LIC. FLOR QUIONEZ CUYUBAMBA

La derivada es un operador diferencial

=

=

Por ejemplo :

1.- 3 + 2 = 32 + 2

2.- = 2

El operador diferencial es lineal, es decir, si

y son dos funciones derivables entonces () + () = + ()

donde y son constantes.

Las derivadas de orden superior se pueden escribir como

2()

2= = 2, ,

=

donde es una funcin derivable hasta el orden .Por lo tanto la ecuacin diferencial

+ 1

1 ++ 0 = . .

Se puede expresar en la forma

+ 1

1 +1 + 0 = ().(ii)

De manera mas simple

( + 1

1 +1 + 0) = ().(iii)

Nuevamente si hacemos

L= + 1

1 +1 + 0

La ecuacin diferencial (iii) se escribe como

= ()

Cuya solucin general

= +

Primera forma:

paso 1: Obtenemos , solucin general de la ecuacin homognea ( = 0).

Paso 2: Factorizando el primer miembro de la ecuacin (iii) para determinar la forma de

la solucin particular

Luego se tiene

1 2 . =

haciendo 1 = 2 .

entonces

1 1 = ( ecuacin lineal de primer orden)

donde 1 =1

1 (operador inverso)

1 = 1 1 = 1()

Luego haciendo

2 = 3 . = 1() entonces

2 2 = 1()

donde 2 =1

2 1()

1 = 2 21() = 2()

y as sucesivamente hasta

= 1()

= 1()

Segunda forma para determinar

1 2 . =

Entonces

=1

1 2 .

utilizando fracciones parciales

= 11

1() + 2

1

2() ++

1

()

Aplicamos operador inverso a cada fraccin.

Ejemplos:

Resolver

a. + 4 + 3 = 93

b. 2 = + 2

Sea la ecuacin diferencial

( + 1

1 +1 + 0) = () , siendo constantes

Llamando L()= + 1

1 +1 + 0

Entonces L = f(x)

Para hallar una solucin particular

=1

()

Consideramos los siguientes casos:

PRIMER CASO:

Si =

i) si 0 =1

ii) si = 0

Como L = 2 ( )

Haciendo 1()= 2 ( )

Si 1() 0 =1

1()()

Ejemplos:

1) Resolver

2 5 + 6 = 52

2) Obtener la solucin general de la siguiente ecuacin diferencial lineal

SEGUNDO CASO:

Ejemplo: Hallar la solucin general de

TERCER CASO:

Ejemplos:

1) Resolver

+ = 2 +

2) Hallar la solucin general de

=