Algebra Lineal M.C. Ulises Castro Pealoza

Mtodo de Reduccin de Gauss Un sistema de n ecuaciones con m incgnitas se puede escribir de la siguiente forma:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

El sistema anterior est completamente determinado por su matriz de coeficientes A=(aij)m,n y el vector columna b con i-simo registro bi. La matriz aumentada

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn n

a a a b

a a a b

a a a b

(1)

resume el sistema anterior. El vector columna de las constantes ha aumentado la matriz de coeficientes. La matriz anterior se denota mediante (A|b). Un vector columna

1

2

n

x

xx

x

(2)

cuyas componentes satisfacen el sistema (1) es una solucin del mismo.

Las soluciones del sistema (1) son las mismas que las de cualquier sistema obtenido de (1) por los siguientes procedimientos:

a) Intercambio de dos ecuaciones. b) Multiplicacin de una ecuacin de (1) por una constante distinta de cero. c) Sustitucin de una ecuacin por la suma de si misma con un mltiplo de una

ecuacin diferente del sistema.

Aplicados al sistema (1), estos procedimientos corresponden a las operaciones elementales en las filas.

Para resolver el sistema (1) mediante el mtodo de Gauss, se utilizan las operaciones

elementales en las filas para reducir la matriz (2) a una matriz de la forma

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11 12 1 1

22 2 20

0 0 0

n

n

nn n

u u u c

u u c

u c

(3)

Donde la parte cuadrada U a la izquierda de la particin tiene registros cero debajo de la diagonal principal, que se extiende desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha. La matriz original del sistema (1) se transforma en una matriz triangular superior U con ceros por debajo de la diagonal principal. El sistema se convierte en Ux = c (4)

Si la matriz B se puede obtener de la matriz A mediante operaciones elementales en las filas, entonces B es equivalente en filas a A. Las matrices A y U descritas antes son

equivalentes en filas. En el caso de solucin nica, todos los registros u11, u22, , unn de la diagonal principal sern distintos de cero. Ejemplo. Si un sistema representado por 3 ecuaciones y tres incgnitas ha sido reducido a:

5 1 3 3

0 3 5 8

0 0 2 4

Hallar la solucin del sistema.

Solucin.

1 2 3

2 3

3

5 5 3 3

3 5 8

2 4

x x x

x x

x

De la ltima ecuacin, se obtiene x3 = -2. Sustituyendo en la segunda ecuacin, tenemos

2 2 23 5 2 8 3 18 6x x x Finalmente, se sustituyen estos valores de x2 y x3 en la ecuacin superior, y se obtiene

1 1 15 6 3 2 3 5 15 3x x x

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As la solucin nica es

3

6

2

x

O de manera equivalente, x1 = -3, x2 = 6, x3 = -2. Al procedimiento anterior, para hallar la solucin de un sistema a partir de una matriz triangular superior aumentada, se le conoce como sustitucin regresiva. Ejemplo. Resolver el sistema lineal

2 3

1 2 3

1 2 3

5 3 5

2 3 7

4 5 2 10

x x

x x x

x x x

mediante el mtodo Gauss con sustitucin regresiva.

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De la matriz partida, por sustitucin regresiva, se obtiene

3 3

2 2

1 1 1

3 9,

3 3 5, 4

2 3 4 1 3 7, 2 2, 1

x x

x x

x x x

Siendo la solucin nica

1 2 31, 4, 3x x x Reduccin de Gauss a la forma triangular superior; caso de solucin nica Paso 1: Si el registro superior de la columna 1 es cero, entonces efectuar una operacin de

intercambio de filas para obtener un elemento distinto de cero en la parte superior de la columna.

Paso 2: Efectuar una serie de sumas de filas, sumando mltiplos de la fila superior a las filas

inferiores de manera que las filas inferiores resultantes tengan cero como primer registro. Paso 3: Despus del paso 2 la matriz tiene la forma

11 12 1 1

0 x x x

0 x x x

0 x x x

nu u u c

Y la primera columna est en la forma deseada. Se ignora la fila superior y la primera

columna de la matriz. Se vuelve al paso 1 con esta matriz ms pequea y se repite el procedimiento para componer la siguiente columna. Se contina hasta obtener la forma triangular superior.

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