Mtodos Numricos 2 Lista de problemas 1El mtodo de los elementos finitos Curso 2006-2007

1. Se plantea la resolucin del problema de contorno

uxx + u = 0

u(0) = 0, u(1) = 1,(1)

con constante, mediante el mtodo de los elementos finitos. Para ello se pide:

a) Deducir la forma dbil del problema (1) mediante residuos ponderados.b) Plantear el sistema de ecuaciones resultante, Ku = f , si se aproxima la solucin

con n+ 1 nodos como

u(x) ' uh(x) =n1j=1

ujNj(x) + (x)

donde {Nj(x)}nj=0 es una base de funciones de interpolacin de elementos finitos,y donde ya se han tenido en cuenta las condiciones de contorno tomando (x) =Nn(x).

c) Cmo es la matriz del sistema de ecuaciones? Proponer razonadamente un m-todo de resolucin.

d) Cmo es la forma dbil del problema (1) si se considera un parmetro = (x)no constante? Y los coeficientes del sistema de ecuaciones resultante?

2. El anlisis de rigidez a flexin de un pilote con una respuesta elstica del suelo suelemodelarse con la ecuacin

d4w

dz4+K(z)w = 0, z ]0, 1[ (2)

donde w es el desplazamiento horizontal buscado, z es la profundidad respecto a la cotadel terreno y K(z) representa la variacin de la interaccin mecnica terreno-pilote conla profundidad. En un cierto caso prctico de inters se supone que las condiciones decontorno, correspondientes a cortante y momento impuestos en la superficie (z = 0) yempotramiento del pilote en profundidad (z = 1), pueden escribirse en la forma

d2w

dz2(0) =M,

d3w

dz3(0) = Q,

w(1) = 0,dw

dz(1) = 0,

(3)

donde Q y M son los valores conocidos del cortante y del momento en la superficie.

En una primera fase, se plantea la resolucin del problema mediante el mtodo de loselementos finitos. Con este objetivo se pide:

a) Plantear la forma dbil del problema1.

b) Plantear el sistema de ecuaciones resultante, Ku = f , si se aproxima la solucincon n+ 1 nodos como

u(x) ' uh(x) =n1j=1

ujNj(x) + (x)

donde {Nj(x)}nj=0 es una base de funciones de interpolacin de elementos finitos,y donde ya se han tenido en cuenta las condiciones de contorno.

c) Para la discretizacin de la forma dbil hallada en el apartado a), se puedeutilizar la interpolacin seccional lineal C0 habitual en el mtodo de los elementosfinitos? Por qu?

3. Se considera el problema de contorno

u+ f = 0 en u = 0 en (4)

donde f es el trmino fuente y u = (u) = 2u/x2 + 2u/y2. Para resolver elproblema mediante el mtodo de los elementos finitos se considera una aproximacinfuncional de la forma

u(x) ' uh(x) =Nj=1

ujNj(x) (5)

donde Nj(x) son las funciones de forma, uj son los valores nodales a determinar, y uhcumple las condiciones de contorno,

uh(x) = 0 en .

a) Plantear la forma dbil del problema mediante residuos ponderados.

b) Plantear el sistema de ecuaciones que se obtiene al considerar la aproximacin(14), utilizando el mismo espacio de aproximacin para las funciones de test (m-todo de Galerkin). Detallar la expresin de los coeficientes de la matriz, del vectorde incgnitas y del trmino independiente.

La formulacin de mnimos cuadrados (Least-Squares) es una metodologa alternativaal mtodo de Galerkin que consiste en (i) considerar la integral del residuo de laecuacin en derivadas parciales al cuadrado

R(u) =

[u+ f ]2 d, (6)

(notar que la solucin analtica verifica R(u) = 0) y (ii) buscar la funcin uh (ver laecuacin (14)) que minimiza R(u). Para ello se pide:

1Pistas: (I) Aplicar integracin por partes tantas veces como sea necesario hasta conseguir un problemaintegral equivalente con el menor orden de derivacin posible. (II) Las funciones de test v verifican v(1) = 0y dv/dz(1) = 0.

c) Deducir la expresin del funcional que se obtiene al sustituir la aproximacin uh,ver (14), en el funcional (6). Es decir, deducir una expresin para R(u1, . . . , uN) :=R(uh).

d) Deducir el sistema de ecuaciones que se obtiene al plantear el problema de mini-mizacin

mnu1,...,uN

R(u1, . . . , uN).

Detallar la expresin de los coeficientes de la matriz, del vector de incgnitas ydel trmino independiente.

e) Para la resolucin del problema de contorno (4) con la formulacin de mnimoscuadrados, se puede utilizar la aproximacin con Splines C0 tpica en el mtodode los elementos finitos? por qu?

4. Mediante la resolucin con elementos finitos lineales de un problema mecnico se obtie-ne el campo de desplazamientos y el campo de tensiones discontinuo que se representaen la Figura 1. Decidir si la siguiente afirmacin es verdadera o falsa: El campo detensiones debera ser continuo y, por lo tanto, hay algn error de implementacin enel cdigo para el clculo de las tensiones.

Contorno inicial y deformada (x105) Tensiones de von Mises

6.5e2

2.5e4

Figura 1: Resultados del anlisis elstico de una presa mediante el MEF

5. El transporte de un contaminante en el aire se modeliza con la EDP de conveccin-difusin transitoria

u

t+ a u u = 0 (7)

donde u es la concentracin de contaminante, u = (u), a es el campo de veloci-dades de viento y es la difusividad del contaminante en el aire. Interesa determinarla forma del penacho que se forma por la emisin de contaminante de una chimeneaindustrial. Suponiendo que el campo de velocidad del aire a es estacionario (dependeslo de x) el problema se reduce a encontrar la solucin estacionaria (con u/t = 0),simplificando as la EDP (7) a la ecuacin de conveccin-difusin estacionaria

a u u = 0 (8)

u=0

u=0 u=0

u=c

un=0un=0

Figura 2: Dominio para la simulacin del trasporte de contaminante emitido por una chimenea

Se plantea la resolucin de la EDP (8) en el dominio representado en la Figura 2,con las condiciones de contorno

u = 0 en 0u = c en cu n = 0 en n

(9)

Se supone que el dominio de resolucin es suficientemente grande como para que elpenacho no llegue a las fronteras laterales y superior, donde se impone que la concen-tracin es nula, u = 0 en 0. En la boca de la chimenea se impone la concentracindel contaminante emitido, u = c en c. Para simplificar el problema se supone que nohay deposicin en el suelo, de manera que en el suelo y en las paredes de la chimenease impone la condicin de impermeabilidad, u n = 0 en n.Para resolver el problema mediante el mtodo de los elementos finitos se considera unaaproximacin funcional de la forma

u(x) ' uh(x) =Nj=1

ujNj(x) + (10)

donde Nj(x) son las funciones de forma asociadas a nodos que no estn en el contornode Dirichlet, uj son los valores nodales a determinar, y es una funcin que se encargade que uh cumpla las condiciones de contorno de Dirichlet,

uh = 0 en 0 y uh = c en c

a) Plantear la forma dbil del problema mediante residuos ponderados.b) Plantear el sistema de ecuaciones que se obtiene al considerar la aproximacin

(14), utilizando el mismo espacio de aproximacin para las funciones de test (m-todo de Galerkin). Detallar la expresin de los coeficientes de la matriz, del vectorde incgnitas y del trmino independiente.

c) Cmo es la matriz del sistema de ecuaciones a resolver? Proponer razonadamenteun mtodo iterativo y un mtodo directo para la resolucin del sistema. Qumtodo escogera para la resolucin del problema? Por qu?

d) Si la velocidad del aire en el dominio es muy pequea (viento muy dbil y emisinde la chimenea a velocidad baja) se puede despreciar el trmino convectivo frenteal trmino difusivo en la ecuacin (8) llegando a la ecuacin

u = 0

En este caso, cmo es la matriz del sistema a resolver tras la discretizacin conelementos finitos? Proponer razonadamente un mtodo iterativo y un mtododirecto para la resolucin del sistema.

6. En una sala de base rectangular se encuentran varias mquinas de clculo de altorendimiento. Para su correcto funcionamiento es esencial mantener la sala refrigeradaadecuadamente. Una de las paredes de la sala es compartida con otra sala que tienepermanentemente una temperatura constante Tp. El resto de paredes, el suelo y el techo,son prcticamente aislantes. En estas condiciones, interesa averiguar la distribucin detemperatura en la sala, T (x). Para ello se plantea la resolucin del problema de contorno

(kT ) = f en T = Tp en pkT n = 0 en \p

donde es el dominio de resolucin (la sala), p es la pared refrigerada, k es la con-ductividad trmica, n es la normal exterior al contorno, y f(x) es el trmino fuenteque se encarga de modelizar las fuentes de calor correspondientes a las mquinas. Sepide:

a) Plantear la forma dbil del problema2.

b) Obtener el sistema de ecuaciones resultante al considerar una discretizacin conelementos finitos de la forma

T h(x) =ni=1

TiNi(x) + (x),

donde se encarga de la verificacin de las condiciones de contorno de Dirichlet, = Tp y Ni = 0 en p.

c) Cmo es la matriz del sistema? Proponer razonadamente un mtodo para laresolucin del sistema.

7. Se considera el problema de contorno

u+ f = 0 en (11)n u = g en N (12)

u+ (n u) = h en R (13)

donde u(x) es la funcin incgnita; las funciones f(x) (trmino fuente), g(x) y h(x),as como las constantes y , son conocidas; N y R son los contornos de Neumanny Robin respectivamente; n es la normal unitaria exterior.

2Se puede utilizar la frmula de integracin por partes en varias dimensiones

u( v) d =

(u) v d+

uv n d

Para resolver el problema mediante el mtodo de los elementos finitos se considera unaaproximacin funcional de la forma

u(x) ' uh(x) =Nj=1

ujNj(x) (14)

donde Nj(x) son las funciones de forma y uj son los valores nodales a determinar.

a) Plantear la forma dbil del problema (11)-(13) mediante residuos ponderados.

b) Plantear el sistema de ecuaciones que se obtiene al considerar la aproximacin(14), utilizando el mismo espacio de aproximacin para las funciones de test (m-todo de Galerkin). Detallar la expresin de los coeficientes de la matriz, del vectorde incgnitas y del trmino independiente.

c) Cmo es la matriz del sistema para el caso general 6= 0, 6= 0? Proponerrazonadamente un mtodo para la resolucin del sistema.

d) Particularizar la forma dbil para el caso = 0. Cmo es la matriz del sistemaes este caso? Puede emplearse el mismo mtodo de resolucin propuesto en elapartado anterior? Por qu?