UNADM

LICENCIATURA EN MATEMTICAS

Geometra.

Unidad 4: Proporciones, semejanza, reas y volmenes.

Actividad 2: Propiedades y teoremas de proporcin y semejanza de tringulos.

Alumno: Claudio Ramn Rodrguez Mondragn.

Matrcula: AL13503064

a) Para demostrar:

Multiplicamos ambos miembros por:

La proporcin:

Entonces:

Y reuniendo las b

QED.b)Para demostrar:

La proporcin:

Se multiplican los extremos y los intermedios:

Restamos una unidad en ambos miembros, por lo cual la ecuacin no se altera:

Factorizando el segundo trmino en diferencia de cuadrados:

Y reagrupando:

Y todos los trminos tienen un denominador 1:

QED.

a) Se multiplican los extremos y los intermedios:

Multiplicando ambos miembros por:

Entonces:

b) Se multiplican los extremos y los intermedios:

Efectuando las operaciones:

Encontramos una ecuacin cuadrtica, y tenemos que igualar a cero y resolverla:

Solucionando por frmula general, pues esta cuadrtica no es factorizable por nmeros racionales:

Por lo que hay dos soluciones por ser cuadrtica:

En expresin de nmero irracional.c) Se multiplican los extremos y los intermedios:

Realizamos los productos:

Reunimos las incgnitas en un mismo miembro:

Obtenemos el valor numrico:

d) Se reduce el primer trmino y se multiplican los extremos y los intermedios

Efectuando los productos:

Reunimos la incgnita buscada:

Factorizando:

Despejando y factorizando:

Por deduccin encontramos algunas mediadas que faltan, por ser un cuadrado:

Encontramos la medida

Ahora encontramos :

Sean los segmentos determinados por la bisectriz:

Segn el teorema:Teorema 4.8 La bisectriz del ngulo de un tringulo divide a su lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros lados del tringulo.Sean:El tringulo:La bisectriz: Lado opuesto: Segmentos proporcionales: Otros lados del tringulo:Entonces:

Haciendo la proporcin:

Sustituyendo:

Entonces:

Ahora:

Ahora:

Hiptesis:1.- 2.- Tesis:1.-Los segmentos son proporcionales:

Desarrollo de la demostracin:Como es la bisectriz del ngulo exterior en el .Se prolonga una semirrecta en el lado , hasta su interseccin con Se traza una paralela auxiliar, que pase por el punto del vrtice B, y toque al lado , en el punto M:

Entonces, si se toma a lado:

Se encuentran ngulos alternos internos:

Y se encuentran ngulos correspondientes:

Y por la bisectriz, entonces los ngulos que bisecta al ngulo externo, son iguales:

Y se encuentra un tringulo issceles:

Y se deduce entonces, que si:

Entonces:

Entonces los ngulos del tringulo son iguales, y el tringulo Es issceles.Tomando el vrtice A, como punto referente para un estudio de Tales, y recordando:Corolario de Tales: Dos lados de un triangulo son proporcionales a los segmentos que en ellos determina cualquier recta paralela al tercer lado.Entonces:Los segmentos son proporcionales:

QED.

Hiptesis:1.- 2.- 3.-4.- Se forman los tringulos: 5.- Tesis:1.- Desarrollo de la demostracin:Para la circunferencia S, tenemos:

Adems:

Para los tringulos:

Comparten un mismo ngulo:

Por definicin de ngulo externo, en este caso sera para :

Y por definicin de ngulo inscrito:

Sustituimos:

Entonces:

Entonces:

Dado que:

Por lo tanto:

Por definicin de ngulo externo, en este caso sera para :

Y por definicin de ngulo inscrito:

Sustituimos:

Entonces:

Entonces:

Dado que:

Por lo tanto:

Ahora para el tringulo Y por compartir un mismo ngulo los tringulos

Entonces si:

Y comparten el ngulo:

Los tringulos:

Son semejantes por el teorema: AAA:Teorema 4.10 Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son congruentes

QED.

Hiptesis:1.- Se trazan alturas para el tringulo 2.- 3.- se forma el tringulo Tesis:1.- Desarrollo de la demostracin:

Encontramos los ngulos homlogos:

Despus de trazar las alturas, encontramos los ngulos que van a ser relacionados, trazando un paralelogramoSe trazan paralelas auxiliares:

En el entorno del tringulo

Se forma un paralelogramo auxiliar:

Se forma un tringulo auxiliar

Relacionando los ngulos encontramos que:En la secante AB. Por ser alternos internos:

En la secante AB. Por ser alternos internos:

Por ser ngulos opuestos del paralelogramo:

En la secante AI. Por ser alternos internos:

En las paralelas . Por ser alternos internos:

Relacionando:

Reducimos los iguales:

Entonces:

Y como

Por conclusi:

Entonces:

Por conclusin, al tener los tres ngulos congruentes, los tringulos son semejantes por:Teorema 4.10 Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son congruentes.Entonces:

QED.

Teorema 4.14 Sean dos polgonos semejantes, entonces se pueden dividir en la misma cantidad de tringulos semejantes.Hiptesis:

1.- Sean los polgonos:

Tesis:

1.-

Construccin 4.8 Sean dos polgonos:

Se hacen dos trazos auxiliares en cada polgono tal que se trazan los segmentos:

En el polgono

Y en el polgono:

Se trazan los segmentos:

Desarrollo de la demostracin:Se quiere probar que de esta construccin, los polgonos se pueden dividir en una misma cantidad de tringulos semejantes

Por la hiptesis, los polgonos:

Son semejantes, lo que implica que los ngulos:

Son congruentes.

Se sigue de la misma hiptesis que los lados de ambos ngulos se corresponden y son homlogos, esto es que:

Entonces esos tringulos son semejantes:

De manera anloga, los otros dos tringulos formados lo son:

Por lo tanto, ambos polgonos tienen tres tringulos y los de uno son semejantes a sus correspondientes del otro.Por lo tanto:

QED.