medidas de superficie y volumen
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Introducción
MEDIDAS DE SUPERFI CIE.
Hasta ahora hemos estudiado las medidas de longitud, es decir, en una sola dirección.Ahora vamos estudiar medidas de superficie. Necesitamos dos dimensiones: Largo y ancho. Para hallar la superficie de una pared, del suelo, de un campo, etc., necesitamos saber su longitud y su anchura. El producto de ambas medidas nos da la superficie.
Para saber la superficie del campo de fútbol que tienes a la izquierda tienes que multiplicar 90x60 = 5400 metros
cuadrados
Hemos multiplicado el largo (90 m) por el ancho (60 m).
La unidad es el (el exponente te indica el número de mediciones que hemos hecho, en este caso, dos; una, para saber lo que mide de largo y la segunda medición
para saber la anchura).
En las medidas de longitud tomábamos a 10 como factor o divisor para pasar de hectómetros a metros: 10x10 = 100 metros o para
pasar de centímetros a metros:
En las medidas de superficie para pasar de decámetros cuadrados a metros cuadrados el factor 10 lo usamos una vez para la longitud y otra para la anchura, es decir, se nos convierte en 100 (10x10) tanto como factor como divisor. Para pasar de una medida superior a otra inferior la multiplicamos por 100. Para pasar de una medida inferior a otra superior la dividimos por 100.
Cálculos en superficies:
Para saber el número de árboles que tengo en la figura de la derecha (se supone que lo miro desde cierta altura), primero cuento los que tengo en una fila y veo que son 4 árboles.
Ahora cuento los que tengo en una columna y veo que hay 5.
Para saber el total de los árboles multiplico: 4x5= 20 árboles
Lo mismo sucede para saber la superficie de un terreno, la superficie de una habitación. Calculo cuántos metros tengo de largo y cuántos de ancho. En lugar de árboles, son metros, hago lo del ejemplo anterior, es decir, multiplico el largo por el ancho y de este modo averiguo la superficie o los metros cuadrados de la habitación o del terreno, etc.
7.13 Imagina que tu habitación tiene 2 paredes de 3 metros de largo y una altura de 2,40 metros; otras dos tienen la misma altura y 2,80 metros de largo cada una. ¿Cuántos euros tengo que pagar por pintarla si me cobran 4 €/m2?Respuesta: 111,36 €
Solución:La longitud de las cuatro paredes es: 3 + 3 + 2,80 + 2,80 = 11,6 m Como la altura es la misma para las cuatro pareces. La superficie total será: 11,6 x 2,4 = 27,84 m2El importe a pagar será: 27,84 x 4 = 111,36 €
7.14 ¿Cuántos Km2 son 12 dm2?Respuesta: 0,00000012 Km2
MEDIDAS DE VOLUMEN.
Hasta ahora hemos estudiado las medidas de longitud y superficie. En las medidas de longitud la unidad es el metro.
En las medidas de superficie la unidad es el metro cuadrado
¡¡¡CUIDADO!!!
Si multiplicas 6 m por 5 m el producto de las cifras es 30 pero el producto de mxm = m2 (si las bases que multiplicamos son iguales, se suman los exponentes). Además, una de las medidas puedes considerarla como longitud y la otra como anchura, al multiplicarlas calculas su superficie y ya sabes que las respuestas se dan con exponente dos (se tratan de medidas de superficie).
En las medidas de volumen la unidad es el metro cúbico En este caso hemos de multiplicar además del largo por el ancho, por la altura.
Queremos saber el volumen que tiene el cajón de la derecha. De largo mide 6 metros, 2 de ancho 3 de altura.
Multiplicamos las 3 medidas y tendremos que el volumen de la caja es de: 6x3x2 = 36 m3.
¿A QUE LLAMAMOS VOLUMEN ?Llamamos volumen al lugar que un cuerpo ocupa en el espacio. Cuanto más grande sea un objeto, más espacio ocupa.
De las dos cajas que tienes a laizquierda, la verde tiene más volumen o lo que es lo mismo ocupa más sitio en el espacio que la caja amarilla.
Si estas cajas estuviesen vacías en la de mayor volumen se podría almacenar mayor cantidad de agua.
Aprende correctamente el cuadro que tienes a continuación:
En las medidas de volumen para pasar de decámetros cúbicos a metros cúbicos, el factor 10 lo usamos una vez para la longitud, otra para la anchura y la tercera para la altura , es decir, se nos convierte en 1000 (10x10x10) tanto como factor como divisor.
Para pasar de una medida superior a la siguiente inferior la multiplicamos por 1000. Para pasar de una medida inferior a la siguiente superior la dividimos por 1000.
Una caja con una longitud de 1 metro, 1 metro de ancho y 1 metro de alto tiene un volumen de 1 m3. ¿Cuántas cajas de 1 dm de largo, 1 dm de ancho y 1 dm de alto, es decir, un volumen de 1 dm3 puede contener?
Exactamente 1000 cajas de 1 dm3.
Tienes un dibujo en el que puedes comprobar. Cuenta el número de las cajas pequeñas. Es muy fácil: cuenta las que tienes a lo largo, a lo ancho y a lo alto y multiplicas los tres números que has obtenido al contar y será el resultado:
7.18 Escribe 1 m3 en cm3:Respuesta: 1000000 cm3
7.19 ¿Cuántos mm3 son 1 dm3? Respuesta: 0,0000000 mm3
7.20 ¿Cuántos m3 son 10 Hm3?Respuesta: 100000 m3
7.21 ¿Cuántos Hm3 son 10 m3?Respuesta: 0,000010 Hm3
7.22 ¿Cuántos m3 hay en 5 mm3? Respuesta: 0,000000005m3
Solución:Primero escribimos 0,Pasamos a cm3 0,000Pasamos a dm3 0,000000Pasamos a m3 0,000000005
7.23 ¿Cuántos Km3 son 300 m3?Respuesta: 0,000000300 Km3
7.24 ¿Cuántos Hm3 son 2 mm3?Respuesta: 0,000000000000002 Hm3
MEDIDAS DE CAPACIDAD
Las unidades de capacidad o unidades que son capaces de contener líquidos, sólidos granulares o gases son:
Habrás notado que funcionan como las medidas de longitud. Para pasar de una unidad a la siguiente inferior multiplicamos por 10. Para pasar de una unidad inferior a la siguiente superior dividimos por 10.
7.25 Cuántos litros hay en un Hl? Respuesta: 100 litros
7.26 ¿Cuántos Dl son 5 dl? Respuesta: 0,05 Dl
7.27 ¿Cuántos Kl son 5 ml? Respuesta: 0,000005 Kl
7.28 ¿Son correctas las igualdades: 103 ml = 102 cl = 101 dl = 1 litro? Respuesta: Sí.
Relación entre volumen y capacidad
Cuando hablamos de capacidad nos referimos a objetos que pueden contener, guardar o conservar líquidos, gases y sólidos, especialmente granulares (granular procede de grano- el trigo, el arroz, arena, etc.). A estos objetos llamamos recipientes.
Dentro de esta relación entre volumen y capacidad es muy importante la que existe entre el litro y el decímetro cúbico:
En un recipiente de forma de cubo que tenga 1 dm de largo, 1 dm de alto y 1 dm de ancho cabe 1 litro de agua.
7.29 En un recipiente que tiene 1 m de largo, 1 m de ancho y una altura de 1 m ¿cuántos litros caben?Respuesta: 1000 litrosSolución: Con las medidas del recipiente vemos que se trata de un cubo que tiene un volumen de 1 m3. 1 m3 = 1000 dm3 y como en un dm3 cabe 1 litro, en 1000 dm3 entrarán 1000 litros.
Grandes recipientes:Los embalses, pozas, albercas y pantanos son grandes recipientes donde se almacena el agua.Antes de que un pantano se llene de agua, los técnicos calculan el volumen de agua que puede contener. Una vez lleno de agua y gracias a que sabemos que en un dm3 cabe 1 litro, a partir de aquí, el cálculo es muy sencillo. Cuando escuchamos las noticias referidas a cantidades de agua embalsada en los pantanos, al agua que un río deposita en el mar al cabo de un año, etc., generalmente la expresamos en Hm3 .
7.30 ¿Cuántos litros de agua caben en un embalse cuyo volumen de capacidad es de 100 Hm3?
Respuesta: 100000000000 litros
CASOS ESPECIALES
CUERPOS GEOMÉTRICOS REDONDOS
Son sólidos que tienen superficies curvas y pueden rodar. Estudiaremos el cilindro, el cono y la esfera.
CILINDROPalabra que procede del griego kulindros = enrollado, envuelto.Observa tres prismas cuyas bases son polígonos de 6, 10 y 20 lados:
Notarás que a medida que aumentamos el número de lados de los polígonos de las bases, la figura que obtenemos se parece a un cilindro.Imagina que el prisma hexagonal está hecho de un material flexible y te introduces dentro de él. Si comienzas a empujar los lados llegarás a obtener una superficie cilíndrica.El prisma de los 20 lados se parece a un cilindro. Si tuviera 100 lados lo confundiríamos con un cilindro.En la figura siguiente tienes un prisma recto con 100 lados.
Podríamos considerarlo como cilindro.Si aumentásemos a 1000 el número de lados a la base la podemos considerar como un círculo.
VOLUMEN DE UN CILINDRO
Según lo que acabamos de decir, el volumen de un cilindro lo hacemos del mismo modo
como si fuésemos a calcular el de un prisma:
15(3).32 Dado que la base del cilindro es un círculo el volumen de la figura anterior será:
Respuesta:
Solución:
Construir un cilindro:Sirviéndote de regla, compás, cartulina, tijeras y pegamento, dibujas una plantilla parecida a la que tienes a continuación, la recortas, doblas y aplicas el pegamento en las solapas:
Las solapas en forma de triángulos es mejor para pegar superficies curvas.
La longitud de la cartulina rectangular ha de coincidir con la longitud de la circunferencia
de la base
15(3).33 Un depósito de forma cilíndrica tiene como radio de las bases 3 m. La altura del depósito es de 4 metros. ¿Cuántos litros de agua puede contener?.
Respuesta: 113.097,336 litros
Solución
CONOPalabra procedente del griego konos = piña, punta.
Recordamos en primer lugar a la pirámide regular. Sus caras laterales son triángulos isósceles y la base, un polígono regular. La altura es la perpendicular que partiendo del vértice llega a la base y su volumen equivale a:
En la última figura tienes una pirámide regular cuyo polígono de la base es un heptágono (7 lados), a continuación una pirámide tetragonal porque su base es un tetradecágono. La tercera pirámide tiene como base un polígono de 20 lados o icoságono. Analizando las tres figuras observamos que cuanto más lados tiene el polígono de la base más se parece a un cono.
Podríamos decir que un polígono de muchos lados se parece a un círculo y el área de la
base será
Construcción del cono
Con los utensilios habituales dibujamos la plantilla siguiente:
15(3).34 Calcula el volumen del cono que tienes en la figura siguiente cuyas medidas en centímetros aparecen en la misma:
Respuesta:
CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE
Para calcular el volumen de una pirámide debes recordar el modo como calculamos el volumen de un prisma y observar el siguiente ejemplo:
En la figura anterior ves a la izquierda, tres recipientes iguales (pirámides cuadrangulares), que aunque estén en equilibrio muy inestable, van a servirnos para ver como se calcula el volumen de una pirámide. A la derecha se encuentra un prisma cuadrangular.El prisma cuadrangular tiene la misma base y altura que las tres pirámides.Llenamos de agua las tres pirámides y la vertemos en el recipiente de la derecha (prisma). Observaremos que el recipiente prismático se ha llenado completamente.
Esto quiere decir que, la capacidad o volumen del prisma equivale al volumen de trespirámides iguales que tengan por base el mismo polígono que el prisma y por altura la misma que el prisma.Para calcular el volumen de una pirámide hacemos lo mismo que para calcular el prisma y dividimos por 3 al resultado.
15(3).26 ¿Cuál es el volumen de una de las pirámides de la última figura?
Respuesta:
SoluciónHallamos el volumen de un prisma que tenga por base un cuadrado de 2 cm. de lado y 4,5 cm. de altura y como en un prisma caben 3 pirámides iguales, al resultado lo dividimos por 3:
15(3).27 La pirámide Keops de Egipto tiene una base cuadrada de 230 metros de lado. Sabemos que el volumen de dicha
pirámide es de .
¿Cuál es su altura?
Respuesta: 161 metros
Solución
Calculamos el área de la base que es un cuadrado:
Sabemos que:
:
15(3).28 Una pirámide tiene 2 m. de altura y su volumen es de .¿Cuánto vale el área de la base?
Respuesta:
15(3).29 Dibuja una pirámide oblicua.
Respuesta:
TRONCO DE PIRÁMIDE.Si a una pirámide le cortamos con un plano paralelo a la base obtenemos un tronco de pirámide:
En la figura tienes a la izquierda una pirámide sobre un plano A. Si le cortamos con el plano B paralelo al plano A nos queda la parte inferior de la pirámide a la llamamos tronco de pirámide.
A la parte de la pirámide cortada con el plano y no tenida en cuenta en la representación del tronco de la pirámide:
se le denomina pirámide deficiente.Otro modo de definir a la pirámide deficiente sería: Pirámide existente entre el vértice de ella y la base menor del tronco.También podríamos decir, que es la parte de la pirámide que le falta al tronco de ella.
Cuando los dos planos son paralelos obtenemos un tronco de pirámide recto o regular. En el caso de que los planos no sean paralelos, el tronco sería oblicuo.
VOLUMEN DEL TRONCO DE PIRÁMIDE.
Para calcular el volumen del tronco de la pirámide hallaríamos primero el volumen de toda la pirámide y después el volumen de pirámide deficiente.
15(3).29 Halla el volumen del tronco de la pirámide de la última figura teniendo en cuenta los datos que en ella figuran (en cm.).
Respuesta:
SoluciónVolumen de toda la pirámide:
Volumen de la pirámide deficiente:
Volumen del tronco de la pirámide:
15(3).30 Calcula el volumen del tronco de la pirámide de la siguiente figura:
Respuesta:
SoluciónHallamos el área de la base que es un pentágono.El área de un polígono regular lo calculamos multiplicando su perímetro por su apotema o altura de cada triángulo.
Recordamos:
En este caso, la altura del triángulo o apotema del pentágono mayor es:
El valor del área de la base mayor será:
El volumen de la pirámide pentagonal será:
Calculamos los valores de la pirámide pentagonal deficiente:
Altura del pentágono es:
El valor del área de la base menor será:
El volumen de la pirámide pentagonal deficiente:
Volumen del tronco de la pirámide es:
Antigua fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide:Si deseas calcular directamente el valor del volumen de un tronco de pirámide aplicas la fórmula:
Aplicando a este ejercicio tendremos:
15(3).31 Calcula: 1) apotema de la base inferior 2) apotema de la base superior 3) área de la base inferior 4) área de la base superior y 5) el volumen del tronco de pirámide hexagonal que tienes en la figura siguiente con sus medidas. El volumen lo hallas de las dos formas explicadas.
Respuestas:
ESFERA.La palabra esfera procede de la palabra griega sfaira que significa pelota.La esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cuyos puntos están a igual distancia (equidistan) de otro punto que está en el interior de esta superficie al que llamamos centro. A la distancia que hay desde un punto cualquiera de la superficie esférica al centro llamamos radiode la esfera.Al referirte a la esfera piensa que es el espacio hueco que hay dentro de la superficie curva.En la figura siguiente tenemos una esfera en la que indicamos con la palabra radio la distancia de cualquier punto de la superficie esférica al centro:
VOLUMEN DE LA ESFERA.Arquímedes, griego (250 años antes de CRISTO) uno de los más grandes matemáticos de la historia descubrió un modo muy interesante para calcular el volumen de una esfera.Para ello, se sirvió de una semiesfera (mitad de la esfera), un cono y un cilindro.Los tres cuerpos geométricos deben tener las mismas medidas en cuanto al radio y la altura.
En la figura ves una semiesfera de 3 cm. de radio, un cono de 3 cm. de radio y 3 cm. de altura y un cilindro de 3 cm. de altura y 3 cm. de radio.
15(3).36 Calcula el volumen de una esfera de 5 cm., de radio.
Respuesta:
16(3).37 Una esfera de de volumen ¿Cuánto vale su radio?
Respuesta: 3 cm.
Solución: