MÉTODO MATRICIAL DE ENSAMBLAJE Y RESOLUCIÓN

JUAN CARANGUIANABEL GONZALEZKARINA GONZALEZ

MONICA IDROVO

INTRODUCCIÓN

Aquí describiremos cómo las matrices de rigidez de las barras individuales se ensamblan para formar la matriz de rigidez global K de una estructura, de forma que se pueda plantear el sistema de ecuaciones correspondiente a la estructura completa:

y posteriormente despejar el valor de las variables desconocidas, ya sean desplazamientos y giros de nudos libres o reacciones en los apoyos.

Se expondrá la justificación teórica de dicho método de ensamblaje, describiéndose a continuación el procedimiento para realizar el ensamblaje en sí de forma sistemática.

SISTEMAS DE COORDENADAS

Antes de comenzar a plantear y resolver problemas de calculo de estructuras por este método es muy importante tener claro que vamos a tratar con tres sistemas de coordenadas distintos, como se ve en la Figura.

Un sistema de referencia global: Salvo excepciones, es en este sistema de coordenadas en el que se referirán las reacciones, solicitaciones y desplazamientos de la estructura en los nudos.

SISTEMAS DE COORDENADAS

Sistemas locales: Existe un sistema de coordenadas locales asociado a cada barra de la estructura, de forma que su eje x positivo va desde el nodo inicial al final y por lo tanto su orientación depende de la conectividad que se decida para cada barra. Ya se ha usado este sistema en la sección 2 cuando se han estudiado las matrices de rigidez de distintas barras en dicho sistemas local. Este sistema de coordenadas también se emplea al calcular los esfuerzos que sufren las barras.

Sistemas nodales: Existen otros sistemas de coordenadas asociados a cada nodo de la estructura que pueden ser necesarios para usos específicos, como definir las condiciones de contorno, y en especial, las restricciones de movimiento impuestas por los apoyos. en la practica estos sistemas normalmente coincidirán con el sistema global, salvo en nudos que coincidan con apoyos deslizantes sobre planos inclinados.

COMPATIBILIDAD Y EQUILIBRIO

Al definir las matrices elementales de cada barra ya se contemplaron las ecuaciones de comportamiento del material, pero al igual que cuando se resuelve un problema de análisis de estructuras por otros medios, en el método matricial también se deben contemplar las condiciones de compatibilidad y equilibrio.

COMPATIBILIDAD Y EQUILIBRIO

A diferencia de otros métodos de resolución de estructuras, en calculo matricial no es relevante conocer previamente el grado de hiperestaticidad de la estructura (ni la interna, ni la externa), ya que el método de calculo no varıa.

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD

La condición de compatibilidad en los desplazamientos de cada nudo simplemente obliga a que dichos desplazamientos, considerados en coordenadas globales, deben ser únicos para cada nudo.

Esto se traduce en que para cada nudo i donde converjan las barras a, b, c, etc... tenemos:

Donde puede tener 2 o 3 componentes según se trate de un nudo articulado o rígido, respectivamente.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Para cada nudo de la estructura se debe cumplir que el efecto conjunto de las solicitaciones producidas por todas las barras que converjan en dicho nudo debe coincidir con la fuerza externa que se aplique desde el exterior.

Recordando que el vector de solicitaciones sobre un nudo i producido por una barra a se denotó como , definimos ahora el vector de fuerzas externas , por la siguiente expresión:

representa la ecuación de equilibrio del nudo i. El vector será de tamaño 2, 3 o incluso superior, dependiendo del tipo de uniones

encontradas en las barras que llegan al nudo.

La ecuación global de la estructura tiene la siguiente forma matricial: F = KU

Donde F y U son los vectores de solicitaciones y desplazamientos de la estructura global, respectivamente. A la matriz K se le llama matriz de rigidez global de la estructura. Si numeramos cada uno de los N nudos de la estructura como i = 1, 2, ...,

N , se puede mostrar que dicha matriz K se forma a partir de las submatrices descritas en las secciones anteriores como sigue:

ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ COMPLETA

- Las iesima submatriz de la diagonal se compone sumando todas las matrices Kαii para todas las barras α que inciden en el nudo i. - Por cada barra β entre dos nudos i y j, existe un par de entradas simetricas con las Kβij y Kβji en las entradas (i, j) y (j, i), respectivamente. Siempre se cumplir a que Kβji = Kβij⊤. - El resto de entradas son ceros.

ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ COMPLETA