El modelo de colas (M/M/1):(DG/N/)

Profesor: Alí DuínCurso: Optimización de SistemasTema: Líneas de Espera

Objetivos

Los objetivos, tanto el general como los específicos, coinciden con los descritos para los dos primeros modelos.

Hipótesis

.anteriores modelos dos losen como

c que

requiere no modelo Este

Requiere que tanto las llegadas como los servicios se distribuyan según una distribución de Poisson, y que la capacidad del sistema sea finita. Debe entenderse por capacidad finita del sistema, como el número máximo de clientes que el sistema acepta tener simultáneamente en espera de servicio o recibiendolo.

Entradas del modelo

Este modelo requiere del conocimiento de la tasa promedio de llegadas de los clientes.Requiere también de la tasa de servicio de la instalación.Sus fórmulas usan la capacidad del sistema, entendida ésta como la cantidad de clientes máximas que pudiesen estar presentes de manera simultánea en la instalación.

Aportes del modelo

El número promedio de clientes en el sistema,El número promedio de clientes en la cola,El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema,El tiempo promedio que pasa un cliente en la cola,La distribución de probabilidad del número de clientes en el sistema,La tasa efectiva de clientes en el sistema, esto es la tasa promedio de clientes que solicitan el servicio y reciben el servicio.La tasa de utilización.

EL MODELO (M/M/1): (DG/N/)

efect

qq

efectNefect

q

N

N

nnN

LW

LWp

pLL

NL

ppp

1

)1(

1

1

1

1

1,

0

1

1

010

Aplicación: Descripción de un problema

Se están haciendo planes para abrir un autolavado y el dueño debe decidir cuanto espacio conviene asignar a los autos que esperan. Se estima que los clientes llegaran de manera aleatoria, es decir, de acuerdo con un proceso Poisson, con tasa media de 1 cada 4 minutos, a menos que el área de espera esté llena, en cuyo caso los clientes que llegan llevarán su automóvil a otra parte.

Aplicación: Descripción de un problema

1. Cero Espacios.

2. 1 espacio.

3. Dos espacios.

4. Tres espacios.

5. Cuatro espacios.

El tiempo total que se puede atribuir al lavado de un carro tiene una distribución exponencial con media de 3 minutos. Compare la fracción de los clientes potenciales que se pierden por falta de espacio si se proporcionan:

Solución al problema planteado

N=1, p1=0.4286.N=2, p2=0.2432.N=3, p3=0.1543.N=4, p4=0.1037.

N=5, p5=0.0722.

00,05

0,10,15

0,20,25

0,30,35

0,40,45

cero

espa

cio

dos

espa

cios

tres

espa

cios

cuat

roes

paci

osci

nco

espa

cios

Proporción de clientesperdidos con

Proporción de clientesperdidos con ceroespacio

Proporción de clientesperdidos con dosespacios

Proporción de clientesperdidos con tresespacios

Proporción de clientesperdidos con cuatroespacios

Proporción de clientesperdidos con cincoespacios

Ejemplo N°2

Una estación de servicio en un camino rural tiene sólo una bomba para despachar gasolina. Los automóviles llegan a comprar gasolina siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa promedio de 10 por hora. Aparentemente el tiempo necesario para dar servicio a un automóvil se distribuye exponencialmente, con una media de 2 minutos. En la estación caben un máximo de cuatro autos y las leyes locales de tránsito prohíben que los autos esperen en la vía pública. Determínese: a) el número promedio de automóviles que se encuentran simultáneamente en la estación; b) el tiempo promedio que un cliente debe esperar para obtener servicio, una vez que logra entrar a la estación; c) la tasa promedio de pérdida de ingresos por aquellos clientes que se van a realizar su compra a otro lugar cuando la estación está llena, si la venta promedio es de $15.00.

Respuesta

)(15 c)

b)

a)

:calcular a valoresLos

;4,30,10

:son datos Los

efectivo

W

L

N

Ejemplo 3

Un promedio de 40 automóviles por hora (los tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial) están tentados a pasar por el servicio para automóviles del restaurante McPatoDonall. Si un total de más de 4 automóviles están haciendo la cola (incluyendo el auto que está siendo atendido) un automóvil no entrará a la cola. Se requiere un promedio de 4 minutos (con distribución exponencial) para atender a un automóvil

Preguntas

a) ¿Cuántos clientes potenciales entran cada hora, en promedio al sistema?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el servidor esté ocupado?

c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola?

d) ¿Cuál es el tiempo promedio en la cola?

e) En caso de calcularse c y d con el modelo 1 ¿se tendrá una diferencia notable en las respuestas?

Respuesta

q

q

efectivo

W

Lc

p

d)

)

1 b)

horas) en tiempoel

describa que (requiere a)

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