Métodos Numéricos 2012

INTRODUCCIÓN

A medida que avanzamos profesionalmente encontramos las matemáticas más complejas

Los problemas que se plantean en la vida cotidiana, sobre todo en ingeniería, que abarcan

como plano inicial el contenido matemático y aritmético para la solución de los problemas

planteados.

Como ingenieros no solo encontramos una solución a los problemas sino también una

eficiente, aplicable teórica y prácticamente que indiscutiblemente se verá afectada por

medios ajenos a la práctica, valores que tenemos en cuenta para concluir con éxito una

situación, optimizándola gracias a métodos numéricos obteniendo una solución exacta y

precisa del problema.

En el presente trabajo, se plantea de los conceptos básicos para tener en cuenta y

arrancar exitosamente el estudio de un método determinado, valiendonos por medios

computacionales y desarrollando pequeños software para grandes soluciones.

1. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?

Son los procedimientos lógicos que se realizan a partir de problemas planteados

matemáticamente y de manera aritmética, Herramientas poderosas que se usan en la

formulación de problemas complejos que requieren de un conocimiento básico en

ciencias matemáticas e ingeniería adaptando un sinnúmero de cálculos aritméticos que

ordenados de manera lógica resuelven problemas de alta complejidad manejando

sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas. Sin embargo,

gracias al apoyo computacional podemos emplear aplicaciones y desarrollar software que

contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del

conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que

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no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos

numéricos se puede diseñar programas propios. Al mismo tiempo se aprende a conocer y

controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a

gran escala.

3. CLASIFICACION DE LOS METODOS NUMERICOS

Solución de sistemas de Ecuaciones

Eliminación Gaussiana

Matriz Inversa

Gauss-Jordan

Regla de Crammer

Jacobi

Gauss-Seidel

Diferenciación e Integración Numérica.

Derivación Numérica

Integración Numérica, trapecio, Simpson-Romberg

Solución de ecuaciones diferenciales

Euler

Euler Mejorado,

Runge-Kutta

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A continuación se Estudiara detenidamente el Método de Diferenciación Numérica

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una

aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y

propiedades de la misma.

Por definición la derivada de una función es:

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:

Diferencias hacia adelante:

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Diferencias hacia atrás:

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un

determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas

entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:

Diferencias centrales:

DIFERENCIAS FINITAS

Para entender de una manera sencilla la discretización por diferencias finitas de una

derivada debe tenerse en cuenta la interpretación geométrica de la derivada en un punto,

que es la pendiente de la curva en el punto de interés

Formulas de Diferenciación con Alta Exactitud

1. Formulas de diferencias divididas finitas hacia delante:

Primera Derivada

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f ´ (x i)=f (x i+1 )−f (x i)

h

Segunda Derivada

f ´ ´ (x i)=f (x i+2 )−2 f( x¿¿ i)+ f (x i)

h2¿

Tercera Derivada

f ´ ´ ´ (x i)=f (x i+3 )−3 f (x i+ 2)+3 f (x i+1 )−f (x i )

h3

2. Fórmulas de Diferencias Divididas Finitas hacia atrás

Primera Derivada

f ´ (x i)=f (x i)−f (x i+1 )

h

Segunda Derivada

f ´ ´ (x i)=f (x i )−2 f (x i−1)−f (x i−2 )

h2

Tercera Derivada

f ´ ´ ´ (x i)=f (x i )−3 f (x i−1)+3 f (x i−2)−f (x i−3 )

h3

3. Fórmulas de Diferencias divididas Finitas centradas

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Primera Derivada

f ´ (x i)=f (x i+1 )−f (x i)

2h

Segunda Derivada

f ´ ´ (x i)=f (x i+2 )−2 f( x¿¿ i)+ f (x i−1)

h2¿

Tercera Derivada

f ´ ´ ´ (x i)=f (x i+2 )−2 f (x i+1 )+2 f (x i−1 )−f (x i−2)

2h3

Ejemplo: Formulas de Diferenciación con alta exactitud

Planteamiento del Problema.- f ( x )=−0.1x4−0.15 x3−0.5 x2−0.25 x+1.2

X=0.5 usando diferencias divididas finitas y un tamaño de paso de h=0.25

Hacia adelante Hacia atrás Centrada

Estimación

ƐT (%)

-1.155 -0.714 -0.934

-26.5 21.7 -2.4

Donde los errores fueron calculados basándose en el valor verdadero: -0.9125.

Repita este calculo, pero ahora emplee las formulas con alta exactitud a partir de

las Fórmulas de diferencias de las 1 a 3

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Solución: Los datos necesarios para este ejemplo son

x i−2=0 f (x i−2 )=1.2

x i−1=0 .25 f (x i−1 )=1.103516

x i=0 .5 f (x i )=0.925

x i+1=0.75 f ( xi )=0.6363281

x i+2=1 f (x i+2 )=0.2

La diferencia hacia adelante de exactitud 0 (h2) se calcula como sigue (Formula 1)

f ´ (0.5 )=−0.2+4 (0.6363281 )−3 (0.925 )2 (0.25 )

=−0.859375Ɛt=5.82%

La diferencia hacia atrás de exactitud 0(h2) se calcula como sigue (Formula 2)

f ´ (0.5 )=3 (0.925 )−4 (1.035256 )+1.22 (0.25 )

=−0.878125 Ɛt=3.77%

La diferencia centrada de exactitud 0 (h4) se calcula como sigue (Formula 3)

f ´ (0.5 )=−0.2+8(0.6363281)−8 (1.035156 )+1.2

12 (0.25 )=−0.9125Ɛ t=0%

Como se esperaba. Los errores para las diferencias hacia adelante y hacia atrás son

considerablemente menores y los resultados más exactos .Sin embargo de manera

sorprendente, la diferencia centrada da un resultado perfecto. Esto es porque las formulas

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se basan e la serie de Taylor, y son equivalentes a polinomios que pasan a través de os

puntos.

4. Codificación en MATLAB

cla

clear

clc

valx=input('ingrese val x ')

f=input('ingrese f: ','s')

fn=inline(f)

n=input('iteraciones ')

h=0.1

for k=1:n

valx0=valx+h

dx=feval(fn,valx0)

dxx=feval(fn,valx)

d=(dx-dxx)/(h)

pf=diff(f)

pf=inline(pf)

d1=feval(pf,valx)

h=h/10

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e(k)=abs((d1-d)/d1)

end

plot(e)

5. CONCLUSIONES

Gracias a los métodos numéricos podemos ser precisos y exactos en nuestros

cálculos.

En ingeniería, ciencia, industria y estadística, exactitud se define a partir del valor

real y precisión a partir de un conjunto numerario aproximado entre sí.

A partir de este conocimiento podemos desarrollar e implementar software

personalizados y además de ello, modificar el cálculo de error con el que

trabajemos.

El ingeniero implementa los métodos numéricos para perfección y optimización de

sus proyectos.

Los métodos numéricos se convierten en parte esenciales para nuestros cálculos ya que

de ellos depende el éxito de nuestro resultado y análisis aplicado a la formulación de

problemas.