método de bowditch
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7/25/2019 Mtodo de Bowditch
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Los mtodos clsicos de ajuste y compensacin para
estas aplicaciones son el de BOWDITCH y el de
BAARDA.
La denominacin de itinerario responde a aplicaciones
de menor entidad (deslindes, taquimetra) en cuyo
caso los aparatos de observacin y los mtodos declculo se acomodan a las tolerancias exigidas.
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En cada punto de estacin se realizan mediciones de
frente y espalda, tanto para la determinacin de las
distancias como para las direcciones, aparte de la
obligada aplicacin de la regla de Bessel, con el fin de
aumentar la precisin en las mediciones y evitar losposibles errores groseros.
En el caso de la figura siguiente el itinerario se
encuadra en cuatro vrtices de la red (0, 1,.....,n, n+1),lo cual permite conocer lo acimut en los puntos 1 y n,
as como los valores de su coordenadas.
Descripcin del mtodo:
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ECUACIONES DE CONDICIN
1La suma del acimut inicial q1ms los ngulos
observados en los vrtices 1,2,...,n deben coincidircon el acimut final.
Innnni
180......
1
21
0
1 qq
Dado que los ngulos iestn afectados de errores
de observacin ei, para que se cumpla la condicin 1:
n
i i
n
n
n
i
i
n
i i
n
nni
nce
neeee
1
0
1
1
1
1
0
1
1
21
180
180......
qq
qq
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2 Las coordenadas conocidas del vrtice n (Xn, Yn)deben ser iguales que las calculadas a partir de los
vrtices del itinerario. Sus discrepancias sern elerror de cierre.
El clculo de la coordenada parcial X en losvrtices del itinerario ser:
Discrepancias en X:
, 1
3 ,3 23
..
,
1
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, 1
3 ,3 23
..
, 1
,+ = +
De donde:
Para que se cumpla la condicin II habr que corregir
las distancias y azimuts de los errores de observacin.
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(,+,+) = ( ++)
Donde:
di,i+1= Error en distancia del lado i,i+1. .Dado que el valor es de poca magnitud:
cos 1sen = 0
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(,+,+) (++
cos +)
=
Despreciando el trmino de segundo orden:
(,++ ,+ cos + ,+ +
=
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3 La tercera ecuacin de condicin se forma demanera anloga para la coordenada Y.
(,+,+) = ( ++)
(,+,+) (+ sen +)
=
(,+,+) (+ sen +)
=
(,++ ,+ sen + ,+ +
=
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Mtodo de BOWDITCH
Es el ms comn para la compensacin de
poligonales. Este procedimiento distribuye
inicialmente el error angular de cierre por partes
iguales entre todos los ngulos del itinerario.
Una vez corregidos los ngulos se calculan los
azimuts compensados y se aplican los siguientes
criterios de ajuste:
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11/28Sea CRel vector error total de la poligonal.
Figura 1
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RR
nnnnR
nn
nny
nnx
CdevectordelAcimut
yyxxC
calculadasscoordenada sonyx
Donde
yyC
xxC
,
:
2'2'
''
'
'
q
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a).- El lado de la poligonal de acimut
R
i
i qq
1
se corrige solamente en escala.
b).- El lado de la poligonal perpendicular a la direccin
del vector CRse corrige solo en orientacin
c).- A un lado de la poligonal de distancia D i,i+1y
acimut
i+1con vector error OA le corresponden las
siguientes correcciones: di,i+1en escala y Dqii+1en
orientacin.
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Expresando estas correcciones segn la figura 2 :
Figura 2
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1
1
1
1
1
1
1
1
11,
1
1
1
11,
cos
cos
cos90cos
DDD
DD
DD
i
ii
i
ii
i
i
i
ii
i
iiii
i
ii
i
iiii
senYX
YsenXd
YXd
qqq
qq
qq
Por otro lado, si hacemos la correccin di,i+1
proporcional a:
1
1, cos
i
iRiiD qq
y la correccin Dqii+1proporcional a:
1
1, sen
i
iRii
D qq
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Tendremos que:
11,
1
1
1,1,
sen
cos
D
i
iRii
i
i
i
iRiiii
DK
DKd
qqq
qq
De la figura 1:
R
y
R
R
x
RC
C
C
C qq cos,sen
Desarrollando las expresiones anteriores:
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1
1,
1
1,
1
1
1,
1
1,1,
11
1,
1
111,1,
sencos
sencos
sencos
sencos
D
D
i
iyii
R
i
ixii
R
i
i
i
ixii
R
i
iyii
R
ii
i
i
R
yi
i
R
xii
i
i
ii
R
xii
R
y
iiii
CDC
KCD
C
K
CDC
KCD
C
Kd
C
C
C
CDK
C
C
C
CDKd
qqq
qq
qqq
qq
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De donde segn las expresiones obtenidas de lafigura 2, tendramos:
yii
R
i
xii
R
i
CDC
KY
CDC
KX
D
D
1,1
1,1
La suma de los errores parciales dar los
componentes totales del vector error resultante delcierre del itinerario:
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y
R
n
i
ii
y
n
i
i
x
R
n
i
ii
x
n
i
i
CC
D
KCY
C
C
D
KCX
D
D
1
1
1,
1
1
1
1,
1
Por tanto, tendremos que:
1
1
1,
n
i
ii
R
D
C
K
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Sustituyendo el valor de K en la ecuacin anterior:
yn
i
ii
ii
i
xn
i
ii
ii
i
C
D
DY
C
D
DX
D
D
1
1
1,
1,
1
1
1
1,
1,
1
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Lo cual implica, que las correcciones a aplicar a los
errores de cierre son directamente proporcionales a
las distancias de los lados e inversamente
proporcional a la longitud del itinerario.
La sistemtica de la compensacin se realiza de la
siguiente forma:
Se transforma en acimuts todos las direcciones
observadas, y se compensa el error de cierre angular
c en todos los ngulos del itinerario, n, en lacantidad:
n
c
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Con estos acimuts compensados y las distancias
medias de los lados se calculan las coordenadas
parciales de los vrtices, que sumados a las
coordenadas iniciales darn como resultado lascoordenadas finales.
Calculados sus discrepancias respecto a las
coordenadas finales conocidas nos dar los erroresCx, Cy.
Aplicando las frmulas anteriores, obtendremos lascorrecciones a aplicar, y de ellas las coordenadascompensadas.
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Una variante del procedimiento de compensacin es
la siguiente:
Expresemos las coordenadas parciales en un vrtice
del itinerario:
ii XX
1
y su correccin est dado, obviamente por:
xn
i
ii
iiC
D
D
1
1
1,
1,
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Las coordenadas parciales compensadas sern:
1
1
1,
1
1,
1
1
1,
1,1
1,1
sen
sen
n
i
ii
xi
iii
xn
i
ii
iii
iiiii
D
CD
C
D
DDXX
q
q
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Llamando
1
1
1,
1
1
1,
n
i
ii
y
n
i
ii
x
D
Cqy
D
Cp
Luego, tendremos como expresin de las
coordenadas parciales compensadas:
11,
1
1,
cos
sen
i
iii
i
iii
qDy
pD
q
q
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p y q son cantidades constantes que se tienen que
aadir a las funciones trigonomtricas que originan
cambios de escala y orientacin.
Si Cxy Cyse expresan en milmetros (10-3m) y la
distancia total de la poligonal (SD en kilmetros (103
m), los factores p y q estarn referidos en unidades10-6.
6
3
3
10
10
10
D
C
metrosDkmD
metrosCmmCxxx
Esto significa que las funciones trigonomtricas
pueden sumarse algebraicamente con los factores p y
q expresados.
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Se basa en el valor Mi=Xi+ Yi, suma de las
coordenadas parciales compensadas del vrtice i, al
poderse obtener de dos formas independientes,ambos resultados deben ser coincidentes:
45sen2
22
:
45sen2
2
45sen2
cossen
:
cossen2
245sen
cossen
1
1
1
11
111
11
iii
i
ii
i
iii
i
i
i
iiii
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
iii
NDM
qpNyDD
llamamosSi
qp
D
DqpD
DqpDM
Luego
qDpDM
q
q
q
qq
qqq
qq
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