Con la metrica de Baire tenemos un espacio ultra metrico

Cristian David Chavez

1. Definicion de Espacio ultra metrico.

Un espacio ultra metrico X es un espacio metrico (X, d) en el cual la metrica d satisface la ultra-desigualdad triangular: d(x, z) ≤max{d(x, y), d(z, y)}.

Teorema

En un espacio ultra metrico cada punto de una bola puede ser su centro, es decir, si y ∈ Bε(x)luego se tien que Bε(y) = Bε(x)

Demostracion

Estamos hablando de igualdad de conjuntos, por tanto, tenemos que demostrar que Bε(y) ⊆ Bε(x)y Bε(x) ⊆ Bε(y). Por hipotesis, tenemos que d(y, x) < ε . Para empezar, veamos que Bε(y) ⊆ Bε(x),si algun z ∈ Bε(y) , luego por definicion, tendremos que d(z, y) < ε, pero de acuerdo a la definicion deespacio ultra metrico, tenemos que d(x, z) ≤max{d(x, y), d(y, z)}, si tenemos que el maximo es d(z, y)luego, tenemos que d(x, z) ≤ d(z, y) < ε. Y si luego tenemos que el maximo es d(x, y) luego tendremosque d(x, z) ≤ d(x, y) < ε por hipotesis.

Ahora demostremos que Bε(x) ⊆ Bε(y), si z ∈ Bε(x) luego tendremos que d(z, x) < ε. Pero comotenemos un espacio ultra metrico tenemos la desigualdad,d(z, y) ≤max{d(z, x), d(x, y)} si tenemosque el maximo es d(z, x) , luego tenemos que d(z, y) ≤ d(z, x) < ε, y si el maximo es d(x, y) luegod(z, y) ≤ d(x, y) < ε. Y ası concluimos la demostracion.

Teorema

Si tenemos que z ∈ (Bε(x) ∩Bε(y)) luego se tiene que Bε(x) = Bε(y).

Demostracion

Como tenemos que z ∈ Bε(x) luego Bε(x) = Bε(z) de acuerdo al anterior teorema, y por definicionde ∩, tenemos que z ∈ Bε(y), luego tendremos que Bε(y) = Bε(z) por tanto se tiene que Bε(y) = Bε(x).Y esto concluye el teorema.

2. Hablando de la metrica de Baire

Definicion

Sea X un conjunto no vacıo, en XN definimos la metrica primeriza o de Baire, como: Dadas dossucesiones, x = (x1, x2, ...) y y = (y1, y2, ...), en X.

d(x, y) :=1

ksi xn = yn para todo n < k y xk 6= yk

Si sucede que xn = yn para todo n entonces definiremos que d(x, y) = 0

1

Demostracion que la metrica de Baire es una metrica

Primero veremos que es mayor que 0, como cada xk pertenece al dominio de una funcion f : N→ Rluego 0 < k y por tanto 0 < 1

k . Comprobar que d(x, y) = d(y, x) es un asunto demasiado trivial. Ahoraprocedamos a ver la desigualdad triangular. Lo que realmente necesitamos ver es que

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Para todo x, y, z ∈ XN (1)

Si decimos, d(x, y) = 1k1d(x, z) = 1

k2d(z, y) = 1

k3luego tendremos que ver que

1

k1≤ 1

k2+

1

k3(2)

Ahora, analicemos por casos; si decimos que xn = yn para todo n < k1 y despues suponemos que setiene que yn = zn para cierto n < k2 pero tambien suponemos que k2 < k1 luego entonces sucedera quetambien se tendra que k3 < k1 pues como sabeos se tiene que xn = yn para todo n < k1, luego, entonces1k1< 1

k1+ 1

k1< 1

k2+ 1

k3, lo cual nos brinda nuestra desigualdad triangular. En el otro caso, tendremos

que puede pasar que k1 < k2, pero como sabemos,se cumple que que xn = zn para n < k2 y como setiene que yn = zn para n < k3 pero como yn = zn = xn para n < k1 luego tendremos que k3 = k1 ypor lo tanto se tiene que

1

k1≤ 1

k2+

1

k3(3)

los otros casos son analogos a los dos que acabo de demostrar.

Demostrando que la metrica de Baire es una ultra metrica

Tenemos que demostrar que

d(x, y) ≤ max{d(x, z), d(z, y)} Para todo x, y, z ∈ XN (4)

Igualmente digamos que d(x, y) = 1k1

d(x, z) = 1k2

d(z, y) = 1k3

, luego, supongamos que luego si el

maximo es 1k2

luego tendremos por el razonamiento anterior que k3 < k1 y por tanto 1k1< 1

k3el otro

caso es mas trivial.Por tanto, podemos aplicar los anteriores resultados de las ultrametricas a las metrica Baire.

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