Modelación unidimensional y bidimensional del transporte de contaminantes en cursos de agua

José F. Rodríguez

Universidad Nacional de Rosario, Argentina

Se describen metodologías numéricas para la resolución de las ecuaciones de dispersión de con- taminantes en cursos de agua en una y dos dimensiones. El problema unidimensional se resuel- ve a través de una técnica de separación de términos convectivo (con características hiperbóli- cas) y difusivo (con características parabólicas). Mediante esta técnica se les considera como fenómenos sucesivos durante cortos intervalos de tiempo. El término convectivo se modela en base al método de las características combinado con una interpolación de alto orden, y para el término difusivo se utiliza un esquema de Crank Nicolson Generalizado. El problema bidimensio- nal se modela utilizando el concepto de tubos de corriente aplicando la metodología descrita an- teriormente en cada tubo, incorporándose posteriormente un término adicional de difusión trans- versal, el que también se resuelve con un esquema de Crank Nicolson. Se realizan aplicaciones a situaciones teóricas y a dos cursos naturales. Se exponen las conclusiones finales.

Palabras clave: modelación matemática, simulación numérica, contaminación, dispersión de contaminantes, hidrodinámica ambiental, procesos de transporte, calidad del agua.

Introducción

Existen una variedad de enfoques relacionados con los problemas de contaminación por vertidos en cur- sos de agua. Todos ellos tratan de captar la escencia del fenómeno recurriendo a distintas simplificaciones. Entre los modelos conceptuales más difundidos pue- den citarse el de advección-difusión, el de dos capas o de zonas muertas, y el de seguimiento de partículas o random-walk. Para el presente trabajo se utilizó el pri- mer enfoque, por lo que sus simplificaciones, caracte- rísticas y limitaciones serán desarrolladas en detalle más adelante.

Con respecto a los otros modelos, puede decirse que han surgido como intentos por mejorar el de ad- vección-difusión. El modelo de zonas muertas consi- dera que la dispersión en un curso es afectada por zonas de baja velocidad en las márgenes y en el fon- do, las que actúan como almacenamiento temporal de la sustancia transportada y luego liberan su contenido lentamente al cauce principal.

El modelo de seguimiento de partículas considera a cada partícula sujeta al efecto del campo de velocida-

des y un proceso de mezcla comúnmente representa- do como movimientos aleatorios. La simulación del mo- vimiento de un número elevado de partículas per- mite reconstruir la mancha con un grado de exactitud que depende del detalle de la información de veloci- dades y coeficientes de mezcla. Un análisis compara- tivo detallado de los diferentes modelos puede consul- tarse en Wallis (1994).

El modelo de advección-difusión corresponde a una descripción matemática del tipo campo lejano, deno- minándose así aquella zona donde las perturbaciones de la inyección dejan de sentirse, y las características de la turbulencia permiten un abordaje simplificado del problema. Se pueden entonces modelar los términos turbulentos que producen la dispersión, relacionándo- los con las características medias del flujo (sección, ancho, velocidad). Si se adopta un análisis unidimen- sional, este fenómeno es representado por la ecua- ción:

en donde x es la coordenada espacial longitudinal, t el tiempo, A(x,t) la sección transversal, C(x,t) la concen- tración media del contaminante en la sección (en uni- dades de masa sobre volumen), U(x,t) la velocidad media en la sección y el coeficiente de difusión Ion- gitudinal. Convección

La ecuación (1) es válida para sustancias conserva- tivas, las cuales no reaccionan durante el proceso de dispersión. Para el caso de sustancias no conservati- vas (DBO, OD, energía térmica) se incorpora a la par te derecha de la ecuación un término fuente o sumide- ro, lineal en C si se consideran cinéticas de primer orden en las reacciones.

La modelación unidimensional es útil en aquellos casos en que el interés de los estudios está centra- do en una zona alejada de la inyección, donde la mez- cla en la sección transversal puede considerarse ho- mogénea. Además de esto, el coeficiente de difusión longitudinal debe ser conocido para la situación espe- cífica de modelación. Pero, en los casos en que se de- sea conocer la concentración en una zona próxima al vertido realizado sobre una margen o distribuido sobre una parte de la sección transversal, debe recurrirse a la modelación bidimensional.

Por bidimensional debe entenderse aquella metodo- logía capaz de predecir los valores de concentración medios en la vertical en cualquier punto de la sección transversal. La ecuación de transporte en dos dimen- siones es la que sigue:

de tiempo. Así, tanto la parte hiperbólica (convección), como la parte parabólica (difusión) de la ecuación (1) pueden ser resueltas separadamente, utilizando para cada una el método que se adapte mejor.

Ignorando la difusión, o sea, haciendo cero el término de la derecha de la ecuación (1), nos queda:

La solución numérica de esta ecuación debe ser considerada con mucho cuidado. Formalmente, no es difícil formular una solución, ya que es una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de tipo hiper- bólica y requiere una condición de borde en los con- tornos de entrada de flujo, además de una condición inicial (Carnahan et al, 1969). Pero, si se selecciona para la solución numérica un esquema de diferencias finitas, debe tenerse en cuenta que la mayoría de es- tos métodos aplicados a este tipo de ecuaciones pre- sentan problemas de difusión numérica, la que en mu- chos casos es mayor que la difusión física.

Otro problema para resolver la ecuación (3) lo cons- tituye la dispersión numérica. Por dispersión numérica debe entenderse el hecho de que los componentes individuales de Fourier que conforman cualquier distri- bución de concentraciones se propagan a diferentes velocidades. Esto produce un comportamiento oscila- torio de la solución, como así también un error en el pico, que puede llegar a ser tan importante como la difusión numérica. Más aún, las concentraciones ne- gativas producto de las oscilaciones plantean otro pro- blema: no tienen significado físico pero ignorarlas sig- nifica no respetar el principio de conservación de masa en la solución numérica.

Estos problemas han sido el principal motivo del de- sarrollo de un gran número de esquemas numéricos, los que compiten en términos de exactitud, simplici- dad de programación y economía computacional. El proceso físico de la advección puede plantearse como el traslado, debido al campo de velocidades, que sufre una partícula ubicada inicialmente en un punto d con una determinada concentración hasta una nueva posición, luego de transcurrido un determinado tiempo (ilustración 1).

Dado que sólo actúa la convección, la concentra- ción no cambia y el único inconveniente es conocer el recorrido de la partícula. Como se verá más adelante, este camino puede calcularse a partir de la integración del campo de velocidades. No obstante, es probable

en donde z es la coordenada espacial transversal, h la profundidad, W la velocidad transversal y E, y E, las difusividades longitudinal y transversal, respectivamen- te. Estas difusividades tienen expresiones más gene- rales que el coeficiente de difusión longitudinal y no son características de la situación.

Resolución numérica de la ecuación unidimensionai

Observando la ecuación (1) de convección-difusión, se deduce que el problema matemático lo constituye la resolución de una ecuación lineal en derivadas par- ciales de tipo mixto (hiperbólica + parabólica). Dadas las características diferentes de los procesos involu- crados, es conveniente desdoblarlos y considerarlos como fenómenos sucesivos durante cortos intervalos

que el recorrido así obtenido vincule puntos de la malla computacional (j, n + 1) con puntos que no coinciden con la malla y cuya concentración debe ser evaluada en base a concentraciones en puntos vecinos.

Los esquemas numéricos varían de acuerdo a la po- sición y cantidad de puntos con concentración cono- cida que se utilizan para interpolar la concentración del punto incógnita. Dadas las características propias de la advección, los esquemas upwind, en los que la información viaja hacia adelante tanto en el espacio como en el tiempo, son los que mejor simulan el pro- ceso físico.

Los esquemas más sencillos interpolan linealmente entre los valores de C en los puntos vecinos j-1 y j en el tiempo inicial n de cada paso computacional, para obtener el valor de C en el tiempo n + 1. Esta interpo- lación provoca una difusión numérica que puede ser en algunos casos mayor que la física, por lo que los re- sultados de estos modelos deben tratarse con mucho cuidado (Cunge et al., 1980).

La difusión puede disminuirse incorporando infor- mación de más puntos, y también variando el tipo de interpolación utilizada. Los modelos comerciales gene- ralmente incorporan algoritmos más sofisticados que posibilitan una gran exactitud en el cálculo de la ad- vección.

El QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics), esquema que produce muy poca difusión numérica, está basado en una interpola- ción cuadrática construida con información en tres puntos, dos de los cuales corresponden a j y j-1 de la ilustración 1 y el restante corresponde al punto ante- rior de la grilla j-2 (Leonard, 1981).

El esquema EXQUlSlTE (Leonard, 1981) se funda- menta, también, con información en los mismos tres puntos, pero la interpolación a utilizar es seleccionada por el esquema en función de la velocidad y del gra- diente de concentraciones.

La ecuación (4) es una ecuación diferencial en deri- vadas parciales lineal de tipo parabólico (Carnahan et al., l969). Para resolverla puede utilizarse un esquema de diferencias finitas, ya que estos esquemas aplica- dos a este tipo de ecuaciones no presentan problemas de difusión numérica.

Por lo que respecta a las condiciones iniciales y de borde, debe tenerse en cuenta que a diferencia de la ecuación de convección, que requiere de una condi-

Comenzando con una interpolación lineal, a medida que los gradientes aumentan, la interpolación cambia a cuadrática (tipo QUICK), y para gradientes muy ele- vados la interpolación es exponencial. Este esquema requiere de mayor esfuerzo computacional, pero sus resultados son de alta calidad (Falconer y Guiyi, 1994).

También puede conseguirse mayor exactitud utili- zando para la interpolación, además de las concentra- ciones, los gradientes de concentración. Esta es la base del esquema de dos puntos de cuarto orden (Holly y Preissmann, 1977), que utiliza un polinomio de tercer orden construido con los valores de las concen- traciones y los gradientes de Concentración en dos puntos de la malla j y j-1 (ilustración 1). Toda vez que los esquemas presentados en este trabajo se basan en esta interpolación, los detalles de su implementa- ción se verán más adelante.

Los problemas de oscilación y difusión numérica descritos anteriormente se deben muchas veces a la discretización necesaria para aplicar el método de di- ferencias finitas; si se utiliza el método de las caracte- rísticas, se evita la mencionada discretización con las consiguientes ventajas. Particularmente atractiva re- sulta la combinación del método de las características para simular la advección con diferencias finitas para simular la difusión, según puede verse en Holly y Us- seglio-Polatera (1984) y en Usseglio-Polatera y Cunge (1985).

Difusión

Una vez obtenidos los valores de la Concentración en cada nodo, producto de la resolución de la ecuación de convección pura (3), éstos deben ser sometidos al otro mecanismo importante en la dispersión: la difu- sión. El intervalo de tiempo debe ser el mismo que el utilizado para la convección, ya que a pesar de ser considerados como sucesivos, estos mecanismos son simultáneos. Para el caso de considerar solamente la difusión, la ecuación (1) se reduce a:

ción inicial y solamente una condición en el extremo aguas arriba, en este caso se necesitan dos condicio- nes de borde, una aguas arriba y otra aguas abajo, además de la condición inicial

Resolución numérica d e la ecuación bidimensional

Modelos d e transporte unidimensional La ecuación (2) puede ser resuelta mediante esque- y bidimensional mas numéricos similares a los planteados para el caso unidimensional, pero en dos dimensiones (Holly y Us- En base a lo analizado en el punto anterior, fueron se- seglio-Polatera, l984) (Usseglio-Polatera y Cunge, leccionadas una serie de metodologías e implementa- 1985) (Falconer y Guiyi, 1994). Una alternativa simple, das computacionalmente en los modelo DHIST2 (uni- aplicable a los casos en que la velocidad transversal dimensional) y DHlST3 (bidimensional). Ambos aplican es reducida, consiste en dividir al tramo en estudio en la técnica de separación de términos convectivos y tubos de corriente en los cuales se supone una hidro- difusivos, resolviendo la parte convectiva a través del dinámica unidimensional. método de las características, combinado con una

Al no considerar velocidades transversales, esta interpolación cúbica de alto orden (Holly y Preissmann, metodología no es estrictamente bidimensional y no 1977), y la parte difusiva utilizando esquemas de dife- puede aplicarse en los casos en que las corrientes se- rencias finitas del tipo Crank Nicolson Generalizado. cundarias son importantes, como por ejemplo en cur- vas pronunciadas, uniones, bifurcaciones, expansio- Operador convectivo nes o constricciones.

Utilizando el concepto de tubos de corriente, la Utilizando el método de las características se evita la ecuación (2) puede expresarse: discretización de las derivadas espaciales de la ecua-

ción (2), y los problemas asociados de oscilación y difusión numérica. La ecuación (2) puede escribirse en su forma característica mediante las dos ecuaciones siguientes:

plazando en la ecuación (4) el valor de por E,. El mecanismo restante, la difusión transversal, se ex- presa:

en donde A, U y C son valores medios en el tubo de corriente y los subíndices / y r representan los extre- mos de los tubos de corriente. El hecho de que W no aparezca explícitamente en esta ecuación no significa que sea nula, ya que su influencia se ve reflejada en el dimensionamiento de los tubos de corriente (Cunge et al., 1980).

Basado en esta esquematización se puede desarro- llar un algoritmo para simular la dispersión bidimensio- nal como la ocurrencia simultánea de tres mecanis- sea: mos:

Convección longitudinal en cada tubo de corriente. Difusión longitudinal en cada tubo de corriente. Difusión transversal entre tubos de corriente adya- centes.

Los dos primeros mecanismos pueden expresarse matemáticamente de forma análoga a las ecuaciones (3) y (4) aplicadas a cada tubo, considerando los co- rrespondientes valores de A y U de los tubos y rem-

La ecuación (2) significa que si la trayectoria entre un punto de partida d y un punto de llegada a es deter- minada mediante la integración de la ecuación (8), entonces la ecuación (7) implica que la concentración se mantiene constante a lo largo de la trayectoria, o

Relacionando los puntos a y d con los nodos de una malla cartesiana no uniforme (ilustración 1), el paso convectivo computa la concentración en el tiem- po = ( n + 1) en el punto j del eje x. La trayectoria que une d con a es la definida por la ecuación (8) por lo que se puede escribir:

El problema se reduce, entonces, a la integración de la ecuación (8) para hallar el punto de partida d y luego estimar en base a los valores de concentra- ción en los nudos de la malla para el tiempo t,, que son conocidos.

La estimación mediante simple interpolación lineal de los valores de C," y produce excesiva difusión numérica, pudiendo incluso llegar a superar a la difu- sión física, sobre todo en los casos en los que la con- vección es dominante sobre la difusión (alto número de Peclet).

La difusión puede disminuirse usando una interpo- lación cuadrática o cúbica, pero esto requiere del uso de otros puntos adicionales de la malla, los que física- mente se encuentran alejados de d.

Una forma de obtener una interpolación de mayor orden usando solamente la información disponible dentro del segmento en el cual se encuentra el punto d, consiste en utilizar una interpolación cúbica en la que, además de las concentraciones, son utilizadas también las derivadas espaciales de la concentración en los nodos vecinos (Holly y Preissmann, 1977).

Se llamará a la derivada espacial en el punto x = x,, t = t,. Conociendo C y CX en el tiempo t ,

conocidas con las cuales construir un polinomio de in- terpolación de tercer grado entre j y j-1. Este polino- mio puede expresarse como:

a lo largo de la misma curva característica dada por la ecuación (8). La ecuación (16), al igual que la (7), es una ecuación diferencial ordinaria lineal, pero con tér- mino no homogéneo. Para resolverla se la tratará pri- mero del mismo modo que a la ecuación (7) y luego se incorporará el efecto del término no homogéneo. Utili- zando la misma interpolación que para C:

para los puntos j y j-1, se tienen cuatro magnitudes Luego por analogía con la ecuación (12), se puede escribir para la derivada:

donde significa que proviene de la solución de la ecuación homogénea. Sumando la parte no homo- génea:

donde a = (x , y los cuatro coeficientes A, B, D y E, pueden evaluarse satisfaciendo:

donde = Sustituyendo los coeficientes en (1 1):

en donde:

Con respecto a las condiciones de borde para la con- vección, el único requerimiento lo constituyen los valo- res de t ) y t ) en los bordes de ingreso del flujo.

Operador difusivo longitudinañ

Una vez obtenidos los nuevos valores de en cada nodo, producto de la convección descrita en el punto anterior, éstos deben ser sometidos al otro mecanismo importante en la dispersión: la difusión. El intervalo de tiempo es el mismo que el utilizado para la convección, ya que, a pesar de ser tratados como sucesivos, éstos procesos son simultáneos.

De esta manera se obtienen los valores de C," y, por (10) C,"". Pero, si se quiere continuar con el cálculo, también serán necesarios los valores de La convección de tratada de la misma forma que la convección de Tomando la ecuación (2), deriván- dola respecto de x e invirtiendo el orden de derivación:

Debe tenerse en cuenta además que, por el esque- j - 1/2 deben ser remplazados por r y I respectiva- ma utilizado en la convección, se ha incorporado una mente, y que las coordenadas corresponden ahora a variable adicional CX, la cual también debe ser difun- la dirección transversal. Las condiciones de borde dida. El esquema de diferencias finitas adoptado es la adecuadas en las márgenes son de no difusión. generalización del método de Crank-Nicolson, el que aplicado a la ecuación (4) queda:

Simulación unidimencional

A los efectos de verificar el comportamiento del mode- lo DHIST2 en distintas situaciones se presentan a con- tinuación algunas aplicaciones; las primeras son de carácter teórico y la última está realizada sobre la base de datos de un curso de la provincia de Santa Fe (el arroyo Ludueña), Argentina. El criterio adoptado para calificar a la solución se basa en el análisis del error relativo del valor pico de la concentración.

Convección pura de una mancha gaussiana

El comportamiento del método de las características con la interpolación cúbica fue probado simulando la convección pura de una distribución de concentra- ciones gaussiana en un canal de área unitaria con un campo de velocidades constante de 0,5 m/s. La distri- bución gaussiana tiene una desviación estándar de 264 m y está definida por 15 puntos ubicados cada 200 m de una malla cartesiana.

Las pruebas consistieron en transportar la mancha durante 96 000 seg (26,7 hs) y analizar el comporta- miento de la solución numérica para distintos valores del número de Courant.

El número de Courant se define como la relación en- Las mismas ecuaciones se aplican para la difusión tre la velocidad de propagación de la onda (dx/dt) y la

de CX. La resolución del sistema de ecuaciones re- velocidad computacional de transmisión de datos sultantes se realiza mediante técnica de barrido doble, y se expresa comúnmente para este tipo de ya que la matriz de los coeficientes es tridiagonal (Car- problemas como Cr = U nahan et al, 1969). Aplicando este algoritmo se obtie- En el esquema utilizado puede advertirse que el va- nen los valores resultantes de C y de CX del proceso lor de a que aparece en algunas ecuaciones no es otra de difusión longitudinal. cosa que Cr. Este parámetro es muy importante en los

Para el caso del modelo bidimensional debe recor- problemas dependientes del tiempo, en lo que res- darse que los valores de A corresponden a un tubo en pecta a estabilidad y exactitud. particular y debe remplazarse por E,. Este esquema El resultado esperado es que la mancha no sufra de resolución es incondicionalmente estable lo que es distorsión alguna en su forma ya que se simula la con- conveniente ya que el esquema seleccionado para la vección solamente. Para un valor de Cr = 1 no existe convección permite bastante flexibilidad en la adop- interpolación ya que el punto d coincide con un punto ción del intervalo de tiempo. de la malla, y la solución es exacta (ilustración 2). Va-

lores de Cr menores que 1 provocan un achatamiento Operador difusivo transversal de la mancha que es mayor a medida que el valor de

Cr disminuye. Este operador se incorpora en el caso de la modela- También se realizaron pruebas en un campo de ve- ción bidimensional. Para su resolución se puede utili- locidades variable en el espacio, verificándose que la zar el mismo esquema de la difusión longitudinal, sim- mancha gaussiana atraviesa la zona de velocidades plemente considerando que los valores en j + 1/2 y en variables sin cambios en su forma.

donde es el factor de peso (O 1); = O da un esquema explícito, = 1/2 un esquema clásico de Crank-Nicolson y = 1 un esquema totalmente implíci- to. Los valores en j + 1/2 y en j - 1/2 se obtienen de la siguiente manera, considerando los correspondientes va lores en n o en n+1.

1/2. La variación simultánea de los números de Cou- rant y Peclet permitió establecer zonas de confiabili- dad en la perfomance del modelo, a partir del análisis de los errores de las corridas realizadas para = 1/2.

Los resultados de las corridas han sido resumidos en un gráfico (ilustración 3) en el que se han definido tres zonas que califican la solución de acuerdo a su error en:

Buena (error < 5%) Regular (10% < error < 5%) Mala (error > 10%)

Simultáneamente se han superpuesto en este gráfi- co valores reportados por Menéndez (Menéndez, 1991) y clasificados en buenos, regulares y malos (M. BUENA, M. REGULAR y M. MALA en el gráfico) con el mismo criterio que en este trabajo. Los valores de Me- néndez corresponden a corridas de un modelo unidi- mensional resuelto en diferencias finitas mediante un esquema clásico de Crank-Nicolson aplicado a la

Dispersión de un vertido plano instantáneo

Una solución de la ecuación (1) para el caso de velo- cidad U constante y vertido instantáneo es la distribu- ción gaussiana: ecuación completa.

Simulación de una descarga instantánea de contaminante en el arroyo Ludueña (Santa Fe, Argentina)

Con el objeto de aplicar el modelo a una situación real de simulación, en la que se tuvieran en cuenta carac- terísticas geométricas e hidráulicas propias de un cur- so de agua, se decidió modelar una descarga instan- tánea en un tramo del arroyo Ludueña que corre en dirección sureste y desemboca en el río Paraná luego de atravesar el casco urbano norte de la ciudad de Rosario.

El tramo modelado es el comprendido entre el lugar del futuro emplazamiento de la presa de retención de crecidas del arroyo Ludueña (situada aproximadamen-

donde C, y son la concentración y el volumen inicial del trazador distribuido en la sección transversal A.

Se utilizó esta solución analítica simulando la disper- sión de un vertido instantáneo después de 96 000 seg (26,7 hs) bajo las mismas condiciones hidráulicas que en la primera aplicación, para probar la sensibilidad del modelo ante la variación de sus parámetros.

Los parámetros del modelo son tres: Cr, f e y factor de peso El número de Courant afecta a la parte con- vectiva del modelo y el efecto de su variación sobre el esquema numérico ya se ha analizado en la aplica- ción. En esta serie de corridas se extendió el rango de variación hasta valores de Cr = 3.

El factor de peso opera sobre la parte difusiva del modelo. Se realizaron pruebas para = O, 1/2 y 1. Con respecto al nº de Peclet, éste cuantifica la relación en- tre la convección y la difusión, y su expresión adimen- sional es la siguiente: Pe = Los valores de seleccionados para las corridas fueron de 0, l ; 1; 10 y 100, resultando valores de f e de 1 000; 100; 10 y 1, respectivamente. El interés de probar distintos valores de reside en que los valores observados en distin- tos cursos por numerosos investigadores, indican que es sumamente variable.

Resultados de corridas preliminares indicaron que variaciones en los valores de influyen poco sobre la solución del modelo, por lo que se decidió fijarlo en

te en la intersección de una línea imaginaria que une lores de compatibles con las condiciones de esta- las localidades de Pérez y Funes y el Arroyo) y el puen- bilidad del modelo y de acuerdo a los resultados de las te de la avenida de circunvalación de Rosario. Su lon- aplicaciones anteriores. gitud es de 9,2 km aproximadamente y su pendiente Del análisis de los resultados se puede concluir que media es de 0.001 m/m. Para la representación topo- el modelo se comporta satisfactoriamente para valores gráfica del tramo se utilizaron inicialmente 42 seccio- de de 10 y 50 seg para todos los Kx analizados. nes ubicadas a distancias variables. Estas secciones Como era de esperarse la mayor difusión numérica se fueron recopiladas y utilizadas para la implementación produce para = 10 seg. También se realizaron corri- del modelo hidrodinámico DHlS 7 (Riccardi, 1992). das con un valor de = 100 seg en las que pudieron

A través del mencionado modelo se realizó una co- advertirse problemas de inestabilidad. Estos fueron rrida con caudal estacionario de 10 m3/seg. Con los mayores a medida que aumentaba el valor de Kx. Los valores obtenidos del modelo hidrodinámico se reali- valores extremos de los parámetros para los cuales el zaron simulaciones de la dispersión de una mancha de modelo se comportó satisfactoriamente fueron: 0,03 forma gaussiana, considerándosela producto de un < Cr < 3,57; 0,47 < Pe < 807. vertido plano instantáneo. Cabe aclarar que, a los efectos prácticos de la si-

Como la separación de las secciones originales era mulación, la mancha inicial se consideró uniformemen- muy variable (10 a 1 230 m), en algunos tramos se de- te distribuida en la sección transversal. Para el caso bieron agregar secciones interpoladas para evitar de un vertido puntual en el centro del curso, esta situa- excesivas restricciones del modelo en lo que respecta ción se produce solamente después de recorrida una a la estabilidad. Como resultado se utilizaron 182 sec- distancia inicial de mezcla L que puede ser evalua- ciones con distancias variables entre 10 y 123 metros. da empíricamente. (Fischer et al. 1979) proponen

La adopción del valor de Kx representa, para este L = (U/U*) . El valor de L así estimado para tipo de modelos, el punto más conflictivo. Existen nu- el arroyo Ludueña es de aproximadamente 200 m. merosas formulaciones semiempíricas las que, al ser Para el caso de un vertido desde la margen, este valor evaluadas, arrojan resultados muy dispares. Para esti- de L debe multiplicarse por cuatro, resultando una lon- mar el orden de magnitud del coeficiente de difusión gitud de 800 metros. longitudinal se utilizó la fórmula Kx = 0.011 (Fischer et al, 1979), donde H es la profundidad media, Simulación bidimensional B es el ancho y U* la velocidad de corte. El valor de

8 m2/seg así obtenido es solamente indicativo por Simulación de una descarga instantánea en el río lo que se decidió realizar corridas para distintos Kx. Clinch, Virginia, Estados Unidos de América

Los valores de Kx utilizados fueron de O; 0,1; 1 y 10 m2/seg, y los resultados de algunas de las corridas Para la implementación del modelo DHIST3 se selec- realizadas pueden verse en la ilustración 4. La con- cionó como tramo de prueba un tramo del río Clinch de vección pura (Kx = O) sirvió como forma de probar la 4 800 m. utilizado por Holly (1975) para la aplicación hipótesis de no distorsión. Se utilizaron los mayores va- de un modelo de dispersión con tubos de corriente.

Se utilizaron las mismas seis secciones y los mismos 11 tubos y se compararon los resultados con medicio- nes de concentraciones de trazadores radiactivos exis- tentes. El tramo tiene un ancho superficial de entre 50 y 60 m aproximadamente y una pendiente longitudinal de 0.0006 para el caudal estacionario de 80 m3/seg utilizado para las pruebas. Se interpolaron diez seccio- nes entre cada par de secciones medidas de manera que los se mantuvieron entre 87 y 150 metros.

El modelo DHIST3 fue sometido inicialmente a las mismas pruebas que el DHIST2. Estas consistieron en simular la convección pura en todos los tubos de co- rriente (con E, y E, nulos) de una mancha gaussiana con (T, = 264 m y (T, = 4 m definida en 11 secciones transversales, verificándose la conservación de la forma en cada tubo para un uniforme de 50 seg durante toda la simulación (5 000 seg). Posteriormente La utilización del método de las características com- se incorporaron los efectos de la difusión longitudinal binado con la interpolación cúbica utilizada minimi- y transversal, utilizando para E, y E, los valores de za los problemas de difusión numérica. 5.93U*h y 0.23U*h respectivamente, siendo U* la ve- En todos los casos analizados el esquema resultó locidad de corte. Los resultados (ilustración 5) indican conservativo mientras no se registraron inestabilida- que la mancha rápidamente adquiere una configura- des, las que se produjeron para valores de Cr mayo- ción prácticamente uniforme en la dirección transver- res a 4 y fueron mayores a mayor Kx. sal, lo que evidencia la importancia de la difusión en Existen zonas de valores de concentración negati- este sentido. vos en los resultados de algunas corridas sobre

Finalmente se compararon los resultados del todo para bajos valores de Cr y Kx; no obstante modelo con las mediciones existentes, utilizando estos valores son pequeños comparados con otros E, = 0.23U*h y también 0.40U*h. En la ilustración 6 esquemas (Holly y Preissmann, l977). se incluyen además de las mediciones y los resultados La metodología de los tubos de corriente es sencilla del DHIST3, los resultados del modelo de Holly original y fácil de implementar, permitiendo una simulación y los de un modelo que utiliza una metodología similar satisfactoria del fenómeno bidimensional. a la del DHlST3 (Cunge et al., 1980). El modelo origi- Existe una zona inicial próxima al vertido en la que nal posee una difusión numérica importante por lo que es muy difícil simular los gradientes de concentra- el ajuste casi perfecto = 0.23U*h es engañoso y ción elevados a través de esta metodología. sería más adecuado un valor de 0.40U*h como lo sugieren los modelos con menor difusión numérica. Recibido: mayo, 1995

Aprobado: febrero, 1996 Conclusiones

Los resultados de las aplicaciones permitieron arribar a las siguientes conclusiones:

Agradecimientos

Al doctor Pablo Jacovkis, director de beca del CONICET del autor, por sus consejos.

Al ingeniero Gerardo Riccardi, por su colaboración.

Referencias

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Abstract

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Numerical methodologies for the solution of the pollutant dispersion equations in one and two dimensions are described in the present paper. The one-dimensional problern is solved using a split operator approach that separates the equation into a convective term (hyperbolic type) and a diffusive term (parabolic type). With this approach, both terms are considered as alternating processes during short periods. The convective term is modelled by the characteristics method combined with a high order interpolation, and the diffusive term with a generalized Crank Nicolson scheme. The two-dimensional problem is modelled using the stream tube sim- plification, applying the methodology described above to each stream tube, and then incorporating an addi- tional transverse diffusion term, that is also solved with a Crank Nicolson scheme. Applications are made to theoretical situations and to two natural streams.

Key words: Mathematical modeling, numerical simulation, pollution, pollutant dispersion, environmental hydraulics, transport processes, water quality