mef_1

MEF R Rios R UACH 2010

1

HISTORIA


2

INICIO

Hrenikoff 1941

Courant´s 1943

Turner 1956

Clough 1960

Elasticidad: Método de energía

Interpolación lineal en torsión Matrices de rigidez:

armaduras, vigas Término: Elemento Finito


3

Década 60

Argyris 1955

Zienkiewicz y Chung 1967

Ingenieros: análisis de esfuerzos, fluidos, transferencia de calor

Teorema de energía y métodos matriciales

1° libro sobre MEF


4


5


6


7

tensióndesplazamientodeformaciónenergía


8

SÓLIDOS DEFORMABLES

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

DESPLAZAMIENTOS – DEFORMACIONES

RELACIONES CONSTITUTIVAS


9

ESFUERZOS Y EQUILIBRIO


10

u

v

wT

PU=0

restricción fy

fx

fz

Vector de desplazamiento


11

Twvuu

FUERZA DISTRIBUIDA / VOLUMEN


12

T

zyxfff ,,

f

FUERZA DISTRIBUIDA / AREA

Presión, contacto


13

T

zyx TTT ,,

T

FUERZAS PUNTUALES


14

T

izyxi PPP ,,

P

ESFUERZOS


15

T

xyxzyzzyx τττσσσ ,,,,,σ

ECUACIONES EQUILIBRIO


16

0z

τ

y

τ

xf x

xzxyx

0z

τ

yx

τf y

yzyxy

0zy

τ

xτ f

z

zyzxz

CONDICIONES DE CONTORNO

Desplazamiento

Carga

0u au


17

Esfuerzos: en plano inclinado


18

EQUILIBRIO


19

Tnτnτnσ xzxyyxyxx

Tnτnσnτ yzyzyyxxy

Tnσnτnτ zzzyyzxxz

DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO


20

restricción

Desplazamiento-deformación


21

Txyxzyzzyx γγγ ,,,,,

T

x

υ

y

u,

x

w

z

u,

y

w

z

υ,

z

w,

y

υ,

x

u

ESFUERZO - DEFORMACION


22

Eν

Eν

Eσσσ zyx

x

Eν

EEν σσσ zyx

y

EEν

Eν σσσ zyx

z


23

Gτ

γyz

yz

Gτ

γxz

xz

Gτ

γxy

xy

Ley de Hooke generalizada


24

Dσ

ν0.500000

0ν0.50000

00ν0.5000

000ν1νν

000νν1ν

000ννν1

)2ν)(1(1

ED

CASOS PARTICULARES

E

Problemas en 1D


25

¿Qué hay que saber?

Tensiones planaso

Deformaciones planas

Como saber


26

Estado de tensiones planas


27


28

Eν

Eσσ yx

x EE

ν σσ yxy

τγ xyxy

E

ν)2(1

)(Eν

σσ yxz

Ley de Hooke: matricial (tensiones planas)


29

γ

xy

y

x

2

ν100

01ν

0ν1

21

E

τσ

xy

y

x

Estado de deformaciones planas


30



31

xy

y

x

xy

y

2

ν100

0-1ν

0ν-1

τ

σ(1

E

)21)(

x

PROBLEMAS 1D

Energía PotencialEsfuerzo – DeformaciónDeformación - Desplazamiento

)(xuu )(x


32

)(x

E )(xTT )(xff

Barra sometida a cargas axiales


33

T

f

x

P1

P2

T

zyxfff ,,

f

T

zyx TTT ,,

T

T

izyxi PPP ,,

P

DISCRETIZACION


34

1

2

3

4

5

e = 1

2

3

4

x

Coordenadas y funciones de forma


35

1 3 4 52

Q1

Q2

Q3

Q5

Q4

x

21 e

q1

q2

1 2 21

x1

x2

x1 1


36

1)xx(xx

21

12

desplazamiento desconocido


37

aproximación lineal

1 2

q1

q2

funciones de forma


38

21

)(1

N

21

)(N2

1 2

Como se obtienen funciones de forma


39

1 2 21

q1

q2

2211 qNqNu u

N1

N2

1 0 1101

21

N1

2

1N2


40

dx

du

dxdξ

dξdu

12 xx

2

dx

dξ

2121 q2

ξ1q

2ξ1

qNqNu 21

1)xx(xx

21

12


2

qq

dξ

du 21 )qq(

xx1

2112

Bq

111

12 xx

B


42

2211 qNqNu

Nqu

21 NNN

xNxN 2211x

Tqqq 21


43

BqE

Sólido


44

L L

iii

TT

L

T PudxTudxfAudxAσ21

Energía: modelo discretizado


45

e

ee

ee

ei

iiTTT PQdxTudxfAudxAσ

2

1

MEF R Rios R UACH 2010 46

e e e i

iie

T

e

Te PQdxTudxfAuU

dxAσ21

U Te

Energía deformación

RIGIDEZ

Si:


47

e

TTe dxAE

2

1U BqBq

qBBq e

TTe dxAE

2

1U

E Bq


dξ2

xxdx 12 dξ

2dx e

11 ξ

qBBq

1

1

Te

ee

Te dξE

2A

2

1U

qq 111

11

2

12e

eeeT

e EAU

Energía deformación elemento

Matriz de rigidez


49

qq

11

11

21 T

e

eee

EAU

qkq e

eU T

2

1

1 1

11

e

eee AE

k

M A T R I C E SFuerza Distribuida f


50

e e 2211e dx)qN(NfAdxfAu qT

e 2e

e 1e

e

TT

dxNfA

dxNfAqdxfAu

e

1

1

ee1 2

dξ2

ξ1

2dxN

e

1

1

ee2 2

dξ2

ξ1

2dxN

L L

iii

TT

L


dxNe 1


51

Le

1

1 2

N1

e

e1 1L21

dxNarea


52

1

1f

2

AdxfAu e

e

e

TT q e

eT dxfAu fqT

1

1

2

fA eee f

Fuerza distribuida T TdxqNqNTdxu

ee

T 2211


53

dxN

dxNTdxu

2e

1e

e

TT

T

Tq

e

eTT dxTu Tq

Matrices


54

1

1

2

T ee T

ek ef eT

Energía potencial: notación matricial compacta

QMEF R Rios R UACH 2010

55

Matriz global rigidezVector global de cargaVector global de desplazamiento

K

FQKQQ TT

2

1

F

L L

iii

TT

L


Energía potencial:para n elementos


56

e e e i

iieTeTeT QP

2

1Tqfqqkq

FQKQQ TT

2

1

Ejemplo: Energía deformación e = 3


57

qkq 3T

2

13U

qq

1 1

11

21 T

33

33 AEU

1

2

3

4

5

2

3

4

x

qkq 3T

2

13U


58

543213 Q,Q,Q,Q,QU2

1

5

4

3

2

1

00000

000

000

00000

00000

3

33

3

33

3

33

3

33

Q

Q

Q

Q

Q

AEAE

AEAE

FQKQQ TT

2

1

qq

1 1

11

21 T

33

33 AEU

Ejemplo: conectividad

Ensamble de matrices

RigidezCargas


59


00000

00000

00110

00110

00000

00000

00000

00000

00011

00011

2

2

1

1 EAEAK

11000

11000

00000

00000

00000

00000

01100

01100

00000

00000

4

4

3

3 EAEA


4

4

4

4

4

4

4

4

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

AA000

AAAA00

0AAAA

0

00AAAA

000AA

EK


0

0

0

P

0

2

T

2

fA2

T

2

fA

2

T

2

fA2

T

2

fA

2

T

2

fA2

T

2

fA

2

T

2

fA2

T

2

fA

F

2

4444

44443333

33332222

22221111

1111

N * N N : grados de libertad Simétrica Matriz banda


63

0 4

4

4

4

4

4

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

bandaen

A

AAA

AAA

AAA

AA

EK

Obtención ecuación de elemento finito

Condiciones de Contorno

r: número de soportes (restricciones)

Condiciones de equilibrio, minimizando la

energía

0dQd


64

FQKQQ TT

2

1

rPr2P21P1 aQ,,aQ,aQ


65

expandir

TN21 Q,,,QQ Q

TN21 F,,,FF F

NNN2N1

2N2221

1N1211

KKK

KKK

KKK

K

FQKQQ TT

21

Sustituyendo 11 aQ


66

)FQFQF(Q

QKQQKQQKQ

------------------------------

QKQQKQQKQ

QKQQKQQK(Q2

1

NN2211

NNNN2N2N1N1N

N2N222221212

N1N121211111

)FQFQF(a

QKQQKQaKQ

-----------------------------

QKQQKQaKQ

QKQKaK(a2

1

NN2211

NNNN2N2N1N1N

N2N222221212

N1N121211111

aa


67

N3,2,i0dQd

i

1N1NNNN3N32N2

1313N3N333232

1212N2N323222

aKFQKQKQK

---------------------------------

aKFQKQKQK

aKFQKQKQK

1N1N

1313

1212

N

3

2

NNN3N2

3N3332

2N2322

aKF

aKF

aKF

Q

Q

Q

KKK

KKK

KKK

11N1N212111 RFQKQKQK

Ecuación de elemento finito

K : matriz global de rigidezQ : vector global desplazamiento F : vector global fuerza


68

FKQ

Ejemplo: placa de espesor constante 1 inE=30*106 lb/in2, ρ=0.286 lb/in3, P=100 lb


69

24 in

6 in

3 in

x

P


globalGL

2

1

1 1

11

125.251030

k

216

1

3

2

1 1

11

123.751030

k

326

2

1 1

11

e

eee AE

k


global GL

2

1

1

1

22836.0125.25

f 1

3

2

1

1

22836.0123.75

f 2

1

1

2

fA eee f

NNN2N1

2N2221

1N1211

KKK

KKK

KKK

K

Matriz global rigidez

local GL

2

1

1 1

11

125.251030

k

216

1


72

3

2

1 1

11

123.751030

k

326

2

3

2

1

75.375.30

75.300.925.5

025.525.5

121030

K

3216

6.3810

10015.3144

8.9334

F


73

Matriz global carga Matriz global carga

local GL

2

1

1

1

22836.0125.25

f 1

3

2

1

1

22836.0123.75

f 2


6.3810

115.3144

3.75 3.75

3.759.00

121030

326

3

2

Q

Q

pulg100.9953

100.92715

3

52

Q

Q pulg

lg109953.0 ,109272.0 ,0, 55 puQAsíT

111 el

B

Tensiones en cada elemento


75

BqE

2

56

1

lb/pulg 18.23

109272.0

011

121

1030

2

5

56

2

lb/pulg 70.1

109953.0

109272.011

121

1030

lg109953.0 ,109272.0 ,0, 55 puQAsíT


76

218.231 in

lb

2inlb 70.12

Reacción11N1N212111 RFQKQKQK


77

lb

R

6.130

9334.8

109953.0

109272.0

0

025.525.512

1030

5

56

1

MÉTODO DE PENALIZACIÓNCondiciones de Contorno


78

11 aQ

Minimizando

Energía deformación resorte


79

211s )aC(QU

2

1

FQKQQ T211

TM )C(

2

1

2

1 aQ

N

2

11

N

2

1

NNN2N1

2N2221

1N1211

F

F

CaF

Q

Q

Q

KKK

KKK

KKC)(K

C: cte rigidez

Funciones de forma: cuadráticas

12

3

xx)xx(2


80

ξ1ξ2

1ξ1 N 1

21

2N 113N


332211 qNqNqNu


Nqu

q 321

12

2

dξdN

,dξ

dN,

dξdN

xx2

dξdu

xx

dxdξ

dξdu

dxdu

12

q

2ξ ,

22ξ1

,22ξ12

12 xxBq

qB

2ξ ,

22ξ1

,22ξ12

12 xx

Tensiones

Observación: Funciones de forma cuadráticas, pero

deformaciones y tensiones varían linealmente


83

BqEσ

Energía potencial


84

e ii1

eT

e e

ee

eee

e e e iii

T

PQdξN

dξNf2

AdξAE2

1

PQdxTudxfAudxAσ2

1

1

1

T

1

1

TT1

1

TT

TT

T2

2

q

qqBBq

e e e i

uiieee PQTqfqkq TTT q

2

1

dξAE 1

1

eeee BBk T

2

localGL

3

2

1

1688

871

817

3

321

EA

k e

Ensamble: similar a la interpolación linealMEF R Rios R UACH 2010

85

1

1

Te ξ2

dfA ee Nf

localGL

3

2

1

3/2

6/1

6/1

fA eee f

dξT 1

1

Tee NT2

localGL

3

2

1

3/2

6/1

6/1

Tee T

Ejemplo: un brazo de robot gira a velocidad cte ω = 30 rad/s. Hallar la distribución de tensiones axiales, considerar solo la fuerza centrífuga, despreciar la flexión. A= 0.6 in2 , E= 107 psi , ρ = 0.286 lb/in3


86

42 in

localGL

3

2

1

1688

871

817

3

321

EA

k e


87

lobalGL g

2

3

1

1688

871

817

2136.010

k

231

71

4

5

3453

1688

871

817

2136.0107

2

k

21 in

21 in

1

2

3

5

4

1

2

x


5

4

3

2

154321

78100

816800

181481

008168

00187

213

6.010K

7

32

.in/lbg

ρrωf

6.94

1232.23010.50.2836

f2

1

81.02

1232.2305.130.2836

f2

2

globalGL

2

3

1

210.6

32

61

61

11 ff

globalGL

4

5

3

210.6

32

61

61

22 ff

2

3

5

4

1

2

1

KQ=F


89

T43.70174.79,58.26,58.26,14.57,F

7.43

79.174

26.58

26.58

7810

81680

18148

00816

636.010

5

4

3

2

7

Q

Q

Q

Q

mmT3 1.5294,4147.1,0706.10.5735,0,10 Q

BqEσ

qB

2ξ ,

22ξ1

,22ξ12

12 xx


elemento 1, nodo1

2

3

17

1 2 ,221

,221

212

10

Q

Q

Q

psi583

.5735

1.0706

0

2.00.5,1.5,1010σ 32127

11

psi510

.5735

1.0706

0

00.5,0.5,1010σ 32127

21

0σpsi218σpsi437σσ 52423231

Material elástico isotrópico


91

T0 Δ

0Eσ

00 σu 21

0T

021

0 σu E

dxAEU 0

T

L 021

L

e

0e0e

e )dξ(E)(AU1

1

T

22

1

1

1

xx

TαAE

12

eeee Δ

PTfF )( ee

e

e

Tensiones

TαEσ Δ Bq


92

ΔTEαxx

Eσ

12

q11

APLICACIONES: ESTRUCTURAS

Armaduras planas


93


94

En el sistema coordenadas local

En el sistemaCoordenadas global

Cosenos directores: l=cosθ ; m=cosθ

Matriz de transformación:


95

Tqq 21 q

Tq,q,q,q 4321q

Lqq

m00

00m

L

Energía deformación


96

11

11

e

ee AE

k

qkq T21

eU

qLkLq T 'T21eU

kqqT21eU

22

22

22

22

e

ee

mmmm

mm

mmmm

mm

AE

k

Matriz de rigidez local

TENSIONES


97

eEσ

2

1

12

11q

qE

qqEσ

e

e

ee

Lq11e

eEσ

qmm

Eσ

e

e


98

Conectividad

nodos

Elemento 1 2

1 1 2

2 3 2

3 1 3

4 4 3


99

Matrices de Rigidez

22

22

22

22

e

ee

mmmm

mm

mmmm

mm

AE

k


100

global

4

3

2

14321

0000

0101

0000

0101

40105.29 6

1k

4

3

6

54365

1010

0000

1010

0000

30

105.29 6

2k

6

5

2

16521

36.48.36.48.

48.64.48.64.

36.48.36.48.

48.64.48.64.

50

105.29 6

3k

6

5

8

76587

1000

0101

0000

0101

40

105.29 6

4k

Solución de KU=F Condiciones de contorno: Método de Eliminación


101

8

7

6

5

4

3

2

187654321

00000000

00.1500.150000

0032.2476.50.20032.476.5

00.1576.568.220076.568.7

000.2000.20000

000000.1500.15

0032.476.50032.476.5

0076.568.700.1576.568.22

600

105.29 6

K

Matriz reducida: Ecuación Elemento Finito


102

000.25

0

000.20

32.2476.50

76.568.220

0015

600105.29

6

5

36

Q

Q

Q

lg

1022.25

105.65

1027.12

3

3

3

6

5

3

pu

Q

Q

Q

lg0 ,0 ,1025.22 ,1065.5 ,0 ,1012.27 ,0 ,0 333 puQ T

Tensiones

Conectividad de elemento 1: 1 – 2Vector desplazamiento nodal:

01012.2700 3 xq


103

psi0.00020

0

1012.27

0

0

010140

105.293

6

1

q mmE

σe

e

q mmE

σe

e


104

psi0.88021

0

1012.27

1025.22

1065.5

101030

105.293

3

3

6

2

psi5208.0σ3 psi4167.0σ 4

0

0

1025.22

1065.5

0

1012.27

0

0

00000000

00.1500.150000

000.2000.20000

0032.476.50032.476.5

0076.568.700.1576.568.22

600

105.29

3

3

3

6

8

7

4

2

1

R

R

R

R

R

Vector de carga


105

lb

0

0.4167

0.21879

0.3126

0.15833

8

7

4

2

1

R

R

R

R

R

1

10ee AE TαΔ0

m

m-AEθ 0ee

ε

Las cargas de temperaturas junto con otras cargas aplicadas se ensamblan de la manera usual

Tensiones


106

)(σ 0E

TαEmmE

σ ee

e Δ q

ARMADURAS EN 3Dvector de desplazamientolocal:

global:


107

T21 qq q

T654321 , q,qq,q,q,qq

Matriz Rigidez elemento


108

Lqq

nm000

000nm

L

22

22

22

22

22

22

e

ee

nmnnnmnn

mnmmmnmm

nmnm

nmnnnmnn

mnmmmnmm

nmnm

AE

k

PROBLEMAS EN 2D


109

Tυu,u

Txyyx ,σ,σσ

Txyyx ,,

dAtdyTT,f,f yx VTT Tf

T

xυ

yu

,yυ

,xu

T

P

u = 0

u

v

(x,y)

yf xff

Tensiones planas


110

Cargas en el plano



111

Cargas en el plano

Modelación Elementos FinitosTriángulo de deformación constante


112

TN21 ,........,Q QQQ

¿ u,v ? en un punto x,yMEF R Rios R UACH 2010

113

Triángulo de deformación constanteN1, N2, N3 : funciones de forma (sup. planas)

1321 NNN

η1η 3211 NNNN


114

η1η 321 NNN

1321 NNN


115

Representación isoparamétricaDesplazamiento en el interior del elemento

(u,v)


116

533211 qNqNqNu

634221v qNqNqN

55351 ηξ qqqqqu

6646 ηξv qqqqq2

Representación isoparamétrica, si coordenadas x,y son representadas por las mismas funciones de forma


117

Nqu

321

321

N0N0N0

0N0N0NN

332211 xNxNxNx 332211 yNyNyNy

33231 )η()( xxxξxxx 33231 )η()( yyyξyyy


118

Rigidez

i

iiAdtdAtdAt P

21 TT

A

TT uTufuD

i

iiee

dtdAtdAt P21 TTTT uTufuD

ee

L

iii

T

e eee dtdAtU PuTufu TT

e

TT

T

2121

dAt

dAtUee

DBqBq

D

D: matriz de parámetros constantesMEF R Rios R UACH 2010

119

122131132332

211332

123123

000

000

det1

yxyxyx

xxx

yyy

JB

DBBk Tee

e At

η

y

η

xξ

y

ξ

x

J

2323

1313

yx

yxJ

FUERZASFuerzas de

volumen


120

ee i AdAN 31

e 36e 35

e 24e 23

e 12e 11T

dANftqdANftq

dANftqdANftq

dANftqdANftqdA t

yexe

yexe

yexefu

e

T )( dAfvuftdA t yxefu

Fuerzas de tracción


121

T3 yxyxyx

eee f,f,f,f,f,fAt

f

e

efF

21

)(L

T

dtTvuTd t yxTu

2121212121 2,2,2,2

6 yyxxyyxxee TTTTTTTTlt

T

Distribución de componentes


122

2121212121 2,2,2,2


T


123

Ejemplo:Lado 7 - 8p1=1MPa; p2=2 MPa

x1=100 mm; y1 =20mm

x2=85mm; y2=40 mm

l1-2= 25 mmc=0.8 s=0.6Tx1=-cp1=-o.8

Ty1=-p1s=-0.6

Tx2=-p2c=-1.6

Ty2=-p2s=-1.2

F13 F14 F15 F16

2121212121 2,2,2,2


T


124

Se plantea la energía potencialTratamiento de las C.C.

TENSIONES

Ejemplo: Determinar las tensiones en la placa. Fuerzas de volumen despreciable frente a las cargas externas


125

e

ee PTfF

FQKQQ TT

21

FKQ DBq

Tensiones planas

elementoelemento 11 22 33

11 11 22 44

22 33 44 22


126

7

77

77

2

102.100

0102.3108.0

0108.0102.3

2

100

01

01

1

ED


4.0006.04.06.0

0267.06.106.1267.0

0067.14.004.0067.1

1071DB

4.0006.04.06.0

0267.06.106.1267.0

0067.14.004.0067.1

1072DB

globalGL

874321

0.2Simétrica

00.5333

00.21.2

0.3000.45

0.20.21.20.31.4

0.30.5330.20.450.50.983

1071k

globalGL

438765

0.2Simétrica

00.533

00.21.2

0.3000.45

0.20.21.20.31.4

0.30.5330.20.450.50.983

1072k

Elemento 1

Elemento 2


128

1000-

0

0

1.400.2

00.9830.45-

0.20.45-0.983

10

4

3

17

Q

Q

Q

T51 0 0, 7.436,0.875, 0, 1.913,10 q

psi62.31138.7,93.3, T1 σ

T52 7.4360.875, 0, 0, 0, 0,10 q

psi297.4- 23.4, 93.4, T2 σ

Software: criterios de fallas Von Mises; Tresca, Mohr


129

psi62.31138.7,93.3, T1 σ

psi297.4- 23.4, 93.4, T2 σ

Txyyx ,σ,σσ

psi297.4- 23.4, 93.4, T2 σ


130

x

y

xy 1

2

2132

322

2121 VM

Efecto de temperatura: ΔT (x,y)

Deformación inicialTensiones planas:Deformaciones planas:Tensiones

Temperatura elemento:

Tensión elemento

0 DBAt Tee


131

T0 0 ,αΔ ,αΔ TT

T0 0 ,αΔ ,αΔ)1( TT

)(σ 0D

T654321 θ,θ,θ,θ,θ,θeθ

)(σ 0 BqD

Modelación y Condiciones de ContornoProblemas en que se aprovecha la doble

simetría


132

Costo computacional


134

maxjiR GLNRB 1

2 nB

mef_1

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