higgs , que entra en el ME a raz de la inclusion deun sector escalar que tiene como n dotar de masa a las partculas, como se explicara enuna seccion posterior. Cabe destacar que el sector escalar del ME no ha sido conrmado

2.3. SIMETRIAS 11

Cuadro 2.2: Quarks del ME.

Quark Masa [MeV/c2] Cargau 2-8 2/3d 5-13 -1/3c 1000-1600 2/3s 100-300 -1/3t 168000-192000 2/3b 4100-4500 -1/3

experimentalmente hasta el momento de escritura del presente trabajo doctoral. Por otraparte, aunque el ME no incluye a la interaccion gravitacional, tambien se presume laexistencia de su mediador, denominado graviton, el cual tampoco ha sido detectado. Lasprincipales caractersticas de los mediadores en el ME estan consignadas en el cuadro 2.3.

Cuadro 2.3: Partculas Mediadoras

Interaccion Boson Espn Carga Electrica Masa [GeV/c2]Debil ,+, 1 -1,+1,0 80.4, 80.4, 91.188

Electromagnetica (foton) 1 0 0Fuerte = 1, . . . , 8 (gluones) 1 0 0

2.3. Simetras

En la naturaleza existen distintos tipos de simetras, las cuales pueden clasicarse endos grupos principales [6]:

1. Simetras Discretas.

2. Simetras Continuas.

Las simetras continuas pueden clasicarse a su vez en: simetras espacio temporalesy simetras internas. Nos concentraremos aqu fundamentalmente en las transformacionesde simetra internas, que en general actuan simultaneamente sobre los numeros cuanticosy las coordenadas espacio-temporales de una partcula inicial, transformandola en unapartcula de diferentes numeros cuanticos y coordenadas espacio-temporales en el estadonal, pero conservando la misma masa.


Hay dos clases de simetras internas:

Simetra global: donde los parametros de la transformacion no dependen de las coor-denadas espacio temporales.

Simetra local: donde los parametros de la transformacion dependen explcitamentede las coordenadas espacio temporales.

Apoyandonos en la teora de grupos, sabemos que toda simetra que pueda ser repre-sentada mediante un grupo de Lie esta caracterizada por un numero de generadores, y loselementos del grupo pueden representarse mediante una trasformacion unitaria, es decir

() =

=1

, (2.1)

siendo los parametros de la transformacion y los generadores del grupo en la

correspondiente representacion. Estos deben cumplir las relaciones de conmutacion:

[ , ] = , (2.2)

donde son las constantes de estructura del algebra de Lie correspondiente.

Basados en esto, podemos decir que las transformaciones de simetra globales debentener la forma 2.1, mientras que las transformaciones de simetra locales tienen la forma

() =

=1 ()

(2.3)

donde depende de las coordenadas espacio-temporales.

Durante el siglo XX, muchos fsicos se dedicaron al estudio del espectro de las partculasy de las interacciones entre ellas, hasta que historicamente Weinberg, Salam y Glashowpostularon que la simetra local interna base para construir el modelo estandar electrodebiles (3) (2) (1) [4, 5].

2.4. Organizacion de las Partculas del

Modelo Estandar

Los leptones y los quarks en el modelo estandar se organizan en tres familias quetienen caractersticas similares excepto por sus masas [8, 9]:

2.5. PRINCIPIO GAUGE 13

1 Familia :

(

)

, ,(

)

, , (2.4)

2 Familia :

(

)

, ,(

)

, , (2.5)

3 Familia :

(

)

, ,(

)

, , (2.6)

Aqu los campos derechos (R) o izquierdos (L) estan dados en terminos del operador dequiralidad 5 mediante:

= , = , (2.7)

donde se han denido los proyectores de quiralidad izquierda y derecha como =(1 5)/2 y = (1 + 5)/2 respectivamente y donde puede ser cualquiera de loscampos leptonicos o de los quarks, introducidos previamente. Los campos izquierdostransforman como dobletes de (2) o grupo de isospin, en tanto que los camposderechos transforman como singuletes de (2).

Las partculas organizadas de esta forma son autoestados del operador 3 de isospin ydel operador , denominado hipercarga, los cuales son generadores diagonales de los gru-pos (2) y (1) respectivamente. Estos operadores determinan dos numeros cuanticos y 3, relacionados con la carga electrica mediante la relacion de Gell Mann-Nishijima[10]:

= 3 +

2. (2.8)

2.5. Principio Gauge

Para interpretar el principio gauge consideremos un sistema fsico de partculas cuyadinamica sea descrita mediante un Lagrangiano el cual es invariante bajo una simetraglobal . Si promovemos que esta simetra se torne local (), estaremos transformandolas partculas y generando simultaneamente una teora de interacciones [11].

De este modo, para el ME tendremos que debe ser posible generar los terminos delas interacciones electrodebil y fuerte (con todas las propiedades de simetra correctas)al hacer una transformacion gauge local sobre los terminos en el Lagrangiano libre paratodas las partculas

El procedimiento para hacer una teora invariante bajo transformaciones locales es elsiguiente: mediante una derivada covariante se introducen nuevos campos bosonicos, lla-mados campos de gauge, que interaccionan con el campo de modo que el Lagrangiano


sea invariante de gauge. El numero de campos gauge y las caractersticas particulares delas interacciones de gauge dependen del grupo de simetra, siendo el numero de bosonesde gauge igual al numero de generadores del grupo de simetra.

2.6. Ruptura Espontanea de la Simetra.

Una denicion simple del fenomeno de la ruptura espontanea de la simetra es[7]:

Un sistema fsico tiene una simetra espontaneamente rota si las interacciones que go-biernan la dinamica del sistema poseen tal simetra y el estado base (vaco) del mismo no.

La ruptura espontanea de la simetra tiene repercusiones sobre la dinamica del siste-ma. Una de estas implicaciones esta descrita por el teorema de Goldstone[7]:

Si una teora de campos tiene una simetra global del Lagrangiano que a su vez no essimetra del vaco entonces debe existir un boson escalar o pseudoescalar sin masa, asocia-do a cada generador que no aniquile el vaco, y que tiene sus mismos numeros cuanticos.Estos modos se denotan como bosones de Nambu-Goldstone o simplemente bosones deGoldstone

Estamos por tanto en capacidad de utilizar estos elementos basicos para construir elLagrangiano del Modelo Estandar, donde la simetra de gauge (3)(2)(1) ,esta espontaneamente rota a (3) (1)

2.7. Lagrangiano del Modelo Estandar

Para construir el lagrangiano del ME consideraremos primero como ejemplo la elec-trodinamica cuantica (QED). La QED es la teora que describe la dinamica de partculascargadas electromagneticamente (fundamentalmente electrones y positrones) cuya interac-cion esta mediada por el foton. De hecho, la electrodinamica clasica puede ser reproducidaa partir del lmite clasico de la QED, de all a que sea la teora de gauge mas exitosa dela fsica de partculas y haya sido probada a niveles de precision extremos. Se puedenrecrear los principios basicos de dicha teora comenzando por el siguiente sistema fsico:un campo de Dirac libre sin masa y con espn = 1/2 . Es decir, un Lagrangiano de laforma [12]:

= ( ) (2.9)

La demostracion de que este Lagrangiano es invariante bajo una transformacion global(1) es inmediata, ya que esta actua sobre los campos y las derivadas como:

2.7. LAGRANGIANO DEL MODELO ESTANDAR 15

; ; (2.10)

donde es un parametro continuo y es el generador del grupo (1).

Si promovemos ahora que la transformacion sea local, el parametro dependera de lascoordenadas espacio temporales, de donde las correspondientes transformaciones sobre loscampos y sus derivadas son:

() , () (2.11) ()+ [()] () . (2.12)

Reemplazando en el Lagrangiano tenemos:

= [ + (())] , (2.13)

luego el Lagrangiano no es invariante bajo esta transformacion local, debido a que se ve laaparicion de un termino adicional en el lado derecho de (2.13). Para restaurar la simetrautilizaremos el Principio Gauge, el cual nos indica que debemos introducir un bosonvectorial gauge: el campo fotonico (), que interactua con el campo y transformabajo el grupo de simetra (1) como:

1() . (2.14)

Esta transformacion asegura que se compensara el termino adicional de = 0 tal queel Lagrangiano total sea nalmente invariante gauge.

La manera mas sencilla de construir un Lagrangiano invariante es simplemente reem-plazando la derivada usual, , por la llamada derivada covariante, [12]:

= ( ) (2.15)

que frente a (1) transforma como el campo :

() . (2.16)

Por ultimo, para incluir la propagacion del campo (que en QED es el foton) seadiciona el llamado termino cinetico

= 14

(2.17)

(el cual es a su vez invariante gauge), donde es el tensor de esfuerzo:

= . (2.18)


De este modo el Lagrangiano total, invariante de Lorentz e invariante gauge (1), es elsiguiente:

= ()()() 14

12(

)2 , (2.19)

donde se ha incluido el termino de jado del gauge1/2()2 en el gauge de Lorentz,con el n de obtener invariancia de Lorentz maniesta en la teora.

Como se ha mencionado, el Lagrangiano de la QED es un paradigma para la realizacionde una teora de partculas, por tanto extendamos este procedimiento al grupo que nosinteresa, (2) (1) .

El grupo de simetra (2) (1) tiene en total 4 generadores, de los cuales trescorresponden al grupo (2) (y a los cuales denotaremos por

: = 1, 2, 3) y elrestante es el generador de hipercarga correspondiente al grupo (1) . Si partimosnuevamente de:

= () (2.20)

donde ahora es un doblete de campos fermionicos izquierdos (dobletes de isospin),podemos ver inmediatamente que el Lagrangiano es invariante bajo una transformacionglobal (2) (1) , ya que la transformacion actua sobre los campos y las derivadascomo:

3

=1

3

=1

(2.21)

3

=1

donde y son parametros continuos globales.

Si promovemos ahora la trasformacion de fase de global a local, es decir si hacemosque los parametros y dependan de las coordenadas espacio-temporales, vemos que nose tiene invariancia gauge local debido a que la derivada incluira terminos de derivadas de() y (), por tanto podemos va el principio gauge introducir la derivada covariante.Esta derivada tiene la forma:

= + 3=1

+ 2 , (2.22)

donde se han incluido campos gauge con = 1, 2, 3, y . Los primeros son bosonesvectoriales asociados al grupo (2), y el ultimo corresponde al grupo (1) .

Podemos realizar algo mas de algebra en la derivada covariante a n de que esta quedeen funcion de los estados bosonicos fsicos, que surgen de combinaciones de los . En


la representacion fundamental de (2), se tiene = /2, siendo las matrices dePauli. De este modo,

= +

2

{(0 11 0

) 1 +

(0 0

) 2

+

(1 00 1

) 3

}+

2

( 00

) . (2.23)

Deniendo ahora

=12( 1 2) , (2.24)

se tiene

= +

2

( 3 +

2+

2 3 +

). (2.25)

En adelante deniremos tan = / siendo el angulo de Weinberg . Haciendo unarotacion de angulo , denimos

(

)=

(cos sen sen cos

)( 3

), (2.26)

de donde podemos nalmente escribir la derivada covariante como:

= +

22(+

+ + )

+ sen +cos

( 3 sen2) , (2.27)

donde = (1 2)/2 y = 3 + /2 (como se anticipo en la ec.(2.8)).

Cabe destacar que los campos izquierdos han sido introducidos en el modelo como do-bletes de (2) (de all la notacion (2)), mientras que los derechos transforman comosinguletes de (2). La derivada covariante actua segun = ( + sen sen

2 / cos ) (ver ecs. (2.4)-(2.6)).

Continuando con el procedimiento descrito para el Lagrangiano de la QED, al haberincluido nuevos campos vectoriales, debemos adicionar el termino de propagacion de loscampos, tambien denominado termino cinetico, el cual debe ser invariante gauge y po-demos escribirlo en terminos de un tensor de esfuerzo, obteniendo un Lagrangiano tipoYang-Mills para la teora electrodebil:

= 14

14

, (2.28)


donde

= + , (2.29)

= . (2.30)

Es importante destacar que el termino introducido en la ec.(2.7) es debido

a la naturaleza no abeliana del grupo (2). Dicho termino genera interaccion entre losbosones de gauge de (2) (algo que no ocurre en QED).

Por tanto hasta el momento podemos escribir el Lagrangiano invariante de gauge(2) (1) como:

= 14 1

4+ + , (2.31)

donde se ha tenido en cuenta explcitamente que nuestro espectro se ha divido en camposderechos y campos izquierdos, dado que la derivada covariante actua de manera diferentesobre estos estados.

Cabe notar que la inclusion de un termino de masas de la forma = ( +) no es compatible con esta formulacion debido a que se mezclaran inadecuadamen-te campos izquierdos (singuletes) y derechos (dobletes), implicando una ruptura explcitade la simetra de gauge.

A n de incluir las masas de las partculas, en el ME se incluye un Lagrangianoescalar. Este rompe espontaneamente la simetra y permite la existencia de terminos demasa mediante el llamado mecanismo de Higgs.

2.7.1. Lagrangiano Escalar

En esta subseccion se aborda el Lagrangiano escalar del Modelo Estandar. Sus conse-cuencias, como la ruptura espontanea de la simetra y el Mecanismo de Higgs, son unaparte esencial de la descripcion de las partculas elementales. [6, 7, 9, 13, 14]

Partimos del Lagrangiano escalar:

= ()() () . (2.32)

Aqu el potencial esta denido mediante:

() = 2 + ()2 , (2.33)


con real positivo y donde es un campo escalar complejo, representado mediante undoblete de (2) y que tiene hipercarga = 1:

=

(

0

)=

(1 + 2

+

). (2.34)

Esta denicion asegura que el lagrangiano escalar es invariante frente a (2) (1) .Podemos obtener el vaco a partir del hamiltoniano:

=1

2[(00)

2 + ()2] + () . (2.35)

El mnimo de se obtiene para 0 = . Debido a la simetra (2), puedeelegirse sin perdida de generalidad

0 = 12

(0

), (2.36)

tal que corresponda al mnimo del potencial () y por consiguiente de la energa.Podemos encontrar la ecuacion para este mnimo:

2 + 20 = 0 , (2.37)de donde surge

=

2

. (2.38)

A partir de estos resultados podemos realizar las siguientes consideraciones sobre elvalor de :

Si 2 > 0 tenemos un unico estado de vaco, como se ve en un diagrama del potencial(Figura 1.1 (a)).

Si 2 < 0 no tenemos un estado de vaco unico, lo cual puede verse claramente en lagura del potencial (Figura 1.1 (b)). Decimos que se ha roto espontaneamente la simetra,dado que en general 0 = 0 para los generadores del grupo de gauge.

Debido a que la hipercarga del campo es 1, se obtiene para el estado de vaco(3 +

2

)0 = 0 (2.39)

es decir, el estado de vaco es aniquilado por el operador 3+/2, y recordando la ec.2.8,concluimos que la simetra (1) relacionada con el operador de carga no se rompe. Deeste modo se tiene el siguiente patron de ruptura de la simetra [14]:

(2) (1) (1)


(a)

(b)

Figura 2.1: Potencial Del Lagrangiano Escalar

El foton, generador de (1), permanece sin masa. En cambio, veremos que los bosonesde gauge asociados con los generadores 1, 2 y 3 /2 adquieren masa.

Si expresamos 0 en terminos de 0:

+ =2+

2+ (2.40)

donde el campo se denomina boson de Higgs, podemos escribir el Lagrangiano (consi-deramos unicamente los terminos asociados a ) como:

=( + + 2

) +2

(01

)2

2 ( +)2

2 ( +)

4

4. (2.41)

Aqu los terminos cuadraticos para los campos vectoriales son:

2( +)2

4+

+2( +)2

8 cos2

,

2.8. MASAS FERMIONICAS Y LAGRANGIANO FINAL

DEL MODELO ESTANDAR ELECTRODEBIL. 21

donde los terminos con 2 constituyen terminos de masa para los bosones y . Setiene entonces

=

2,

=

2 cos =

cos

. (2.42)

De este modo, el mecanismo de Higgs ha dotado de masa a los bosones y partiendode un Lagrangiano invariante de gauge, a traves de la ruptura espontanea de la simetraelectrodebil (2) (1) .

2.8. Masas Fermionicas y Lagrangiano nal

del Modelo Estandar Electrodebil.

Por ultimo, para dotar de masa a los fermiones, incluimos un acoplamiento entrefermiones y escalares, o Lagrangiano de Yukawa, invariante frente al grupo (2) (1) [6, 7]:

=3,

[( )

+ (

)

+ (

)

+ ..] , (2.43)

donde hemos introducido una notacion mas compacta para los dobletes izquierdos () ypara los singletes derechos () provenientes de las ec.(2.4, 2.5 y 2.6), con y ndices quecorresponden a cada familia considerada, y donde = 2

. Notese que este lagrangianono mezcla el sector leptonico () con el de quarks () debido a la simetra frente a (1) .

Teniendo en cuenta la ruptura espontanea de la simetra electrodebil, y escribiendo elcampo 0 como en la ec.(2.40), a partir de la ec.(2.43) se obtiene para el sector de quarksel siguiente lagrangiano para las masas:

() =2

(0

0 +

0

0 + h.c.

), (2.44)

donde 0 =(01

02

03

)y 0 =

(01

02

03

)contienen a los quarks. De esta forma

podemos identicar las matrices de masa para los sectores up y down como

U =2 , D =

2 . (2.45)

Es conveniente ahora llevar a cabo rotaciones en el espacio de sabor para los fermionesde cada carga y quiralidad, a n de escribir el lagrangiano en terminos de los autoestadosde masa,

0, = ,, ,

0, =

,, (2.46)


Las matrices de masa diagonales vendran dadas por

U = diag(, , ) = U D = diag(, , ) = D (2.47)

donde , son matrices unitarias de 3 3.

Por ultimo podemos recopilar toda la informacion expuesta en las secciones anteriorespara escribir el Lagrangiano del modelo estandar electrodebil como:

= () + + + + .. + ... (2.48)

donde se ha incluido el Lagrangiano que ja el gauge (..) denido mediante:

.. = 12

()2 1

2(

+ )2

1( 3) + +2 (2.49)

con , y constantes que toman valores dependiendo del gauge covariante renormalizableen el cual se desee trabajar. Por ultimo, aunque incluimos en ec.(2.48) el termino delLagrangiano de Faddeev-Popov (..), no nos detendremos en su analisis, debido a quepara los efectos de la presente tesis doctoral no se hace necesario. Se menciona simplementedebido a que es una parte importante de la construccion de la funcional generatriz delME.

2.8.1. Corrientes Neutras en el ME.

A n de presentar algunos resultados que seran utilizados en los siguientes captulos,analizaremos algunos aspectos del Lagrangiano del ME ec(2.48). Partiendo del primertermino de este Lagrangiano:

= 0()0 (2.50)

podemos obtener los acoplamientos del campo con los fermiones:

= sen

( 0 0) (2.51)

donde designa la carga del fermion en cuestion y la suma se extiende a todos losfermiones del ME.

2.8. MASAS FERMIONICAS Y LAGRANGIANO FINAL

DEL MODELO ESTANDAR ELECTRODEBIL. 23

Por otra parte, para el boson 0, mediador de la interaccion debil neutra, podemosescribir:

=

2 cos

{(1

2 2sen

23

)0

0

2sen23

00

+

(12+sen2

3

)0

0 +

sen23

00

+

3=1

(12+ sen2

)0

0

+ sen2 0

0

+

3=1

1

20

0

} (2.52)

donde nuevamente 0 =(01

02

03

)y0 =

(01

02

03

)designan a los quarks y =

1, 2, 3 y = 1, 1, 3 a los leptones y neutrinos respectivamente. Es importante notarque el Lagrangiano anterior esta escrito en la base de interaccion utilizada en la ec.(2.31)(denotada con el superndice 0), de modo que los campos fermionicos (autoestados demasa) no corresponden a los campos fsicos tanto en el sector de quarks como en elleptonico. Se puede ver del lagrangiano ec.(2.52) que los acoplamientos son universalespara las tres familias. Esto ocurre para los fermiones izquierdos y para los derechos.Por lo tanto, podemos decir que dentro del ME los acoplamientos de los fermiones quetienen carga electrica identica en la base de corriente con el boson , son universales paracada componente de quiralidad. Para escribir el lagrangiano anterior en terminos de los

autoestados de masa =(

), =

(

), es necesario introducir las matrices

unitarias que diagonalizan las matrices de masa de Yukawa, introducidas en la seccionanterior (ec.(2.46)).

Al hacer la rotacion de los campos se observa que debido a que los acoplamientos sonuniversales (esto es, proporcionales a la identidad en el espacio de sabor), y debido a launitariedad de las matrices ,, , las interacciones son tambien diagonales en la base deautoestados de masa. Por tanto, puede decirse que en el ME no se presentan cambios desabor en corrientes neutras a nivel arbol.

2.8.2. Corrientes cargadas en el ME. Matriz CKM y Violacion

de CP.

Para encontrar la forma que tienen las corrientes cargadas, podemos proceder de ma-nera similar a la esquematizada en la subseccion anterior para los bosones neutros, con-siderando nuevamente el primer termino del lagrangiano ec.(2.48). Teniendo en cuenta elespectro de partculas del modelo, los acoplamientos para las corrientes debiles cargadasvienen dados por

= 2

[0

0 +

00

] + + h.c. (2.53)


Debido a la simetra del modelo no se tienen corrientes cargadas que involucren a losfermiones derechos.

Ahora bien, si deseamos escribir el lagrangiano ec(2.53) en terminos de los autoestadosde masa debemos tener en cuenta nuevamente las matrices ,, . Podemos escribir parael sector de quarks

= 2

+ + h.c. , (2.54)

donde se ha introducido la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa [15], denidamediante

=

.

Dado que esta matriz no es diagonal, existen cambios de sabor mediados por corrientesdebiles cargadas, de este modo el ME predice que los numeros cuanticos de extraneza,charm, etc. no son cantidades conservadas en la naturaleza.

Kobayashi y Maskawa en 1973 descubrieron que es necesario que la matriz tenga al menos una fase compleja (adicional a los tres angulos de Euler generalizados)para parametrizar en forma general la mezcla de quarks en el caso de tres familias [15].Por otra parte, si realizamos una transformacion de CP (siendo C el operador conjugacioncarga y P el operador paridad) sobre el Lagrangiano ec.(2.54) obtenemos

CP = 2

+ + h.c. . (2.55)

De este modo, la fase compleja en la matriz implicara violacion de la simetra CPen las interacciones debiles. Investigaciones mas detalladas muestran que en general lacondicion que debe satisfacerse para que esta fase sea observable es

(2 2)(2 2)(2 2)(2 2)(2 2)(2 2) = 0 , (2.56)

donde (parametro Jarlskog) se dene mediante [16]

= Im( ) , ( = , = ) .

Los datos experimentales indican que (105), por lo cual la violacion de CP esen general un efecto pequeno en el ME, y de hecho no fue observada experimentalmentehasta el ano 1964.

2.9. Cromodinamica Cuantica

La cromodinamica cuantica (QCD), consiste en la descripcion de las interaccionesfuertes mediante una teora de gauge local. La simetra en consideracion esta basada enel grado de libertad de color que tienen los quarks y gluones y se encuentra realizada de

2.9. CROMODINAMICA CUANTICA 25

forma exacta. El grupo en cuestion es (3), por lo que se denota (3) [17, 18, 19].

El grupo (3) es de dimension 21 = 8, de tal manera que si esta es una simetrade gauge esperamos la presencia de ocho bosones de gauge vectoriales: los gluones. Estosson de masa nula, dado que la simetra esta realizada en forma exacta.

Por otra parte, debido a que no se han observado interacciones fuertes de largo alcancey que los gluones no tienen masa, surge un problema fenomenologico, es decir, debeexistir alguna razon por la cual la interaccion no tiene alcance innito aun cuando susmediadores tienen masa cero. La conjetura en el ME es que la naturaleza no abelianadel campo gauge de color produce un connamiento espacial de los gluones y quarks,y como consecuencia los estados asintoticos son hadrones, esto es, estados ligados dequarks, sin carga neta de color. El problema del connamiento no es abordable a traves detratamientos perturbativos, pero hay grandes avances en el uso de teoras no perturbativasutilizando modelos computacionales de discretizacion del espacio-tiempo (lattice QCD)que inducen a creer que QCD es efectivamente una teora connada.

2.9.1. Grupo (3)

Experimentalmente las transiciones de cambio de sabor son en general de mucha menormagnitud que aquellas en donde interviene la fuerza fuerte. El numero cuantico de sabor esasociado a la interaccion electrodebil, mientras que la fuerza fuerte conserva el sabor y esademas independiente de este. Por otra parte, los mediadores de la interaccion electrodebil(, ,) no acoplan color. La evidencia emprica impone una serie de requisitos que lateora de las interacciones de color, esto es, las interacciones fuertes, debe satisfacer[17,18, 19]:

El numero de colores es = 3, por tanto los quarks pertenecen a una representacionen tripletes (3) del grupo de simetra.

Los quarks y antiquarks son estados diferentes. Entonces 3 = 3, lo cual implica quela representacion sea compleja.

Hipotesis de connamiento: Los estados hadronicos son singletes de color.

De todos los grupos de Lie compactos solo hay cuatro que tienen una representacion3-dimensional irreducible; entonces solo tenemos las siguientes opciones: (3), (3) (2) (1). Debido a que la representacion en tripletes de (3) es real, el unicogrupo que sobrevive es (3).

2.9.2. Lagrangiano de la QCD

Siguiendo el procedimiento que realizamos para la construccion del Lagrangiano delsector electrodebil del ME, denotaremos por un campo quark de color y sabor .


Para simplicar las ecuaciones, adoptemos una notacion vectorial en el espacio de color:

(1

2

3

). El Lagrangiano libre para los quarks es entonces

=

( ) , (2.57)

el cual es invariante bajo una transformacion global (3) en el espacio de color:

( ) = , = = 1, det = 1En esta representacion, las matrices de transformacion pueden escribirse de la forma

= exp

(

2

), (2.58)

donde /2 ( = 1, 2, . . . , 8) denota los generadores de la representacion fundamental delalgebra de (3) y son constantes arbitrarias. Las matrices (matrices de Gell-Mann)tienen traza nula y satisfacen las relaciones de conmutacion

[, ] = 2 , (2.59)

donde son las constantes de estructura de (3) .

Como en el caso de las interacciones electrodebiles, se propone que el Lagrangianosea invariante bajo una transformacion (3) local ,

= (). Para satisfacer esterequisito, debemos cambiar las derivadas en la ec.(2.57) por derivadas covariantes. Debidoa que tenemos 8 generadores independientes, necesitamos 8 bosones gauge (), losllamados gluones:

[

2()

] [ ()] . (2.60)

Notese que hemos introducido la notacion compacta:

[()] (

2

)

() . (2.61)

Queremos que transforme en la misma forma que el vector de color . Esto ja laspropiedades de transformacion de los campos gauge

() =

() = ()

La transformacion gauge de los campos gluonicos es mas complicada que la que seobtiene en el modelo estandar para el foton. De forma similar a lo que sucede con el grupo

2.10. ANOMALIAS QUIRALES EN EL MODELO ESTANDAR 27

(2), la conmutacion de las matrices de (3) genera un termino adicional debido ala naturaleza no abeliana del grupo. Para construir un invariante gauge cinetico de loscampos gluonicos, introducimos los correspondientes campos de esfuerzo:

() [, ] = [, ] =

2 () , (2.62)

donde

() = + . (2.63)

Tomando la normalizacion adecuada para el termino cinetico gluonico, tenemos nal-mente el Lagrangiano de QCD, invariante de (3) [9]

= 14+

=1

( ) + .. + .. (2.64)

donde denota traza en el espacio de color y la suma se extiende sobre todos los saboresde quarks. El Lagrangiano de Fijado de Gauge para QCD en el regimen perturbativo sedene mediante

. = 12

()2 , (2.65)

donde es una constante que se elige de acuerdo al gauge en el que se desee obtenerinformacion. Por otra parte el Lagrangiano de Faddeed-Popov o de fantasmas para QCDesta dado por [9]

.. = ( ) , (2.66)donde representa a los campos fantasmas. Es importante observar que la constante deacoplamiento gauge es la misma para todos los sabores (es decir, la interaccion fuerte entrequarks es independiente del sabor). De esta manera tenemos que los numeros cuanticosde extraneza, encanto, bottom, etc., son conservados por la interaccion fuerte.

2.10. Anomalas quirales en el Modelo Estandar

En todo modelo, bien sea clasico o cuantico, que pretenda explicar la interaccion entrepartculas, surge el problema de la autointeraccion, esto es, la interaccion de una partculaconsigo misma. El calculo de las autointeracciones en general conduce a obtener resultadosdivergentes, implicando que la intensidad de la interaccion sea innita. Los innitos resul-tantes no tienen interpretacion fsica, por lo cual se hace necesario incluir algun esquemade renormalizacion a n conseguir resultados totales nitos. Adicionalmente, se debe exi-gir que los resultados que se obtienen orden por orden en teora de perturbaciones sean


nitos, garantizando de esta forma la renormalizabilidad de la teora. A primer orden enteora de perturbaciones, usualmente se deben considerar procesos de autointeraccion delas partculas haciendo especialmente interesante el estudio de las mismas.

En una teora cuantica de campos se pueden construir reglas de Feynman (expresionesdiagramaticas de interacciones entre partculas) para calcular las funciones de Green y loselementos de la matriz S en teora de perturbaciones. En una teora de campos relativis-ta uno usualmente encuentra innitos en los calculos de diagramas que contienen loops(primer orden en teora de perturbaciones). El programa de renormalizacion que se im-plemente debe permitir consistentemente aislar y remover estos innitos a n de obtenercantidades fsicas medibles. Tecnicamente la teora de renormalizacion es compleja y en lapresente tesis doctoral no se pretende hacer un estudio detallado de la misma. Sin embar-go, es importante notar que el ME es una teora renormalizable dado que esta basado enuna simetra de gauge. Esto implica que mediante la implementacion de un esquema derenormalizacion calculos de interacciones entre las partculas del modelo tienen resultadosnitos y consistentes.

En las siguientes secciones se muestra el resultado del calculo de la interaccion entrelas corrientes vectoriales y axiales a primer orden en teora de perturbaciones, el cuales conocido como anomala quiral. A n de encontrar una expresion para las anomalasquirales, es necesario introducir primero las Identidades de Ward.

2.10.1. Identidades de Ward

Las identidades de Ward representan una version cuantica del teorema de Noetherclasico, y estan relacionadas con la conservacion de corrientes a todos los ordenes enteora de perturbaciones. Para las teoras de gauge, las identidades de Ward se consti-tuyen en expresiones diagramaticas de la conservacion de las corrientes, obtenidas comoconsecuencia de la invariancia bajo simetras internas.

Ahora bien, en teoras de gauge no abelianas las funciones de Green (esencialmente,amplitudes de probabilidad de propagar campos entre dos puntos) que tienen un numeroimpar de acoplamientos, contribuyen con terminos anomalos a la divergencia de la corrien-te axial vectorial. La anomala triangular que consiste en la contribucion del trianguloformado por tres propagadores fermionicos (ver gura 2.2), puede considerarse como eldiagrama basico en este sentido, ya que su ausencia signica la ausencia de cualquierotro diagrama anomalo [20, 21, 22, 23]. Es necesario que la anomala este ausente paraasegurar la renormalizabilidad de la teora, dado que el acoplamiento entre dos bosonesde gauge vectoriales y uno axial esta ausente a nivel arbol en el lagrangiano.El diagrama de la gura 2.2 conduce a la siguiente amplitud

(1, 2; ) =

41

42 11+22 0 ( (1) (2)(0))0 (2.67)

2.10. ANOMALIAS QUIRALES EN EL MODELO ESTANDAR 29

5

1

2

Figura 2.2: anomalia

donde

() = ()()

() = ()5() (2.68)

son las corrientes vectoriales y axiales respectivamente, y una representacion matricialde los generadores del grupo de simetra considerado.

La divergencia de la corriente axial-vectorial conduce a:

= 2

1

22

1

2

(2.69)

donde viene dado por

(1, 2; ) =

41

420 ( (1) (2) (0))011+22 , (2.70)

con

() = ()5() . (2.71)

Es importante destacar que la identidad de Ward para diagramas a un loop que contienencampos vectoriales y pseudoescalares ( ) y que es libre de anomalas conduce a:

= 2 , (2.72)

de donde podemos identicar al segundo termino del lado derecho de la ec.(2.69) como eltermino anomalo. Notese que el mencionado termino anomalo es proporcional a:

=1

2({ , } ) , (2.73)

conocido con el nombre de coeciente de anomala triangular. De este modo se puedeconcluir que = 0 garantiza la ausencia del termino anomalo en la teora.


2.10.2. Anomala triangular en el ME.

En el caso del ME tenemos que los fermiones son dobletes o singletes bajo (2). Larepresentacion matricial , para este caso seran las matrices de Pauli /2 o la hipercarga 122. Para el grupo (2) la anomala se cancela debido a las propiedades de estasmatrices,

[{ , }] = 2[] = 0 (2.74)mientras que para los coecientes que incluyen generadores de (2) y (1) se tiene

[{, } ] = 2[ ] [ ] = 0 , (2.75)donde se ha tenido en cuenta que cada miembro del multiplete de (2) tiene la mismahipercarga. Adicionalmente tenemos el coeciente con un operador :

[{ , } ] = [{ , } ] = 2[ ]. (2.76)Como puede verse, esta ultima anomala es proporcional a la traza de (es decir, la sumade los valores de hipercarga de todos los fermiones izquierdos y derechos del modelo). Sirecordamos la denicion 2.8, podemos encontrar la relacion = 2( 3), que podemosutilizar para conocer los numeros cuanticos de hipercarga para las partculas del ME. Deesta forma, para cada familia, se llega facilmente a

= 1 1 2 = 4

= 3

(1

3+1

3+4

3 23

)= 4 . (2.77)

De donde [ ] = 0. Aqu el factor 3 que esta al frente del parentesis proviene de sumarsobre los tres colores de quarks. Por ultimo para el coeciente de anomala con tresgeneradores de (1) tenemos:

[{, } ] = 2[ ]= 16[3 323 + 3 23 33 ] [23 23 ] = 0 (2.78)

donde se tuvo en cuenta que [ 33 ] = 0, mientras que, debido a que la corriente electro-magnetica es una corriente vectorial (V), 3 relacionara tres bosones vectoriales (VVV)y los loops que contienen estas tres corrientes son libres de anomalas. Ahora bien, paracada familia de leptones del ME se tiene

(23 23 ) = 1

4

(23 23 ) = 3(1

18+

1

36

)=

1

4. (2.79)

Se concluye, por tanto, que las anomalas quirales en el modelo estandar se cancelancompletamente familia por familia [22, 23].

modelo electrodebil

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