metodos estad´ısticos i´ -...

Universidad de Los AndesFacultad de Ciencias Economicas y Sociales

Instituto de Estadıstica

Metodos Estadısticos IAnalisis de Residuos

Prof. Douglas Rivas

7 de julio de 2010

Prof. Douglas Rivas Metodos Estadısticos I

Introducci onResiduos

Graficos de los Residuos

Introduccion

Supuestos en el analisis de regresion lineal simple

La relacion entre x e y es lineal.

E(εi) = 0,

Var(εi) = σ2,

Cov(εi , εj) = 0 ∀i 6=j

εi se distribuyen normal.

En resumen

εi ∼ NIID(0, σ2)

Introduccion

E(εi) = 0,

Var(εi) = σ2,

Cov(εi , εj) = 0 ∀i 6=j

En resumen

Introduccion

E(εi) = 0,

Var(εi) = σ2,

Cov(εi , εj) = 0 ∀i 6=j

En resumen

Introduccion

E(εi) = 0,

Var(εi) = σ2,

Cov(εi , εj) = 0 ∀i 6=j

En resumen

Introduccion

E(εi) = 0,

Var(εi) = σ2,

Cov(εi , εj) = 0 ∀i 6=j

En resumen

Introduccion

E(εi) = 0,

Var(εi) = σ2,

Cov(εi , εj) = 0 ∀i 6=j

En resumen

Introduccion

E(εi) = 0,

Var(εi) = σ2,

Cov(εi , εj) = 0 ∀i 6=j

En resumen

Introduccion

E(εi) = 0,

Var(εi) = σ2,

Cov(εi , εj) = 0 ∀i 6=j

En resumen

Introduccion

¿Que ocurre si se violan los supuestos?

La violacion de algunos supuestos es grave.

El no cumplimiento de la normalidad invalida todos losprocedimientos de inferencias.

Si los errores no estan descorrelacionados el calculo de ydepende de los errores anteriores.

Si la varianza no es constante, entonces la variabilidad dey depende de la variabilidad de ε.

Introduccion

¿Como evaluar el cumplimiento de los supuestos?

Para evaluar los supuestos se realiza un analisis de losresiduos, el cual comprende un conjunto de tecnicas tantograficas como pruebas estadısticas que permiten evaluar elcumplimiento de los supuestos.

Introduccion

¿Como evaluar el cumplimiento de los supuestos?

Para evaluar los supuestos se realiza un analisis de losresiduos, el cual comprende un conjunto de tecnicas tantograficas como pruebas estadısticas que permiten evaluar elcumplimiento de los supuestos.

Residuos

Definicion (Residuos)

Considere el modelo Yi = β0 + β1xi + εi , los residuales sedefinen como las n diferencias

ei = Yi − Yi i = 1, 2, ..., n (1)

Yi es una observacion

Yi es el correspondiente valor ajustado obtenido al usar laecuacion de regresion ajustada.

Residuos

ei = Yi − Yi i = 1, 2, ..., n (1)

Residuos

ei = Yi − Yi i = 1, 2, ..., n (1)

Residuos

¿Por que los residuos?

Un residuo es la desviacion entre los datos y el ajuste.

Es una medida de la variabilidad de la variable respuestaque no explica el modelo.

Los residuos se pueden ver como los valores observadoso realizados de los errores si el modelo es correcto.

Residuos

Propiedades de los Residuos

Tienen media igual a cero.

La varianza esta dada por

V (ei) = σ2[

+(xi − x)2

Lo cual implica que la varianza de los residuales no esconstante.

Residuos

V (ei) = σ2[

+(xi − x)2

Residuos

V (ei) = σ2[

+(xi − x)2

Tipos de Residuos

Residuos Estandarizados

Se obtienen al dividir los residuos entre su respectivadesviacion estandar,

d∗i =

V (ei)=

1n + (xi−x)2

Como σ2 es deconocido se usa CME

di =ei

1n + (xi−x)2

Tipos de Residuos

Residuos Estandarizados

Se obtienen al dividir los residuos entre su respectivadesviacion estandar,

d∗i =

V (ei)=

1n + (xi−x)2

Como σ2 es deconocido se usa CME

di =ei

1n + (xi−x)2

Tipos de Residuos

Problema con los Residuos Estandarizados

En el calculo de di hay una relacion de dependencia entre elnumerador y el denominador.

Residuos Estudentizados

Se obtienen al calcular el CME una vez eliminada laobservacion correspondiente al residuo que se esta calculando

ri =ei

1n + (xi−x)2

Tipos de Residuos

ri =ei

1n + (xi−x)2

Tipos de Residuos

ri =ei

1n + (xi−x)2

Graficos de los ResiduosGraficos usados

Las tecnicas graficas son muy efectivas para detectar uncomportamiento anormal de los residuos

Si el modelo es correcto y los supuestos se satisfacen, losresiduales deberıan aparecer en cualquier grafico comouna variacion aleatoria alrededor del cero

Figura: Comportamiento correcto

Cualquier patron convincente de los residuales sugiere algunainadecuacion en el modelo o en los supuestos

Figura: Patrones Extanos

Cualquier patron convincente de los residuales sugiere algunainadecuacion en el modelo o en los supuestos

Figura: Patrones Extanos

Importancia de los Graficos

Anscombe (1973) presento cuatro conjuntos de datos que danlos siguientes resultados

Importancia de los Graficos

Anscombe (1973) presento cuatro conjuntos de datos que danlos siguientes resultados

0 5 10 15 20

Graficos mas usados son...

Histograma,

graficos de probabilidad normal,

graficos de los residuos versus los valores ajustados,

graficos de los residuos versus la variable independiente,

grafico de (ei) versus (ei−1).

Histograma,

Histograma

e1 ei en. . .

Se usan para:

Observar el cumplimientode normalidad y

Observar la simetrıa de losdatos

Histograma

e1 ei en. . .

Se usan para:

Histograma

e1 ei en. . .

Se usan para:

Graficos de Probabilidad Normal

Permiten visualizar el supuesto de normalidad y

determinar la simetrıa de los datos

Si la distribucion de los residuales coincide con la normal,los puntos se concentraran en torno a una lınea recta.

Grafico Q-Q

Graficos de (ei) versus (Yi)

Grafico de (ei) versus (Yi)

Figura: Correcto

Se usan para:

Varianzas desiguales

Datos atıpicos

Modelo inadecuado

Figura: Correcto

Se usan para:

Datos atıpicos

Modelo inadecuado

Figura: Correcto

Se usan para:

Datos atıpicos

Modelo inadecuado

Figura: Correcto

Se usan para:

Datos atıpicos

Modelo inadecuado

Graficos de los Residuos versus los valores ajustados

Detectar Varianzas desiguales

Detectar datos atıpicose

Detectar forma funcional inadecuadae

Grafico de ei versus Xi .

Tiene similar interpretacion al grafico de los residuales versusel valor ajustado, con la diferencia de que este permite deducirsi la existencia de heterocedasticidad o la falta de linealidad enel modelo son debidas a la variable explicativa representada.

Grafico de ei+1 versus ei .

Grafico de ei+1 versus ei .e

Figura: Correcto

Permite visualizar lacorrelacion entre loserrores.

Grafico de ei+1 versus ei .

Grafico de ei+1 versus ei .e

Figura: Correcto

Permite visualizar lacorrelacion entre loserrores.

metodos estad´ısticos i´ -...

Documents