7/25/2019 MIAS_U2_EA_CLAG

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Introduccin al algebra superior

Unidad 2

Evidencia de aprendizaje. Conjuntos, relaciones y funciones

Apoyndote en las fuentes de consulta de la unidad, responde las preguntassiguientes.

. !os siguientes clculos indican "ue es posible escribir a los enteros #, $,%usando &nica'ente ( y ) co'o su'andos, sin i'portar el orden.

# * ( + ( + )

$ * ( + ( + ( + (

% * ) + )

Con base en estos resultados, de'uestre la siguiente conjetura -ara todo n +

donde n / #, 01n n puede escribirse co'o una su'a de d34gitos(y).-or induccin de'ostra'os "ue para n*#5 # * ( + ( + ) y ta'bi6n n*$ y n*%ya 7an sido de'ostradas.

Cuando n*8 tene'os

01#, 01$,9 018:2,018:, 018 con 8 en + y 8 / %

-ara n*8+

8+*18:2+( pues se interponen 018: y 018 ade's 8:2 es verdadera lo "uesignifica "ue es la su'a de treses y;u oc7os, al su'arle ( se de'uestra 8+ por lo"ue "ueda de'ostrada la validez de la afir'acin.

2. 0i p y " son pri'os, de'uestre "ue p

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0e "uiere de'ostrar la 7iptesis "ue dice "ue

+y mcd (a ,b )=1.

2=a

b,sia ,bZ

-or lo tanto2=

a

b

2=a2

b2

2b2=a2

+con K

1Z

2|a2 y2|aa=2K1

2b2=a2=(2K1 )

2=4K1

2

b2= (2K1 )

2

Entonces 2b22b

ya "ue 2 divide a a y a b es necesario "ue 'cd 1a,b/2, lo cual contradice la

7iptesis "ue dice "ue mcd (a ,b )=1.

-or lo tanto la proposicin inicial es falsa

$. @-ara "u6 valores de es cierto "ue = B 1'od$5 y B#D1'od%

= B 21'od$

:=B#D1'od%

%. >e'uestre "ue si a, b, c, n con a, n F G y b B c 1'od n entonces ab B ac1'od an.

bc (modn)b=c+dn (si dZ)

ab=ac+danabac(modan)

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=. 0ean a, b, ', n con ', n F G. >e'uestre "ue si a B b 1'od n y 'e'uestre "ue para todo entero n solo una de las siguientes opciones es

divisible entre (.n

2n

2n +

si3nn=3aconaZ A= {0,3,6,9,}

si3(2n1)2n1=3bconbZ B= {2 , 5 , 8 , 11,}

si3(2n+1)2n+1=3cconcZC= {1 ,4 ,7 , 10 , }

*AUHUC