INGENIERIA CIVIL

CALCULO VECTORIAL

NOMBRE:Juan Eduardo Espinoza Tinoco

TEMA: Integracin numrica, mtodo de Simpson

MTODO NUMRICO: REGLA DE SIMPSON

Una forma de obtener una aproximacin adecuada de una integral es usar polinomios de grado superior para unir los puntos y aproximar la funcin real.

El mtodo de Simpson, a diferencia de la Regla trapezoidal, intenta no incurrir en un mayor nmero de subdivisiones; se trata de ajustar una curva de orden superior en lugar de una lnea recta como en la Regla Trapezoidal.

Sea una funcin f(x), si entre f(a) y f( b) existe un tercer punto, entonces ser posible ajustar por ellos una parbola, en la misma forma, si existe dos puntos entre f (a) y f( b), entonces por esos cuatro puntos se podr ajustar una curva de grado tres, y as sucesivamente.

En la figura 1, se muestra la funcin que es una parbola que aproxima a la funcin real. En este caso se calcula el rea o la integral bajo la parbola que une los tres puntos. Note que hay tres puntos y dos segmentos, por lo que se ver ms adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 1/3. Por lo tanto las frmulas que resultan de tomar integrales bajo estos polinomios se conocen como regla de Simpson.

Figura 1 Descripcin de la grfica de la regla de Simpson 1/3En la figura 2, se muestra la funcin que describe una ecuacin cbica que aproxima a la funcin real. En este caso se calcula el rea o la integral bajo la cbica que une los cuatro puntos. Note que hay cuatro puntos y tres segmentos, por lo que se ver ms adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 3/8.

Figura 2 Descripcin de la grfica de la regla de Simpson 3/8Regla de Simpson 1/3

Esta regla resulta cuando se utiliza una interpolacin polinomial de segundo orden:

La funcin , es la interpolacin polinomial de segundo orden. Esto se logra con el polinomio de Lagrange de segundo grado. Sea c= (a+b)/2.

La funcin f2 es un polinomio de Lagrange de Segundo grado. Sea c= (a+b)/2.

Sustituyendo en la ecuacin de la integral, se obtiene:

A continuacin haremos todo el anlisis matemtico para obtener el valor de la ecuacin que es conocida como la regla de Simpson.Tome en cuenta que h = (b-a)/2 y c =(a+b)/2 para la demostracin.Para b hacemos la siguiente sustitucin:

La expresin la sustituimos de la siguiente forma.

Y obtenemos lo siguiente:

Usando la expresin: u = x-a, para el cambio de variable:

En donde se obtiene:

En forma similar se obtiene que

Tenemos pues que

La ecuacin anterior se conoce como la regla de Simpson 1/3. La especificacin 1/3 se origina del hecho que h est dividida en tres intervalos.Recordando que la expresin h = (b-a)/2, podemos expresar la ecuacin anterior de la siguiente manera.

(1.1)Adems se puede determinar que la ecuacin anterior tiene un error asociado de:

La expresin anterior se puede expresar tambin as:

(1.2)

El trmino lo podemos aproximar al promedio de la cuarta derivada.

(1.3)

El error asociado a la regla de Simpson nos indica que este mtodo es ms exacto que otros mtodos de integracin como la regla del trapecio. Vemos que el error es proporcional a la cuarta derivada, por lo tanto el coeficiente del tercer grado se hace cero en la interpolacin polinomial. Por lo tanto, para ecuaciones de tercer grado se obtienen ecuaciones exactas aunque se aproxime con una parbola. As, el mtodo de Simpson es muy relevante.

De las ecuaciones (1.1) y (1.2). La integral es igual a:

(1.4)

Regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltiple.La aplicacin mltiple utiliza la misma idea que la regla de Simpson con la diferencia que se divide el intervalo de integracin en muchos segmentos o subintervalos, como se observa en la figura 3. Es decir en lugar de 2 segmentos se hace para n segmentos donde n es de la forma 2k.Por lo tanto tomamos h = (b-a)/n.-Figura 3 Se toman n segmentos

Por lo tanto, aplicando la regla de Simpson a cada subintervalo se obtiene.

Utilizando la frmula (1.1) a cada integral se obtiene:

Sacando a factor comn (b-a) y agrupando trminos obtenemos.

(1.5)La ecuacin anterior es la regla de Simpson 1/3 generalizada a un nmero par de segmentos e impar de puntos.

El error en este caso es de:

(1.6)

Regla de Simpson 3/8

A continuacin se describe la regla de integracin de Simpson 3/8 para la integracin cerrada, es decir, para cuando los valores de la funcin en los extremos de los lmites de integracin son conocidos.

Adems de aplicar la regla trapezoidal con segmentacin ms fina, otra forma de obtener una estimacin ms exacta de una integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos (en lugar de utilizar lneas para conectarlos).

Las reglas de Simpson son las frmulas que resultan al tomar las integrales bajo los polinomios que conectan a los puntos.

La derivacin de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el rea bajo una parbola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parbola de tercer grado es:

Figura 4 Descripcin de la grfica de la regla de Simpson 3/8En la derivacin, las constantes se determinan requiriendo que la parbola pase a travs de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El intervalo de integracin es de - a , lo que produce:

que es la regla de los tres octavos de Simpson.La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:

Por lo tanto es algo ms exacta que la regla de 1/3. La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el mtodo de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versin de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos mltiples cuando el nmero de fajas es impar.