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INTRODUCCION A MATLAB
Victoriano Carmona Centeno y Julio R. Fernandez Garcıa
INTRODUCCION A MATLAB
c° Victoriano Carmona Centeno y
Julio R. Fernandez Garcıa
Profesores del Departamento de Matematica Aplicada II
Escuela Universitaria Politecnica
Universidad de Sevilla
ISBN 84-8264-257-X
Deposito Legal SE-233-98
Imprime Librerıa Papelerıa Panella
C/Virgen de Africa 8, 41011 Sevilla
Febrero de 1998
MATLAB es una marca registrada de
The Math Works, Inc.
INTRODUCCION
Hace ya bastante tiempo que el ordenador es utilizado en el calculo cientıfico y su uso
cada vez se impone con mas fuerza tanto en el terreno de la investigacion como pedagogico-
didactico. Es por ello, que hayan salido al mercado distintos programas en los que aparecen
implementados algunos de los metodos que utilizamos dıa a dıa en la resolucion de nuestros
problemas.
Uno de estos programas es MATLAB (MATrix LABoratory, Laboratorio de Matrices)
que procede de los proyectos LINPACK y EISPACK y que ha evolucionado durante varios
anos hasta su forma actual. MATLAB destaca por su facil aprendizaje, facil utilizacion, gran
potencia y pocas exigencias de equipamiento informatico. Naturalmente, esta buena ”relacion
calidad-precio” hace que sea uno de los programas de software matematico mas extendido.
La potencia de MATLAB se manifiesta por dos caracterısticas fundamentales: la
conjugacion entre programacion clasica y funcional y la gran variedad de problemas que es
capaz de resolver (Sistemas de Ecuaciones, Optimizacion, Ecuaciones diferenciales...). Su
facil uso y rapido aprendizaje estan ıntimamente relacionados con su caracter funcional y
con el ente primordial o elemental en MATLAB: La matriz. De esta forma, los datos en
MATLAB son, casi exclusivamente, matrices y la resolucion de un determinado problema se
lleva a cabo aplicando” a las matrices introducidas las ”funciones” que MATLAB dispone (o
que el usuario ha definido previamente).
MATLAB se presenta entonces como una herramienta eficaz y flexible en el Calculo
Numerico (sobre todo en el Calculo Numerico Matricial) con excelente posibilidades graficas,
que ayudan al profesor y al alumno tanto en sus trabajos docentes y de estudio como en su
labor de investigacion.
Estas paginas no pretenden agotar, en absoluto, todas las posibilidades que MATLAB
ofrece. Aquellos que deseen profundizar mas en este tema pueden hacerlo consultando alguno
de los excelentes manuales de la bibliografıa y las referencias que en ellos se citan. En ella
hemos incluido libros de ALGEBRA LINEAL para aquellos lectores que necesiten repasar
algunos de los conceptos que se van desarrollando.
El presente manual fue utilizado en 1997 como texto de referencia en el Curso de
”Introduccion a Matlab”, celebrado en el Centro Informatico Cientıfico de Andalucıa
(C.I.C.A.) del 7 al 14 de Abril. Este curso, que fue dirigido por los autores, estuvo organizado
por el Vicerrectorado de Relaciones Institucionales y Extension Cultural de la Universidad
de Sevilla y fue homologado por la Consejerıa de Educacion y Ciencia.
Por ultimo deseamos hacer constar la colaboracion del profesor D. Francisco Felix
Lara Martın en la elaboracion de unos apuntes preliminares a esta obra.
LOS AUTORES
INTRODUCCIONAMATLABVictoriano Carmona Centeno y Julio R. Fernandez Garcıa
Indice General
1 Elementos basicos 3
1.1 Formatos de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Matrices por bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Operaciones con Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Operaciones elemento a elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Tipos especiales de matrices. Construcciones. 25
2.1 Matrices especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Redefiniciones y construcciones a partir de la diagonal . . . . . . . . . . . . . 26
3 Sistemas de Ecuaciones Lineales y descomposiciones 29
3.1 Resolucion de S.E.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Sistemas cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Sistemas superdeterminados. Mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Tiempo de calculo y numero de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Descomposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Factorizacion LU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 Descomposicion de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Factorizacion QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.4 Ortonormalizacion y espacio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Normas y numero de condicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Normas vectoriales y matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Numero de condicion y rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Autovalores y polinomios 43
4.1 Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Valores singulares y pseudoinversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Tratamiento de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.1 Polinomio caracterıstico de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . 47
4.3.2 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.3 Raıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.4 Aproximacion por polinomios en el sentido de los mınimos cuadrados . 52
1
2 INDICE GENERAL
4.3.5 La orden polyvalm y semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Posibilidades graficas 57
5.1 Graficos en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.1 Poligonales y curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.2 Curvas en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.3 Curvas en parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.4 Histogramas y diagramas de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Curvas en el espacio y superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.1 Curvas en parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.2 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.3 Curvas de nivel y vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Funciones y programas en Matlab. M—Ficheros 73
6.1 Instrucciones en Matlab: input, if, error, while, break, pause, for . . . . . 73
6.2 Definicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7 Aspectos de analisis numerico 84
7.1 Resolucion de Ecuaciones y Sistemas no Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2 Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3 Optimizacion en una y varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4 Resolucion de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . 87
8 Consejos practicos 91
8.1 Las ordenes help, lookfor y demo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2 Informacion sobre variables declaradas. Instrucciones para guardar y salvar
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3 Relacion con el sistema operativo. El comando diary . . . . . . . . . . . . . 93
9 Resumen de los comandos y funciones mas utilizados 95
10 Relacion de ejercicios 102
Capıtulo 1
Elementos basicos
En esta primera seccion explicaremos aquello que es necesario conocer para comenzar a
utilizar MATLAB. En particular describiremos:
1. La introduccion de matrices y sus elementos, declaraciones y variablesMATLAB.
2. Como obtener informacion, terminar y salvar variables declaradas en una sesion.
3. Numeros y expresiones aritmeticas.
4. Utilizacion de la ayuda.
5. Funciones deMATLAB.
LA INTRODUCCION DE MATRICES
MATLAB trabaja esencialmente con matrices rectangulares cuyos elementos pueden ser
reales, complejos y/o cadenas de caracteres. En ocasiones consideraremos matrices de orden
1 por 1, que son escalares, y matrices con una fila o una columna, que representaran vectores.
En MATLAB podemos introducir las matrices de varias formas:
• Introduciendo explıcitamente una lista de elementos.• Generando matrices usando variables y funciones incorporadas.• Creando matrices en M—ficheros.• Leyendo matrices desde ficheros de datos externos.
El lenguaje MATLAB no contiene ninguna declaracion de dimension u otro tipo de
declaraciones, como sucede en algunos lenguajes de programacion. MATLAB asigna y
almacena automaticamente, dependiendo de las caracterısticas de cada ordenador.
El modo mas facil de introducir matrices pequenas es introducir explıcitamente sus ele-
mentos, siguiendo las convenciones: Separar explıcitamente la lista de elementos con espacios
3
4 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
en blanco o comas, encerrar los elementos entre corchetes ([ ]) y usar ; para indicar el fin de
cada fila.
Por ejemplo, introduciendo la asignacion
>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
resulta la salida
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
MATLAB guarda la matriz para poder usarla posteriormente.
Las matrices tambien pueden introducirse por lıneas, reemplazando el ; por un retorno
de carro. Por ejemplo, si tecleamos
>>A=[1 2 3
4 5 6
7 8 9]
obtenemos la misma salida
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Podemos introducir las matrices desde discos, utilizando ficheros.m. Ası si un fichero se
llama “pepe.m” y contiene las siguientes lıneas de texto
A=[1 2 3
4 5 6
7 8 9]
entonces, la instruccion “pepe” lee el fichero “pepe.m” y genera la matriz A:
>>pepe
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
El comando “load” y la funcion “fread” permiten leer matrices generadas durante sesiones
anteriores, importar matrices de otros programas o exportarlas. Pero este es un aspecto que
sera tratado mas adelante.
Las matrices pueden incluir algunas expresiones MATLAB; por ejemplo al teclear
5
>>x=[-1.3 sqrt(3) (1+2+3)*4/5]
resulta
>>x=
-1.3000 1.7321 4.8000
Los coeficientes de la matriz pueden referenciarse individualmente utilizando ındices encer-
rados dentro de un parentesis. Si continuamos con el ejemplo anterior, la asignacion
>>x(5)= abs(x(1))
produce
>>x=
-1.3000 1.7321 4.8000 0 1.3000
Observese que el tamano de x aumenta automaticamente, acomoda al nuevo elemento
que hemos definido y da el valor cero a los elementos que no se han definido.
Si tecleamos
>>r=[10 11 12];
no obtenemos salida alguna; ello se debe a que hemos anadido el punto y coma al final. No
obstante MATLAB si ha almacenado la matriz r, para comprobarlo tecleamos
>>r
y resulta
>>r =
10 11 12
Podemos introducir matrices grandes utilizando matrices pequenas como “elementos”de
la misma. Por ejemplo podemos anadir una fila a la matriz A.
>>A = [ A; r]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 8
10 11 12
De una matriz podemos extraer submatrices utilizando el sımbolo :. Por ejemplo
6 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
>>A = A(1:3,:)
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
toma las tres primeras filas de la matriz A y todas las columnas, y nos devuelve el resultado
introducido en la matriz original. Estos y otros aspectos los veremos mas adelante con mucho
mas detalle.
ASIGNACIONES Y VARIABLES MATLAB
MATLAB es un lenguaje de expresiones: interpreta y evalua las expresiones introduci-
das. Las asignaciones MATLAB son con frecuencia de la forma
variable=expresion
o simplemente
expresion
Podemos componer expresiones con operadores, caracteres especiales, funciones y vari-
ables. La evaluacion produce en la mayorıa de los casos una matriz. La matriz aparece, si se
desea, en pantalla y es asignada a una variable para su posterior uso. Si omitimos el nombre
de la variable y el signo =, MATLAB automaticamente crea una variable con el nombre
“ans” (variable de respuesta), donde almacena el resultado. Por ejemplo, si introducimos la
expresion
>>sqrt(2)/15
se obtiene
ans =
0.0943
Si una expresion es bastante complicada (y larga) y no es suficiente una lınea para es-
cribirla completamente, podemos anadir al final tres puntos ( . . . ) seguidos de un retorno de
carro para indicar que la asignacion continue en la lınea siguiente. Por ejemplo,
>>s= 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 ...
- 1/8 + 1/9 - 1/10 + 1/11 - 1/12;
evalua la suma de estas fracciones y asigna dicha suma a la variable s. Los espacios en blanco
tras los signos =,+ y − son opcionales, pero se incluyen para facilitar la lectura.
7
Podemos dar nombres a variables y funciones que empezaran siempre por letras y que
pueden estar seguidas de otras letras o dıgitos. MATLAB solo reconoce los 19 primeros
caracteres de un nombre.
MATLAB es muy sensible: distingue entre letras mayusculas y minusculas. A y a no son
la misma variable. Todos los nombres de funciones deben escribirse con minusculas; inv(A)
es la inversa de A, pero INV(A) no esta definida. El comando “casesen” anula (o activa) esta
sensibilidad.
RECOGIENDO INFORMACION EN EL ESPACIO DE TRABAJO (WORKSPACE)
En los ejemplos previos hemos creado variables que han sido almacenadas en el espacio de
trabajo deMATLAB. Podemos listar estas variables tecleando “who” o “whos” dependiendo
de la informacion que necesitemos de las variables almacenadas.
>>who
Your variables are:
A ans r s x
Esto muestra que los ejemplos anteriores han generado cinco variables, incluyendo la
variable “ans”.
VARIABLES PERMANENTES
La variable “ans” y la variable “eps” tienen un significado especial para MATLAB.
Ellas son permanentes y no pueden borrarse con la orden clear1. La variable “eps” es una
tolerancia para considerar cero aquellas variables que sean casi nulas (bastante util para
detener los procesos iterativos). El valor estandar de “eps” para estaciones de trabajo y
ordenadores compatibles es:
eps = 2−52
que es aproximadamente 2.22 · 10−16. Podemos inicializar “eps” a cualquier otro valorincluido el cero.
Relacionadas con estas variables nos encontramos con las funciones pi, Inf y NaN que
generan valores especiales.
Por ejemplo, la funcion “pi” nos devuelve el numero π, precalculado por el programa
como 4 arctan(1) (cuatro veces el arco cuya tangente es uno). Otra posibilidad es calcular π
tecleando imag(log(−1)) (parte imaginaria del logaritmo principal de −1).La funcion “Inf”, que se utiliza para infinito, se encuentra en algunas calculadoras o
lenguajes de computacion. Un camino para generar el valor que nos devuelva “Inf” es
1La orden “clear A B C” limpia del espacio de trabajo estas tres variables.
8 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
>>s=1/0
Warning: Divide by zero
s =
Inf
Aunque, dependiendo de la version que utilicemos deMATLAB y el entorno de trabajo,
la respuesta al calculo anterior puede ser el sımbolo ∞.En maquinas con cierta aritmetica, la division por cero no provoca un error ni la final-
izacion de la ejecucion. Produce un mensaje y asigna un valor especial, que podemos utilizar
en calculos posteriores. Por ejemplo, la variable “NaN” es un numero relacionado con el
infinito pero con distintas propiedades. “NaN” siginfica No es Un Numero. Calculos como
Inf/Inf o 0/0 lo generan. Como otra variable intrıseca deMATLAB podemos citar la unidad
imaginaria que se representa enMATLAB por i o j.
LA UTILIDAD HELP
La utilidad “help” proporciona informacion instantanea de la mayorıa de los topicos de
MATLAB. El comando “help” sin argumentos muestra, dependiendo de la version deMAT-
LAB que estemos usando, una lista de los directorios que contienen ficheros relacionados con
MATLAB.
>>help
HELP topics:
c:\\matlab - Establish \matlab session parameters.
\matlab\general - General purpose commands.
\matlab\ops - Operators and special characters.
\matlab\lang - Language constructs and debugging.
\matlab\elmat - Elementary matrices and matrix manipulation.
\matlab\specmat - Specialized matrices.
\matlab\elfun - Elementary math functions.
\matlab\specfun - Specialized math functions.
\matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra.
\matlab\datafun - Data analysis and Fourier transform functions.
\matlab\polyfun - Polynomial and interpolation functions.
\matlab\funfun - Function functions - nonlinear numerical
methods.
\matlab\sparfun - Sparse matrix functions.
\matlab\plotxy - Two dimensional graphics.
\matlab\plotxyz - Three dimensional graphics.
9
\matlab\graphics - General purpose graphics functions.
\matlab\color - Color control and lighting model functions.
\matlab\sounds - Sound processing functions.
\matlab\strfun - Character string functions.
\matlab\iofun - Low-level file I/O functions.
\matlab\demos - Demonstrations and samples.
For more help on directory/topic, type "help topic".
Cada linea de pantalla incluye el nombre de un directorio seguido por una descripcion del
contenido de los directorios. Si ahora introducimos
>>help matfun
obtenemos la lista de las funciones sobre matrices mas relevantes en Analisis Numerico Ma-
tricial.
Matrix functions - numerical linear algebra.
Matrix analysis.
cond - Matrix condition number.
norm - Matrix or vector norm.
rcond - LINPACK reciprocal condition estimator.
rank - Number of linearly independent rows or columns.
det - Determinant.
trace - Sum of diagonal elements.
null - Null space.
orth - Orthogonalization.
rref - Reduced row echelon form.
Linear equations.
\ and / - Linear equation solution; use "help slash".
chol - Cholesky factorization.
lu - Factors from Gaussian elimination.
inv - Matrix inverse.
qr - Orthogonal-triangular decomposition.
qrdelete - Delete a column from the QR factorization.
qrinsert - Insert a column in the QR factorization.
nnls - Non-negative least-squares.
pinv - Pseudoinverse.
lscov - Least squares in the presence of known covariance.
Eigenvalues and singular values.
10 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
eig - Eigenvalues and eigenvectors.
poly - Characteristic polynomial.
hess - Hessenberg form.
qz - Generalized eigenvalues.
rsf2csf - Real block diagonal form to complex diagonal form.
cdf2rdf - Complex diagonal form to real block diagonal form.
schur - Schur decomposition.
balance - Diagonal scaling to improve eigenvalue accuracy.
svd - Singular value decomposition.
Matrix functions.
expm - Matrix exponential.
expm1 - M-file implementation of expm.
expm2 - Matrix exponential via Taylor series.
expm3 - Matrix exponential via eigenvalues and eigenvectors.
logm - Matrix logarithm.
sqrtm - Matrix square root.
funm - Evaluate general matrix function.
Si ahora tecleamos “help lu” obtenemos informacion de la factorizacion LU de una matriz.
>>help lu
LU Factors from Gaussian elimination.
[L,U] = LU(X) stores a upper triangular matrix in U and a
"psychologically lower triangular matrix", i.e. a product
of lower triangular and permutation matrices, in L , so
that X = L*U.
[L,U,P] = LU(X) returns lower triangular matrix L, upper
triangular matrix U, and permutation matrix P so that
P*X = L*U.
By itself, LU(X) returns the output from LINPACK’S ZGEFA routine.
Si tecleamos
>>help inverse
MATLAB nos contesta
inverse not found
pues en MATLAB “inverse” no es el nombre de ninguna funcion o comando, a menos que
haya sido anadida por algun usuario.
11
Una informacion mas general nos la proporciona “lookfor”. Por ejemplo
>>lookfor inverse
INVHILB Inverse Hilbert matrix.
ACOS Inverse cosine.
ACOSH Inverse hyperbolic cosine.
ACOT Inverse cotangent.
ACOTH Inverse hyperbolic cotangent.
ACSC Inverse cosecant.
ACSCH Inverse hyperbolic cosecant.
ASEC Inverse secant.
ASECH Inverse hyperbolic secant.
ASIN Inverse sine.
ASINH Inverse hyperbolic sine.
ATAN Inverse tangent.
ATAN2 Four quadrant inverse tangent.
ATANH Inverse hyperbolic tangent.
ERFINV Inverse of the error function.
INVERF Inverse Error function.
INV Matrix inverse.
PINV Pseudoinverse.
IFFT Inverse discrete Fourier transform.
IFFT2 Two-dimensional inverse discrete Fourier transform.
nos da una lista de funciones relacionadas con la palabra inverse.
TERMINANDOYGUARDANDO EL ESPACIO DE TRABAJO (WORKSPACE)
Para terminar una sesion con MATLAB teclearemos “quit” o “exit”. Al finalizar
una sesion MATLAB se borran todas las variables del espacio de trabajo (i.e., las vari-
ables declaradas en la sesion actual). Antes de terminar podemos guardar el contenido del
“workspace”, para una sesion posterior, tecleando
>>save
Este comando salva todas las variables en un fichero llamado matlab.mat. La proxima
vez que MATLAB sea llamado podremos ejecutar “load” para restaurar, en el workspace,
el contenido de matlab.mat.
Podemos utilizar “save” y “load’ con otros nombres de fichero.mat o bien guardar solo
aquellas variables en las que estemos interesados. El comando “save temp X” guarda en el
fichero temp.mat solo la variable X, mientras que “save temp X Y Z” almacena en temp.mat
12 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
las variables X,Y y Z. “load temp” cargas todas las variables almacenadas en el fichero
temp.mat
Por ultimo, con los comandos “load” y “save” podemos importar y exportar ficheros con
datos ASCII. (Ver mas adelante).
NUMEROS Y EXPRESIONES ARITMETICAS
MATLAB utiliza la notacion decimal, pudiendo incluir factores con potencias de diez o
unidades imaginarias. Algunos ejemplos de numeros legales son:
3, −99, 9.6397238, 0.00001, 1.60210E − 20, 6.02252e23, 3e5i, 2i
La aproximacion del numero es “eps”, i.e., aproximadamente 16 dıgitos decimales significa-
tivos cuando se usa aritmetica de punto flotante. El rango de la mantisa es [−308, 308].Podemos combinar expresiones con los operadores aritmeticos usuales y las reglas de prece-
dencia2. Las operaciones elementales son:
• + Suma• − Resta• ∗ Multiplicacion• / Division derecha• \ Division izquierda• ∧ PotenciaLas operaciones con matrices hacen conveniente tener dos sımbolos para la division. Esto
se analizara con mas detalle cuando abordemos el estudio de las operaciones y funciones con
matrices. Pero, adelantamos que por ejemplo, las expresiones escalares 1/4 y 4\1 tienen elmismo valor numerico, es decir 0.25.
NUMEROS COMPLEJOS, CADENAS DE CARACTERES Y MATRICES
MATLAB trabaja con numeros complejos y representa la unidad imaginaria por i o j.
El numero z en forma binomica podemos escribirlo de dos formas
>>z=3+4*i
z =
3.0000 + 4.0000i
>>z=3+4*j
z =
3.0000 + 4.0000i2Para alterar el orden usual de la precedencia de las operaciones, utilizaremos parentesis.
13
Otra opcion consiste en utilizar la notacion exponencial “W=r*exp(i*theta)”.
>>w=4*exp(i*pi/2)
w =
0.0000 + 4.0000i
Dos formas para introducir matrices complejas son:
>>A=[1 2; 3 4] + i*[5 6; 7 8]
A =
1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i
>> A=[ 1 + 5*i 2 + 6*i; 3 + 7*i 4 + 8*i]
A =
1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i
En las versiones mas actuales deMATLAB se pueden escribir los numeros complejos sin
necesidad de utilizar *. Pero hay que tener cuidado en no dejar espacios en blanco al escribir
la parte imaginaria de un numero complejo. Si escribimos
>>1+ 4i
se obtiene
1.0000 + 4.0000i
en cambio, al introducir
>>1 + 4 i
aparece el siguiente mensaje de error
??? 1+4 i
\vert
Missing operator, comma, or semi-colon.
Esto tambien hay que tenerlo en cuenta cuando se utiliza la notacion exponencial con
numeros reales. Si introducimos
>>1.23e-4
la respuesta es
1.2300e-004
en cambio
14 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
>>1.23 e-4
produce el siguiente mensaje de error
??? 1.23 e
\vert
Missing operator, comma, or semi-colon.
Si hemos utilizado durante una sesion las letras i o j como nombre de variables o fun-
ciones que juegan un papel distinto al de la unidad imaginaria, y necesitamos posteriormente
trabajar con complejos, podemos definir la unidad imaginaria del siguiente modo:
>>ii=sqrt(-1)
ii =
0 + 1.0000i
Consideremos, por ejemplo, la siguiente sesion
>>i
ans =
0 + 1.0000i
>>z = 1 + i
z =
1.0000 + 1.0000i
>>w= 1 + j
w =
1.0000 + 1.0000i
>>i=7
i =
7
>>j=6
j =
6
>>z
z =
1.0000 + 1.0000i
>>z= 1+i
z =
8
>>ii=sqrt(-1)
ii =
0 + 1.0000i
>>z=1+ii
15
z =
1.0000 + 1.0000i
Realmente MATLAB solo maneja matrices, pero los elementos de estas pueden ser
numeros (reales o complejos) o cadenas de caracteres. Por ejemplo si tecleamos
>> 34
ans =
34
aparece el numero 34, en cambio introduciendo matrices formadas por cadenas de caracteres
(incluido el espacio en blanco) podemos leer, por ejemplo, la profunda conversacion:
>> saludo=[’Hola,’ ’Buenos dıas’],respuesta=[’Buenos dıas’]
saludo =
Hola, Buenos dıas
respuesta =
Buenos dıas
FUNCIONES
La potencia de MATLAB se deriva de su extenso conjunto de funciones. Algunas fun-
ciones son intrınsecas al proceso de MATLAB en sı mismo. Otras funciones se pueden
encontrar en una librerıa externa de ficheros.m distribuida con MATLAB, llamadas cajas
de herramientas (MATLAB Toolboxes).
Todavıa se estan anadiendo funciones que han sido creadas por usuarios individuales,
o grupos de usuarios, para aplicaciones mas especializadas. Este es un hecho importante,
cada usuario puede crear sus propias funciones y trabajar con ellas conjuntamente con las
funciones intrınsecas deMATLAB. Este es un aspecto importante que desarrollaremos mas
adelante.
MATLAB posee una gran clase de funciones, entre las que se inlcuyen las funciones
elementales que podemos encontrar en casi todas las calculadoras cientıficas (abs, sqrt, log,
sin, . . . ). Las funciones de que disponemos en MATLAB se pueden clasificar, por grupos,
del siguiente modo:
1. Funciones elementales
2. Funciones especiales
3. Funciones matriciales elementales
4. Funciones matriciales especiales
5. Descomposicion de matrices
6. Analisis de datos
7. Tratamiento de polinomios
16 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
8. Ecuaciones diferenciales
9. Ecuaciones no lineales y optimizacion
10. Integracion numerica
11. Procesamiento de la senal
Una breve descripcion de casi todas las funciones de estos grupos se puede encontrar en
los cuadros resumenes del ultimo capıtulo o, con mas profundidad, en la guıa de usuarios de
MATLAB.
Destacamos que la practica totalidad de las funciones elementales deMATLAB no solo
actua sobre numeros, sino que tambien operan con matrices actuando directamente sobre las
entradas de la matriz.
En el subapartado dedicado al orden “polyvalm” veremos algunas funciones matriciales,
como la exponencial matricial, el logaritmo matricial, . . .
1.1 Formatos de salida
Antes de comenzar con el siguiente apartado (las operaciones matriciales) senalamos que
aunque MATLAB siempre trabaja en doble precision, es posible elegir diversos “formatos
de salida” para los resultados numericos. Por defecto, el formato usual sera de 5 cifras
decimales.
Algunas de las posibilidades que tenemos las describimos a continuacion con ejemplos
concretos:
>> format short e
>> A=[4/3 7.908767 3]
A =
1.3333e+000 7.9088e+000 3.0000e+000
>> format long
>> A
A =
1.33333333333333 7.90876700000000 3.00000000000000
>> format long e
>> A
A =
1.333333333333333e+000 7.908767000000000e+000
3.000000000000000e+000
La orden “format rat” hace que los resultados numericos siempre aparezcan como numeros
racionales. Pero tengase en cuenta que esto no significa que la matriz en cuestion sea tratada
internamente, porMATLAB, como una matriz racional. Por consiguiente, esto resulta util
1.1. FORMATOS DE SALIDA 17
si tenemos la certeza de estar siempre trabajando con numeros racionales. Ponemos esto de
manifiesto con la aproximacion racional de MATLAB para√2.
>>format rat
>>sqrt(2)
ans =
114243/80782
>>format long e
>>114243/80782
ans =
1.414213562427273e+00
>>sqrt(2)
ans =
1.414213562373095e+00
Observese que si utilizamos “format rat” para la representacion de la matriz de Hilbert
de orden 5 se obtiene:
>>format rat
>>H=hilb(5)
H =
1 1/2 1/3 1/4 1/5
1/2 1/3 1/4 1/5 1/6
1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
1/4 1/5 1/6 1/7 1/8
1/5 1/6 1/7 1/8 1/9
El formato “format +” muestra un diagrama de la matriz en el que solo aparecen los
elementos no nulos (positivos marcados con “+” y negativos con “−”). “format +” resultaespecialmente util para destacar la estructura de una matriz (banda ,diagonal por bloques,
...). Por ejemplo:
>> J=[-3 1 0 0;0 -3 0 0;0 0 4 1;0 0 0 4]
J =
-3 1 0 0
0 -3 0 0
0 0 4 1
0 0 0 4
>> format +
>> J
J =
18 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
-+
-
++
+
Para volver al formato corto usual podemos teclear “format” o bien “format short”.
En relacion con la presentacion por pantalla tenemos los comandos “format compact”
y “format loose”. El primero de ellos nos suprime las lıneas en blanco que, por defecto,
aparecen en una sesion MATLAB, mostrando de esta forma mas informacion en pantalla;
el segundo de los comandos anula el anterior.
1.2 Matrices por bloques
Es posible manejar bloques completos de una matriz utilizando los dos puntos (:). Por
ejemplo:
>> A=[4 5 3 2;3 5 7 -1;2 5 8 0]
A =
4 5 3 2
3 5 7 -1
2 5 8 0
>> A(1,:)
Nos proporciona la primera fila de la matriz A.
ans =
4 5 3 2
>> b=B(:,2)
Asigna a la variable “b” la segunda columna de la matriz B
b =
5
6
-1
>> bloque=A(2:3,1:2)
La variable “bloque” contiene el bloque formado por la interseccion de las filas 2a y 3a y
de las columnas 1a y 2a de la matriz A.
bloque =
3 5
2 5
1.2. MATRICES POR BLOQUES 19
En particular, es posible hacer referencia a un elemento concreto de una matriz. El
elemento (2, 1) de la matriz denominada “bloque” se obtiene de forma totalmente natural:
>> bloque(2,1)
ans =
2
Una instruccion del tipo M = [P ;B] construye, si es posible, una matriz M anadiendo a
P las filas de B. Vease,
>> P=[3 5 6; -2 .5 9]; B=[4 6 2; 9 0 0;5 5 0.25];
>> P,B
P =
3.0000 5.0000 6.0000
-2.0000 0.5000 9.0000
B =
4.0000 6.0000 2.0000
9.0000 0 0
5.0000 5.0000 0.2500
>> F=[P;B]
F =
3.0000 5.0000 6.0000
-2.0000 0.5000 9.0000
4.0000 6.0000 2.0000
9.0000 0 0
5.0000 5.0000 0.2500
La orden M = [P B], analoga a la anterior, construye la matriz M anadiendo a P las
columnas de B. Naturalmente, esto es posible si P y B tienen el mismo numero de filas.
>>G=[2 1;1 3],O=[1 0 -1;2 1 -3]
G =
2 1
1 3
O =
1 0 -1
2 1 -3
>>M1=[G O]
M1 =
2 1 1 0 -1
1 3 2 1 -3
Si se definen nuevos elementos de una matriz en una fila o columna no existente, los
elementos no definidos (en la filas o columnas no existentes) se toman como nulos.
20 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
>>P(3,2)=pi
P =
3.0000 5.0000 6.0000
-2.0000 0.5000 9.0000
0 3.1416 0
Los dos puntos se pueden utilizar con otra finalidad. Podemos definir un vector cuyos
elementos estan en progresion artimetica:
>> t=0:2:10
t =
0 2 4 6 8 10
Los dos puntos tambien se pueden utilizar para transformar una matriz en un vector
columna, siguiendo el orden de las columnas.
>>A(:)
ans =
4
3
2
5
5
5
3
7
8
2
-1
0
1.3 Operaciones con Matrices.
En esta seccion mostraremos como las operaciones con matrices se realizan en MATLAB
de forma bastante natural.
Dada una matriz A, A0 nos proporciona la traspuesta de A, si esta es real, o la adjuntaen sentido hermıtico, si A es de numeros complejos.
>> T=J’
T =
-3 0 0 0
1 -3 0 0
0 0 4 0
1.3. OPERACIONES CON MATRICES. 21
0 0 1 4
>> C=[3+2*i 6-2*i;7 2*i]
C =
3.0000 + 2.0000i 6.0000 - 2.0000i
7.0000 0 + 2.0000i
>> T=C’
T =
3.0000 - 2.0000i 7.0000
6.0000 + 2.0000i 0 - 2.0000i
La suma de matrices (+), el producto (*) y la potencia n—esima de una matriz (A∧n) serealizan como sigue.
>> S=T+C
S =
6.0000 13.0000 - 2.0000i
13.0000 + 2.0000i 0
>> E=[6 3 2;-1 3 -1;5 3 8]
E =
6 3 2
-1 3 -1
5 3 8
>> P=E*E’
P =
49 1 55
1 11 -4
55 -4 98
>>NI=[0 1 -2;0 0 15;0 0 0]
NI =
0 1 -2
0 0 15
0 0 0
>>NI^3
ans =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Para calcular el determinante de una matriz cuadrada usaremos la funcion “det”. Por
ejemplo, para la matriz de Hilbert de orden 5 el determinante es:
>>format rat
>>H=hilb(5)
22 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
H=
1 1/2 1/3 1/4 1/5
1/2 1/3 1/4 1/5 1/6
1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
1/4 1/5 1/6 1/7 1/8
1/5 1/6 1/7 1/8 1/9
>> det(H)
ans =
1/266716800000
Para calcular la traza emplearemos “trace”, para obtener el rango “rank” y para hallar
la inversa “inv”. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo:
>>A=[1 2 3;0 1 2;0 0 1]
A =
1 2 3
0 1 2
0 0 1
>>trace(A)
ans =
3
>>rank(A)
ans =
3
>>inv(A)
ans =
1 -2 1
0 1 -2
0 0 1
La orden “size” nos da un vector cuyas componentes nos indican el orden de la matriz.
1.4. OPERACIONES ELEMENTO A ELEMENTO 23
La primera componente denota el numero de filas y la segunda el numero de columnas.
>>size(A)
ans =
3 3
Por ultimo, indicar que la orden “nnz” determina el numero de elementos no nulos de la
matriz.
>>nnz(A)
ans =
6
1.4 Operaciones elemento a elemento
Si M y N son matrices del mismo orden M. ∗ N , M.∧N y M./N realizan el producto, la
potenciacion y la division elemento a elemento. (Naturalmente, la suma y la diferencia de
matrices se realizan elemento a elemento). Por ejemplo,
>> PE=E.*E’
PE =
36 -3 10
-3 9 -3
10 -3 64
>> PO=E^2
PO =
43 33 25
-14 3 -13
67 48 71
>> PO=E.^2
PO =
36 9 4
1 9 1
25 9 64
>> M=[1 2 5];v=[1 2 3];
>> M.^v
24 CAPITULO 1. ELEMENTOS BASICOS
ans =
1 4 125
Cuando una de las matrices sea de orden 1 por 1 (i.e., un escalar), las operaciones ante-
riores tambien tienen sentido. Vease
>> 3 .^v
ans =
3 9 27
>>3 ./v
ans =
3.0000 1.5000 1.0000
Notese el espacio entre el numero 3 y el punto; este es necesario en las primeras versiones
deMATLAB.
En relacion con las operaciones elemento a elemento podemos destacar la operacion
no+matriz (o matriz+no) que, al contrario de las anteriores no necesita el punto (.), y cuyo
cometido es sumar a cada elemento de la matriz el numero en cuestion.
>>8+v
ans =
9 10 11
Capıtulo 2
Tipos especiales de matrices.
Construcciones.
2.1 Matrices especiales.
Indiquemos en primer lugar como generar automaticamente, con ayuda de algunas funciones
incorporadas en MATLAB, algunos tipos de matrices.
“zeros(m,n)” genera la matriz nula de orden m× n. Analogamente “ones(m,n)” produceuna matriz de orden m× n con todos sus elementos iguales a uno. Si tecleamos “zeros(n)” o“ones(n)” obtenemos los mismos resultados, pero en estos casos las matrices son cuadradas
de orden n.
>> Z=zeros(3,2)
Z =
0 0
0 0
0 0
Si tecleamos “eye(n)” obtendremos la matriz identidad de orden n. En cambio “eye(m,n)”
produce el siguiente efecto:
>> E=eye(2,4)
E =
1 0 0 0
0 1 0 0
Ası, las funciones anteriores pueden tener uno o dos argumentos de entrada dependiendo
de la finalidad que persigamos. Esta caracterıstica no la poseen solo las funciones anteri-
ores, sino que la mayorıa de las funciones de MATLAB gozan de la misma, como iremos
descrubiendo mas adelante.
Ademas, la anterior caracterıstica esta ıntimamente ligada con la funcion (variable in-
trıseca) “nargin” (numero de argumentos de entrada) que nos proporciona, una vez que
25
26 CAPITULO 2. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES. CONSTRUCCIONES.
llamamos a una funcion, el numero de argumentos de entrada que utilizamos en dicha llama-
da (es decir, el numero de elementos entre parentesis y separados por comas que preceden
al nombre de una funcion). Relacionada con la funcion “nargin” nos encontramos la funcion
“nargout” (numero de argumentos de salida) de la que hablaremos mas adelante.
La orden “ones(A)” nos proporciona una matriz de unos del mismo orden que A. Efectos
analogos tienen los comandos “eye(A)” y “zeros(A)”.
>> ones(E)
ans =
1 1 1 1
1 1 1 1
Para la version 4.2c de MATLAB las ordenes “ones(A)”,“ eye(A)” y “size(A)” han
quedado obsoletas y conviene sustituirlas por “ones(size(A))”, “eye(size(A))” y “zeros(size(A))”.
Tambien es posible generar algunas matrices especiales como por ejemplo matrices de
Hilbert. Ası, “hilb(n)” produce la matriz de Hilbert de orden n:
>> H=hilb(5)
H =
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250
0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111
2.2 Redefiniciones y construcciones a partir de la diagonal
Existen varias funcionesMATLAB que permiten redefinir la estructura de una matriz:
>>rot90(E)
Esta instruccion realiza un giro de 90o grados (en sentido positivo) de la matriz E.
ans =
0 0
0 0
0 1
1 0
A partir de una matriz A podemos conseguir nuevas matrices con los mismos elementos,
pero diferente estructura mediante instrucciones como:
• “reshape(A,m,n)”que nos proporciona, a partir de los elementos de A, una matriz deorden m × n siguiendo el orden de las columnas. Naturalmente, A debe tener m · nelementos.
2.2. REDEFINICIONES Y CONSTRUCCIONES A PARTIR DE LA DIAGONAL 27
• “fliplr(A)” que nos da la matriz A pero con las columnas en orden inverso.• “flipud(A)” que tiene el mismo efecto que “fliplr(A)”, pero para las filas de A.
>> A=[3 4 6 8;1 0 7 20;-3 -2 8 0]
A =
3 4 6 8
1 0 7 20
-3 -2 8 0
>> R=reshape(A,2,6)
R =
3 -3 0 6 8 20
1 4 -2 7 8 0
>>fliplr(A),flipud(A)
ans =
8 6 4 3
20 7 0 1
0 8 -2 -3
ans =
-3 -2 8 0
1 0 7 20
3 4 6 8
Dada una matriz A existe la posibilidad de generar diversas matrices a traves de la(s)
diagonal(es) de A.
Para obtener la diagonal de una matriz A, (que puede no ser cuadrada) basta teclear
>> D=diag(A)
D =
3
0
8
Si v es un vector “diag(v)” nos da una matriz diagonal (cuadrada) cuya diagonal es v.
>> diag([5 7 -3])
ans =
5 0 0
0 7 0
0 0 -3
La orden “diag(A)” posee como variante la orden “diag(A,k)” que muestra la k—esima
superdiagonal de A, si k es positivo, y la k—esima subdiagonal, si k es negativo. (Observese
de nuevo la posibilidad de dar distinto numero de argumentos de entrada a una funcion
MATLAB).
28 CAPITULO 2. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES. CONSTRUCCIONES.
>> D2=diag(A,2)
D2 =
6
20
>> D_1=diag(A,-1)
D_1 =
1
-2
De manera totalmente analoga a la orden “diag(A)” nos encontramos las ordenes “triu(A)”
y “tril(A)” que generan matrices triangulares superiores y triangulares inferiores, respecti-
vamente, con los elementos superiores e inferiores, respectivamente, a la diagonal de A y
con los elementos diagonales de la misma.
>> TS=triu(A)
TS =
3 4 6 8
0 0 7 20
0 0 8 0
Tambien disponemos de las variantes “triu(A,k)” y “tril(A,k)” que actuan de forma
analoga a la instruccion “diag(A,k)”. Por ejemplo, ’triu(A,k)’ produce el siguiente efecto:
>> TS2=triu(A,2)
TS2 =
0 0 6 8
0 0 0 20
0 0 0 0
El lector puede practicar estas instrucciones descomponiendo una matriz cuadradaA como
suma de una matriz triangular inferior L, una matriz diagonal D y una matriz triangular
superior U . (Esta descomposicion resulta util en la resolucion de S.E.L. mediantes metodos
iterativos).
Capıtulo 3
Sistemas de Ecuaciones Lineales y
descomposiciones
3.1 Resolucion de S.E.L.
3.1.1 Sistemas cuadrados
Si se desea resolver el S.E.L. (S) :Ax = b, donde A es una matriz cuadrada (no singular);
puede obtenerse la solucion mediante la operacion A\b. Esta operacion nos indica que estamosdividiendo, por la izquierda, el vector columna b por la matriz A, i.e., estamos haciendo la
operacion A−1b. Como se puede imaginar esta operacion no se realiza calculando la inversa1
de A, se lleva a cabo de forma general mediante el metodo de Gauss con estrategia de pivoteo
parcial. Por ejemplo, para resolver el sistema
x + 2y = 3
3x − 4y = −1se realizan las siguientes instrucciones:
• Introduccion de la matriz de coeficientes y el vector columna b.• Resolucion del sistema mediante la division izquierda A\b.
>> A=[1 2;3 -4];b=[3 -1]’;
>> x=A\b
x =
1.0000
1.0000
Si A es singular, aun cuando el sistema sea compatible,MATLAB nos proporcionara un
mensaje de error.
1Pues el calculo de la inversa de una matriz es demasiado costoso desde el punto de vista computacional.
29
30 CAPITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y DESCOMPOSICIONES
>> A=[1 2;2 4];b=[3 6]’;
>> x=A\b
Warning: Matrix is singular to working precision.
x =
Inf
Inf
3.1.2 Sistemas superdeterminados. Mınimos cuadrados
Si A no es cuadrada, A\b resuelve el sistema (S) en el sentido de los mınimos cuadrados. Deesta forma, podemos resolver el sistema anterior anadiendo una fila nula a la matriz ampliada
[A|b].>> A(3,:)=[0 0];b(3)=0;
>> x=A\b
Warning: Rank deficient, rank = 1 tol = 2.9790e-015
x =
0
1.5000
Como podemos observar, solo hemos obtenido una de las soluciones del sistema. Para
tener todas, solamente nos falta una base del espacio nulo (nucleo) de la matriz A. Veremos
como obtener esto en una proxima seccion.
Se ha puesto de manifiesto en este subapartado que la resolucion del sistema Ax = b,
llevada a cabo porMATLAB mediante la orden A\b, depende de la estructura de la matrizde coeficientes del sistema. De hecho, la division izquierda \ utiliza, a grandes rasgos, elsiguiente algoritmo:
• Si la matriz A es una permutacion de una matriz triangular superior (resp. inferior) seutiliza el metodo de subida (resp. bajada).
• Si A es simetrica (hermıtica) definida positiva se calcula la descomposicion de Choleskyde A, i.e., se determina la matriz triangular superior R con elementos diagonales es-
trictamente positivos tal que A = RtR y a continuacion se determina x de la forma
x = R\(R0\b).• Si la matriz de coeficientes no es una permutacion de una matriz triangular o no esdefinida positiva, la resolucion del sistema se lleva a cabo calculando la descomposicion
LU de A mediante el metodo de Gauss con estrategia de pivoteo parcial. Una vez
calculadas las matrices L y U , la solucion del sistema es x = U\(L\b).• Por ultimo, si A no es cuadrada se computa la descomposicion QR de A mediante
simetrıas de Householder. Es decir, se calcula Q ortogonal, R triangular superior y P
matriz de permutacion tales que AP = QR. Una vez obtenidas P,Q y R se calcula x
mediante x = P ∗ (R\(Q0 ∗ b)).
3.1. RESOLUCION DE S.E.L. 31
3.1.3 Tiempo de calculo y numero de operaciones
Como hemos visto en el capıtulo 1 la instruccion “inv(A)” calcula la inversa de la matriz
A, si esta es regular (en realidad, solo podemos fiarnos del resultado final si A no es casi
singular). La resolucion de un determinado S.E.L. puede realizarse conMATLAB mediante
la orden “inv(A)*b”, pero como pondremos de manifiesto a continuacion es mas efectivo la
utilizacion del comando “A\b”. Esta eficacia se pone de manifiesto comparando el numerode operaciones de ambos metodos y el tiempo de calculo para llevar a cabo los mismos. El
numero de operaciones que MATLAB ha efectuado en una sesion puede obtenerse con el
comando “flops”. Ahora bien, la utilizacion de la version “flops(0)” hace que el contandor
(del numero de operaciones) se inicialice a cero, con lo que si seguidamente realizamos algunas
operaciones conMATLAB podemos conocer el numero de estas sin mas que teclear “flops”.
Para el sistema cuadrado
x + 2y = 3
3x − 4y = −1
comparamos el numero de operaciones:
>>flops(0)
>>x=A\b
x =
1.0000
1.0000
>>flops
ans =
33
>>flops(0)
>>x=inv(A)*b
x =
1.0000
1.0000
>>flops
ans =
44
Se observa que, incluso para un sistema con dos ecuaciones y dos incognitas, el numero
de operaciones es mucho mayor si utilizamos para resolver el sistema la orden “inv(A)∗b”.Dentro de los ejercicios que se acompanan al final se propone la construccion de una
funcion que nos permita resolver un S.E.L. cuadrado por el metodo de Cramer. Serıa conve-
niente que el lector comparase con algunos ejemplos el numero de operaciones necesario para
la resolucion del sistema utilizando el metodo de Cramer y el algoritmo division izquierda.
32 CAPITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y DESCOMPOSICIONES
Para la evaluacion de tiempos de calculo, tenemos varias posibilidades. Las funciones
“tic” y “toc” nos proporcionan conjuntamente el tiempo de calculo de cualquier expresion
MATLAB sin mas que teclear
>>tic
>>expresiones
>>toc
La funcion “cputime” nos propociona el tiempo en segundos usado porMATLAB desde
el instante en que entramos en el programa. De esta forma podemos calcular el tiempo de
calculo de cualquier expresion realizando las siguientes instrucciones:
>>t1=cputime
>>expresiones
>>t2=cputime-t1
Para comparar los tiempos de calculo tambien podemos hacer uso de los comandos “clock”
y “etime”. El primero de ellos nos muestra un vector fila de seis componentes en el que se
puede obeservar el ano, mes, dıa, hora, minutos y segundos que marca el reloj de nuestro orde-
nador. La orden “etime(t2,t1)” nos proporciona el tiempo, en segundos, que han transcurrido
entre dos vectores de tiempo “t1” y “t2”.
Creamos una matriz y un vector (de grandes dimesiones2) formados por numeros aleato-
rios, comprendidos entre cero y uno, con ayuda de la funcion “rand(m,n)”:
>>A=rand(30);b=rand(30,1);
y resolvemos el sistema Ax = b mediante la division izquierda \ y mediante la inversa“inv(A)”:
>>t1=clock;x=A\b;etime(clock,t1)
ans =
0.5167
>>t1=clock;x=inv(A)*b;etime(clock,t1)
ans =
1.0333
Se comprueba que la resolucion del sistema mediante la orden “inv(A)∗b” necesita mayortiempo de calculo que la division izquierda (de hecho, casi el doble de tiempo).
2Hacemos esto, pues la diferencia entre los tiempos de calculo de los dos metodos para S.E.L. pequenos es
casi inapreciable.
3.2. DESCOMPOSICIONES 33
3.2 Descomposiciones
3.2.1 Factorizacion LU.
Dada una matriz A “[L,U]=lu(A)” realiza la descomposicion LU (LR) de la matriz cuadrada
A. Esta descomposicion siempre se realiza siguiendo el metodo de Gauss con estrategia de
pivote parcial, por lo cual, aunque U es triangular superior, L en la mayorıa de los casos no
es triangular inferior.
>> A=[3 4 6 8;1 0 7 20;-3 -2 8 0]
A =
3 4 6 8
1 0 7 20
-3 -2 8 0
>> A=A(1:3,1:3)
A =
3 4 6
1 0 7
-3 -2 8
>> [L,U]=lu(A)
L =
1.0000 0 0
0.3333 -0.6667 1.0000
-1.0000 1.0000 0
U =
3.0000 4.0000 6.0000
0 2.0000 14.0000
0 0 14.3333
Sin embargo, introduciendo la orden “[L,U,P]=lu(A)”es posible conocer los intercambios
de filas, debidos al pivoteo parcial, que ha sufrido la matriz A. En este caso L sı es triangular
inferior con unos en la diagonal y P es la matriz de permutacion que nos da los intercambios
de filas. Es decir, PA = LU . Compruebese
>> [L,U,P]=lu(A)
L =
1.0000 0 0
-1.0000 1.0000 0
0.3333 -0.6667 1.0000
U =
3.0000 4.0000 6.0000
0 2.0000 14.0000
34 CAPITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y DESCOMPOSICIONES
0 0 14.3333
P =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Vemos que la funcion “lu” posee una caracterıstica particular: la funcion puede ser llama-
da con distinto numero de argumentos de salida segun nuestra finalidad. Esta caraterıstica
no es privilegio exclusivo de la funcion “lu”, sino muchas otras funciones de MATLAB,
como veremos mas adelante, tambien presentan esta particularidad.
3.2.2 Descomposicion de Cholesky
Si A es una matriz simetrica (hermıtica) definida positiva la descomposicion de Cholesky
de A se realiza con la funcion “chol(A)”. Se obtiene una matriz R triangular superior con
elementos diagonales estrictamente positivos tal que A = RtR.
>>S=[2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 2]
S =
2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 2
>>chol(S)
ans =
1.4142 -0.7071 0
0 1.2247 -0.8165
0 0 1.1547
Notese que se obtiene un mensaje de error si la matriz no es definida positiva:
>>T=[2 -1 0;-1 2 0;-1 -1 -1]
T =
2 -1 0
-1 2 0
-1 -1 -1
>>chol(T)
??? Error using ==> chol
Matrix must be positive definite.
No obstante la funcion “chol” con dos argumentos de salida nunca nos proporciona men-
saje de error. Si escribimos [R, p] =chol(A) obtemos las siguientes respuestas:
• Si A es definida positiva, entonces p = 0 y R contiene la descomposicion de Cholesky
de A.
3.2. DESCOMPOSICIONES 35
• Si A no es definida positiva, entonces p es un numero entero estrictamente positivo yR una matriz triangular superior con elementos diagonales estrictamente positivos de
orden q = p − 1 tal que R0 ∗ R = A(1 : q, 1 : q). Es decir, el comando “chol” con
dos argumentos de salida nos proporciona la descomposicion de Cholesky de la mayor
submatriz principal de A que es definida positiva (y, salvo una unidad, el orden de esta).
>>[R,p]=chol(T)
R=
1.4142 -0.7071
0 1.2247
p=
3
Naturalmente, si ninguna submatriz principal de A es definida positiva R tendra como
valor la matriz vacia (matriz que no contiene elementos) y p sera igual a uno.
>>M=[-2 1;2 3];
>>[s,f]=chol(M)
s=
[ ]
f=
1
3.2.3 Factorizacion QR
La factorizacion QR de una matriz A, no necesariamente cuadrada, puede realizarse medi-
ante la orden “[Q,R]=qr(A)”; Q sera entonces una matriz ortogonal (o unitaria en el caso
complejo) y R una matriz triangular superior del mismo tipo que A, tales que A = QR. Tal
descomposicion se lleva a efecto mediante transformaciones de Householder y como se puede
observar en el siguiente ejemplo los elementos diagonales de R no tienen porque ser positivos.
(Se realiza la descomposicion de esta forma por cuestiones de estabilidad en el metodo).
>> M=[4 6 -2 7;2 4 10 -1;-12 4 -3 0];
>> [Q,R]=qr(M)
Q =
-0.3123 -0.7840 0.5365
-0.1562 -0.5147 -0.8430
0.9370 -0.3471 0.0383
R =
-12.8062 1.2494 -3.7482 -2.0303
0 -8.1510 -2.5375 -4.9732
0 0 -9.6183 4.5984
Podemos comprobar que Q es ortogonal, es decir, (salvo errores de redondeo) QtQ = I.
36 CAPITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y DESCOMPOSICIONES
>> Q’*Q
ans =
1.0000 -0.0000 -0.0000
-0.0000 1.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 1.0000
De la misma forma que la funcion “lu”, la funcion “qr” tambien puede ser ejecutada
con tres argumentos de salida: la orden “[Q,R,P]=qr(A)” proporciona una matriz ortogonal
(unitaria) Q, una matriz R triangular superior con elementos diagonales decrecientes y una
matriz C de permutacion de columnas, tales que AC = QR.
>>[Q,R,MPC]=qr(M)
Q =
-0.3123 0.3187 0.8949
-0.1562 -0.9464 0.2826
0.9370 -0.0515 0.3454
R =
-12.8062 -3.7482 1.2494 -2.0303
0 -9.9474 -2.0792 3.1777
0 0 7.8814 5.9817
MPC =
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
Ponemos un ejemplo en el que se observa los elementos nulos en la diagonal de R.
>>MM=[1 1 2;2 0 2;-1 3 2;1 4 5]
MM =
1 1 2
2 0 2
-1 3 2
1 4 5
>>[Q,R]=qr(MM)
Q =
-0.3780 0.1416 0.6928 -0.5976
-0.7559 -0.1133 -0.5978 -0.2417
0.3780 0.6516 -0.3863 -0.5323
-0.3780 0.7366 0.1165 0.5487
R =
-2.6458 -0.7559 -3.4017
0 5.0427 5.0427
3.2. DESCOMPOSICIONES 37
0 0 -0.0000
0 0 0
Hacemos notar que, una vez conocida R, el calculo del rango de A es inmediato, pues Q
es no singular. Para el ejemplo anterior R tiene dos filas nulas y por consiguiente el rango de
MM es dos. En efecto,
>>rank(MM)
ans =
2
3.2.4 Ortonormalizacion y espacio nulo
Gracias a la descomposicion QR que se obtiene mediante MATLAB podemos calcular una
base ortonormal del espacio columna y una base ortonormal del espacio nulo (nucleo) de una
matriz A.
La funcion que permite obtener una base ortonormal del espacio columna de A es “or-
th(A)” y una base ortonormal del espacio nulo nos la proporciona la funcion “null(A)”.
>>Or=orth(M)
Or =
0.3123 -0.3187 0.8949
0.1562 0.9464 0.2826
-0.9370 0.0515 0.3454
>> nulo=null(M)
nulo =
-0.2672
-0.5444
0.3430
0.7173
Comprobamos que son bases ortonormales calculando OrtOr y nulotnulo.
Or’*Or
ans =
1.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 1.0000 -0.0000
0.0000 -0.0000 1.0000
nulo’*nulo
ans =
1.0000
38 CAPITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y DESCOMPOSICIONES
Notese que con ayuda de “null” y \ se pueden resolver sistemas de ecuaciones compatiblesindeterminados. Por ejemplo, el sistema compatible indeterminado
x+ 2y = 3
2x+ 4y = 6
puede resolverse siguiendo los pasos:
1. Si es necesario, se anade un fila nula a la matriz ampliada para conseguir un sistema
no cuadrado.
2. Se calcula una solucion particular del mismo.
3. Calculamos una base del espacio nulo de la matriz de coeficientes.
Estos tres pasos se realizan enMATLAB del siguiente modo:
>>A=[1 2;2 4],b=[3 6]’
A =
1 2
2 4
b =
3
6
>>A(3,:)=[0 0],b(3)=0
A =
1 2
2 4
0 0
b =
3
6
0
>>x=A\b
Warning: Rank deficient, rank = 1 tol = 2.9790e-15
x =
0
1.5000
>>nulo=null(A)
nulo =
-0.8944
0.4472
3.3. NORMAS Y NUMERO DE CONDICION 39
De este forma, todas las soluciones del sistema anterior vienen dadas por
x = −0.8944αy = 1.5 + 0.4472α
con α ∈ R
3.3 Normas y numero de condicion
3.3.1 Normas vectoriales y matriciales
Si A es una matriz cuadrada “norm(A,p)” (siendo p = 1, 2, inf) proporciona la norma p de
A.
>> V=[1 4;8 -1];
>> N2=norm(V,2)
N2 =
8.0828
>> N1=norm(V,1)
N1 =
9
>> Ninf=norm(V,inf)
Ninf =
9
Puesto que en la mayorıa de los casos se trabaja con la norma euclıdea (i.e., en norma
2), por defecto “norm(A)” nos da el mismo valor que “norm(A,2)”. (De nuevo la funcion
“norm” puede tener distinto numero de argumentos de entrada)
Para vectores “norm(v,p)” calcula la norma p del vector v y en este caso p puede ser
cualquier real del interalo [1,+∞].>> w=[2 -4 6];
>> norm(w,3)
ans =
6.6039
3.3.2 Numero de condicion y rango
El numero de condicion de una matriz nos proporciona el valor maximo de amplificacion de
los errores relativos en la resolucion de un S.E.L. sometido a perturbaciones. Si el numero de
condicion es mucho mayor que uno, la matriz esta mal condicionada y no debemos fiarnos de
la solucion del sistema; si por el contrario es proximo a uno, la matriz se dice bien condicionada
y los posibles errores relativos en la solucion estan acotados por los errores relativos cometidos
en los datos del sistema (matriz y termino independiente).
El numero de condicion de una matriz A se calcula mediante MATLAB con la funcion
“cond(A)”. Para la matriz de Hilbert anterior
40 CAPITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y DESCOMPOSICIONES
>> cond(H)
ans =
4.7661e+005
Parece, entonces, necesario obtener el numero de condicion de la matriz de coeficientes de
un sistema de ecuaciones lineales antes de resolverlo. Pero afortunadamente, MATLAB a
medida que resuelve el sistema calcula, mediante el comando “rcond(A)”, una aproximacion
del inverso del numero de condicion de la matriz de coeficientes A, dandonos un aviso para
que tengamos en cuenta que si “rcond(A)” es pequeno, hay posibilidad de un gran error en
la solucion si hemos cometido un pequeno error en los datos del sistema. Para la matriz
“H=hilb(5)”, 1/cond(A) = 2.0982e− 006 y mediante la funcion “rcond” se obtiene:>> rcond(H)
ans =
1.4407e-006
Ponemos de manifiesto a continuacion la ventaja de la informacion complementaria de
MATLAB cuando resolvemos un S.E.L. Por ejemplo, para la resolucion del sistema
x + 2y + 3z = 1
4x + 5y + 6z = 0
7x + 8y + 9z = 0
mediante MATLAB, se efectuan las siguientes instrucciones:
>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>>b=[1 0 0]’
b =
1
0
0
>>x=A\b
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 2.937385e-18
x=
1.0e+15 *
3.1522
-6.3044
3.1522
3.3. NORMAS Y NUMERO DE CONDICION 41
Apreciamos en la obtencion de la resolucion del sistema un mensaje de error que nos
informa que la matriz de coeficientes puede ser casi singular (estar mal condicionada). De
hecho la solucion que hemos obtenido no es solucion del sistema, basta observar que Ax 6= b.En efecto,
>>A*x
ans =
0.5000
-1.0000
-2.5000
De hecho, la matriz A no es casi singular es, sin lugar a dudas, singular :
>>det(A)
ans =
0
Esto no impide queMATLAB “obtenga” la inversa de esta matriz:
>>inv(A)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 2.937385e-18
ans =
1.0e+16 *
0.3152 -0.6304 0.3152
-0.6304 1.2609 -0.6304
0.3152 -0.6304 0.3152
Como se observa MATLAB nos ha dado el mismo mensaje anterior y ademas ha “cal-
culado” la inversa de A. Evidentemente esta matriz no es la inversa de A, pues A ∗ ans noda como resultado la matriz identidad:
>>A*ans
ans =
1.0e+17 *
-0.0901 -0.1801 -0.2702
-0.3603 -0.7206 -1.0809
-0.6305 -1.2610 -1.8915
Ademas, como puede comprobarse facilmente, nuestro sistema es INCOMPATIBLE.
Advertencia: Aunque MATLAB nos da informacion adicional (como la mostrada en el
ejemplo anterior) cuando resolvemos un S.E.L. o calculamos la inversa de una matriz, se han
detectado, en algunas versiones de MATLAB (en distintos entornos de trabajo), y para el
S.E.L. anterior que no aparece ningun mensaje de precaucion a la hora de resolver el sistema
42 CAPITULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y DESCOMPOSICIONES
o calcular la inversa de la matriz de coeficientes. Parece logico, entonces, calcular “cond(A)”
(o “rcond(A)”) antes de resolver un sistema y tomar la decision de resolverlo una vez conocido
el numero de condicion de la matriz de coeficientes.
El rango de una matriz se calcula mediante MATLAB con la funcion “rank(A)”. Por
ejemplo, para la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema anterior se obtiene:
>>rank(A)
ans =
2
>>rank([A b])
ans =
3
y por consiguiente se observa que el sistema anterior es incompatible.
Para la matriz de Hilbert anterior el rango es
>> rank(H)
ans =
5
En realidad, el rango de A se calcula como el numero de valores singulares (ver mas
adelante) casi no nulos de esta. Esto permite utilizar la funcion “rank” con dos argumentos
de entrada: “rank(A,tol)” que considera nulos los valores singulares menores que tol.
>> rank(H,.001)
ans =
3
Si hemos introducido un solo argumento de entrada para “rank” el valor de tol viene dado
por defecto como tol=max(size(A))∗norm(A)∗eps.Finalizamos esta seccion proponiendo al lector que resuelva los siguientes sistemas de
ecuaciones, que se encuentran propuestos en el libro de G. Strang, Algebra Lineal Aplicada,
y que compare los resultados obtenidos:
[A]
(x + y = 2
x + 1.0001y = 2
[B]
(x + y = 2
x + 1.0001y = 2.0001
Capıtulo 4
Autovalores y polinomios
4.1 Autovalores y autovectores
Los autovectores y autovalores (complejos) de una matriz cuadrada pueden calcularse con-
juntamente por medio de la funcion “eig”:
>>V=[1 4;8 -1];
V =
1 4
8 -1
>>[X,D]=eig(V)
X =
0.6446 -0.5101
0.7645 0.8601
D =
5.7446 0
0 -5.7446
Ası, se obtiene una matriz diagonal D cuya diagonal contiene los autovalores de la matriz
V y una matriz X que verifica la condicion: V X = XD. Por tanto, las columnas de X son
autovectores de V .
En el siguiente ejemplo comprobamos que las columnas de X no tienen por que ser
linealmente independientes (tenganse en cuenta los errores de redondeo).
>>N=[1 1;0 1];
>>[X,D]=eig(N)
X =
1.0000 -1.0000
0 0.0000
D =
1 0
43
44 CAPITULO 4. AUTOVALORES Y POLINOMIOS
0 1
>>rank(X)
ans =
1
La funcion “eig(A)” puede utilizar uno o dos argumentos de salida. En el caso de utilizar
dos argumentos se obtienen los autovectores y los autovalores como se ha descrito anterior-
mente. Cuando utilizamos un unico argumento de salida obtenemos un vector columna que
contiene los autovalores (puede que repetidos) de la matriz A.
>>aut=eig(V)
aut =
5.7446
-5.7446
>>VV=[1 2;-2 1]
VV =
1 2
-2 1
>>autVV=eig(VV)
autVV =
1.0000 + 2.0000i
1.0000 - 2.0000i
Estrechamente relacionadas con el calculo de autovalores tenemos la funciones “hess(A)”
y “schur(A)” que calculan la forma de Hessenberg y la forma de Schur (superior) de A,
respectivamente. Para la matriz de Hilbert de orden cinco y la matriz V anterior se obtiene:
>>hess(H)
ans =
0.0001 0.0002 0 0 0
0.0002 0.0079 0.0143 0 0
0 0.0143 0.2556 -0.3302 0
0 0 -0.3302 1.4126 -0.3222
0 0 0 -0.3222 0.1111
>>schur(V)
ans =
5.7446 -4.0000
-0.0000 -5.7446
Observese que en la diagonal de la matriz de Schur aparecen los autovalores de V .
4.2. VALORES SINGULARES Y PSEUDOINVERSA 45
4.2 Valores singulares y pseudoinversa
La descomposicion en valores singulares de una matriz A cualquiera se efectua por medio de
la funcion “svd”. De esta forma, la orden “[U,S,V]=svd(A)” proporciona una matriz diagonal
S, del mismo tipo que A, y dos matrices ortogonales (unitarias) U y V tales que A = USV t.
Los elementos de la diagonal de S son por tanto los valores singulares de la matriz A, i.e.,
la raız cuadrada1 de los autovalores de la matriz simetrica (hermıtica) semidefinida positiva
AtA (A∗A).
>>A=[1 2;-1 1;0 3]
A =
1 2
-1 1
0 3
>>[U,S,V]=svd(A)
U =
0.5531 0.6006 -0.5774
0.2436 -0.7793 -0.5774
0.7967 -0.1787 0.5774
S =
3.7527 0
0 1.3846
0 0
V =
0.0825 0.9966
0.9966 -0.0825
Podemos comprobar que la raız cuadrada de los autovalores de AtA son los valores sin-
gulares de A:
>>sqrt(eig(A’*A))
ans =
1.3846
3.7527
Vease que la funcion “sqrt” ha actuado sobre cada uno de los elementos del vector columna
formado por los autovalores de AtA.
Naturalmente la descomposicion en valores singulares tambien es posible para matrices
con elementos complejos:
>>C=[2+i -i;3 3+2*i];
>>[U,S,V]=svd(C)
1Puesto que A∗A es hermıtica semidefinida positiva sus autovalores son no negativos.
46 CAPITULO 4. AUTOVALORES Y POLINOMIOS
U =
0.2292 + 0.0156i -0.7696 - 0.5958i
0.9710 + 0.0660i 0.1817 + 0.1406i
S =
4.7900 0
0 2.2485
V =
0.7071 -0.7071
0.6325 - 0.3162i 0.6325 - 0.3162i
La funcion “svd” permite la posibilidad de incluir varios argumentos de salidas. En
concreto, podemos utilizar uno o tres argumentos de salida. En el caso de la utilizacion de
“svd” con tres argumentos se obtienen las tres matrices anteriores y cuando se utiliza un solo
argumento de salida, se almacenan en el, los valores singulares formando un vector columna.
>>MN=[1 2 3;4 5 6;5 7 9]’
MN =
1 4 5
2 5 7
3 6 9
>>vs=svd(MN)
vs =
15.6633
0.8126
0.0000
Notese que uno de los valores singulares de MN es nulo; esto sucede porque MN no es de
rango maximo.
Relacionada con el algoritmo de calculo de los valores singulares de una matriz A se
encuentra la orden “pinv(A)’ que calcula la pseudoinversa (de Moore-Penrose) de A. Recor-
damos que la pseudoinversa de una matriz A de orden m× n (denotada por A+) puede sercalculada, una vez obtenida la descomposicion en valores singulares de A, como A+ = V S+U∗
donde S+ es la matriz diagonal de orden n×m cuyos elementos diagonales no nulos son los
inversos de los elementos no nulos de S. Recuerdese ademas, que A+A = I y que la pseu-
doinversa de A coincide con la inversa de A si esta es cuadrada y regular.
>>ps=pinv(A)
ps =
0.4444 -0.5556 -0.1111
0.1111 0.1111 0.2222
>>ps*A
ans =
1.0000 -0.0000
4.3. TRATAMIENTO DE POLINOMIOS 47
0.0000 1.0000
>>AA=[1 2;5 1];
>>inv(AA)
ans =
-0.1111 0.2222
0.5556 -0.1111
>>pinv(AA)
ans =
-0.1111 0.2222
0.5556 -0.1111
4.3 Tratamiento de polinomios
El tratamiento que MATLAB realiza con los polinomios en una indeterminada es muy
simple: solo hace falta introducir los coeficientes del polinomio (en orden decreciente de
potencias) en un vector fila2. Aquellos resultados que nos muestren como salidas polinomios
tambien seran recogidos de esta forma.
Ası, el polinomio p(x) = 2x3 − 3x+ 7 es representado por MATLAB como
>>p=[2 0 -3 7]
p =
2 0 -3 7
4.3.1 Polinomio caracterıstico de una matriz cuadrada
La instruccion “poly(A)” nos proporciona los coeficientes del polinomio caraterıstico (pA(λ) =
det(λI −A)) de una matriz cuadrada A.
>>M=[4 6 -2 ;2 4 10;-12 4 -3]
M =
4 6 -2
2 4 10
-12 4 -3
>>pcM=poly(M)
pcM =
1.0e+03 *
0.0010 -0.0050 -0.0840 1.0040
>>pcM=rats(poly(M))
pcM =
1 -5 -84 1004
2La dimesion del vector fila sera mayor en una unidad que el grado del polinomio.
48 CAPITULO 4. AUTOVALORES Y POLINOMIOS
Luego el polinomio caracterıstico de M es
pC(λ) = λ3 − 5λ2 − 84λ+ 1004y podemos observar que el determinante de M es, salvo signo, el termino independiente del
polinomio caraterıstico de M y que el coeficiente de λ2, salvo signo, nos lo proporciona la
traza de M .
>>det(M)
ans =
-1004
>>trace(M)
ans =
5
4.3.2 Operaciones con polinomios
Puesto que los polinomios se recogen en vectores filas, la suma y diferencia de dos polinomios
se realiza con las operaciones suma y diferencia (+ y −) de matrices. Pero, tengase en cuentaque para sumar o restar matrices estas deben tener la misma dimension y por consiguiente,
podemos realizar suma o diferencia de polinomios, siempre y cuando, estos tengan el mismo
grado. Por ejemplo si p(x) = 3x3 + 2x2 − x + 1 y q(x) = −7x3 + 3x2 + 2x − 15 la suma ydiferencia de ambos se realiza como sigue:
>>p=[3 2 -1 1],q=[-7 3 2 -15]
p =
3 2 -1 1
q =
-7 3 2 -15
>>s=p+q
s =
-4 5 1 -14
>>d=p-q
d =
10 -1 -3 16
En cambio si q(x) = 3x2 + 2x− 15 la suma de ambos polinomios no puede realizarse deforma tan simple:
>>q=[3 2 -15]
q =
3 2 -15
>>p+q
??? Error using ==> +
Matrix dimensions must agree.
4.3. TRATAMIENTO DE POLINOMIOS 49
El lector deberıa pensar una estrategia que permita sumar o restar polinomios de grados
diferentes. La multiplicacion y division de los polinomios p y q se llevan a cabo con las
funciones “conv(p,q)” y “[c,r]=deconv(p,q)”. Para la funcion “deconv” se entiende que en c
se guarda el cociente de la division de p entre q y en r el resto de la misma.
>>p=[1 -2 1],q=[1 -1 1]
p =
1 -2 1
q =
1 -1 1
>>conv(p,q)
ans =
1 -3 4 -3 1
Por el calculo anterior se obtiene que
(x2 − 2x+ 1)(x2 − x+ 1) = x4 − 3x3 + 4x2 − 3x+ 1
El cociente y el resto de la divisionx5 − 2x4 − x3 + 7x2 − 6x+ 2
x2 − 2x+ 1 se calculan mediante:
>>p=[1 -2 -1 7 -6 2]
p =
1 -2 -1 7 -6 2
>>q=[1 -2 1]
q =
1 -2 1
>>[c,r]=deconv(p,q)
c =
1 0 -2 3
r =
0 0 0 0 2 -1
Es decir, c(x) = x3 − 2x+ 3 y r(x) = 2x− 1. Compruebese.Incluimos en esta seccion una funcion que nos parece bastante interesante. Se trata de
la funcion “residue” que nos proporciona, a grandes rasgos, la descomposicion en fracciones
simples de una funcion racional cuyo denominador posee raıces reales simples. De esta forma,
la instruccion “[a,r,k]=residue(p,q)” obtiene la descomposicion
P (x)
Q(x)=
a1x− r1 + · · ·+
anx− rn + k(x)
y almacena las constantes ai en el vector a, las raıces ri en el vector r y el polinomio k(x) en
el vector fila k.
Por ejemplo, la descomposicion en fraciones simples de x2
x2−1 viene dada por:
50 CAPITULO 4. AUTOVALORES Y POLINOMIOS
>>[a,r,k]=residue([1 0 0],[1 0 -1])
a =
-0.5000
0.5000
r =
-1
1
k =
1
Es decir,
x2
x2 − 1 =−0.5x+ 1
+0.5
x− 1 + 1
La funcion “residue” actua en MATLAB como su propia inversa, pues si se utiliza con
tres argumentos de entrada y dos de salida, es decir, de la forma “[p,q]=residue(a,r,k)”,
nos proporciona la funcion racional que tiene como descomposicion en fracciones simples los
vectores a, r y k.
>>[p,q]=residue(a,r,k)
p =
1.0000 0 0
q =
1 0 -1
4.3.3 Raıces de polinomios
Si el polinomio p(x) ha sido introducido en un vector p de la forma descrita anteriormente,
las raıces (complejas) de p(x) pueden ser calculadas con la orden “roots(p)”. Las raıces de p,
que pueden estar repetidas, se almacenaran en un vector columna.
Por ejemplo, las soluciones de la ecuacion x2 − 1 = 0 se obtiene facilmente:
>>p=[1 0 -1]
p =
1 0 -1
>>rp=roots(p)
rp =
-1
1
Si el polinomio posee raıces complejasMATLAB tambien nos las proporciona. Las raıces
de q(x) = x3 − 2x2 + x− 2 son:
4.3. TRATAMIENTO DE POLINOMIOS 51
>>q=[1 -2 1 -2]
q =
1 -2 1 -2
>>rq=roots(q)
rq =
2.0000
-0.0000 + 1.0000i
-0.0000 - 1.0000i
Podemos evaluar el valor de un polinomio p en un cierto punto x ∈ R con la ayuda de lafuncion “polyval(p,x)”. De esta forma, por ejemplo, podemos comprobar que p y q se anulan
(salvo errores de redondeo) en las componentes de rp y rq, respectivamente:
>>polyval(p,rp(1)),polyval(p,rp(2))
ans =
0
ans =
0
>>polyval(q,rq(1)),polyval(q,rq(2)),polyval(q,rq(3))
ans =
-6.6613e-15
ans =
0+ 2.2204e-16i
ans =
0- 2.2204e-16i
Puede tambien evaluarse el valor del polinomio en una serie de puntos, sin mas que
introducir estos puntos en un vector x y teclear la orden anterior. Los valores de r(x) =
x2 − x+ 1 para x = 1, x = sqrt(2) y x = −1/2 son
>>r=[1 -1 1]
r =
1 -1 1
>>x=[1 sqrt(2) -1/2]
x =
1.0000 1.4142 -0.5000
>>polyval(r,x)
ans =
1.0000 1.5858 1.7500
El algoritmo queMATLAB utiliza para calcular las raıces de un polinomio esta basado
en la funcion “compan(p)” que determina la matriz companera del polinomio p; esto es, la
52 CAPITULO 4. AUTOVALORES Y POLINOMIOS
matriz cuyo polinomio caracterıstico es, salvo constante multiplicativa, el polinomio dado.
Por ejemplo, la matriz companera del polinomio p(x) = 2x2 − 2x+ 4 es:
>>p=[2 -2 4]
p =
2 -2 4
>>A=compan(p)
A =
1 -2
1 0
y su polinomio caracterıstico es proporcional a p:
>>pA=poly(A)
pA =
1 -1 2
Una vez que MATLAB obtine la matriz companera de un polinomio p, con ayuda de
la funcion “eig”, calcula los autovalores de la misma, que, coinciden, naturalmente, con las
raıces de p.
>>roots(p)
ans =
0.5000 + 1.3229i
0.5000 - 1.3229i
>>eig(A)
ans =
0.5000 + 1.3229i
0.5000 - 1.3229i
4.3.4 Aproximacion por polinomios en el sentido de los mınimos cuadrados
Dados dos vectores x e y, de la misma dimension, la instruccion “polyfit(x,y,n)” calcula el (o
un) polinomio de grado n que mejor se aproxima (en el sentido de los minimos cuadrados)
a los pares de puntos (x(i), y(i)). En particular, si x e y son vectores de n+ 1 componentes
(con todas las componentes de x distintas) la orden anterior nos proporciona el polinomio
que interpola los valores (xi, yi), i = 1, . . . , n+ 1.
Vamos a aplicar la funcion “polyfit”a la resolucion del siguiente problema:
En un experimento para determinar la capacidad de orientacion se coloca a un
individuo en una habitacion especial y despues de un cierto tiempo en ella se le
pide que encuentre el camino de salida de un laberinto. Se obtienen los siguientes
resultados:
4.3. TRATAMIENTO DE POLINOMIOS 53
Tiempo en la habitacion (horas): 1 2 3 4 5 6
Tiempo en salir del laberinto (minutos): 0.8 2.1 2.6 3 3.1 3.3
Se pide:
1. Encontrar la recta que mejor aproxime a los datos anteriores.
2. Con la recta obtenida, estimar el tiempo que tardarıa en salir del laberinto una persona
que ha permanecido en la habitacion 10 horas.
Puesto que nos piden una recta debemos encontrar el polinomio de grado uno que mejor
aproxime a los punto de la tabla anterior:
>>x=1:6
x =
1 2 3 4 5 6
>>y=[0.8 2.1 2.6 3 3.1 3.3]
y =
0.8000 2.1000 2.6000 3.0000 3.1000 3.3000
>>recta=polyfit(x,y,1)
recta =
0.4543 0.8933
>>rats(recta)
ans =
159/350 67/75
Luego la recta que mejor aproxima, en el sentido de los mınimos cuadrados, viene dada
por la ecuacion y = 159/350x+ 67/75 y el tiempo estimado para salir del laberinto despues
de diez horas en la habitacion se obtiene como sigue:
>>estimado=polyval(recta,10)
estimado =
5.4362
Es decir, el tiempo estimado para salir del laberinto es 5.4362 minutos.
Una nueva estimacion se puede obtener calculando el polinomio de interpolacion de los
puntos (xi, yi) para i = 1, . . . , 6. Esto se consigue con la siguientes instrucciones:
>>poliinterp=polyfit(x,y,5)
poliinterp =
0.0125 -0.2250 1.5542 -5.2250 9.0833 -4.4000
>>rats(poliinterp)
ans =
1/80 -9/40 373/240 -209/40 109/12 -22/5
54 CAPITULO 4. AUTOVALORES Y POLINOMIOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo en la habitacion
Tiem
po e
n el
labe
rinto
Aproximacion por minimos cuadrados
Figura 4.1: Recta de regresion
>>estimado2=polyval(poliinterp,10)
estimado2 =
118.1000
Es decir, el polinomio de interpolacion tiene por ecuacion y = 1/80x5−9/40x4+373/240x3−209/40x2+109/12x−22/5 y el tiempo estimado son 118.1 minutos3. La recta de mejor aprox-imacion puede contemplarse en la siguiente figura, que ha sido realizada conMATLAB. (En
el capıtulo dedicado a las posibilidades graficas aprenderemos a generarla).
4.3.5 La orden polyvalm y semejantes
En la subseccion anterior hemos visto como MATLAB puede propocionarnos el valor de
un polinomio p en una cierta coleccion de puntos gracias a la funcion “polyval”. Pues bien
si p(x) = cnxn + cn−1xn−1 + · · · + c1x + c0, el valor de p en la matriz A, i.e., p(A) =
cnAn + cn−1An−1 + · · ·+ c1A+ c0 puede obtenerse con la funcion “polyvalm(p,A)”.
>>p=[1 2 -1]
p =
1 2 -1
>>A=[1 2;-1 1]
A =
1 2
-1 1
3Observese la diferencia tan enorme entre las dos estimaciones.
4.3. TRATAMIENTO DE POLINOMIOS 55
>>polyvalm(p,A)
ans =
0 8
-4 0
Se puede ası comprobar el Teorema de Cayley-Hamilton que afirma que el polinomio
caracterıstico de una matriz se anula en dicha matriz. (Tengase en cuenta los errores de
redondeo).
>>pcA=poly(A)
pcA =
1.0000 -2.0000 3.0000
>>polyvalm(pcA,A)
ans =
1.0e-15 *
0.4441 0
0 0.4441
La orden “polyvalm” nos permite evaluar un polinomio matricialmente, pero no solo
podemos evaluar polinomios matricialmente, sino que otras funciones elementales pueden
ser evaluadas de forma matricial. Ası por ejemplo, MATLAB posee las funciones “expm”,
“logm” y “sqrtm” que determinan la exponencial matricial, el logaritmo matricial y la raız
cuadrada matricial, respectivamente.
>>expoA=expm(A)
expoA =
0.4239 3.7972
-1.8986 0.4239
>>raizA=sqrtm(A)
raizA =
1.1688 + 0.0000i 0.8556 + 0.0000i
-0.4278 + 0.0000i 1.1688 - 0.0000i
>>logaritA=logm(A)
logaritA =
0.5493 - 0.0000i 1.3510 + 0.0000i
-0.6755 + 0.0000i 0.5493 - 0.0000i
Notese que, salvo errores de redondeo, sqrtm(A)*sqrt(A)=A y logm(expm(A))=A.
>>logariteA=logm(expoA)
logariteA =
1.0000 2.0000 - 0.0000i
-1.0000 - 0.0000i 1.0000 + 0.0000i
>>raizA*raizA
56 CAPITULO 4. AUTOVALORES Y POLINOMIOS
ans =
1.0000 + 0.0000i 2.0000 + 0.0000i
-1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i
No solo las anteriores funciones pueden ser evaluadas matricialmente, sino que cualquier
funcion elemental puede ser evaluada en una matriz. Esto se consigue con la ayuda de la
funcion deMATLAB “funm(A,‘funcion’)” que determina el valor de “funcion” en la matriz
A. Por el ejemplo, sen(A) es:
>>sA=funm(A,’sin’)
sA =
1.8329 + 0.0000i 1.4786 - 0.0000i
-0.7393 - 0.0000i 1.8329 - 0.0000i
Capıtulo 5
Posibilidades graficas
A continuacion detallamos algunas de las posibilidades de representacion grafica que nos
ofreceMATLAB. Como siempre recomendamos una viva lectura del manual para una vision
mas extensa de las posibilidades de visualizacion grafica.
5.1 Graficos en el plano
5.1.1 Poligonales y curvas
La curva mas simple que podemos dibujar es una poligonal. Para ello, basta introducir un
vector M y teclear “plot(M)”; esto produce la representacion de la poligonal que une los
puntos (i,M(i)), i = 1, . . . ,max(size(M)). La figura 5.1 recoge esta poligonal.
>> M=[2 4 6 -2 0];
>> plot(M)
Podemos poner un tıtulo a la grafica y etiquetas a los ejes mediante las instrucciones:
>> title(’POLIGONAL’)
>> xlabel(’eje de abcisa’)
>> ylabel(’eje de ordenada’)
Para obtener un mallado del grafico tecleamos
>> grid
De manera analoga, si introducimos dos vectores x e y, de la misma dimension, la in-
struccion “plot(x,y)” nos proporcionara la grafica que se obtiene al unir los puntos (x(i),y(i)).
En la figura 5.2 representamos la curva y = x2 para x ∈ [−3, 4] con este procedimiento.>> x=-3:.1:4;
>> px=x.^2-1;
>> plot(x,px),title(’PARABOLA’),gtext(’Figura 5.2’)
>> grid
57
58 CAPITULO 5. POSIBILIDADES GRAFICAS
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2
-1
0
1
2
3
4
5
6POLIGONAL
eje de abcsisa
eje
de o
rden
ada
Figura 5.1: Una poligonal
-3 -2 -1 0 1 2 3 4-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16PARABOLA
Figura 5.2
Figura 5.2: Una parabola
5.1. GRAFICOS EN EL PLANO 59
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3PARÁBOLA
Figura 5.3: Cambio en los ejes
La orden “gtext(‘texto’)” permite situar el texto entre comillas en cualquier punto de
un grafico bidimensional, pues tecleando “gtext(‘texto’)” despues de realizar un grafico nos
aparecera este en pantalla y el vector puntero de nuestro raton. Seguidamente situamos el
puntero donde queramos poner el texto y pulsamos, por ultimo, el boton del raton para
disponer el texto en el lugar elegido.
Para modificar la escala de los ejes en los que se representa el grafico (bidimensional)
podemos utilizar “axis([xmin xmax ymin ymax])” para definir los intervalos [xmin,xmax] y
[ymin,ymax] donde se mueven los valores de x e y respectivamente. Ası, las instrucciones
>>plot(x,px),title(’PARABOLA’),grid
>>axis([-2 2 -1 3])
producen un cambio de escala en la figura 5.2 (ver figura 5.3). Para anular el efecto de esta
orden (i.e., el cambio de escala) y volver a la escala por defecto tecleamos “axis”.
MATLAB permite, mediante la orden “plot(x,y,’simb’)”, elegir el tipo de lınea y el color
al representar una curva. En este caso, simb se trata de una cadena de uno o varios caracteres
que determinan el tipo de lınea y/o el color elegidos.
Tambien podemos dibujar simultaneamente varias curvas con una instruccion de la forma
plot(x1,y1,’simb1’,x2,y2,’simb2’,...,xN,yN,’simbN’)
que mostrara en pantalla todas las curvas (xI,yI) (con la opcion ’simbI’) en unico grafico.
En la figura 5.4 se ilustra el uso conjunto de estas dos ultimas posibilidades.
60 CAPITULO 5. POSIBILIDADES GRAFICAS
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3DISTINTOS TIPOS DE LINEAS
Figura 5.4: Distintos tipos de lınea
>> t=-8:.2:8;
>> Y1=sin(t);
>> Y2=cos(t);
>> r=1/16*t+1/2;
>> plot(x,px,’*’,t,Y1,’-.’,t,Y2,’o’,t,r,’:’)
>> axis([-2 2 -1 3])
>> title(’DISTINTOS TIPOS DE LINEA’)
5.1.2 Curvas en polares
Para dibujar una curva dada en coordenadas polares disponemos del comando “polar(t,r)”
donde t representa el argumento y r el radio (modulo). Como ejemplo, en la figura 5.5 se
representa una espiral logarıtmica:
>> th=0:.08:100;
>> R=exp(0.1*th);
>> polar(th,R)
>> title(’ESPIRAL LOGARITMICA’)
Para obtener una representacion sin el sistema de referencia procederemos como se indica
a continuacion:
>> clf
>> axis off
5.1. GRAFICOS EN EL PLANO 61
ESPIRAL LOGARITMICA
5000
1e+004
1.5e+004
2e+004
2.5e+004
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Figura 5.5: Espiral logarıtmica
>> hold on
>> polar(th,R)
>> title(’ESPIRAL LOGARITMICA’)
>> hold off
La orden “clf” limpia la pantalla grafica. El comando “axis off” desactiva los ejes del
grafico que nos disponemos a realizar. La orden “hold on” hace que se superpongan en dicha
ventana todos los graficos que se dibujen a continuacion. La orden “hol off” anula “hold
on”. La utlizacion de estas dos ordenes reviste interes, ademas de en este caso concreto, en
aquellos casos en los que interese visualizar simultaneamente distintas graficas en una misma
figura.
5.1.3 Curvas en parametricas
El siguiente ejemplo ilustra la representacion de una curva dada mediante sus ecuaciones
parametricas.
>> t=0:.1:2*pi;
>> x=5*cos(t)-cos(5*t);
>> y=5*sin(t)-sin(5*t);
>> plot(x,y)
>> grid
>> title(’EPICICLOIDE’)
>> axis(’square’)
62 CAPITULO 5. POSIBILIDADES GRAFICAS
ESPIRAL LOGARITMICA
Figura 5.6: Espiral sin ejes
-6 -4 -2 0 2 4 6-6
-4
-2
0
2
4
6EPICICLOIDE
Figura 5.7: Curva en parametricas
5.2. CURVAS EN EL ESPACIO Y SUPERFICIES 63
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60
10
20
30
40
50
60
Figura 5.8: Diagrama de barras
5.1.4 Histogramas y diagramas de barras
En esta brevısima seccion estudiaremos dos formas mas de representacion bidimensional: las
ordenes “bar(x,y)” y “stairs(x,y)” que producen diagramas de barras de distintos tipos. Ver
figuras 5.8 y 5.9:
>> x=-2:.2:4;
>> y=exp(x);
>>bar(x,y)
>> stairs(x,y)
5.2 Curvas en el espacio y superficies
5.2.1 Curvas en parametricas
La representacion de una curva en el espacio dada mediante sus ecuaciones parametricas se
hace de modo similar al caso plano. Se utiliza la orden “plot3”
>> t = 0:pi/50:10*pi;
>> plot3(sin(t),cos(t),t);
>>title(’HELICE’)
64 CAPITULO 5. POSIBILIDADES GRAFICAS
-2 -1 0 1 2 3 40
10
20
30
40
50
60
Figura 5.9: Escalera
-1-0.5
00.5
1
-1-0.5
00.5
10
5
10
15
20
25
30
35
HELICE
Figura 5.10: Curva en el espacio
5.2. CURVAS EN EL ESPACIO Y SUPERFICIES 65
-10-5
05
10
-10-5
05
10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
EL SOMBRERO
Superficie
Figura 5.11: Una curiosa superficie
5.2.2 Superficies
Para representar una funcion Z = f(x, y) procedemos como sigue:
1. Definimos el dominio en que se mueven las variables x e y, mediante
[x,y]=meshgrid(valores de x,valores de y)
2. Expresamos z como funcion de x e y.
3. Dibujamos la superficie mediante la opcion “mesh(x,y,z)” o “mesh(z)”. Con la primera
orden se tienen en cuenta los intervalos definidos para las variables independientes, pero
con las segunda no.
La figura 5.11 muestra el siguiente ejemplo:
>> [x,y]=meshgrid(-8:.5:8,-8:.5:8);
>> R=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;
>> z=sin(R)./R;
>> mesh(x,y,z),title(’EL SOMBRERO’),text(-2.6,-10,-0.15,’Superficie’)
Si escribimos “meshgrid(x) equivale a introducir “meshgrid(x,x)”, con intervalos iguales
para las dos variables independientes
La orden “text(x,y,z,‘texto’)” situa el texto en el punto de coordenadas (x, y, z)1. Si
queremos observar esta superficie desde otros puntos de vista no tenemos mas que elegir los
1Tambien exite la orden “text(x,y,‘texto’)” para graficos bidimensionales
66 CAPITULO 5. POSIBILIDADES GRAFICAS
angulos de giro en horizontal y vertical que queremos aplicar a la figura. Conseguimos la
figura girada tecleando, a continuacion de “mesh(x,y,z)”, la orden “view(al,el)”, siendo “al”
y “el” los angulos elegidos.
La pantalla grafica puede ser dividida en varios trozos en los que se pueden realizar
distintos graficos. Esto se consigue mediante una instruccion del tipo “subplot(ijk)” seguida
de una orden de dibujo: la pantalla grafica quedara dividida en i× j trozos y nuestro dibujoaparecera en el k-esimo.
La figura 5.12 combina las ordenes “view” y “subplot”:
>> subplot(221),mesh(x,y,z),view(45,0)
>> subplot(222),mesh(x,y,z),view(45,-25)
>> subplot(223),mesh(x,y,z),view(45,-50)
>> subplot(224),mesh(x,y,z),view(45,-75)
5.2.3 Curvas de nivel y vector gradiente
MATLAB permite dibujar las lıneas de contorno de una superficie, las curvas de nivel y
vectores gradiente.Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:
En primer lugar dibujamos en la figura 5.13 la superficie de ecuacion z = xe−x2−y2 ,utilizando “mesh(x,y,z)”
>>[x,y] = meshgrid(-2:.1:2);
>> z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);
>> mesh(x,y,z)
>>title(’SUPERFICIE’)
Para obtener las lıneas de contorno escribiremos “contour3(x,y,z)”
>> contour3(x,y,z)
>> title(’Lineas de contorno’)
Para obtener las curvas de nivel “contour(x,y,z)”
>> contour(x,y,z)
>> title(’Curvas de nivel’)
Si quisieramos identificar las curvas de nivel deberıamos utilizar la orden “clabel”. Para
ilustrarlo considerar el siguiente ejemplo:
>> cs=contour(x,y,z);clabel(cs)
>> title(’Curvas de nivel’)
Para obtener la grafica simultanea de la superficie y de las curvas de nivel utilizaremos
“meshc(x,y,z)”
5.2. CURVAS EN EL ESPACIO Y SUPERFICIES 67
-10 0 10-10 0 10-0.5
0
0.5
1
-100
10-100
10
-0.5
0
0.5
1
-100
10-100
10
-1
0
1
-10
0
10-10
0
10
-101
Figura 5.12: Distintos tipos de vista
68 CAPITULO 5. POSIBILIDADES GRAFICAS
-2-1
01
2
-2-1
01
2-0.5
0
0.5
SUPERFICIE
Figura 5.13: z = e−x2−y2
-2-1
01
2
-2-1
01
2-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Lineas de contorno
Figura 5.14: Representacion realizada con contour3
5.2. CURVAS EN EL ESPACIO Y SUPERFICIES 69
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Curvas de nivel
Figura 5.15: Utilizacion del comando contour
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.4 -0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Curvas de nivel
Figura 5.16: Con clabel se etiquetan las curvas nivel
70 CAPITULO 5. POSIBILIDADES GRAFICAS
-2-1
01
2
-2-1
01
2-0.5
0
0.5
Superficie y curvas de nivel
Figura 5.17: Grafica realizada con meshc
>> meshc(x,y,z)
>> title(’Superficie y curvas de nivel’)
Si queremos visualizar las curvas de nivel y los vectores gradiente utilizaremos las ordenes
“gradient” y “quiver”. Esta ultima orden visualiza un vector cuyas componentes vienen dadas
por “gradient”
>> [x,y] = meshgrid(-2:.1:2);
>> z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);
>> [px,py] = gradient(z,.1,.1);
>> contour(x,y,z);
>> hold on, quiver(x,y,px,py), hold off
>> title(’Curvas de nivel y gradiente’)
En el siguiente ejemplo se dibujan las curvas de nivel identificandolas con la opcion “man-
ual” de la orden “clabel”. Utilizando dicha opcion nos situamos en la vantana gr’afica y
pulsamos el raton encima de la curva que deseemos, seguidamente aparecera junto a ella el
numero que le corresponda.
>>[x,y] = meshgrid(-2:.1:2);
>> z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);
>> [px,py] = gradient(z,.1,.1);
>> cs=contour(x,y,z);clabel(cs,’manual’);
5.2. CURVAS EN EL ESPACIO Y SUPERFICIES 71
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Curvas de nivel y vector gradiente
Figura 5.18: Utilizacion de quiver
>> hold on, quiver(x,y,px,py), hold off
>>title(’Curvas de nivel y gradiente’)
Para graficos tridimensionales las utilizacion de “axis” es similar al caso bidimensional.
Para trabajar con distintas figuras simultaneamente, en distintas ventanas, se utilizara la
orden “figure(n)”.
72 CAPITULO 5. POSIBILIDADES GRAFICAS
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Curvas de nivel y vector gradiente
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 5.19: El comando clabel con la opcion manual
Capıtulo 6
Funciones y programas en Matlab.
M—Ficheros
6.1 Instrucciones en Matlab: input, if, error, while, break,
pause, for . . .
En este apartado exponemos el manejo de ficheros y funciones dentro de una sesion de
MATLAB. Esta caracterıstica es particularmente interesante, ya que nos permitira definir
nuevas funciones: que podran ser utilizadas posteriormente del mismo modo que aquellas de
que disponemos enMATLAB; y crear lo que podemos llamar programas, que se ejecutaran
dentro de una sesion.
Los ficheros que podemos editar para su utilizacion desde MATLAB seran ficheros de
texto en ASCII, creados por un editor que queda a nuestra eleccion. La extension de estos
ficheros sera .m.
Como hemos advertido los ficheros.m (o M—ficheros) pueden crearse con dos finalidades:
1. Para crear ficheros de escritura o programas.
2. Para definir funciones por parte del usuario.
Los ficheros de escritura o programas son ficheros del tipo “nombre.m” que contienen una
sucesion de instrucciones deMATLAB. Al teclear dentro de una sesion el nombre del fichero
se produce la ejecucion secuencial de todas las instrucciones en el contenidas. Estos archivos
pueden ser utilizados de dos formas:
• Como ficheros de datos.
• Como programas.
Por ejemplo, si el M—fichero “matrices.m” contiene
73
74 CAPITULO 6. FUNCIONES Y PROGRAMAS EN MATLAB. M—FICHEROS
A=[2 4 -5;8 -.07 1];
B=[2 -3;0 4]
al teclear
>>matrices
obtenemos
B =
2 -3
0 4
La matriz A no aparece en pantalla debido al ; sin embargo, a partir de este momento, las
matrices A y B podran ser utilizadas en la sesion como si hubieran sido definidas de manera
explıcita. Naturalmente, esto resulta interesante, entre otras cosas, si vamos a trabajar con
una matriz suficientemente grande en distintas sesiones deMATLAB.
Al disponerMATLAB de instrucciones del tipo IF, WHILE y FOR (analogas a las que
podemos encontrar en lenguajes de programacion como FORTRAN o PASCAL) si un M—
fichero “nombre.m” contiene una sucesion de instrucciones de este tipo que describen una
cierta tarea, al teclear dentro de una sesion el nombre del fichero, dichas instrucciones se
ejecutaran secuencialmente dando un resultado similar a la ejecucion de un programa por un
interprete.
Antes de continuar describiremos las instrucciones “if”, “while” y “for” anteriormente
mencionadas y algunas otras que resultan utiles en este contexto. Para ello comentaremos,
dentro de un ejemplo concreto, el uso y posibilidades de estas ordenes.
El fichero “bg.m” contiene:
%BG: Metodo de biseccon o dicotomia.
% El programa BG resuelve la ecuacion g(x)=0 (para una funcion
% g que debe estar definida en un archivo.m) por el metodo
% de dicotomia (o biseccion).
gc=0;
c=0;
disp(’Deme el extremo inferior del intervalo’)
a=input(’a= ’);
disp(’Deme el extremo superior del intervalo’)
b=input(’b= ’);
if b<=a
error(’Intervalo degenerado’)
end
disp(’Introduzca el nombre del archivo donde se encuentra la funcion’)
g=input(’nombre de funcion= ’,’s’);
6.1. INSTRUCCIONES ENMATLAB: INPUT, IF,ERROR,WHILE,BREAK,PAUSE, FOR . . .
disp(’Deme el valor del test de parada’)
ep=input(’ep= ’);
if ep<=0
error(’El test de parada debe ser >0’)
end
if feval(g,a)==0
solucion=a
return
end
if feval(g,b)==0
solucion=b
return
end
if feval(g,a)*feval(g,b)>0
error(’El intervalo podria no contener solucion’)
end
i=0;
while b-a>=ep
i=i+1;
c(i)=(a+b)/2;
gc(i)=feval(g,c(i));
if gc(i)==0
disp(’La solucion se ha obtenido en uno de los puntos medios’)
disp(’de los subintervalos’)
solucion=c(i)
return
end
if feval(g,a)*gc(i)<0
b=c(i);
else
a=c(i);
end
end
d=(a+b)/2;%Cuando hemos conseguido la tolerancia dada en ep,
%tomamos como solucion el punto medio del intervalo.
solucion=d
disp(’El numero de iteraciones es:’)
i
iop=menu(’Desea la representacion grafica de las Aproximaciones’,...
’Si’,’No’);
if iop==1
76 CAPITULO 6. FUNCIONES Y PROGRAMAS EN MATLAB. M—FICHEROS
plot(gc)
grid
title(’Representacion grafica de la aproximacion’)
end
Las primeras lıneas del programa “bg” son lıneas de comentario. Si en una lınea aparece
el caracter “%”, todo lo que escribamos en esa lınea a continuacion del tanto por ciento sera
interpretado como un comentario y no se evaluara.
La lınea,
disp(’Deme el extremo inferior del intervalo’)
hace que el programa disponga en pantalla el texto escrito entre las comillas. (La funcion
“disp(matriz)” hace que la matriz1 aparezca en pantalla).
La orden:
a=input(’a= ’);
detiene momentaneamente la ejecucion del programa, mostrando en pantalla a=, esperando
la introduccion de un dato numerico que sera asignado a la variable “a”. La opcion
g=input(’nombre de funcion= ’,’s’);
detiene el programa a la espera de la introduccion de una cadena de caracteres, que se asignara
a la variable g.
La instruccion “feval(g,a)” nos da el valor numerico de la funcion “g” en el punto “a”. La
variable “g” debe contener, como cadenas de caracteres, el nombre del fichero que contiene
la definicion de la funcion que deseamos aplicar sobre “a”. Por ejemplo, sen(1/2) y log(−1)se pueden obtener con ayuda de la funcion “feval” como sigue:
>>feval(’sin’,1/2)
ans =
0.4794
>>feval(’log’,-1)
ans =
0 + 3.1416i
El conjunto de instrucciones
if feval(g,a)*gc(i)<0
b=c(i);
else
a=c(i);
end
1Recuerdese que una matriz puede estar formada por cadena de caracteres.
6.1. INSTRUCCIONES ENMATLAB: INPUT, IF,ERROR,WHILE,BREAK,PAUSE, FOR . . .
actua de la siguiente manera:
si la condicion “feval(g,a)*gc(i)<0” se satisface, entonces la variable “b” toma el valor “c(i)”,
en caso contrario “a” tomara el valor “c(i)”.
La estructura general de un bloque IF es la siguiente:
if condicion1
instrucciones1
elseif condicion2
instrucciones2
.
.
.
else instruccionesN end
y actua de la siguiente forma:
Si “condicion1” se satisface se ejecutaran solamente las “instrucciones1”, si por el contrario
se satisface “condicion2” solo las “instrucciones2”se ejecutaran, . . . . Si ninguna de estas
condiciones es satisfecha se ejecutara solo el bloque “instruccionesN”. Las condiciones que
aparecen en un bloque IF son expresiones del tipo: “expresion1 S expresion2”, donde S puede
ser: == (igual), <,>,<=, >= y ∼ = (distinto), incluidos los operadores logicos & (y), | (o),∼ (No) y las funciones logicas que se encuentran en los cuadros—resumen del ultimo capıtulo.
La orden
error(‘texto’)
detiene definitivamente la ejecucion del programa mostrando un mensaje de error aclarado
por el texto incluido.
>>bg
Deme el extremo inferior del intervalo
a= 1
Deme el extremo superior del intervalo
b= -1
??? Error using ==> bg
Intervalo degenerado
Las instrucciones de tipo WHILE son faciles de entender. La estructura general es:
while condicion
instrucciones
end
78 CAPITULO 6. FUNCIONES Y PROGRAMAS EN MATLAB. M—FICHEROS
lo que provoca la ejecucion de las instrucciones detalladas mientras la condicion se verifique.
En el programa “bg” el bloque de instrucciones WHILE es:
while b-a>=ep
i=i+1;
c(i)=(a+b)/2;
gc(i)=feval(g,c(i));
if gc(i)==0
disp(’La soluci n se ha obtenido en uno de los puntos medios’)
disp(’de los subintervalos’)
solucion=c(i)
end
if feval(g,a)*gc(i)¡0
b=c(i);
else
a=c(i);
end
end
La instruccion “return” detiene por completo la ejecucion del programa. En nuestro
ejemplo se ha utilizado para romper el programa cuando la solucion es trivial (i.e., algunos
de los extremos del intervalo) o se ha alcanzado la solucion exacta en los puntos medios de
los subintervalos.
Una vez que el flujo del programa llega a la a instrucion
iop=menu(’Desea la representacion grafica de las Aproximaciones’,...
’Si’,’No’);
aparece en pantalla2 el siguiente menu:
----- Desea la representacion grafica de las Aproximaciones -----
1) Si
2) No
Select a menu number:
y el programa se detiene momentaneamente a la espera de introducir uno de los valores
de opcion. Si introducimos el valor 1, entonces la variable “iop” tomara el valor 1 y la
representacion se llevara a cabo, debido a la inclusion en el programa del bloque:
2Si utilizamos MATLAB en un entorno de ventanas aparecera una ventana con botones de opcion.
6.1. INSTRUCCIONES ENMATLAB: INPUT, IF,ERROR,WHILE,BREAK,PAUSE, FOR . . .
if iop==1
plot(gc)
grid
title(’Representacion grafica de la aproximacion’)
end
Si por el contrario seleccionamos el numero 2, la representacion no se realizarıa.
Si se desea interrumpir por un momento el programa (por ejemplo, para comprobar
algunos datos) incluimos en el la orden “pause” que lo detendra hasta que alguna tecla
sea pulsada. Tambien disponemos de la opcion “pause(n)” que lo detiene por n segundos.
Para terminar comentamos los bucles FOR. La estructura de uno de estos bucles es:
for expresion
instrucciones
end
Por ejemplo, usando FOR podemos crear una matriz triangular inferior mediante dos
bucles anidados:
>> for i=1:4
for j=1:1:i
A(i,j)=1;
end
end
>> A
A =
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
Por ultimo, senalamos que los programas en MATLAB, como el programa “bg”, no
poseen variables internas al mismo. Esto es, cualquier variable definida en el programa pasa,
automaticamente, a formar parte de las variables del espacio de trabajo. Por consiguiente, si
en una sesion definimos la variable a como:
>>a=[1 2;2 4]
a =
1 2
2 4
y seguidamente calculamos la solucion de log x = 0 en [1/2, 3] con la ayuda de “bg”:
80 CAPITULO 6. FUNCIONES Y PROGRAMAS EN MATLAB. M—FICHEROS
>>bg
Deme el extremo inferior del intervalo
a= 1/2
Deme el extremo superior del intervalo
b= 3
Introduzca el nombre del archivo donde se encuentra la funcion
nombre de funcion= ’log’
Deme el valor del test de parada
ep= 0.00001
solucion =
1.0000
El numero de iteraciones es:
i =
18
----- Desea la representacion grafica de las Aproximaciones -----
1) Si
2) No
Select a menu number: 2
aclaramos que, sin darnos cuenta, hemos perdido la matriz a, pues en nuestro programa esta
variable va tomando los valores del extremo inferior de los subintervalos que se generan en el
metodo de biseccion:
>>format long
>>a
a =
0.99999237060547
Si las variables definidas en una programa pasan a formar parte del espacio de trabajo,
una vez que el programa se ha ejecutado completamente tenemos la capacidad de obtener los
valores de algunas variables definidas en el. Por ejemplo, podemos saber cual es el valor de
“c(9)” en el programa “bg”:
>>c(9)
ans =
1.0029
6.2. DEFINICION DE FUNCIONES 81
6.2 Definicion de funciones
Podemos utilizar M—ficheros para definir nuevas funciones no incorporadas al conjunto de
funcionesMATLAB.
Si queremos definir una funcion fun(x1,...,xN)=[y1,...,yM] con N matrices como argumen-
tos de entrada y M matrices como argumentos de salida crearemos un M—fichero de nombre
“fun.m” (es esencial la correspondencia entre el nombre de la funcion y el del fichero) cuya
primera lınea debe ser
function [y1,...,yM]=fun(x1,...,xN)
y las restantes contendran la propia definicion de la funcion fun(x1,...,xN).
Por ejemplo, si el fichero “house.m” contiene:
%HOUSE: Matriz de Householder
% La funcion house(x) calcula la matriz de Householder
% asociada al vector columna x (si x=0 se toma la identidad)
function y=house(x)
[m,n]=size(x);
if any(x)==0,y=eye(m);return,end
I=eye(m);
N=x’*x;
y=I+(-2/N)*(x*x’);
y dentro de una sesionMATLAB introducimos un vector columna v y tecleamos “H=house(v)”
la variable H tomara como valor la matriz de Householder asociada al vector v, es decir,
H = I − 2xxtxtx
>> v=[1 4 -7 0]’;
>> H=house(v)
H =
0.9697 -0.1212 0.2121 0
-0.1212 0.5152 0.8485 0
0.2121 0.8485 -0.4848 0
0 0 0 1.0000
Notese que N es una variable interna de la funcion “house” que no pasara a formar de
nuestro espacio de trabajo. Vease
>>N
??? Undefined function or variable.
Symbol in question ==> N
82 CAPITULO 6. FUNCIONES Y PROGRAMAS EN MATLAB. M—FICHEROS
Las primeras lıneas de comentario definidas en el fichero “house.m” nos informan del
cometido de la funcion “house(x)”. Ası, con ayuda de la orden “help” podemos obtener
informacion de la funcion “house”.
>>help house
La funcion house(x) calcula la matriz de Householder
asociada al vector columna x (si x=0 se toma la identidad)
La primera lınea de comentario se denomina lınea H1. La orden lookfor palabra realiza
una busqueda de palabra en la lınea H1 de todas las funciones contenidas en la ruta de acceso
de MATLAB. Para que lookfor realice una busqueda en el conjunto de las primeras lıneas
de comentario basta teclear la orden lookfor palabra -all.
Para acabar este capıtulo recordamos que algunas funciones de MATLAB pueden ser
ejecutadas con distintos argumentos de entrada y distintos argumentos de salida y que esta
caracterıstica estaba ıntimamente ligada con las variables “nargin” (numero de argumentos de
entrada) y “nargout” (numero de argumentos de salida). Pues bien, como no podıa ser menos,
cualquier funcion creada por el usuario puede poseer esta caracterıstica si ası lo explicitamos
en la definicion de nuestra funcion. Para ver esto nos creamos la funcion “numero” que nos
daran el numero de argumentos de entrada y el numero de argumentos de salida cuando
realizamos una llamada a la funcion “numero”.
El fichero “numero.m” contiene:
function [y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y10]=numero(x1,x2,x3,x4,x5,...
x6,x7,x8,x9,x10)
%NUMERO: Numero de argumentos de entrada y salida
%Esta funcion nos proporciona el numero de argumentos de entrada
%y salida. Como maximo podemos dar diez argumentos de entrada y diez
%de salida.
y1=nargin;
y2=nargout;
De esta forma si teclamos
>>[a,b,c,d]=numero(1,2,[1 2],sqrt(1),4)
las variables a y b contendran el numero de argumentos de entrada y de salida, respecti-
vamente, en la llamada a la funcion “numero”. Vease
a =
5
b =
4
c =
6.2. DEFINICION DE FUNCIONES 83
[]
d =
[]
Observamos ası que cuando realizamos la llamada a una funcionMATLAB, automaticamente
se determinan el numero de argumentos de entrada y el numero de argumentos de salida de
la llamada efectuada.
Por ejemplo, podemos crearnos una funcion que con dos argumentos de entrada nos
proporcione la suma de ambos y que con tres argumentos de entrada nos de el producto de
esos tres numeros. Llamamos a esta funcion “sumpro” y esta definida como:
function y=sumpro(x1,x2,x3)
%SUMPRO: Suma o producto
%La funcion sumpro nos proporciona la suma de dos numeros si
%introducimos dos argumentos de entrada y el produto de tres
%numeros, si son tres los argumentos de entrada.
na=nargin;
if na==1,
error(’No hay bastantes argumentos de entrada’)
elseif na==2
y=sum([x1 x2]);
else
y=prod([x1 x2 x3]);
end
Se pueden presentar las siguientes situaciones:
>>sumpro(2)
??? Error using ==> sumpro
No hay bastantes argumentos de entrada
>>sumpro(1,2)
ans =
3
>>sumpro(1,2,5)
ans =
10
>>sumpro(1,2,3,4)
??? Error using ==> sumpro
Too many input arguments.
Capıtulo 7
Aspectos de analisis numerico
En esta seccion comentaremos, de forma breve, como Matlab puede ser utilizado para re-
solver los problemas que con mas frecuencia se pueden encontrar en el campo del Analisis
Numerico: sistemas de ecuaciones (no lineales), integracion, optimizacion y ecuaciones difer-
enciales.
Solo vamos a comentar las versiones basicas de estas ordenes, que poseen numerosas
variantes. Como siempre recomendamos una lectura a fondo del manual.
7.1 Resolucion de Ecuaciones y Sistemas no Lineales
1. Ecuaciones:
Imaginemos que queremos resolver la ecuacion g(x) = 0 y ademas que hemos podido
averiguar que una de las soluciones de tal ecuacion esta cercana al punto x0. Entonces,
la orden “fzero(‘g’,x0)” nos proporciona la raız de g mas proxima a x0.
Senalamos que la funcion g debe estar introducida en un fichero denominado g.m. Por
ejemplo, para g(x) =sen(x2)− 3x+ 1 (ver figura 7.1) se tiene:>>format long e
>>solucion=fzero(’g’,0)
solucion =
3.817356369038296e-001
que nos da la solucion mas cercana a cero de sen(x2)− 3x+ 1 = 02. Sistemas:
Para resolver un sistema de ecuaciones (no lineal1), como por ejemplo, (ver figura 7.2)
x2 + y2 − 1 = 0x− y = 0
1La orden fsolve ha pasado a formar parte del la caja de herramientas de optimizacion.
84
7.2. INTEGRACION NUMERICA 85
definimos la funcion dim2(X,Y ) = (X2 + Y 2 − 1,X − Y )mediante el fichero “dim2.m”que contiene:
function y=dim2(p)
x=p(1);z=p(2);
y=zeros(2,1); % Es esencial
y(1)=xˆ2+zˆ2-1;
y(2)=x-z;
y tecleando:
>>sol1=fsolve(’dim2’,[1 1]’)
sol1 =
7.071078431372548e-001
7.071078431372548e-001
obtenemos la solucion del sistema mas proxima al punto del plano (1, 1). Pero observese
que la circunferencia y la recta se cortan en otro punto, opuesto al anterior:
>>sol2=fsolve(’dim2’,[-1 -1]’)
sol2 =
-7.071078431372548e-001
-7.071078431372548e-001
7.2 Integracion numerica
La integral definida de la funcion g en el intervalo [a, b] puede obtenerse de forma aproximada
mediante
1. “quad(‘g’,a,b)” (Regla de Simpson)
2. “quad8(‘g’,a,b)” (Newton—Cotes)
Ası, para la funcion anterior se tiene:
>>area=quad(’g’,-1,0)
area =
2.810248532388182e+000
>>area=quad8(’g’,-1,0)
area =
2.810268301723342e+000
86 CAPITULO 7. ASPECTOS DE ANALISIS NUMERICO
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1Resolucion y minimizacion
cero
minimo
Figura 7.1: g(x) = sen (x2)− 3x+ 1
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Interseccion de una recta y una circunferencia
Figura 7.2: Interseccion de y = x con x2 + y2 = 1
7.3. OPTIMIZACION EN UNA Y VARIAS VARIABLES 87
7.3 Optimizacion en una y varias variables
Si queremos calcular el mınimo de la funcion g en el intervalo [1,2.5] tecleamos
>>format
>>min=fmin(’g’,1,2.5)
min =
2.3266
Esto nos ofrece el punto del intervalo [1, 2.5] donde se alcanza el mınimo de g (vease la
figura 7.1). Para funciones de varias variables disponemos de la orden “fmins(‘f’,x0)” que
calcula el mınimo de la funcion f mas cercano al punto x0.(En la version 4.2c ’fmins’se incluye
en el toolbox dde optimizacion). Por ejemplo, la funcion
z =−4x
x2 + y2 + 1
alcanza su valor mınimo en el punto (1, 0), donde vale −2 (ver figura 7.3). Esto puede
calcularse si definimos f(x, y) =−4x
x2 + y2 + 1en el archivo maximini.m y teclemos las ordenes
>>mini=fmins(’maximini’,[0,0.5]’)
mini =
0.9999
0.0001
>>maximini(mini)
ans =
-2.0000
El archivo maximini.m contiene
function z=maximini(p)
x=p(1);y=p(2);
z=zeros(1,1);
z=(-4*x)./(x.^2+y.^2+1);
7.4 Resolucion de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Describamos con un ejemplo como proceder:
Deseamos resolver el problema de Cauchy (o problema de valor inicial)
x0 = cos(t)x en [0, 3]
x(0) = 1
Para ello se define la funcion “dife(t,x)” (en el archivo “dife.m”) que representa la ecuacion
diferencial
88 CAPITULO 7. ASPECTOS DE ANALISIS NUMERICO
-2-1
01
2-2-1
01
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 7.3: Optimizacion en varias varibles
function y=dife(t,x)
y=cos(t).*x;
y tecleamos:
>>t0=0;
>>tf=3;
>>x0=1;
>>[t,x]=ode23(’dife’,t0,tf,x0);
Ası, x contiene los valores (aproximados) que toma la solucion sobre los puntos del inter-
valo que se almacenan en el vector t.
>>disp(’ t x ’),disp([t,x])
t x
0 1.0000
0.0300 1.0304
0.1726 1.1874
0.3151 1.3632
0.4602 1.5590
0.6103 1.7736
0.7684 2.0033
0.9380 2.2394
1.1245 2.4641
7.4. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 89
0 0.5 1 1.5 2 2.5 31
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
t
x
Figura 7.4: Solucion apoximada obtenida con ode23
1.3351 2.6433
1.5794 2.7169
1.8706 2.5977
2.1746 2.2751
2.3762 1.9969
2.5520 1.7415
2.7285 1.4919
2.8893 1.2817
3.0000 1.1499
En las figuras 7.4 y 7.5 pueden contemplarse la solucion aproximada ofrecida porMAT-
LAB y la solucion exacta, respectivamente. Notese que la solucion exacta es x(t) = esent.
La funcion “ode23” resuelve ecuaiones diferenciales numericamente por metodos de Runge—
Kutta de segundo y tercer orden, pero podemos resolver la ecuacion con mas aproximacion
si utilizamos la funcion “ode45”, pues de esta forma estamos utilizando metodos de Runge—
Kutta de cuarto y quinto orden.
Un buen ejercicio para el lector serıa representar las graficas que aparecen en este capıtulo
que, naturalmente, han sido realizadas conMATLAB.
90 CAPITULO 7. ASPECTOS DE ANALISIS NUMERICO
0 0.5 1 1.5 2 2.5 31
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
t
x
Figura 7.5: Solucion exacta: x(t) = e sen t
Capıtulo 8
Consejos practicos
En este capıtulo exponemos algunos de los comandos que resultan de ınteres cuando nos
disponemos a trabajar con MATLAB. Ponemos en evidencia que algunas de las funciones
que recogemos en este capıtulo ya han sido tratadas en los anteriores, pero estamos conven-
cidos que resultara beneficioso darles un ligero repaso.
8.1 Las ordenes help, lookfor y demo
Si tecleamos “help ncof”, siendo ncof el nombre de un comando o funcion disponible en
MATLAB, obtendremos una breve informacion sobre dicho comando o funcion. Si ncof
ha sido creado por el usuario aparecera en pantalla el bloque de comentarios incluido en
las primeras lıneas del fichero que define la funcion o cmando ncof. Por ejemplo, para el
programa “bg”, definido en el capıtulo 5, se obtiene
>>help bg
BG: M\UNICODE{0xe9}todo de bisecci\UNICODE{0xf3}n o dicotom\UNICODE{0xed}a
El programa BG resuelve la ecuacion g(x)=0 (para una funcion
g que debe estar definida en un archivo.m) por el metodo
de dicotomia (o biseccion).
La orden “help” sin argumentos nos proporciona, segun la version de MATLAB de la
que hagamos uso, una coleccion de las funciones y comandos que podemos utilizar. Notese
que, si la funciones definidas por el usuario aparecen en la ruta de acceso de MATLAB,
estas tambien podran visualizar en la coleccion anterior.
Relacionada con la orden “help” nos encontramos con la orden “lookfor cadena” que nos
proporciona una lista de la funcionesMATLAB (y del usuario) relacionadas con la palabra
cadena.
91
92 CAPITULO 8. CONSEJOS PRACTICOS
Estamos convencidos que un primer contacto conMATLAB debe ser la visualizacion de
todas y cada una de las demostraciones que el programa posee. En ellas pueden observarse
las posibilidades y usos deMATLAB en un tiempo relativamente corto. Las demostraciones
queMATLAB nos ofrece pueden contemplarse tecleando la orden “demo”. Una vez tecleada
esta orden aparecera, dependiendo de la version utilizada, un menu con distintas opciones;
recomendamos que se visualicen todas, la primera vez que utilizamosMATLAB.
En versiones mas actuales la orden “intro” nos da un breve resumen de las capacidades
de MATLAB. Tambien recomendamos se haga uso de esta orden, al menos la primera vez
que hacemos correr MATLAB.
8.2 Informacion sobre variables declaradas. Instrucciones
para guardar y salvar variables
El espacio de trabajo puede controlarse con tres grupos de instrucciones:
1. Instrucciones destinadas a obtener informacion sobre las variables que estamos utilizan-
do en la sesion:
• “who” nos proporciona una todas las variables que tenemos en memoria. La
variante “whos” nos da informacion adicional sobre las mismas.
2. Instrucciones de control de pantalla.
• “clc” suprime el contenido de la pantalla de comandos.• “clf” borra el contenido de la pantalla de graficos.• “’shg” nos muestra el contenido actual de la pantalla grafica.
3. Instrucciones para eliminar variables, salvarlas o cargarlas de un fichero.
La orden “clear v1 v2 . . . vN” elimina las variables v1, v2, ..., vN del espacio de trabajo.
Podemos utilizar otras variantes de “clear’ para dejar libre mas memoria dentro de una
sesion. Por ejemplo, “clear” elimina todas la variables que se encuentran en el espacio
de trabajo.
MATLAB permite salvar, algunas o todas las variables que estamos utilizando en
una sesion, almacenandolas en un fichero “nombre.mat”, mediante el comando “save
nombre”, o alguna de sus variantes. Si deseamos usar las variables que previamente
hemos salvado en un fichero “nombre.mat”, teclearemos “load nombre” y las variables
que se encuentran en nombre.mat seran cargadas en el espacio de trabajo.
Tambien podemos salvar nuestras variables en archivos ASCII, para ello utilizamos
algunas de las siguientes posibilidades:
8.3. RELACION CON EL SISTEMA OPERATIVO. EL COMANDO DIARY 93
• “save nombre a /ascii” que guardara en un fichero ascii la variable a en simpleprecision, i.e., con 8 cifras significativas.
• “save nombre a /ascii /double” que almacena la variable a en doble precision.
De la misma forma que podemos salvar variables en un archivo ASCII, tambien podemos
cargar, en una sesion MATLAB, variables almacenadas en un archivo ASCII. Esto
podemos conseguirlo1 tecleando “load nombre”; ası obtendremos una variable llamada
“nombre” con el contenido del archivo de la misma denominacion.
8.3 Relacion con el sistema operativo. El comando diary
Al igual que en MS—DOS enMATLAB disponemos de los comandos “dir”, “delete”, “type”
y “chdir” con los mismos cometidos. En cualquier caso si tecleamos ! nos situaremos mo-
mentaneamente en el sistema operativo; de esta manera, cualquier instruccion que contenga
como primer caracter ! sera interpretada como una orden del sistema. Ası, una alternativa
a la orden deMATLAB “chdir directorio” es la instruccion “!cd directorio”.
La instruccion “type” (antes mencionada) es de gran utilidad, pues podemos contemplar
las instrucciones, en MATLAB, de algunas de sus funciones y aprender bastante sobre su
lenguaje de programacion. Por ejemplo, el numero de condicion de una matriz se calcula
mediante la version 3.5j de MATLAB de la siguiente forma:
>>type cond
function y = cond(x)
%COND Condition number in 2-norm. COND(X) is the ratio of the
% largest singular value of X to the smallest.
% J.N. Little 11-15-85
% Revised 3-9-87 JNL
% Copyright (c) 1985, 1986, 1987 by the MathWorks, Inc.
if length(x) == 0 % Handle null matrix
y = NaN;
return
end
s = svd(x);
if any(s == 0) % Handle singular matrix
disp(’Condition is infinite’)
y = Inf;
return
1En versiones mas actuales hay que teclear “load nombre /ascii”
94 CAPITULO 8. CONSEJOS PRACTICOS
end
y = max(s)./min(s);
La opcion “diary nombre.m” tecleada dentro de una sesion, hara que todo cuanto aparez-
ca en pantalla a partir de esta lınea sea almacenado en el archivo “nombre.m”, hasta que
anulemos este comando mediante la instruccion “diary off”.
Recordamos que para las funciones, las variables definidas en ella (i.e., internas) no pasan
a forma parte del espacio de trabajo y que lo contrario sucede para los M—Ficheros que se
ejecutan en forma de programas.
Por ultimo, invitamos al lector a investigar la utilidad del comando “echo” y sacarle todo
el partido posible.
Capıtulo 9
Resumen de los comandos y
funciones mas utilizados
En este capıtulo presentamos, en forma de cuadros, un resumen de los comandos y fun-
ciones que con mas frecuencia se utilizan enMATLAB. Para la realizacion de los “cuadros—
resumenes” se ha intentando, en la medida de lo posible, seguir el ındice de materias de los
capıtulos anteriores. Naturalmente, se realiza una breve descripcion del comando o funcion
en cuestion, que puede aumentarse con ayuda de las paginas anteriores, del comando “help”
deMATLAB o del manual. Algunos de los comandos pueden aparecer repetidos en mas de
un cuadro.
Advertimos que algunas funciones (o comandos) deMATLAB han podido variar de unas
verisones a otras o quedarse obsoletos; recomendamos tener cerca el manual de la version que
estemos utilizando.
BASICO
help Ayuda
lookfor Busca funciones relacionadas con una palabra
who Muestra las variables del espacio de trabajo
whos Lo mismo que who, pero con mas informacion
what Muestra archivos.m
which Muestra el directorio de un comando
Ctrl—C Interrupcion
quit Salir de MATLAB
exit Salir de MATLAB
demo Demostracion deMATLAB
intro Breve introduccion
casesen Sensibilidad a las mayusculas
95
96CAPITULO 9. RESUMEN DE LOS COMANDOS Y FUNCIONES MAS UTILIZADOS
VARIABLES PERMANENTES
eps Valor de precision
ans Variable de respuesta cuando no hay asignacion
pi π
i, j Unidad imaginaria
Inf Infinito
NaN No es un numero
flops Numero de operaciones
clock Fecha y hora actual
date Fecha actual
nargin Numero de argumentos de entrada
nargout Numero de argumentos de salida
cputime Tiempo de CPU
tic, . . . , toc Tiempo de calculo
CARACTERES ESPECIALES
= Asignacion
[, ] Creacion de matrices
. Punto decimal. Operaciones elemento a elemento
. . . Continuacion de lınea
; Terminacion de filas. Suprime impresion de resultado
% Comentario
: Genera vectores
OPERACIONES MATRICIALES Y PUNTUALES
+ Suma
− Diferancia
∗, .∗ Multiplicacion
/, ./ Division derecha
\, .\ Division izquierda∧, .∧ Potenciacion0 Transposicion.
97
FUNCIONES ELEMENTALES
abs Valor absoluto o modulo angle Argumento
real Parte real imag Parte imaginaria
conj Conjugado exp Funcion exponencial de base e
log Logaritmo neperiano log10 Logaritmo en base 10
sin Seno cos Coseno
tan Tangente asin Arcoseno
acos Arcocoseno atan Arcotangente
atan2 Arcotangente de x/y sinh Seno hiperbolico
cosh Coseno hiperbolico tanh Tangente hiperbolica
asinh Argumento seno hiperbolico acosh Argumento coseno hiperbolico
atanh Argumento tangente hiperbolica round Redondeo al entero mas cercano
fix Redondeo hacia cero floor Redondeo hacia −∞ceil Redondeo hacia +∞ sign Signo
rem Resto de la division sqrt Raız cuadrada
MATRICES ESPECIALES
compan Matriz companera
eye Matriz identidad
gallery Matrices “famosas”
magic Matriz magica
hilb Matriz de Hilbert
invhilb Inversa de la matriz de Hilbert
ones Matriz de unos
rand Matriz aleatoria
zeros Matriz nula
MANIPULACION DE MATRICES
rot90 Rotacion de 90o
tril Triangular inferior
triu Triangular superior
reshape Reordenacion
fliplr Inversion en el orden de las columnas
flipud Inversion en le orden de las filas
: Bloques de Matrices
diag Diagonal
98CAPITULO 9. RESUMEN DE LOS COMANDOS Y FUNCIONES MAS UTILIZADOS
RESOLUCION DE S.E.L. Y DESCOMPOSICIONES
\ Divsision izquierda. Solucion de S.E.L.
inv Matriz inversa
pinv Pseudoinversa
lu Descomposicion LU (LR)
chol Descomposicion de Cholesky
qr Descomposicion QR
sdv Descomposicion en valores singulares
shur Descomposicion de Schur
FUNCIONES MATRICIALES
det Determinante
poly Polinomio caracterıstico
trace Traza
eig Autovalores y autovectores
diag Diagonal
expm Exponencial matricial
logm Logaritmo matricial
sqrtm Raız cuadrada matricial
funm Evaluacion de funcion matricial
polyvalm Evaluacion matricial de un polinomio
TRATAMIENTO DE POLINOMIOS
roots Raıces de polinomios
polyval Valor numerico de polinomios
conv Multiplicacion
deconv Division
residue Descomposicion en fracciones simples (complejas)
polyfit Ajuste de datos mediante polinomios
99
FUNCIONES Y OPERADORES LOGICOS Y RELACIONALES
any Condiciones logicas
all Conciones logicas
strcomp Compara cadenas caracteres
find Detecta ındices para relaciones logicas
finite Encuentra infinitos
isnan Detecta NaN
isempty Encuentra matrices vacıas
isstr Detecta cadenas de caracteres
< Menor que
> Mayor que
<= Menor o igual que
>= Mayor o igual que
== Igualdad
∼= Distinto
& Y
| O∼ No
CADENAS DE CARACTERES
eval Evalua texto
num2str Convierte numeros en cadenas de caracteres
int2str Convierte enteros en cadenas de caracteres
sprintf Convierte numeros en cadenas de caracteres
hex2num Convierte cadenas hexadecimales en numeros
INSTRUCCIONES DE ARCHIVO
load Cargar variables de un archivo en el espacio de trabajo
save Guardar variables en un fichero
type Mostrar contenido de un archivo
cd Cambiar de directorio
delete Borrar un archivo
diary Archivar una sesion de trabajo
! Instruccion del sistema operativo
Ver tambien fread, fopen, . . .
100CAPITULO 9. RESUMEN DE LOS COMANDOS Y FUNCIONES MAS UTILIZADOS
CONTROL DE FLUJO Y PROGRAMACION
if, elseif, else Bloque condicional
end Termina bloques
for, while Repeticion de instrucciones
break Ruptura de bucles
return Retorno
pausa, pausa(n) Pausa. Pausa de n segundos
input Entrada de datos desde el teclado
error Mensaje de error
feval Evalua funcion definida por cadena de caracteres
function Define una funcion
global Define variables globales
echo Muestras instrucciones en pantalla
menu Genera un menu
GENERANDO GRAFICOS
plot Grafico bidimensional
subplot Divide la pantalla de graficos
loglog Grafico logaritmico
semilogx Grafico semilogaritmico en el eje x
semilogy Grafico semilogarıtmico en el eje y
polar Representacion en polares
meshgrid Dominio de definicion de superficies
mesh Grafico tridimensional
bar, stairs Diagramas de barras
title Tıtulo
xlable Etiqueta en el eje x
ylabel Etiqueta en el eje y
grid Mallado
text, gtext Coloca texto en la pantalla grafica
ginput Entrada de coordenadas desde el grafico
axis Escalado de los ejes
view Punto de vista tridimensional
shg Muestra el contenido de la pantalla grafica
clf Limpia la pantalla de graficos
hold Mantiene el grafico en pantalla
101
CONTROL DE LA VENTANA DE COMANDOS
clc Limpia la pantalla de comandos
format Formato de salida
disp Dispone matriz o texto
home Mueve el cursor al comienzo
ANALISIS NUMERICO
fzero Resolucion de ecuaciones
quad, quad8 Integracion numerica
fmin Mınimos en una variable
ode23, ode45 Resolucion de ecuaciones diferenciales
diff Derivadas Aproximadas
ANALISIS DE DATOS (POR COLUMNAS)
max Maximo
min Mınimo
sum Suma
prod Producto
cumsum Suma acumultiva
cumpro Producto acumulativo
sort Ordena
mean Valor medio
median Mediana
std Desviacion tıpica
hist Histogramas
cov Matriz de covarianza
corrcoef Coeficientes de correlacion
Capıtulo 10
Relacion de ejercicios
1. Introduce las siguientes matrices:
A =
Ã1 2
3 4
!B =
Ã0 0.1 −12 3/4 5
!C =
1
0
1
D =
√2 π −1 4
32 7 0 9
8 −1 6 2
E =³1 0 2 3 −1
´
(a) Muestra las matrices anteriores utilizando diversos formatos de salida.
(b) Evalua a12, b23, c11, (Dt)41 y (E
t)31.
(c) Comprueba que (At)t = A.
2. Utilizando las matrices anteriores, extrae las siguientes filas o columnas:
(a) Primera fila de A.
(b) Primera fila de At.
(c) Segunda columna de B.
(d) Cuarta columna de D.
(e) Tercera columna de Dt.
3. De la siguiente relacion de matrices identifica las que son simetricas o antisimetricas:
a)
Ã1 1
−1 1
!b)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
c)
Ã1 1
−1 0
!d)
Ã1 1 1
1 1 1
!
102
103
e) A = (aij) ∈M4(R), siendo aij = 1i+j
f) A = (aij) ∈M4(R), siendo aij = 1i2+j
g)
1 0 1
0 2 0
−1 0 3
4. Sea x =
√2 e y = 1.
(a) Introduce la matriz A =
x 2x 3
x+ y x− y x+ πy
π2 2πx x2 + y2
(b) Cambia la entrada 2πx a 2πx+ y.
(c) Escribe A(2, 3) = 3 ∗ y; y muestra A.(d) Escribe A(1, 1) = 0; y muestra A.
(e) Escribe A = 0; y muestra A.
5. Usa clc para limpiar la pantalla e introduce a continuacion la matriz
A =
Ã1 2 3 4
5 6 7 8
!
(a) Introduce A(1, :).
(b) Introduce A(:, 1).
(c) Introduce A(2, :).
(d) Introduce A(:, 2).
(e) Escribe los comandos que muestran la columna tercera y a continuacion la cuarta.
(f) ¿Que ocurre sı pretendemos mostrar la “inexistente” quinta columna de A?
6. Limpia la pantalla y el espacio de trabajo con clc y clear y a continuacion introduce:(a) u = 1 : 5 (b) v = −5 : 2 : 8 (c) w = (1 : 5)0
(d) x = 5 : −1 : −5 (e) y = −2 ∗ pi : .1 : 2 ∗ pi (f) u(2)
(g) v(3) (h) w(4) (g) y(1) y(126)
7. Para el anterior vector u realiza:
(a) u.∧2 (b) u.∧3 (c) u.∧(1/2) (d) u.∧(−1)
8. Introduce A =
Ã1 2
5 3
!y a continuacion:
(a) A.∧2 (b) A.∧3 (c) A.∧(1/2) (d) A.∧(−1) (e) A.∧6(f) (A.∧2)∧3 (g) sqrt(A) (h) exp(A) (i) log(A) (j) log10(A)
104 CAPITULO 10. RELACION DE EJERCICIOS
9. Encuentre el complejo conjugado y el modulo de cada uno de los siguientes numeros
complejos:
(a)2 (b) 2i (c) −3− i (d) (√3 + i)(
√3− 3i)
(e) i2 (f) 3√−8 (g) (Re : (i))2 (h) eπi + 1
(i) (1 + i)2 (j) (1 + i)−1 (k) (3 + 2i)(−4 + i) (l) 1−2i−2+3i
(m) 7−6i1+i · 3−i2−9i (n) Im((1 + i)2) (o) log(2i) (p) sen(2i)
10. Observe la salida:
(a) eps (b) pi (c) Inf (d) 1/0
(e) 0/0 (f) 2 + NaN (g) NaN/NaN (h) Inf/Inf
(i) 1/Inf (j) 2 + Inf (k) Inf + 0 (l) NaN/Inf
(m) inf*inf
11. Introduce A =
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
y observa la salida:
(a) A(1, :) (b) A(3, :) (c) A(:, 2) (d) A(:, 5)
(e) A(1, 1 : 2 : 5) (f) A([2, 4], :) (g) A([4, 2], :) (h) A(4 : −1 : 1, 5 : −1 : 1)/i) A([1 1], [2 2]) (j) A([2 2], [5 4]) (k) A([3 2], [5 4])
12. Construye las siguientes matrices utilizando .,+,−, \, ∗,∧, :, zeros, eye, ones y diag.
(a) A = θ2,3
(b) B = I4
(c) C =
1 1
1 1
1 1
(d) D =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
(e) E =
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
(f) F =
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
105
(g) G =
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
(h) H =
0 1 0
0 0 2
0 0 0
(i) I =
Ã3 3 3
3 3 3
!
(j) J =
4 5 6
8 10 12
12 15 18
(k) K =
1 1/2 1/3
1/2 1/4 1/6
1/3 1/6 1/9
(l) La matriz de orden 5 cuyas filas son todas iguales a (1 2 3 4 5)
(m) La matriz de orden 5 cuyas columnas son todas iguales a (1 2 3 4 5)t
(n) Genera los vectores x = (1, 2, 3, 4, 5) e y = (−5,−4,−3,−2,−1) y calcula la sumade ambos.
13. Para las matrices del ejercicio anterior:
(a) Suprime la primera fila de D.
(b) Suprime la tercera columna de la matriz E.
(c) Calcula el menor del elemento k22.
(d) Calcula el adjunto de j13.
14. Construye las matrices
A =
2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −10 0 −1 2
B =
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
y calcula con ayuda de la division izquierda A−1B,AB−1, A−1v, utB−1 siendo v =(1, 0, 0, 0) y u = (0, 1, 0, 0).
15. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
x2 + x3 + x4 = 4
3x1 + 3x3 − 4x4 = 7
x1 + x2 + x3 + 2x4 = 6
2x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 6
2x1 + 3x2 + 2x3 = 9
x1 + 2x2 − 3x3 = 14
3x1 + 4x2 + x3 = 14
106 CAPITULO 10. RELACION DE EJERCICIOS
16. Calcula la descomposicion LU de A calculando primeramente [L,U ] = lu(A) y compro-
bando que A = LU ; y seguidamente [L,U, P ] = lu(A) confirmando que PA = LU .
(a) A =
3 1 −2 −11 5 −4 −13 1 2 3
2 −2 2 3
(b) A =
3 2 5 4
2 3 6 8
1 −6 −9 −204 1 4 1
(c) A =
4 2 4 1
30 20 45 12
20 15 36 10
35 28 70 20
(d) A =
Ã0 1
1 0
!
17. Encontrar la solucion, en el sentido de los mınimos cuadrados, del sistema
x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 2
x3 + 2x4 = 1
)
18. Encontrar la recta que mejor aproxima en el sentido de los mınimos cuadrados a la
nube de puntos {(−3, 10), (−2, 15), (−1, 9), (0, 27), (1, 18), (2, 34), (3, 42)}.
19. Con la utilidad help lee la informacion sobre sum, cumsum, prod, cumprod y diff.
(a) Dado a = (1, 2, 3, 4) utiliza cumsum y sum para calcular el valor de4Xk=1
kXi=1
ai.
(b) Dada la matrizA =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
usa sum y prod para calcular el valor3Yj=1
3Xi=1
aij .
(c) Usa sum y prod para calcular el valor3Xj=1
3Yi=1
aij para la matriz de apartado b).
(d) Dada la matriz del apartado b) usa sum y cumprod para calcular el valor3Yj=1
3Xi=1
aij .
107
20. Calcular An para algunos valores n enteros y positivos. Estudiar el comportamiento de
An para n “grande”.
a) A =
Ã0.6 0.5
−0.18 1.2
!b) A =
Ã0.6 0.5
−0.2 1.2
!
c) A =
Ã0.9 1.0
0 0.9
!d) A =
0.67 0.31 0.20
0.18 0.54 0.40
0.15 0.15 0.40
21. Sea A =
0.8 0.2 0.1
0.1 0.7 0.3
0.1 0.1 0.6
y x0 =
0.2
0.3
0.5
Calcula xn = A
nxn−1 para n = 1, 2, . . . , 16 y comprueba que, con la menos tres cifrassignificativas, se obtiene que xn = x16 ∀n ≥ 16.
22. Consideremos el sistema de ecuaciones en diferencias:
zn+1 = 0.6zn + 0.5cnzn+1 = −0.16zn + 1.2cn
)con z1 = 100, c1 = 1000
¿Cual es le comportamiento de zn y cn para n “grande”?
Si se escribe el sistema en forma matricial, ¿cual es el comportamiento de las sucesivas
potencias de la matriz del sistema?
23. Comprobar directamente que det(Bε) = 2∀ε 6= 0 siendo Bε la matriz definida por
Bε =
Ã107 + ε 107 − ε
1/ε 1/ε
!ε 6= 0
. Varıe ε desde 10−1 hasta 10−12 y calcule los determinantes de las matrices Bε que se
obtienen.
24. Para la matriz A del ejercico 16 calcule A−1 mediante inv : (A) yadj(A)
det(A). Compare
numero de operaciones.
25. Sea Az la matriz de orden 5 dada por
Az =
z −1 0 0 0
−1 z −1 0 0
0 −1 z −1 0
0 0 −1 z −10 0 0 −1 z
(a) Pruebe que A5 es regular encontrando su inversa.
108 CAPITULO 10. RELACION DE EJERCICIOS
(b) Demuestre que A2 es regular calculando su rango.
(c) Pruebe que A0 es singular intentando calcular su inversa.
(d) Disminuya lentamente el valor de z desde 2 y estime el primer valor de z menor
que 2 para el cual Az no tiene inversa.
(e) Construya la matriz B de orden 10 que posee la misma estrutura que A2 y el
vector c = (1, 1, . . . , 1). Resuelva el sistema Bx = c mediante inv(B) ∗ c y B\ccomparando el numero de operaciones y el tiempo de caculo. ¿Que metodo es mas
eficiente?
26. Pruebe que x1 = 1, x2 = −1 es la solucion exacta del sistema
0.89x1 + 0.53x2 = 0.36
0.47x1 + 0.28x2 = 0.19
)
Tome x1 = 0.47 y x2 = −0.11 y compruebe que “casi resuelve el sitema”. ¿Esta bien omal condicionado?
27. Consideremos las matrices
A =
Ã2− ε 1− ε
2− 2ε 1− 2ε
!P =
Ãε 0
1− ε 1
!B = P−1AP
Ã1ε
1−εε
−1+ε2ε
−1+ε+ε2ε
!
con ε 6= 0.Dar a ε valores pequenos y calcular los autovalores, determinantes y rangos de las
matrices A y B. ¿Que conclusiones se pueden decucir?
28. Sea A =
Ã−0.4 0.5
−0.18 0.2
!. Utilice MATLAB para sumar varios terminos de la serie
de eA y comprobar que converge a expm : (A).
29. Realiza los siguientes calculos:
(a) expm(zeros(2)).
(b) expm(eye(2)).
(c) X = expm([0 1;−1 0]);XtX.
(d) A = rand(3);X = logm(A); expm(X).
(e) sqrtm([0 1;0 0]).
Analiza analıticamente el ultimo apartado.
30. Siendo L = [1 2 −2 0 1 −5 −pi sqrt(2)], realice los siguientes calculos: s=sign(L),s==1, find(s==1), length(find(s==1)).
109
31. Con la utilidad help informate sobre el cometido de la funcion poly. Construye los
polinomios que tienen por raıces:
(a) 1, 2, 3.
(b) ei2πk/5, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
(c) −1 con multiplicidada 5.
32. Usando la funcion poly calcula los numeros combinatoriosÃ10
0
!,
Ã10
1
!, . . . ,
Ã10
10
!
33. Calcula las raıces de los polinomios:
(a) p(x) = x3 + 6x2 − 72x+ 27(b) q(x) = 2x4 + x3 − 2x− 8
34. Evalua p(A) en los siguientes casos:
(a) A = ones(3), p(t) = t3 − 3t2(b) A = eye(3), p(t) = (t− 1)3(c) A = rand(2), p(t) = t2 − (a11 + a22)t+ (a11a22 − a12a21)
35. Calcula la pseudoinversa de las matrices:
A =
−3 1
−2 1
−1 1
0 1
1 1
2 1
3 1
A =
Ã0 0 1 2
1 2 2 3
!
36. Experimente la funcion sdv sobre vectores filas y vectores columnas. ¿Que puede
deducir?
37. Encontrar la recta que mejor aproxima en el sentido de los mınimos cuadrados a la nube
de puntos {(−3, 10), (−2, 15), (−1, 9), (0, 27), (1, 18), (2, 34), (3, 42)},utilizando la orden”polyfit(x,y,n)”.
38. Encuentre la recta que pasa por los puntos (0, 1) y (2, 3).
39. Determine la parabola que pasa por (−1, 2), (0, 1) y (2, 4).
110 CAPITULO 10. RELACION DE EJERCICIOS
40. Repersentar la funcion z = f(x, y) =sen(x)sen(y).
41. Representar la funcion f(x, y) = −4xx2+y2+1
y encontrar su valor maximo.
42. Calcula los autovalores de las siguientes matrices:
(a) A =
5 3 6
2 6 6
2 3 9
(b) A =
0 0 0 1
0 0 1 0
0 −1 0 0
−1 0 0 0
(c) ones(20)
(d) orth((2*rand(5)-1)+i*(2*rand(5)-1))
¿Que propiedad cumplen los autovalores del apartado d)?
43. UtiliceMATLAB para comprobar que las matricesA =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
yB = 1 1 1
0 2 1
0 0 3
son semejantes.
44. Escribe una funcionMATLAB que remplace por 0 las componentes de un vector real
que sean menores, en valor absoluto, que un numero positivo dado.
45. Describa una funcion con las siguientes condiciones:
• Tenga dos vectores x e y de dimension n y un angulo t (en radianes) como argu-mentos de entrada.
• Nos proporcione los pares de numeros que se obtienen aplicando a (xi, yi), i =1, . . . , n un giro con centro el origen t de angulo t.
46. Escriba un programa en MATLAB con las siguientes caracterısticas:
• Nos pida introducir (por el tecaldo) cuatro puntos del plano P1, P2, P3, P4 y unangulo t.
• Represente el cuadrilatero Q determinando por P1, P2, P3, P4.• Y en el grafico anterior dibuje, ademas, el cuadrilatero que se obtiene al aplicar aQ un giro con centro el origen y angulo t.’
47. Construye una funcion que calcule el k—esimo coeficiente del producto de polinomios.
111
48. Con ayuda de la funcion poly y las formulas de Cardano construye una funcion que
nos proporcione la suma de los cuadrados de los autovalores de una matriz.
49. Construye una funcionMATLAB con las siguientes caracterısticas:
• Acepte como argumentos de entrada un matriz A ∈Mn y polinomio p.
• Nos proporcione el vector fila (p(λ1), . . . , p(λn)), donde λi son los autovalores deA.
• Evalue la matriz p(A).• Nos proporcione un vector fila con los autovalores de p(A).
50. Escribir una funcion que actue sobre dos argumentos: una matriz A y un numrero
natural i; proporcionando como resultado la matriz que se obtiene al suprimir la i—
esima fila de la matriz A.
51. Idem para la columna j de una matriz.
52. Describir la funcion que nos proporciona el menor complementario del elemento aij de
la matriz A.
53. Describir la funcion que nos proporciona el elemento adjunto de aij .
54. En un archivo .m describir la funcion que nos proporciona la adjunta (ya traspuesta)
de una matriz.
55. Con ayuda de la funcion anterior describir la funcion que determina la inversa de A
mediante A−1 = adj(A)det(A) . Comparar el numero de operaciones y el tiempo de calculo
entre “nuestra funcion inversa” y la funcion inv de MATLAB.
56. Describir una funcion en MATLAB que nos proporcione la suma de dos polinomios
de cualquier grado.
57. Con ayuda de las funciones diag y triu describir la funcion que con una matriz A
como argumento de entrada nos proporcione la descomposicion de A como suma de
una matriz diagonal, una triangular superior y otra inferior.
58. Disenar una funcion que resuelva un sistema cuadrado por la regla de ,Cramer. Com-
parar el tiempo de calculo y el numero de operaciones con la resolucion del sistema
mediante inv(A)*b y A\b.59. Realizar una estrategia que calcule la descomposicion LU sin pivoteo parcial, para una
matriz no necesariamente cuadrada.
60. Escribir una funcion con tres argumentos (una matriz A y dos numeros enteros positivos
i, j) que nos propocione la matriz que se obtiene intercambiando las filas i y j de la
matriz de entrada A.
112 CAPITULO 10. RELACION DE EJERCICIOS
61. Idem, pero intercambiando columnas.
62. Contruir una funcion que nos proporcione la matriz resultante de sumar a la fila i—esima
de A la j—esima fila multiplicada por λ. (Naturalmente i 6= j).
63. Hacer lo mismo, pero para las columnas de A.
64. Describir una funcion que tenga como argumentos de entrada una matriz A ∈Mm×ny un vector (columna) b ∈ Rm, genere 100 vectores (colunma) aleatorios x ∈ Rn y nosdevuelva el mınimo de kAx− bk cuando x recorre los anteriores vectores aleatorios.
65. Escribir una funcionMATLAB que aceptando, como argumento, una matriz cuadrada
A nos proporcione el valor maximo de kAuk cuando u recorre 100 vectores alearoriosunitarios.
66. Editar en un archivo de extension .m una funcion que nos proporciona la recta que
mejor aproxima (por mınimos cuadrados) a una nube de puntos y que represente en un
mismo grafico la recta encontrada y los puntos dados.
67. Escribir una funcion que nos de como resultado 1 o 0, dependiendo si la matriz de
entrada es hermıtica o no.
68. Hacer lo mismo que en el ejercicio anterior, pero para detectar matrices hermıticas
definidas positivas.
69. Generar un programa que nos pida un numero natural positivo n y nos proprocione el
n—esimo numero de Fibonacci.
70. Disenar una funcion que nos resulva un S.E.L. cuadrado compatible utilizando el metodo
de Gauss con estrategia de pivote total.
71. Describir una funcion MATLAB que nos estudie la compatibilidad de un sitema de
ecuaciones lineales y lo resuelva cuando sea compatible (determinado o indeterminado).
Aplicar esa funcion a
A =
Ã1ε
1−εε
−1+ε2ε
−1+ε+ε2ε
!con ε 6= 0 y b = (1,−1)t
para valores pequenos de ε.
72. Realizar una estrategia que determine la descomposicion QR mediante el metodo de
Gram—Schmidt de una matriz A con columnas linelamente independientes. Escriba la
estrategia en un archivo.m.
113
73. Considere la matriz
A =
1 1 1
1 + ε 1 1
1 1 + ε 1
1 1 1 + ε
ε 6= 0
Asigne un valor pequeno a ε y aplique el metodo de Gramm—Schmidt (ver ejercicio
anterior) para ortonormalizar las columnas de A. Comprudebe si realmente se han
obtenido columnas ortonormales. Aplique la funcion qr sobre A y obtenga resultados.
Bibliografıa
[1] PC—MATLABTM for MS—DOS Personal Computers (User’s Guide).
The MathWorks, Inc., (1990).
[2] MATLAB Reference Guide.
The MathWorks, Inc., (Octubre 1992).
[3] B. Noble, J.W. Daniel Algebra Lineal Aplicada.
Ed. Prentice Hall, (1989).
[4] G. Strang Algebra Lineal y sus Aplicaciones.
Ed. Addison Wesley, (1990).
[5] S.I. Grossman Algebra Lineal, (Quinta edicion)
Ed. MacGraw-Hill, (1996)
[6] M. Marcus Matrices y Matlab: a tutorial
Prentice-Hall (1993)
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