metode de gauss sistemes lineals
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
![Page 1: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/1.jpg)
Sistemes d’equacions lineals
1023
6
21
21
xx
xx
En les equacions algebraiques lineals, les incògnites
• mai estan elevades a una potència diferent de 1 (x2 + y=2)
• no apareixen productes entre dues o més incògnites (x·y=3)
• mai hi ha divisions entre incògnites (x/y=3)
• no estan en funcions transcendents com ln(x) , ex, cos(x) ...
Un sistema d’equacions és lineal si totes les equacions que el formen són lineals
![Page 2: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/2.jpg)
Solució d’un sistema
2106
543
yx
yx
Les gràfiques es creuen en un punt, que és la solució al sistema d’equacions
Aquest sistema no té una única solució, ja que la segona equació és idèntica a la primera multiplicada per 2 (i tenen doncs la mateixa gràfica).La solució és la mateixa recta: y = (3x-5)/4
1086
543
yx
yx
![Page 3: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/3.jpg)
Sistemes en 3 variables
Quan tenim 3 equacions amb 3 incògnites com l’exemple de baix:
3x - y + 2z = 1
X - y + z = 0
3y - 2z = 5
Estem tallant 3 plans a l’espai R3 i pot passar també que la solució no sigui única, o be senzillament que no en tengui ( plans paral·lels )
![Page 4: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/4.jpg)
Notació matricial
Un sistema d’equacions lineals algebraiques es pot expressar en forma matricial:
743
592
yx
yx
7
5
43
92
y
xA· x= b
A x b
![Page 5: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/5.jpg)
Abans de resoldre el sistema
Calculem: rank(A)
• A: matriu associada
ija
• [A, b]: matriu ampliada
iij baCalculem: rank([A,b])
![Page 6: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/6.jpg)
Cal tenir present ...
rank ([A,b]) > rank (A) sistema incompatible
rank (A) = n (n: nombre d’incògnites)
rank ([A,b]) = n sistema compatible- determinat: solució única.
Si b = 0, la solució és la trivial: x = 0
rank ([A,b]) > n (on per tant m>n) sistema incompatible
rank (A) < nrank ([A,b]) = rank (A) sistema compatible-indeterminat.
El rang de la solució és igual a n-rank(A)
![Page 7: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/7.jpg)
Algunes propietats de les matrius.
•Diagonal: Tots els elements fora de la diagonal són zero.
•Identitat (I), La diagonal conté uns i la resta d’elements és zero, . A·I = I·A per qualsevol matriu A.
• Trasposta At , es la que resulta de l’intercanvi de files per columnes.
•Quadrada, té m files i m columnes. En aquestes, es defineix la traça com tr ( A ) = suma elements de la diagonal i llavors es compleix tr (A)= tr (At)
•Triangular inferior, té tots els elements per davall de la diagonal zeros.
![Page 8: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/8.jpg)
Sistemes equivalents
Com a resultat de les propietats vistes a l’Algebra lineal podem fer una sèrie d’operacions “permeses” al sistema que volem resoldre i el que en resulta te les mateixes solucions:
-Intercanviar files
-Dividir o multiplicar tots els elements d’una fila pel mateix nombre
-Sumar o restar a una fila una combinació lineal de les altres.
![Page 9: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/9.jpg)
Mètode de Gauss
És un dels sistemes clàssics per resoldre sistemes compatibles determinats i aprofita tot el que hem dit anteriorment.
Objectiu:
Arribar a un sistema equivalent amb la matriu associada resultant
Triangular Inferior.
![Page 10: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/10.jpg)
Exemple
4 2 1 1 15
3 1 4 2 8
1 1 3 3 13
4 2 1 15
/ 3 1 4 8
1 1 3 13
x
x
x
A b
21
31
43
41
RR
RR
4 2 1 15
0 10 19 77
0 0 72 216
1 2
2 2
3 3
x
x
x
2 32 10R R
![Page 11: Metode de gauss sistemes lineals](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082322/54ba2bac4a795995718b4644/html5/thumbnails/11.jpg)
Mètode de Gauss-Jordan
-Empra la mateixa idea que hem exposat.
-Es procura obtenir zeros al mateix temps per damunt i per davall de la diagonal.
-En general, els elements resultats a la diagonal es converteixen en uns i fan de pivot.
- Així la matriu associada pot ser I = identitat i llavors la solució és el vector columna d’independents.