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AUTOMATIZACION INDUSTRIAL

MODELACION DE SISTEMAS DE CONTROL

FUNDAMENTOS

Uno de los aspectos ms importantes de la ingeniera es poder representar un fenmeno

fsico en forma matemtica, ya que as es posible llevar a cabo un anlisis cuantitativo del

sistema y determinar sus caractersticas, su comportamiento y sus limitaciones; adems, en

dado caso, tambin ser posible buscar alternativas para mejorar el funcionamiento del

sistema.

Para dar este paso primero es necesario identificar la variable o las variables que ocasionan

el cambio en el sistema y despus establecer una hiptesis emprica o basada en alguna ley

fsica que permita representar al sistema en forma matemtica.

FUNDAMENTOS

Como punto de partida, se considera la ecuacin emprica propuesta por Newton con referencia a la ley de

variacin de temperatura de un objeto (ya sea calentamiento o enfriamiento).

Dicha ley establece que la variacin de temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia de su temperatura

y la del medio que lo rodea (esto es, la temperatura ambiente Ta se considera como constante):

= ( )

, donde k es una constante de proporcionalidad, la cual, por un lado, permite igualar las magnitudes de ambos

miembros de la ecuacin, pero tambin hace que coincidan dimensionalmente los respectivos miembros de la

ecuacin; adems, el nmero k contiene las caractersticas propias de cada sistema.

FUNDAMENTOS

En la modelacin de los sistemas de control se toma en cuenta:

La funciones variables, representadas por expresiones matemticas en ecuaciones

diferenciales de diverso orden y combinadas con ecuaciones integrales, no representan el

modo ms practico de modelacin.

Se utilizan los recursos matemticos de Transformadas de Laplace para salir de la variable

tiempo y pasar a ecuaciones algebraicas en el dominio de los nmeros complejos.

La funcin de transferencia representa en expresiones algebraicas el cambio de los procesos

en las etapas que lo componen.

FUNDAMENTOS

FUNCION DE TRANSFERENCIA

Representa el comportamiento dinmico del proceso.

Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada.

La funcin de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo

condiciones iniciales cero.

)(

)(

tr

tcciatransferendeFuncin

L

L

entradatr

salidatc

)(

)(

ceroinicialesscondicionecon

FUNDAMENTOS

)(sG+ -

punto de suma punto de bifurcacin

)(sH

)(sR )(sE )(sC

)(sB

Funcin de transferencia en lazo abierto )()()(

)(sHsG

sE

sB

El cociente de la seal de realimentacin B(s) entre la seal de error E(s) se denomina FUNCION

DE TRANSFERENCIA EN LAZO ABIERTO. Es decir:

FUNDAMENTOS

)(sG+ -


)(sH

)(sR )(sE )(sC

)(sB

Funcin de transferencia trayectoria directa )()(

)(sG

sE

sC

El cociente entre la salida C(s) y la seal de error E(s) se denomina FUNCION DE TRANSFERENCIA

DE LA TRAYECTORIA DIRECTA, por lo que:

FUNDAMENTOS

)(sG+ -


)(sH

)(sR )(sE )(sC

)(sB

Funcin de transferencia lazo cerrado )()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

Para el sistema, la salida C(s) y la entrada R(s) se relacionan del modo siguiente, para dar la

FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LAZO CERRADO

MODELADO DE SISTEMAS

Ejemplo:

Un lquido dentro de un recipiente est a una temperatura inicial de 300 F, luego, en el

tiempo t = 0 el recipiente es llevado a una habitacin donde la temperatura ambiente es de

70 F y tres minutos despus, la temperatura del lquido es de 200 F. A partir de esto

obtener:

a) Una ecuacin diferencial que indique el comportamiento del sistema.

b) La representacin grfica de la variacin de la temperatura del lquido con respecto al

tiempo.


SISTEMA ELECTRICO RLC

La ecuacin de equilibrio del sistema elctrico

queda definida por la ley de Kirchhoff , la cual

establece que la suma algebraica de voltajes es

igual a cero; pensemos en esto con respecto al

circuito RLC de la figura, al cual se le aplica un

voltaje Vi(t ), y se considera como la salida la

corriente i(t ).

Para el anlisis se debe estudiar su funcin de

transferencia.


SISTEMA MECNICO DE

TRASLACION.

Caso 1 Sistema masa resorte (libre oscilatorio)

Sea un sistema masa-resorte como el mostrado

en la figura, del cual se obtendr su modelo

matemtico, El resorte, que tiene una longitud l y

una constante k, est inicialmente en reposo


Ejemplo:

Para cierto sistema masa-resorte definido por:

2

2+ 36 = 0

Obtenga el desplazamiento x(t) de la masa para las siguientes condiciones iniciales:

a) x(0) = 5 cm y v(0)= 0

b) x(0) = 0 y v(0) = - 3 cm/sg

c) x(0) = 4 cm y v(0) = - 20 cm/sg


Como conclusin del ejemplo, y si se grafican los tres escenarios, estos mostraran un

comportamiento libre oscilatorio, lo cual no ocurre en la realidad, ya que el movimiento

de la masa tiende a decrecer y a hacerse cero cuando el tiempo tiende al infinito, esto es,

la ecuacin y el anlisis inicial es incompleto se debe considerar un componente

adicional, es decir un factor de amortiguamiento.


SISTEMA MECNICO

DE TRASLACION.

Caso 2 Sistema masa-resorte-

amortiguador (sistema amortiguado).

Para obtener un modelo matemtico ms

prximo a la realidad, se introduce una

fuerza de amortiguamiento fb, la cual es

proporcional a la velocidad instantnea.


SISTEMAS HIBRIDOS

Los sistemas hbridos son una aproximacin al modelado

de sistemas reales, como ejemplo son sistemas integrados

de componentes elctricos y mecnicos.

Ejemplo: Solenoide

Un solenoide est formado por un circuito elctrico, un

acoplamiento electromecnico (transductor) y un

sistema mecnico de traslacin, segn se muestra en la

figura. Para obtener el modelo matemtico del

solenoide, se considerarn tres etapas: un circuito R-L,

la transduccin (conversin de energa elctrica a

mecnica) y la parte mecnica de traslacin.


1. Parte elctrica: Consta de una bobina de inductancia L y una resistencia R:

+ = ()

, cuya representacin en el dominio S, es:

= 1

+

2. Acoplamiento electromecnico: Un solenoide polarizado produce una fuerza electromotriz proporcional a la

corriente en la bobina; la siguiente ecuacin indica la conversin de energa elctrica a energa mecnica:

=


, donde el nmero Ks (Nw/amp) es la constante del solenoide. Si se transforma la ecuacin:

= ()

3. Parte mecnica de traslacin: Consta de una masa m, la cual tiene rozamiento b con el evolvente de la

bobina, y un resorte (con constante k), el cual establece la posicin original de la masa una vez que cesa la

excitacin v(t):

2

2+

+ = 0

, a la que le corresponde la siguiente expresin en el dominio s:

= 1

2 + +


La representacin en bloques de las ecuaciones anteriores se muestra a continuacin:


SISTEMAS HIBRIDOS

Ejemplo: Engranes

Los engranes y las bandas que estn sobre una

polea son dispositivos mecnicos que transmiten

energa desde una parte del sistema a otra, en una

forma tal que se alteran la fuerza, el par, la velocidad

y el desplazamiento angular. La figura ilustra dos

engranes acoplados; la inercia y la friccin de los

engranes se despreciarn momentneamente en el

caso ideal considerado.

Sistema mecnico de rotacin acoplado con engranes.


Las relaciones entre los torques 1 y 2, los desplazamientos angulares 1 y 2 y los nmeros de dientes N1 y N2 de los engranes son:

21

=21

=12

Entonces, las ecuaciones del primario y secundario son, respectivamente:

1212

+ 11

+ 1 =

222

2+ 2

2

+ 2 = 0

Reemplazando y escribiendo el torque 2 en funcin de torque 1 y desplazamiento angular 2 en funcin del desplazamiento angular , ambos con relacin al numero de

dientes:

1 +12

2

2212

+ 1 +12

2

21

=


Los trminos de la ecuacin que tienen el

coeficiente (N1/N2) son elementos que

pasaron del secundario hacia el primario,

en la figura se aprecia el circuito

equivalente.


SISTEMAS DIVERSOS

Ejemplo: Sistema de mezcla

Al mezclar dos soluciones de distintas

concentraciones, se da origen a la mezcla

descrita por una ecuacin diferencial de

primer orden que define la concentracin

q(t ) resultante, segn muestra la figura.


Sea q(t ) la concentracin de cierta sustancia en cualquier momento, por lo que la velocidad

de cambio de concentracin q(t ) corresponde a:

donde la razn de entrada R1 es el producto de la concentracin y la velocidad de entrada

de la solucin, mientras que la razn de salida R2 es el producto de la concentracin y la

velocidad con la que sale la solucin mezclada.


Ejercicio:

Sea un tanque lleno con ocho litros de agua salada en el cual estn disueltos dos kg de sal.

Una solucin de salmuera (agua salada) con tres kg de sal por litro entra al tanque a una

velocidad de 4 l/min, mientras la mezcla bien agitada sale a la misma velocidad con la que

entra. Obtenga una expresin para la variacin de concentracin con respecto al tiempo.


SISTEMAS DIVERSOS : Ejemplos de sistemas. Suspensin de un automvil, simplificado.

Entrada

(Bache)

Salida

(Desplazamiento del

coche) kbsms 2

1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3


SISTEMAS DIVERSOS : Ejemplos de sistemas. Nivel de un tanque.

Qi(s)

(Aumento del flujo de

entrada repentinamente)

H(s)

(Altura del nivel en el

tanque 1ARs

R

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

25


DIAGRAMA DE SEALES Y DIAGRAMA DE BLOQUES

Un sistema de control est compuesto por varios subsistemas, representados en el dominio s por un conjunto

interconectado de funciones de transferencia individuales G(s). Al sistema equivalente se le dar el nombre de

funcin de transferencia resultante o bien, por su importancia, el de funcin de transferencia de lazo cerrado T(s).

Para determinar la relacin entre entrada(s), sistema(s) y salida(s), es conveniente representar todo el conjunto en

forma de diagrama, lo cual puede ser a manera de diagramas de flujo de seales (DFS) o de diagrama de bloques

(DB).

En principio, tanto el DB como el DFS proporcionan exactamente la misma informacin sobre un determinado

sistema; la ventaja del DB radica en que provee de manera grfica la relacin entre variables, subsistemas y salidas;

mientras que el DFS permite, por un lado, dibujar ms fcilmente un conjunto de ecuaciones transformadas al

dominio s, adems de hacer posible determinar la funcin de transferencia resultante de lazo cerrado T(s) en un

solo paso mediante la aplicacin del mtodo de Mason.


DIAGRAMA DE SEALES Y DIAGRAMA DE

BLOQUES

Los elementos que conforman todo diagrama de bloques

son las variables de entrada y salida que interactan con el

punto de suma, los bloques y los puntos de reparto. Con

respecto al DFS, slo existen las ramas, que corresponden

propiamente a los bloques, y los nodos que actan como

variables de entrada y de salida, como puntos de suma y

como puntos de reparto. Las figuras muestran las

equivalencias entre ambos diagramas.

Se muestra la equivalencia entre bloque y ramas, as como

la definicin de variables de entrada R(s) y salida Y(s) por

medio de nodos.


DIAGRAMA DE SEALES Y DIAGRAMA DE

BLOQUES

La figura indica la correspondencia entre punto de suma

y punto de reparto del DB, con respecto a los nodos del

DFS. En esta representacin es necesario aadir a cada

rama su correspondiente funcin de transferencia

individual G(s); adems, se observa que los nodos

efectan diversas funciones como nodos de entrada y

salida, como nodo a manera de sumador algebraico y

como nodo como punto de reparto.


SISTEMAS SISO Y MIMO

Una de varias alternativas para clasificar los sistemas de control es con respecto a su nmero de entradas y salidas. Cuando un sistema tiene una

sola entrada y una sola salida se denomina sistema SISO (single input single output); cuando posee varias entradas y varias salidas se llama sistema

MIMO (multi input multi output). Para sistemas SISO, la funcin de transferencia G(s) corresponde a la relacin salida entrada escrita directamente

como:

Sin embargo, para sistemas MIMO se requiere introducir subndices para identificar tanto al nmero de salida i como al nmero de entrada j con respecto a la

posicin de la funcin de transferencia individual Gi j(s), asociada a una salida y a una entrada especficas:

donde el subndice i corresponde a la salida bajo consideracin y el subndice j designa la entrada respectiva.


Ejercicio:

Para el siguiente conjunto de ecuaciones en el dominio s, obtenga su correspondiente DFS y DB.

Donde R1(s) y R2(s) son entradas iniciales.

X1(s) y X2(s) son salidas y/o entradas intermedias.

Y(s) es la salida final.

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