MÉTODO DE ÁREA MOMENTO

De la ecuación general de flexión tenemos:

EI

M

dx

d

Integrando: dx

EI

Md

B

A

AB dxEI

M)(

tengamos presente que 1

EI

M

curvatura de un elemento viga.

Teorema 1:

El área bajo el diagrama de curvatura EIM

entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

Se puede usar para vigas con EI variable.BA : ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.

Se mide en radianes.Áreas positivas indican que la pendiente crece.

W

M/EI

Diagrama de momentos sobre EI= curvatura

A B

B A

B

B

A

AB dxEI

M

Teorema 2:

Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:

CAACAC Xd /// * , si sumamos todos los desplazamientos

verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.

B

AA

BBA dxEI

MX/

momento de primer orden con respecto a A del

área bajo la curva de EIM

entre A Y B.

El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto

B, es igual al momento del área bajo la curva EIM

entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones.Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.

Ejemplo:

(-)

(+)

A A/CC D

XC/A

A/D

XD/A

B

Determinar las flechas en los puntos B y C y la pendiente elástica en el punto B.E, I constantes.

Pasos a realizar:1. Encontrar el diagrama de momentos. 2. Dividir M por EI y trazar la curva elástica tentativa. 3. Para encontrar fijar un punto inicial al cual se le conozca la

pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido. Cambio en = área bajo M/EI

4. Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su flecha, preferiblemente un apoyo. El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del área bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexión. ( X *Área bajo la curva de M/EI midiendo X desde el punto al que se le va a hallar la deflexión).

5. Signos, un cambio de pendiente positivo osea áreas positivas de M/EI indican qque la pendiente crece.

Ejercicio Para la siguiente viga determinar la deflexión y rotación en el punto C en función de EI. 03*20AA MM

mtfM A 60

02060 xMM XX

306020 xxM X

630 xM X

20t

3m 3m

M=60t-m

20t

3m 3m

ACB

20t

0.30

0.20

x

B

CA3m

-60

42

2

**2

*1803*60

mm

tEI

mt

EIárea

adimensional (radianes)0A condición de apoyo

?B

EIEI BAB

90

2

180

C - B = 0 por no existir momento en ese tramo. BC

Rpta.

Flecha = momento de primer orden con respecto a B

EI

m

EIAB

180)3(*

3

2*

90/

si 0 A positivo

EIB

180

EI

m

EIAC

4503

3

3*2*

90/

Rpta.

Ejercicio

0A

Determinar D y max

B

B

B

C

CX

A=0Curva elástica tentativa

5 10

15

4m 2m

3mDA C

B/A =B - A

C/A =C - A

C=450m / EI

B = -90/EI

C = -90/EI

dxEI

MD

A

AD /

EIEIEIAD

5.22

2

45

2

3*15

EIAD

5.22

3

3*

2

3*15/

3

2*2*

2

2*202

3

4*

2

4*20/

AC

EIAC

160

3

480

3

80

3

2*200/

DESVIACIÓN POSITIVA

EIEI

LAC

A

67.26

6

160

/

NEGATIVA

EIEID

01.803*

67.26

EIEIEIYD

51.575.2201.80

Remplazando en 1:

EID

17.4

EIEIAC

40

2*

4*20/

EIAB

40

EIB

67.66

EI

X

EI

XAm

22

*2

5

*4*2

20*

EI

X

EI

2

*2

567.26

27.3X

Busquemos el punto de tangencia cero, 0 , punto de max

EIEIAm

14.29

3

27.3*

4

20*

2

27.3/

21.8727.3*67.26

* EI

xm A

EIYm

1.58

M/EI 20/EI

θD/A ∆D/A∆C/A

YD