Leccion 2Modelizacion: Ejemplos y aplicaciones

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¿Que es un modelo?

Modelo: representacion idealizada pero pre-cisa de los (algunos) componentes de unsistema dinamico cuyo comportamiento sequiere estudiar o predecir.

Modelo del amortiguador de unarueda de un coche

El modelo puede no ser unico: la eleccion del modelo depende delas preguntas que se quieran contestar. Debe ser:

completo y eficiente,sencillo pero no simplista.

Modelo matematico: representacion mediante ecuaciones delsistema dinamico (fısico, biologico, economico, ...) una vezmodelizado.

Mbxb + Ks(xb − xw ) = fa(t)Mw xw + Ks(xw − xs) + Kt(xw − xr ) + Bt(xw − xr ) = −fa(t) 2

Variables del modeloAsociado a un sistema de control tenemos una serie de variablesque, en general, pueden cambiar con el tiempo.

Variables de salida o medidas: cantidades que se miden y sequieren controlar.

Variables de entrada o controles: cantidades que se puedenmodificar con el fin de producir un determinado efecto sobrelos valores de las variables de salida.

Perturbaciones, ruido: senales aleatorias que tienden a afectarnegativamente el valor de la salida de un sistema.

Incertidumbres: falta de informacion en alguna parte delsistema modelado.

Ademas se pueden definir las variables de estado, que son variablesauxiliares que resumen toda la informacion pasada relevante paraconocer el futuro del sistema.

3

Sistemas mecanicos de traslacionComportamiento dinamico: descrito por vectores dedesplazamientos, velocidades y fuerzas medidos respecto a unsistema de referencia inercial: aquellos en los que se verificala 1a Ley de Newton:todo cuerpo permanecera en reposo o enmovimiento uniforme en una lınea recta a menos que seaobligado a cambiar su estado por la accion de una fuerzaexternaTecnica de modelado: representar los sistemas como unainterconexion de elementos idealizados (masas, muelles yamortiguadores).Cada elemento esta gobernado por una ley fısica simple:ecuacion o ley constitutiva del elemento.Interconexion: 3a Ley de Newton: Toda fuerza de un elementosobre otro va acompanada de una fuerza de reaccion delsegundo elemento sobre el primero de igual magnitud pero endireccion opuesta a lo largo de la lınea que los une.

4

Leyes constitutivasMasas. 2a Ley del Movimiento de Newton: La suma de lasfuerzas que actuan sobre una partıcula es igual a la razon delcambio del momento lineal, p(t) = Mv(t), respecto del tiempo.

ddt (Mv(t)) = F (t)

v(t) = v12(t) velocidadF (t) fuerza total aplicada

Muelles (lineales). Ley de Hooke: El alargamiento esdirectamente proporcional a la fuerza aplicada.

ky(t) = F (t)y(t) = y12(t)− y12 elongacion neta

F (t) fuerza aplicada al muelle

Amortiguadores (lineales):la velocidad relativa del piston esdirectamente proporcional a la fuerza aplicada.

cv(t) = F (t)v(t) = v12(t) velocidad relativadel piston. F (t) fuerza aplicadaal amortiguador

5

Ejemplo: Oscilador lineal (vertical)

y(t): posicion de la masa en el tiempo t con respecto a suposicion de reposo teniendo en cuenta la gravedad.x(t): sin tenerla

Ecuacion del movimiento:

My(t) + cy(t) + ky(t) = βu(t)y(0) = y(0) = 0

Entrada: βu(t), Salida: y(t).

Objetivos de control: conseguir una elongacion determinada,devolver la masa a su posicion de equilibrio,. . .

6

Ejemplo: Sistema de dos masas conectadas por resortes yun amortiguadores

M1x1(t) + +k1x1(t) + b(x1(t)− x2(t)) + k2(x1(t)− x2(t)) = u(t)M2x2(t) + b2(x2(t)− x1(t)) + k2(x2(t)− x1(t))− k3x2(t) = 0

xi (0) = xi (0) = 0, i = 1, 2

7

Ejemplo: una aplicacion en automocionModelizacion de la suspension de una rueda de un coche:

Mbxb + Ks(xb − xw ) = fa(t)Mw xw + Bt(xw − xr ) + Ks(xw − xb) + Kt(xw − xr ) = −fa(t)

xb(0) = xw (0) = xb(0) = xw (0) = 0

Entrada: fa, Salida(s): xb y xb, Perturbacion: xr y xr

Objetivo de control: Atenuar, mediante el actuador (controlador)fa, el efecto de xr y xr sobre xb y xb a fin de preservar el confort delos pasajeros (disturbance attenuation problem). 8

Algunos modelos basados en sistemas mecanicos detraslacion

Figura: Control automatico de lavelocidad (Cruise control): Astromy Murray, Sec. 3.1. Sistemasmecanicos de traslacion.

Figura: Microscopio de fuerzaatomica: Astrom y Murray, Sec.3.5. Sistema masa-muelle

.

9

Movimientos de traslacion en R3

• Sistema de N partıculas puntuales, masa mi en la posicion ri , i =1, . . . ,N. Momento lineal: p(t) =

∑Ni=1 pi (t) =

∑Ni=1 mi ri (t)

• 2a ley de Newton (version vectorial):

p(t) =N∑

i=1

mi ri (t) =N∑

i=1

fuerzas externas︷ ︸︸ ︷Fei (t) +

0︷ ︸︸ ︷N∑

i ,j=1,i 6=j

accion-reaccion︷ ︸︸ ︷Fij(t)

• Fuerza externa total y centro de masa:

Fe(t) =N∑

i=1

Fei (t), r(t) =

N∑

i=1

mi ri (t)

M, (M =

N∑

i=1

mi )

• Momento lineal y 2a ley de Newton:

p(t) = M ˙r(t) y p(t) = M¨r(t) = Fe(t)

el centro de masa del sistema se mueve como si la fuerza externa totalactuara sobre la masa total del sistema concentrada en el centro de masa

10

Sistemas mecanicos de rotacionSistema de referencia inercial con centro O∗

Momento angular de una partıcula de masa m respecto de unpunto fijo O: H(t) = r(t)× p(t) = r(t)×mr(t), r(t)= vectorde O a la partıcula.

Par o Momento de fuerza: N(t) = r(t)× F(t)

H(t) = N(t)

N partıculas, masa mi , rotando respecto a O: SiNe(t) =

∑Ni=1 ri (t)× Fe

i (t) es la suma de los pares de lasfuerzas externas sobre cada partıcula, entonces

H(t) = Ne(t)

La razon de cambio en el tiempo del momento angular total de unsistema de partıculas respecto de un punto fijo O es igual a la sumade los pares de fuerza respecto a O de todas las fuerzas externas

11

Sistemas mecanicos de rotacion respecto a un punto movilN partıculas, masa mi , rotando respecto a punto movil Ot :

H(t) =N∑

i=1

ri ×mivi = r(t)×M v(t) + H′(t)

H′(t)= momento angular del sistema respecto al centro demasa. r(t)=vector de Ot al centro de masa, v(t)= velocidaddel centro de masa (en el sistema inercial).Si Ot = centro de masa movil entonces H(t) = H′(t): paracalcular la razon del cambio del momento angular de unsistema respecto a su centro de masa, podemos pensar en elcentro de masa como si estuviera en reposoAdemas: H(t) = Ne(t)− v∗(t)×M v(t) (v∗(t)= velocidad deOt)

Si Ot= centro de masa movil, H(t) = Ne(t). Ası la razon delcambio del momento angular de una sistema respecto de su centrode masa es la suma de las pares de fuerza respecto del centro demasa de todas las fuerzas externas, independientemente de si elcentro de masa esta en movimiento o en reposo. 12

Rotacion en el plano

Para una partıcula de masa m girando en el plano x , yalrededor de un eje paralelo a z en O siendor(t) = (x(t), y(t), 0) el vector de posicion de la partıcularespecto de O con distancia constante, es decir, r = ‖r(t)‖ ala que se le aplica una fuerza F(t) = (F1(t),F2(t), 0):

x(t)F2(t)− y(t)F1(t) = N(t) = mr2w(t)

donde N(t)= componente de N(t) en la direccion del eje z yw(t) = (0, 0,w(t)) es la velocidad angular.

Momento de inercia de la partıcula alrededor de O: J = mr2

2a ley de Newton para las partıculas que rotan en el plano:

N(t) =d

dt(Jw(t))

13

Elementos basicos de los sistemas mecanicos de rotacion

Sımbolo Ley Constitutiva Variables

ddt (Jw(t)) = N(t)

w(t) = w12(t) velocidad angularN(t) par aplicado respecto del eje

kθ(t) = N(t)θ(t) = θ12(t) = θ2(t) − θ1(t)desplazamiento angular relativoN(t) par aplicado al muelle

cw(t) = N(t)w(t) = w12(t) = w2(t)−w1(t)velocidad angular relativaN(t) par aplicado

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Ejemplos: Cuerpos rıgidos que rotan

J θ(t) + B θ(t) + Kθ(t) = T (t)

El par que ejerce un elemento sobre otro lleva emparejado un parde la misma magnitud pero de direccion opuesta del segundoelemento sobre el primero (siempre que roten sobre el mismo eje)

Mq(t) +Cq(t) +Kq(t) = f (t)

M =

J1

J2

J3

, C =

c −c 0−c 2c −c0 −c c

, K =

k1 −k1 0−k1 k1 + k2 −k2

0 −k2 k2

,

f (t) =

00

u(t)

y q(t) =

θ1(t)θ2(t)θ3(t)

.

J1θ1(t) + B1θ1(t) + K1θ1(t) + K2(θ1(t)− θ2(t)) = T1(t)

J2θ2(t) + B2θ2(t) + K2(θ2(t)− θ1(t)) + K3θ2(t) = T2(t)

15

Ejemplo: Pendulo

Recordemos: Para una particula de masa m girando en el plano x ,yalrededor del eje z a una distancia ` con coordenadas (x(t), y(t), 0)a la que se le aplica una fuerza F(t) = (F1(t),F2(t), 0):

x(t)F2(t)− y(t)F1(t) = N(t) = m`2ω(t).

Ası:m`2θ(t) = −mg` sen θ(t)

16

Ejemplo: Sistema carro-pendulo

Ecuacion del desplazamiento del carro: las fuerzas se compensanen direccion vertical. Y en la horizontal:

Mr(t) = βu(t)− cr(t) + F1(t) (1)

Ecuaciones del desplazamiento del pendulo:

mx(t) = −F1(t)⇔ md2

dt2(r(t)+` sen θ(t)) = −F1(t) (Horizontal)

(2)

my(t) = −mg+F2(t)⇔ m`d2

dt2(− cos θ(t)) = −mg+F2(t) (Vertical)

(3)

17

Ejemplo: Sistema carro-penduloPar de la fuerza (−F1(t),F2(t)) sobre (x(t), y(t)):

N(t) = (−` sen θ(t)︸ ︷︷ ︸r(t)−x(t)

)F2(t)− (` cos θ(t)︸ ︷︷ ︸−y(t)

)(−F1(t))

Suponiendo una friccion rotacional en el eje de giro del pendulo deconstante cP , la ecuacion del movimiento rotacional:

J θ(t) = −F2(t)` sen θ(t) + F1(t)` cos θ(t)− cP θ(t) (4)

Despejando F1(t) y F2(t) en (2) y (3) y sustituyendo en (1) y (4) :

Ecuaciones del sistema carro-pendulo{

M(θ)r = (J + m`2)(βu − cr + m`θ2 sen θ) + m` cos θ(mg` sen θ + cP θ)

M(θ)θ = −m` cos θ(βu − cr + m`θ2 sen θ)− (M + m)(cp θ + mgl sen θ)

donde M(θ) = (M + m)J + m`2M + m2`2 sen2 θ.Entrada: βu, Salidas: r y θObjetivo de control: Llevar el pendulo en posicion de equilibrio(θ = 0) a cualquier punto (r0) en tiempo finito (controllabilityproblem). 18

Pendulo invertido

Basta cambiar θ = π − ϕ:{

M(ϕ)r = (J + ml2)(βu − cr + mlϕ2 senϕ)−ml cosϕ(mgl senϕ− cP ϕ)M(ϕ)ϕ = −ml cosϕ(βu − cr + mlϕ2 senϕ) + (M + m)(−cpϕ+ mgl senϕ).

vıdeo controlador del pendulo invertido:www.youtube.com/watch?v=MWJHcI7UcuE

Entrada: u, Salidas: r y ϕObjetivo de control: Disenar un regulador que mantenga el penduloen posicion vertical (ϕ = 0) en cualquier punto (r0). El regulador ocontrolador acepta como entradas las salidas del sistema (r(t) yϕ(t)) y devuelve como salida la entrada u(t) que estabiliza elpendulo (stabilization problem).

19

Algunos modelos basados en sistemas mecanicos derotacion

Figura: Dinamica de una bicicleta engiro:Astrom y Murray, Sec. 3.2.

Figura: Segway y despegue de coheteespacial: Astrom y Murray, Sec.2.1.Pendulo invertido (carro-pendulo)

Sistemas mecanicos de traslacion y rotacion en 3 dimensiones:http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes (L26)

Satelite en orbita geoestacionaria

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Circuitos electricosComportamiento dinamico: descrito por cargas (Q enculombios), intensidades de corriente (I en amperios) y

diferencias de potencial o voltajes (V en voltios): I =dQ

dt.

Tecnica de modelado: representar los sistemas como unainterconexion de elementos idealizados (Resistencias,inductancias y capacitancias).Cada elemento esta gobernado por una ley fısica simple:

21

Ejemplo: Un circuito simple

Leyes de Kirchhoff:

(i) La suma algebraica de las corrientes que concurren en unnodo de una red es cero.

(ii) La suma de las diferencias de potencial en cualquier ciclo de lared es cero.

e(t)− VR(t)− VC (t)− VL(t) = 0

VR(t) = I (t)R,VC (t) = Q(t)/C ,VL(t) = LI (t), I (t) = Q(t)

LQ(t) + RQ(t) +1

CQ(t) = e(t), t ≥ 0

Entrada: e, Salida(s): depende lo que se quiera observar ocontrolar.Objetivos de control: Por ejemplo, mantener constante la corrienteI (t) = Q(t) en el circuito.

22

Analogıa entre circuitos y sistemas mecanicos

M1y1(t) + B(y1(t)− y2(t)) + K (y1(t)− y2(t)) = f (t)M2y2(t) + B(y2(t)− y1(t)) + K (y2(t)− y1(t)) = 0

M1Q1(t) + B(Q1(t)− Q2(t)) + K (Q1(t)− Q2(t)) = f (t)

M2Q2(t) + B(Q2(t)− Q1(t)) + K (Q2(t)− Q1(t)) = 0

23

Modelo basado en circuitos electricosAmplificadores Operacionales (op amp): dispositivos electronicosdisenados para amplificar las senales de entrada (intensidad de lacorriente o voltage).Tutorial de electronica: www.electronics-tutorials.ws

Componentes

Entradas invertida y no invertida (v− = V1, v+ = V2)Salida voutSuministrador de voltaje (e− = −Vsupply , e+ = +Vsupply )

vout = k(v+ − v−)⇒ k =vout

v+ − v−(ganancia en lazo abierto) 24

Ganancia de un op amp en lazo cerrado

Para una primera aproximacion v2 = k(v+ − v−) =: −kv(k=ganancia del amplificador en lazo abierto).Suponiendo i0 = 0 y v = 0, por la primera ley de Kirchhoff:

IR1−IR2 = 0⇔ v1 − 0

R1−0− v2

R2= 0⇔ −v2

v1=

R2

R1= kcl(ganancia lazo cerrado)

Suponiendo i0 = 0 pero v 6= 0:

v1 − v

R1=

v − v2

R2⇒ v =

R1

R1 + R2

e︷ ︸︸ ︷(R2

R1v1 + v2

)⇒

⇒ kcl = −v2

v1=

R2

R1

kR1

R1 + R2 + kR1

25

Amplificadores aditivos

I1+I2+I3 = IF (primera ley de Kirchhoff)

Suponiendo que el votaje en x es 0:

I1 =v1

R1, I2 =

v2

R2, I3 =

v3

R3,

IF = −voutRF

vout = −(RF

R1v1 +

RF

R2v2 +

RF

R3v3

)

Aplicacion: Mezclador de sonidos, con-versor digital analogico,. . .

26

Amplificadores integradores y diferenciadoresSuponemos que el votaje en x es 0.

Iin = If (primera ley de Kirchhoff)

Iin =vinRin

, vout = −Q/C ⇒d

dtvout = − If

C⇒

d

dtvout = − 1

RinCvin ⇒

vout = − 1

RinC

∫vin dt

d

dtvin =

IinC, If = −vout

Rf

vout = −Rf Cd

dtvin

27

Dinamica del sistema insulina-glucosa

Minimal Model (Bergman et al.):www.sediabetes.org/gestor/upload/revistaAvances/24-4.pdf#page=38

dx1

dt= −(p1 + x2)x1 + p1ge

dx2

dt= −p2x2 + p3(u − ie)

u(t)= insulina en la sangre

ie , ge valores de equilibrio de insulina y glucosa

x1= concentracion de glucosa en sangre

x2= proporcional a la concentracion de insulina en el lıquido intersticial

p1, p2, p3= parametros.28

Producto Interior BrutoSin contar las importaciones y exportaciones, el PIB se calculasumando el consumo, las inversiones y el gasto publico.Samuelson-Hicks multiplier-accelerator model:

C (t + 1) = f (P(t),P(t − 1)) (1)I (t + 1) = h(P(t)− P(t − 1)) (2)P(t) = C (t) + I (t) + G (t) (3)

Sustituyendo las ecuaciones (1) y (2) en la (3):

P(t + 1) = f (P(t),P(t − 1)) + h(P(t)− P(t − 1)) + G (t + 1)

Entrada: G (t), Salida: P(t)Objetivo de control: Regular el PIB, el consumo y la inversionmanteniendo estas variables tan proximas como se pueda a unosvalores previamente fijados: Minimizar

J =N∑

t=1

[g1(P(t)−P∗(t))2 +g2(C (t)−C ∗(t))2 +g3(I (t)− I ∗(t))2]

(quadratic control optimization problem) 29

Calentamiento de una barra metalicaCoordenadas cilındricas (r , ϕ, x)

El cilindro se calienta mediantechorros de calor cuya intensidadv(x , t) puede ser controlada y lamisma para todo ϕ (varıa con r).

Θ(x , t)= temperatura media en el corte transversal.

C= Temperatura de referencia y u(x , t) = Θ(x , t)− C

∂u

∂t(x , t) = α

∂2u

∂x2(x , t) + v(x , t),

u(x , 0) = f (x), u(0, t) = 0 = u(l , t)

α=conductividad termometrica (supuesta constante)Entrada: v(x , t), Salida: u(x , t)Objetivo de control: Controlar la temperatura de la barra en cadapunto en un intervalo de tiempo determinado.

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