INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA SUPERIOR

UNIDAD 3. COMBINATORIA Y POLINOMIOS

Evidencia de aprendizaje. Polinomios y combinatoria.

Ejercicio 1:

Se lanza una moneda cuatro veces. Hallar el número de resultados posibles.

Un espacio muestral es el conjunto de todos los valores posibles de un experimento aleatorio.

En cada lanzamiento de la moneda la probabilidad de que caiga una u otra cara es de 12

, en cuatro

lanzamientos sería de ( 12 )( 12 )( 12 )( 12 )= 116

o lo que es lo mismo 16 resultados posibles:

S= {CCCC ,CCCS ,CCSC,CSCC ,SCCC ,CCSS,CSSC ,SSCC , SCCS,CSCS ,CSSS , SSSC ,SCSC , SCSS ,SSCS ,SSSS }

Ejercicio 2:

¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los 10 números 0, 1, 2, 3,…,9 si

a) Se permiten repeticiones

La 1ª cifra puede ser cualquiera de los 10 dígitos excepto el 0 (en total 9).La 2ª, 3ª y 4ª cifra puede ser cualquiera de los 10 dígitos

9 ∙10∙10 ∙10=9000números de 4cifras .

b) No se permiten repeticiones

La 1ª cifra puede ser cualquiera de los 10 dígitos excepto el 0 (en total 9).La 2ª cifra puede ser 0 pero no la primera cifra (en total 9, la 3ª cifra (8 dígitos) y la 4ª cifra (7 dígitos).

9 ∙9 ∙8 ∙7=4536números de 4cifras .

c) El último número debe ser 0 y no se permiten repeticiones?

El 0 es el único dígito que ocuparía la 4ª cifra

9 ∙8 ∙7 ∙1=504 númerosde 4cifras .

Ejercicio 3:

¿Cuántos comités diferentes de tres hombres y cuatro mujeres se pueden formar a partir de ocho hombres y seis mujeres?

Hombres:

C (6,4 )= 6 !4 ! (6−4 )!

= 6 !4 !2!

= 72024 (2 )

=72048

=15

Mujeres:

C (8,3 )= 8 !3! (8−3 )!

= 8!3 !5 !

= 403206 (120 )

=40320720

=56

Comité:

C (6,4 ) ∙C (8,3 )=15 ∙56=840 comités diferentes

Ejercicio 4:

Efectúa la siguiente operación:

x2−2x+3x−2

.2x+3x+5

=¿

4 x3−x2+9x2+3 x+10

=4 x−13+( −x+139x2+3 x+10 )

Ejercicio 5:

Demuestre que ( x−3 ) es un factor de f ( x )=x 4−8 x3+23 x2−28x+12

El grado del polinomio nos indica cuantos factores tenemos que encontrar, en este caso son 4.

Divisores del término independiente: {±1 ,±2 ,±3 , ±4 , ±6 , ±12 }

Aplicamos la Regla de Ruffini para determinar los factores:

Probamos con +1

1 -8 23 -28 121 1 -7 16 -12

1 -7 16 -12 0

Con la última columna en 0 se demuestra que si es factor, por lo que el polinomio queda de la siguiente manera:

f ( x )= (x−1 ) (x3−7 x2+16 x−12 )

Probamos con −1

1 -7 16 -12-1 -1 8 -24

1 -8 24 -36

Con la última columna en -36 se demuestra que no es factor.

Probamos con 2

1 -7 16 -122 2 -10 12

1 -5 6 0

Con la última columna en 0 se demuestra que si es factor, por lo que el polinomio queda de la siguiente manera:

f ( x )= (x−1 ) ( x−2 ) (x2−5 x+6 )

Probamos con −2

1 -5 6-2 -2 14

1 -7 20

Con la última columna en 20 se demuestra que no es factor.

Probamos con 3

1 -5 63 3 -6

1 -2 0

Con la última columna en 0 se demuestra que si es factor, por lo que el polinomio queda de la siguiente manera:

f ( x )= (x−1 ) ( x−2 ) ( x−3 ) ( x−2 )

De esta manera quedan definidos los 4 factores

Ejercicio 6:

Determina todas las raíces de:

P ( x )=2x3+x2−11 x−10

El grado del polinomio nos indica cuantos factores tenemos que encontrar, en este caso son 3, y los valores de la incógnita de cada factor que lo vuelven 0 son las raíces del polinomio.

Divisores del término independiente: {±1 ,±2 ,±5 , ±10 }

Aplicamos la Regla de Ruffini para determinar los factores:

Probamos con +1

2 1 -11 -101 2 3 -8

2 3 -8 -18

Con la última columna en -18 se demuestra que no es factor.

Probamos con −1

2 1 -11 -10-1 -2 1 10

2 -1 -10 0

Con la última columna en 0 se demuestra que si es factor, por lo que el polinomio queda de la siguiente manera:

f ( x )= (x+1 ) (2 x2−x−10 )

Probamos con 2

2 -1 -102 4 6

2 3 -4

Con la última columna en -4 se demuestra que no es factor.

Probamos con −2

2 -1 -10-2 -4 10

2 -5 0

Con la última columna en 0 se demuestra que si es factor, por lo que el polinomio queda de la siguiente manera:

f ( x )= (x+1 ) ( x+2 ) (2 x+5 )

De esta manera quedan definidos los 3 factores.

Las raíces buscadas son:

−1 ,−2 y 52