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Metodos Numericos 2013/14
3. Equacoes Nao Lineares
Universidade de Aveiro
Departamento de Matematica
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MN 2013/14
Introducao
O objectivo deste captulo e o estudo de metodos numericos para a
resolucao de equacoes nao lineares f(x) = 0, sendo f uma funcao
contnua em I R.
Exemplos de equacoes nao lineares:
x6 x 3.1 = 0x4.5 3x+ 1 = 04x 5x+ 1 = 2
cosx ex = 0
Equacoes nao lineares ocorrem muitas vezes na resolucao de equacoes
diferenciais, integracao, determinacao de extremos, etc.
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Metodos iterativos
Seja I R uma raiz da equacao f(x) = 0 (diz-se tambem que eum zero de f).
Se for um zero de f e se f for m vezes continuamente diferenciavel em
, entao e um zero de multiplicidade m se e so se
f() = f () = f () = . . . = f (m1)() = 0 e f (m)() 6= 0.
Conhecendo uma aproximacao inicial x0 de (no caso dos metodos
dependentes de um so ponto) ou um intervalo [x0, x1] que contenha
(no caso dos metodos intervalares), um metodo iterativo gera uma
sucessao de aproximacoes {xk}kN, definida por
xk = g(xk1, . . .), k = 1, 2, . . . .
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Metodo iterativo e ordem de convergencia
E desejavel que a sucessao {xk}kN, gerada pelo metodo iterativo, sejaconvergente para a raiz da equacao, i. e., que lim
kxk = . Sendo
ek = xk o erro na iteracao de ordem k, tem-se que
limk
xk = limk
ek = 0.
Depois de estabelecida a convergencia do metodo iterativo, convem ter
uma ideia sobre a rapidez com que a sucessao de aproximacoes {xk}kNconverge para .
Definicao: i) Diz-se que p e a ordem de convergencia do metodo iterativo
se
m |ek+1||ek|pM,
k N, 0 < m M
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Metodo iterativo e ordem de convergencia
ii) Se, alem disso, existir uma constante c > 0 tal que
limk
|ek+1||ek|p
= c,
diz-se que c e a constante de erro assimptotico.
p = 1 convergencia linear p = 2 convergencia quadratica p > 1 convergencia supralinear
Quanto maior for a ordem de convergencia maior sera, em princpio, a
rapidez de convergencia do metodo iterativo. No entanto, esta rapidez
depende ainda do esforco computacional requerido em cada iteracao.
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Escolha das estimativas iniciais
Num metodo iterativo (local) as estimativas iniciais devem estar
suficientemente proximas da raiz. Assim, convem que a raiz que se
pretende aproximar seja localizada num intervalo de amplitude pequena.
Teorema de Bolzano: Se f e contnua em I = [a, b] R e sef(a)f(b) < 0, entao existe pelo menos uma raiz I da equacaof(x) = 0.
Alem disso, se f e diferenciavel em ]a, b[ e se f (x) 6= 0, x I, entao e o unico zero de f no intervalo I.
O intervalo I para a raiz pode ser obtido por localizacao grafica.
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Escolha das estimativas iniciais
Localizacao grafica das estimativas iniciais:
Podendo tracar-se o grafico de f , obtem-se estimativas iniciaisgeometricamente;
Senao, considerando
f(x) = 0 p(x) = q(x) ,
onde p e q sao funcoes mais simples de representar graficamente, os
pontos x tais que p(x) = q(x) verificam f(x) = 0, ou seja, sao as
razes de f(x) = 0.
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Exemplo
Localizacao da raiz real de f(x) = x3 2x 5 = 0:
Como f(2)f(3) < 0 e f (x) > 0, x I = [2, 3],entao 1 [2, 3] tal que f() = 0;
Localizacao grafica
p(x) = x3 , q(x) = 2x+ 5
p(x) = q(x) = x1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
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Criterios de paragem
O metodo iterativo convergente xk = g(xk1, . . .), k = 1, 2, . . ., e
aplicado repetidamente ate se obter uma aproximacao xk suficientemente
proxima de que satisfaca pelo menos um dos criterios:
|xk xk1| < 1 (tolerancia absoluta);
|xkxk1||xk| < 2 (tolerancia relativa);
|f(xk)| < 3;
um numero maximo de iteracoes k = kmax;
um majorante do erro absoluto, caso este se possa calcular.
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Majorante do erro absoluto
Majorante do erro absoluto de uma aproximacao xk de , raiz real simples
de f(x) = 0, obtida por um qualquer metodo iterativo:
Sendo f C[a, b] = I e f (x) 6= 0, x I, com I, aplicando oteorema do valor medio a f no intervalo int(, xk) I e, atendendo aque e um zero simples de f , obtem-se (exerccio!)
| xk| =f(xk)
f (k)
, k int(, xk).
Se m = minxI
|f (x)|, entao |f (k)| m > 0, pelo que
| xk| |f(xk)|m
, k = 0, 1, 2, . . .
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Metodo da bisseccao
Suponhamos que 1 I = [a, b] tal que f() = 0:
O metodo da bisseccao consiste em construir, por bisseccoes sucessivas,
uma sucessao de intervalos Ik = [ak, bk] a partir do intervalo inicial I,
de modo a que f(ak)f(bk) < 0. A sucessao de intervalos construdos
{Ik}kN0 e tal que I = I0 I1 I2 e Ik (k = 0, 1, 2, . . .).
Seja (Ik) = bk ak a amplitude do intervalo Ik, para k = 0, 1, 2, . . . .Por construcao, Ik tem metade da amplitude do intervalo Ik1, i. e.,
(Ik) =(Ik1)
2=
(Ik2)
22= = (I0)
2k=
b a2k
e limk
(Ik) = 0 .
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Metodo da bisseccao: erros e convergencia
A aproximacao xk da raiz obtida pelo metodo da bisseccao apos k
iteracoes, e dada pelo ponto medio do intervalo Ik1, i. e.,
xk =ak1+bk1
2, k = 1, 2, . . . .
Sendo ek = xk o erro da aproximacao xk, entao
limk
ek = 0 e |ek| (Ik) =b a2k
.
O numero mnimo de iteracoes k que garante |ek| , e tal que
k ln(ba
)
ln 2.
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Aplicacao do metodo da bisseccao
Calculo da raiz real de f(x) = x3 2x 5 = 0, com [2, 3] = I0:
Pretende-se obter uma aproximacao xk de , tal que | xk| < 106;
O numero mnimo de iteracoes (bisseccoes) a efectuar e k = 20;
Apos k = 20 iteracoes, obtem-se os resultados
I20 = [2.09455108642578, 2.09455299377441],
x20 = 2.09455204010010 e | x20| < (0.954)106 .
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Metodo iterativo do ponto fixo
Suponha-se que 1 I = [a, b], tal que f() = 0. Consideremos
f(x) = 0 x = g(x),
onde g C1(I). Assim, um zero de f diz-se um ponto fixo de g, i. e.,satisfaz
= g().
Entao, o metodo iterativo do ponto fixo, definido por
xk = g(xk1), k = 1, 2, . . .,
calcula aproximacoes para o ponto fixo de g (raiz da equacao f(x) = 0).
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Metodo do ponto fixo: interpretacao geometrica
O algoritmo xk+1 = g(xk), k = 0, 1, 2, . . ., pode nao convergir para
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Metodo do ponto fixo: convergencia
Em que condicoes e que, dada uma aproximacao inicial x0, o metodo
iterativo xk = g(xk1), k = 1, 2, . . ., converge para a raiz de
f(x) = 0 no intervalo I = [a, b]?
Teorema: Seja g C1(I) e o unico zero de f em I.Se
g(I) I (i. e., x I, g(x) I)e
0 < M = maxxI
|g(x)| < 1,
entao g possui um unico ponto fixo no intervalo I e a sucessao de
aproximacoes {xk}kN gerada por xk = g(xk1), k = 1, 2, . . .,converge para , qualquer que seja a aproximacao inicial x0 I.
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Metodo do ponto fixo: erros e convergencia
Seja ek = xk o erro da aproximacao xk, obtida na iteracao de ordemk de um metodo de ponto fixo convergente.
Atendendo ao teorema anterior e possvel mostrar que (exerccio)
|ek| M |ek1| |ek| Mk|e0|, k = 1, 2, . . .
e que
limk
|ek||ek1|
= |g()| .
Entao, se g() 6= 0, a convergencia e linear e a constante de erroassimptotico e c = |g()|.
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Metodo do ponto fixo: erros e convergencia
Suponha-se que o metodo iterativo de ponto fixo xk = g(xk1),
k = 1, 2, . . ., e convergente para um ponto fixo de g Cp(V).Se, para p 2, se tem
g() = g() = g() = = g(p1)() = 0
e
g(p)() 6= 0, x V (vizinhanca de ),
entao, xk = g(xk1) tem ordem de convergencia p, x0 V.Alem disso, se
limk
| xk|| xk1|p
=|g(p)()|
p!,
entao, c = |g(p)()|p!
e a constante de erro assimptotico.
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Metodo do ponto fixo: observacoes importantes
Se |g(x)| > 1, x Dg (onde Dg e o domnio de g) e x0 6= , entaoo metodo iterativo xk+1 = g(xk), k = 0, 1, 2, . . ., diverge (exerccio!)
A forma geral da funcao iteradora de ponto fixo g e dada por
g(x) = x c(x)f(x) ,
onde c e uma funcao contnua, nao nula, em I = [a, b]; de facto, a partir
desta forma geral, e possvel mostrar que, se I e uma raiz def(x) = 0, entao e um ponto fixo de g e reciprocamente (exerccio).
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Metodo do ponto fixo: exemplos de aplicacao
Dado a R+, pretende-se calcular = a, onde e a raiz positiva daequacao f(x) = x2 a = 0:
Como x2 a = 0 x = x2 a+ x, pode considerar-se a funcaog(x) = x2 a+ x, a qual permite obter o metodo de ponto fixo
xk = x2k1 a+ xk1, k = 1, 2, . . . .
Mas, neste caso, verifica-se que |g()| = 2a+ 1 > 1, nao estandogarantida a convergencia deste metodo iterativo para ;
Consideremos, agora, g na sua forma geral g(x) = x c(x)f(x), comc(x) = c 6= 0;
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Metodo do ponto fixo: exemplos de aplicacao
Verifica-se que a condicao |g()| < 1 e equivalente a 0 < c