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SUPERFICIE YVOtUMEN.

ms que el trabajocon frmulas?

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FneNclsco Gn Culone

MATEMATICAS: CULTURA Y APRENDIZATE

l. Area de conocimiento: didctica de las matemticasAngcl (iutirrez, Bemardo Gmez Alfonso. Juan Diaz Gdino y Luis Rico Romero

2. Nmeros y operacionesl,uis Rico Romero, Encamacin Castro Martnez, Enrique Castro Martnez

3. Numercin y clculoBernardo Gmez Alfonso

4. Fracciones. La relacin parte-todoSalvador Llinares Ciscar, M." Victoria Snchez Garca

5. Nmeros decimalesJulia Centeno Prez

. Nmeros enterosJose L. Gonzlez Ma M." Dolores lriarte Bustos. Alfonso Ortiz Comas, Inmaculada Vargas-Machuca, Manuela Jimeno Prez, Antonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jimnez

7. DivisibilidadModesto Sierra Vzquez, Andrs Garcia, M." T. Gonzlez Astudillo. Mario GonzlezAcosta

Problemas arifinticosLuis Puig Espinosa, Femando Cerdn Prez

Estimacin en clculo y medidaIsidoro Segovia AleL Encamacin Castro Martinez, Enrique Castro Martnez, Luis RicoRomero

Aritmtica y calculadoraFrederic Udina i Abell

Materiales para construir la geometriaCarme Burgus Flamerich, Claudi Alsina Catal, Josep M.' Fortuny Aymemi

Intacin a la didctica de la geometraClaudi Alsina Catal, Josep M." Fortuny Aymemi, Carme Burgus Flamerich

Simetr dinmicaRafael Prez Gmez, Claud Alsina Catal, Ceferino Ruiz Garrido

Proporcionalidad gemetrica y semejanzaGrupo Beta

El mundo de los poliedrosGregoria Guilln Soler

'l. Metodologa activa y ldica de la geometraAngel Martnez Recio. Francisco Juan Rivaya

17. El problema de la medidaCarmerr Chamorro Plaza. Juan M. Belmonte Gmez

18. Circulando por el crculoFrancisco Padilla Diaz, Amulfo Santos Hernndez, Fidela Velzquez,Manuel Femndez Reyes

19. Superficie. VolumenM." Angeles del Olmo Romero. Francisca Moreno Carretero, Francico Gil Cuadra

20. Proporcionalidad directa. I forma y el nmeroM." Luisa Fiol Mora. Jos M.' Fortuny Aymemi

21. Nudos y nexos: grafos en la escuelaMoiss Coriat Benarroch. Juana Sancho Gil. Antonio Marn del Moral.Pilar Gonzalo Martn

22. Por los caminos de la lgicaIns Sanz Lerma. Modesto Arieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz

23. Iniciacin al lgebraManuel Martn socas Robayna, Matas Camacho Machin. M.'Mercedes palarea Medina.Josefa Hemndez Dominguez

24. Enseanza de la suma y la restaCarlos Maza Gmez

25. Enseanza del producto y de la divisinCarlos Maza Gmez

2. Funciones y grficasJordi Deulofeu Piquet, Carmen Azcrate Gimnez

27. llzsr y probabilidadJuan Daz Godino, Carmen Batanero Bernabu, M." Jess Caizares Castellano

28. Encuestas y preciosAndrs Nortes Checa

14.

15.

E.

9.

10.

11.

t2.

13.

29. Prensa y matemticasAntonio Fernndez Cano. Luis Rico Romero

30. Ordenador y educacin matemtica: algunas modalidades de usoJos A. Cajaraville Pegito

31. Ordenar y clasificarCarlos Maza Gmez. Carlos Ace Jimnez

32. Juegos y pasatiempos en la ensenza de la matemtica elementalJosefa Fernndez Sucasas, M., Ins Rodriguez Vela

33. Ideas y actividades para ensear lgebraGrupo Azarquiel

'34. Recursos en el aula de matemticasFrancisco Hernn Siguero, Elisa Carrillo euintela

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SUPERFICIE YVOLUMEN.

algo ms que el trabajocon frmulas?

Menh ANcer,ns psr, OrMo RounnoM.ln, Fn.Ncrsc, MonnNo CeRnnrnno

Fn,Ncrsco Gr, Cu,pnaProfesores Titulares de E. U.

del Departamento de Didctica de la Matemticade la Universidad de Granada

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EDITORIAL

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Primera reimpresin: junio 193

Diseo de cubierta: Juan Jos Yzquez

Reservados todos los derechos. Est prohibido bajo lassanciones penales y el resarcimiento cil prestos en lasleyes. reproducir, registrar o transmitir esta publicacin,ntegra o parcialmente por cualquier sistema de recupera-cin y por cualquier medio. sea mecnico. electrnico.magntico electroptico por fotocopia o por cualquierotro, sin la autorizacin previa por escrito de EditorialSintesis. S. A

O MARIA ANGELES DEL OLMO ROMEROMARIA FRANCISCA MORENO CARRETEROFRANCISCO GIL CUADRA

O EDITORIAL SINTESIS. S.AVallehermoso. 32. 28015 MadridTelfono (91) 593 20 98

Depsito Legal: M-17.748-193ISBN: 8&7738{65-lFotocompuesto en MonoComp, S. AImpreso en Lavel, S. AImpreso en Espaa - Printed in Spain

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Nuestro agradecimiento aLuis Rico Romero v a Luis Rico Castro.

ndice

Introduccin . . . . . . . . l l

1. Aportaciones sobre l adquisicin del concepto de rea 151.1. Aproximacin fenomenolgica 15

1.1.1. Vocabulario 151.1.2. Contextos y modelos matemticos 171.1.3. Diferentes aproximaciones al rea 19

1.2. Estudios de tipo psicolgico y cognitivo 2l1.2.1. Piaget y otros . 22

Tareas de conservacin.Tareas de medicin.

1.2.2. Wagman 291.2.3. Rogalski 371.2.4. Algunas dificultades y errores 43

1.3. Conclusiones para la enseanza del rea 45

2. Indicciones para le ensenza del re ........, 4il2.1. Percepcin . . . . . . . . 472.2. Comparacrn ... 582.3. Medida 63

2.3.L. Necesidad de la medida 632.3.2. Eleccin de la unidad de medida 662.3.3. Sistema de medida actuales 7l2.3.4. Instrumentosdemedida . . . . . . . . . . . 75

2.4. Aritmetizacin del rea 76- 2.4.1. Areas de superficies planas . 76

2.4.2. Areas de superficies no planas 852.4.3. Resolucin de problemas de reas 85

2.5. Estimacin ... 882.5.1. Utilidad prctica de la estimacin . . . 882.5.2. Estrategias de estimacin 892.5.3. La enseanza de la estimacin . . . 92

3. Aportaciones sobre l edquisicin del volumen n3. i . Aproximacinfenomenolgica. . . . . . : . . . . 97

3.1.1. Vocabulario -.

. .. .. . 97

3.1.2. Contextos y modelos de la capacidad y del volumen3.1.3. Diferentes aproximaciones al volumen

3.2. Estudios de tipo psicolgico y cognitivo3.2.1. Piaget y otros .3.2.2. Vergnaud3.2.3. Comentarios de Freudenthal .....3.2.4. Algunas dificultades y errores

3.3. Implicaciones para laenseanza

4. Indicaciones para la ensenza del volumen4.1. Percepcin4.2' Comparacin4.3. Medida

4.3.1. Necesidad de la medida4.3.2. Eleccin de la unidad de medida4.3.3. Sistemas de medida actuales . i.....4.3.4. Instrumentos de medida

4.4. Aritmetizacin ....- 4,4.1. Clculo de volmenes de cuerpos

4.4.2. Resolucin de problemas de volmenes

-!1 Estimacin

5. Formlizcin mafemtica del rea y del volumen5.1. Nocin de magnitud y medida

5.1.1. Estructura algebraica de la magnitud . . . .5.1.2. Nocin de medida . . . . . . .

5.2. Formalizacin del rea5.2.1. Equivalenciadepol gonos

. . . : . , . . .5.2.2. Medida del rea5.2.3. Limitaciones del modelo matemtico

5.3. Formalizacin del volumen5.3.1. Poliedros equivalentes5.3.2. Medida del volumen

6. Aspectos histricos6.1. Cmentario general6.2. Aspectos de la medicin relacionados con el rea y el volumen . . . .

6.2.1. Comienzos de los recipientes . . .6.2.2. Antiguas civilizaciones: Babilonia, Egipto, China, India, Gre-

cia, Roma6.2.3. Evolucin hasta nuestros das .

Apndice: Problemas curiosos

Bibliografla

Introduccin

La utilidad de la medida est hoy social y suficientemente reconocida,existiendo adems numerosos textos escritos que reflexionan sobre ella. As,el National council of Teachers of Mathematics (N.G.M.T.) en una de suspublicaciones anuales, concretamente en el Yearbook de 1976, dedica uncaptulo a resaltar los avances tecnolgicos conseguidos gracias a la preci-sin en las mediciones.

Tambin el Informe Cockcroft (1982) justifica su importancia tanto desdelas necesidades de la vida adulta, debido a la cantidad de mediciones querealizamos cotidianamente, como desde las necesidades del mundo del traba-jo; las tareas de estimacin, mediciones, uso correcto de las unidades mtri-ias, as como desde las necesidades matemticas de cafa a la enseanzasuperior.

Desde hace aos, la medida ha sido objeto de instruccin obligatoria enlos pases ms desarrollados y tambin en el nuestro. Los CuestionariosNacionales de 1955, 1965 y 1970, as como los Programas Renovados (1982)y los Objetivos Terminales para la Segunda Etapa (1980), la incluyen en susorientaciones y programas, con bastante amplitud y extensin.

con motivo del vI I.C.M.E. (Budapest, 1988) se han celebrado variosdebates sobre los problemas de la Educacin Matemtica en la dcada de losnoventa; en los documentos publicados despus del Simposio de Valencia en!987, aparece como conocimiento necesarb

rEs ms, desearamos que en los programas a desarrollar para profesores

de Enseanza Media, en la formacin inicial de maestros y de cara a laformacin permanente de enseantes, estuviera incluida.

Al revisar la bibliogralia existente relativa a magnitudes y medida hemosencontrado variadas posiciones, desde la ya ms obsoleta y tradicional quese centra en un aspecto concreto de la medida, el Sistema Mtrico Decimal,hasta las ms recientes que abogan por un mtodo de trabajo ms completo,tendente a construir la magnitud, posteriormente medirla (resaltando suutilidad real) y poder realizar estimaciones.

Aunque en el momento de llevar a cabo en Espaa las ltimas reformasen la E.G.B., ya se dispona de estudios, realizados en su mayora en elextranjero, que proponan cambios metodolgicos en la lnea anteriormentecomentada, creemos que estas nuevas tendencias no han tenido demasiadarepercusin en la enseanza. Los Programas Renovados parecen hacer unadeclaracin de intenciones en sus prlogos que luego no se ve correspondidacon la conveniente propuesta de actividades. De ah que la mayora de lostextos, y por consiguiente el trabajo en el aula, se siga centrando en aspectosrelacionados con el uso terico del S.M.D. y dedicando poco tiempo aresaltar la utilidad prctica,la captacin de la cualidad que se va a medir, yla estimacin.

Y de entre todas las magnitudes, concretamente de las que nos ocupare-mos, el rea y el volumen, nos parecen las menos cuidadas en cuanto a lasactividades que se realizan, ya que se cercenan sistemticamente muchos desus ricos y variados matices y no se suele poner de manifresto su conexincon otras partes de la matemtica escolar. Aunque el rea y el volumenpresentan caractersticas que podan haberse tratado conjuntamente, hemosoptado por realizar tratamientos independientes de ambas magnitudes. Deeste modo creemos facilitar la lectura a la persona que nicamente se en-cuentre interesada en una de ellas. De este planteamiento inicial, se sigue queel libro conste de tres bloques: los dos primeros dedicados, respectivamente,al rea y al volumen, que conllevan planteamientos paralelos y otro tercerodonde se tratan fundamentos matemticos y aspectos histricos relacionadoscon estas magnitudes. Aadimos tambin un apndice donde se incluyenproblemas curiosos que podran utilizarse dentro de un mtodo de trabajodonde se contemple la resolucin de problemas.

Los captulos I y 3 tienen por objeto ofrecer al lector una sntesis de losdiferentes estudios que clarifican la adquisicin de los conceptos de rea yvolumen por los escolares. Se comienza realizando una aproximacin feno-menolgica a dichos conceptos,. esto es, su descripcin en relacin a losfenmenos de la vida real de los cuales es el sustento. Se detallan qufenmenos reales pueden organizar el rea y el volumen y a cules seextiende. Adems del vocabulario utilizado y las diferentes situaciones realesdonde se mide el nea y el volumen, se citan las posibles aproximaciones a

t2

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dichos conceptos que dan una idea clara de las diversas posibilidades concre-tas de las que disponemos para acercarnos a ellos.

En 1.2 y 3.2 se compilan investigaciones de tipo psicolgico y cognitivoque constituirn, en parte, un apoyo y una orientacin para el desarrolloprctico de actividades. Tambin se comentan algunos errores y dificulta-des que pueden surgir en la adquisicin de estos conceptos. Parte deestas investigaciones pueden resultar duras y excesivamente tericas parael lector poco habituado a la terminologa usada. De ah que en 1.3 y 3.3aparezcan unas conclusiones de tipo prctico de todo lo contenido en loscaptulos I y 3.

Existen distintos modelos para el tratamiento de las magnitudes y lamedida. Nuestra propuesta metodolgica (captulos 2 y 4), aplicada en estecaso al rea y al volumen, pero vlida para otras magnitudes, es un intentode sntesis de esas variadas propuestas y de las aportaciones extradas de loscaptulos I y 3.

Entendemos la medida de una magnitud como un proceso que se iniciacon la constitucin de la magnitud y se completa con la medida y laestimacin de la misma. El proceso comienza con la percepcin de la cuali-dad que se va a medir (2.1 y 4.1). Posteriormente, se comparan objetos quecomparten este atributo comn medible (2.2 y a.\. De entre todas lascualidades de los objetos, el nio se centra en una y realiza comparacionescon los trminos relacionales , (menos que>, (tanto como>; preci-samente de este trmino comparativo surge la idea de considerar como todos los objetos que han quedado agrupados al utilizarlo,obtenindose as la nocin de cantidad. Si se desea realizar un planteamientocoherente desde el punto de vista matemtico, se puede ordenar los objetosatendiendo a la cualidad escogida y trabajar con la operacin de composi-cin (la suma).

El paso siguiente es, quizs, el que ms importancia de tipo prcticoconlleva. A una cantidad de maenitud se le asiena un nmero atendiendo adistintas etapas:

. se escoge una cantidad fija que llamaremos unidad de medida;

. se reitera, tantas veces como seFpreciso, sobre el objeto a medir;

. se cuenta el nmero de veces que se ha iterado;

. se le asigna al objeto ese nmero. Dicho nmero ser su medidarespecto de la unidad elegida. Todos los dems objetos que son equiva-lentes al dado, esto es, que tengan la misma cantidad de magnitud,mediarn lo mismo (n y a$.

Con todo este proceso se debe lograr clarificar qu es

medida. En 2.4 y 4.4 recogemos la aritmetizacin, esto es, el modo decalcular reas y volmenes de forma prctica mediante el uso de frmulas.

Completamos el proceso con la estimacin (2.5 y 4.5), es decir, la posibili-dad de apreciar a ojo, sin la ayuda de instrumentos, la medida de una cantidadde magnitud. Es esta una habilidad que se debe fomentar por su indudablevalor prctico y que no est suficientemente atendida en la actualidad.

Este acercamiento al rea y al volumen nos parece ms rico que eltradicional. Por otra parte, ofrece, como se podr ir comprobando al avan-zar en las pginas de este libro, mltiples conexiones con otras partes de lamatemtica y del currculum escolar. Extendernos por cada una de ellashubiese constituido una labor interminable; se han esbozado las lneas aseguir para mostrar que este tema no est aislado, sino que su trabajoimplica a otros conceptos conexos como polgonos, cuerpos, poliedros, inte-gral, etc., que han sido tratados en otros libros de la serie.

Conviene advertir que todo el proceso, descrito en los captulos 2 y 4, noresulta tan simple y ordenado como en un principio podra parecer; escomplejo y a menudo se producen avances en distintos campos, distandomucho de progresos lineales.

El tercer bloque comienza facilitando unas nociones matemticas sobre elconcepto de magnitud y medida, y la construccin matemtica de las magni-tudes rea y volumen. Pretendemos dar una visin, con un cierto nivel derigor, que permita un tratamiento matemtico y proporcione una sintesis dela construccin mental que subyace a los conceptos de rea, volumen y sumedida. Finaliza la tercera parte aportando algunos datos histricos, sinnimo de ser exhaustivos, sobre el tema que nos ocupa. Considerar lahistoria de un concepto es algo bastante recomendado en todas las orienta-ciones de Educacin Matemtica; adems de su carcter anecdtico y cultu-ral, aporta una valiosa informacin sobre su evolucin a lo largo del tiempoque puede ser aprovechada, en ocasiones, para prever un desarrollo similaren su adquisicin por los nios, e incluso para estar prevenidos sobre posi-bles errores y dificultades.

En el apndice proponemos algunos problemas curiosos sobre rea yvolumen, que permitirn poner en prctica la forma de trabajo conocidacomo Resolucin de Problemas. Las cuestiones alli planteadas y algunas delas actividades y juegos descritos en el libro, no usuales en el mbito acad-mico, ofrecen, al que se enfrente a ellos, la posibilidad de poner en marchamecanismos y estrategias propias para encontrar su solucin desarrollandola creatividad, la habilidad de , y evitando la rutina.

En dehnitiva, con el contenido de este libro nos proponemos ofrecer unarecopilacin de las investigaciones sobre rea y volumen que permita ctuali-zarse a. toda persona interesada en el tema, adems de abrir nuevos horizon-tes a los docentes y a los futuros docentes en el trabajo con estos tpicos,proporcionndoles un estmulo para el cambio en las aulas.

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1.Aportaciones sobre la adquisicin

del concepto de rea

1.1. APROXIMACIN FENOMENOLGICA

1.1.1. Vocabulario

Se cuenta que un tom unos pedruscos y con ellosacot un terreno, comunic a todos sus vecinos que ese terreno era suyo ylos dems le creyeron.

Esta ancdota es una idealizacin, de un filsofo francs, a cerca delorigen de la propiedad entre los hombres. Lo que olvid el hlsofo es que el tambin desarroll el concepto de superficie. El concep-to del que nos ocupamos es de reconocida utilidad entonces y en la actuali-dad, estando presente en gran nmero de nuestras actividades cotidianas.

Hay una cualidad de los objetos llamada, generalmente, superficie o rea.Algunos autores establecen diferencias entre estos trminos, entendiendor para designar dicha cualidad y para su medida, peronosotrs no emplearemos esa distincin y seguiremos un tratamiento parale-lo al que se acepta parala magnitud longitud (la longitud es una cualidad delos objetos que puede medirse a travs de las medidas de longitud). En losucesivo consideraremos el rea eomo una cualidad que puede medirse atravs de sus unidades.

Estas disquisiciones pueden parecer superfluas o innecesarias al lector,pero coincidir con nosotros en que una primera aproximacin a los concep-tos son los trminos con que se nombran. Se hace necesario conocer ymanejar correctamente el vocabulario ms usual que se emplea en nuestroidioma para nombrarlo, es decir, sus sinnimos, los adjetivos con los que seestablecen sus comparaciones y otros vocablos con los que pueda tenerrelaciones semnticas.

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\rEn el Diccionario de sinnimos y antnimos, de F. C. de Robles, la voz

aparece como sinnima de , y sta, a su vez, admite lossiguientes trminos como sinnimos:

Tambin y debido a que en bastantes ocasiones el rea puede reducirse ados dimensiones lineales, se utilizan variantes propias de la longitud como:

algunos de estos trminos no son adecuados porque no se refieren a ningnaspecto cuantitativo de la cualidad o

- una superficie de piel paru juzgar su intercambio de calor o su trans-piracin;

- cuerpos para vestir, muebles para tapizar;la superficie de un bosque para juzgar su evaporacin e intercambiode gas; la extensin de unas salinas;una seccin de un slido (salchichn, queso, fruta, etc.);un pster; un tabln de anuncios o una superficie de anuncios comer-ciales;una pantalla de cine, televisin o medios audiovisuales;una superficie como hueco o agujero que hay que tapar: pozo, sartn...una superficie como huella;una superficie como hueco de una plantilla.

Tambin se utiliza el rea en:- problemas de empaquetamiento y envoltorios, aprovechamiento de

lminas de metal para construir latas con el mnimo coste;- construccin de sombreros: hada, bruja, mexicano...;-etiquetado de botes y latas de conserva, botellas, quesos de.bola;- elaboracin de planos y mapas.Invitamos al lector a completar esta lista aportando otras situaciones en

las que tambin se utiliza el rea.Todas estas situaciones podrian sintetizarse, en una primera aproxima-

cin" en:- contextos en los que el rea representa la extensin de un cuerpo;-contextos en los que el rea expresa un hueco o espacio vaco, algo no

tangible como el vano de la puerta, y, finalmente,- contextos que tratan de la marca o huella que ha dejado cualquier

mvil al desplazarse (la superficie segada por una cosechadora en unapasada).

. ModelosDesde el punto de vista matemtico, el rea se reliere a figuras geomtri-

cas. Para estudiar las superficies, stas se clasilican segn diferentes modelos.As se distingue entre superficies planas o no planas. Y dentro de las planaslos polgonos y las de contorno curvo. Las no planas, a su vez, pueden ser:desarrollables y no desarrollables. Para trabajar con ellas, las superliciespueden venir expresadas, o no, mediante frmulas, o bien con un signilicadode expresar relaciones entre longitudes (una longitud en funcin de otras)como en el teorema de Pitgoras.

La matemtica realiza una primera aproximacin al nea sobre objetosbidimensionales en los que se puede distinguir el largo y el ancho, generali-

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zndolo posteriormente a figuras bidimensionales en las que ya no se puedendistinguir estos conceptos, como en la superficie de una esfera o en una cintade Mobius.

1.1.3. Diferentes aproximaciones al rea

Ya hemos comentado las posibles situaciones en las que se presenta elrea. Freudenthal (1983) indica aproximaciones a dicho concepto y la granprofundidad y sohsticacin necesarias para su formacin. Las aproximacio-nes que considera ms importantes son las siguientes:

a) Repartir equitatiuamente. En stas se incluyen las situaciones en lasque dado un objeto hay que repartirlo; este hecho es muy corriente en la vidacotidiana y se resuelve mediante uno de los tres modos siguientes:

- Aprovechando regularidades. Es el caso de una tarta circular que suelepartirse mediante el trazado de dimetros imaginarios.

- Por estimacin.'Por ejemplo, se utiliza para partir una cuartilla en trespartes iguales, se superponen las tres posibles partes y se van equili-brando hasta conseguirlo.

- Por medida. Es el ms usual de los tres y consiste en medir la cantidada repartir, dividir el resultado de esa medida entre el nmero de partesque se desea, y medir cada una de las partes.

b) Comparar y reproducir. Se incluyen aqu aquellas situaciones en lasque hy que comparar dos superlicies y tambin aquellas otras en las quehay que obtener una reproduccin de una superltcie con una forma diferentea la que tiene. Por ejemplo, dibujar un cuadrado que tenga la misma reaque un tringulo dado. Estas comparaciones y reproducciones puede reali-zarse:

- Por inclusin. Si una superficie est contenida en otra, su comparacines inmediata; as, si el libro est sobre la mesa, la superficie de suportada es menor que la de la mesa.

- Por transformaciones de romper y rehacer, que consisten en descom-poner una superficie en diversas partes y reorganizarlas posterior-mente obteniendo formas diferentes que tienen la misma rea. Tal es elcaso de las diferentes figuras que pueden realizarse con el tangram,como veremos ms adelante.

Esta tcnica permite tambin conseguir reproducciones de unasuperhcie que puedan estar contenidas en otras. Por ejemplo, unacinta mtrica de modista extendida excede el tablero de una mesa decamilla, pero si partimos esa cinta en trozos y los colocamos uno juntoa otro por su parte ms ancha, la cinta puede caber sobre la mesa.

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- Por estimacin. Se suele utilizar en muchos casos, como cuando va-mos a comprar un retal para hacer una falda. Aqu hay que apreciar siel trozo de tejido nos alcanzar o no para la forma que queremosdarle.

- Por medida. Para comparar dos superficies lo ms habitual es recurrira medir, sobre todo cuando la diferencia entre las dos superficies acomparar es muy pequea; tambin se puede aplicar para obtenercopias de otra superficie.

- Por medio de funciones. En matemticas superiores, las superficiessuelen expresarse mediante frmulas y para comparar dos de ellas uobtener una reproduccin se recurre a funciones que conservan elrea, como los difeomorfismos. Tambin se pueden aplicar funcionesmatemticas a situaciones reales como, por ejemplo, para comparardos figuras dibujadas en papel sometemos una de ellas a las traslacio-nes, giros y simetras necesarias hasta superponerlas, estas funcionestambin conservan el rea.

c) Midiendo. En muchas situaciones, la supercie aparece ligada a unproceso de medida, ya sea para comparar, repartir o valorar. Este proceso demedida puede realizarse de diferentes formas:

-Por exhauscin con unidades. Es decir, rellenando.el interior de lasuperlicie a medir con unidades (de superficie) colocadas unas junto aotras y no superpuestas, y en aquellas partes de la superficie donde noquepan se recurre a rellenar con unidades ms pequeas. Este procesose contina hasta que se recubra totalmente la superficie a medir o seconsidere que la porcin no recubierta es despreciable para la activi-dad que estamos realizando. Esta tcnica se utiliza para medir cual-quier superlicie irregular. No es prctica, sobre todo porque paramedir superlicies se suele recurrir a las unidades de longitud y me-diante el uso de alguna tcnica se pasa a calcular la medida de lasuperficie en las unidades derivadas. Sin embargo, puede considerarsecomo mtodo (reservaD a utilizar para el caso de una superficie((muy) irregular, donde no se pueden aplicar procedimientos mscorrientes.

- Por acotacin entre un valor superior e inferior podemos obtener unamedida aproximada de cualquier superficie. La tcnica anteriormentedescrita es de este tipo, pues consiste en aproximar la superficie desdesu interior. Hay otros procedimientos que se basan en este proceso,como el de superponer una rejilla (cuadrada de 1 cm de lado, porejemplo) a la superficie a medir y contar el nmero de cuadrados queson totalmente interiores a la superficie, y por otra parte, el nmero decuadrados que intersecan a la superficie; tenemos as una medidaaproximada por defecto (el nmero de cuadrados interiores) y orra por

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exceso (el nmero de cuadrados que intersecan)' Si se reitera el proce-so tomando una rejilla ms fin $or ejemplo' de 0'5 cm. de lado)obtenemosonunu,uumedidainterioryexterior,conlaparticularidadde que la diferencia entre ambas es menor que la obtenida para lasanteriores y, por tanto, la aproximacin es mejor' Tambin-.se puedeufro"l-urlidiante figuras interiores y exteriores que sean lcilmentemedibles, tal es el caso del crculo, en el que frecuentemente. se recurrea polgonos inscritos y circunscritos de gran nmero de lados paradeducir su rea'

- Por transformaciones de romper y rehacer. Por ejemplo, para calcularel rea de un tringulo equiltero se puede descomponer por una desusal turasendostr ingulosrectngulosyunirstosporsuhipo-tenusa obteniendo un rectngulo. Este es el proceso por.el que sesuelendeducir lasfrmulasdelasf igurasgeomtr icasenlosnivelesescolares.

- por medio de relaciones geomtricas generales. ste es el procedimien-tousualparamediruna-superf ic ie,midiendosusdimensionesl inealesy po,

-idio de frmulas il"gut u su medida' As' para calcular la

suierficie de una habitacin rctangular medimos su ancho y su largoyapl icamoslaconocidafrmuladelreadelrectngulo.Tambinparaobtenerlamedidadelreaenfuncindelasdimensionesl inealesp,r"denemplearseotrasrelacionesgeomtricascomofunciones(con-ir,rencias, f-rnidades...) o principios como el de Cavalieri (que detalla-i"rno, ms adelante) o teoremas como el de Pitgoras'

Freudenthalconsideratodasestasaproximacionescomodidcticamenteaceptables, pero con diferente peso' Fsta amplia gama nos puede dar unaidea de la complejidad del concepto area'

I,2. ESTUDIOS DE TIPO PSICOLGICO Y COGNITIVO

Enesteapartadorecogemostrabajosquefaci l i taninformacinsobrelaadquisicin, por parte de los nios, d conceptos relacionados con el rea.

^8, pre"is dstacar la poca atencin prestada al desarrollo de estosconceptos en comparacin cln otros tpicos y' como consecuencia de ello' la.r.ur"i de los resultados que son tiles para la instruccin. En el campoconsiderable de las investigaciones sobre el desarrollo cognitivo efectuadas apart i rdelasconservacion-es, lasrelat ivasalespaciohansidopocoestudia-ias: lo revela el hecho de que de 300 publicaciones repartidas en los perodosiges-geg y 73-t971,dan on D pr 100 sobre cantidades fisicas (cantidad,masa, sustancia, peso); 5 por 100 sbre la longitud' y menos de un"3 por 100para'tu superfici y .i ulu-.n conjuntamente (stas son esencialmente lasirecha, de los estuios de epistemologa gentica piagetianos)'

1l

-..

El objetivo que pretendemos al ofrecer en este libro una sntesis, por otraparte no exhaustiva, de las investigaciones encontradas en torno a la adquisi-cin del concepto por los nios (y de volumen en su apartado correspondien-te) es doble: por una parte proporcionar unos resultados que iluminen lo queest ocurriendo al pensamiento del nio y, por otra, poder disponer de lasexperiencias que han proporcionado esos resultados y que nosotros propo-nemos como actividades tipo a realizar con los alumnos en clase para. ayudara una completa y ms amplia comprensin de los conceptos de rea yvolumen, y para diagnosticar situaciones concretas en el proceso de ensean-za-aprendizaje.

Los estudios los hemos agrupado en torno a los distintos investigadoresque se han destacado. As, para el rea: Piaget y otros que realizan experien-cias anlogas a las realizadas por 1, Wagman y Rogalski. Fundamental-mente estas investigaciones son estudios relacionados con la constitucin delrea o relacionados con la medida de sta.

1.2.1. Piaget y otros

El trabajo que han realizado Piaget y sus colaboradores significa unaimportante contribucin a la comprensin del desarrollo en el nio deconceptos relacionados con la medida, ala vez que han proporcionado unabase para el debate y necesidad de posteriores investigaciones.

Piaget identilica dos operaciones fundamentales de las que depende elprocedo de la medida: conseruacin y transitiuidad.

- La conservacin tiene que ver con la invarianza de ciertas cualidadesde los objetos cuando se ejercen transformaciones sobre ellos. Porejemplo, disponemos de la misma cantidad de tela cuando la tenemostoda en un corte que cuando se han cortado los patrones; el rectngu-lo R de la figura tiene la misma rea que el trapecio issceles Z.

B.Entrminossimbl icos,s i ,4 : Cy C: B entonces A: B,esdecir, la altura de la nueva torre es igual a la de la antigua en virtuddel uso del intermediario C. En la medida, el uso de intermediariosconlleva la nocin de transitividad.

Para ayudar a la lectura de los prrafos siguientes dedicados a relatar lasinvestigaciones, indicamos al lector que estn agrupadas por tareas de con-,raruacin y de medicin, la estructura que llevaremos ser:

- objetivo de la investigacin que se describe;- relto de la actividad o actividades que Piaget propone a los nios;- resultados de Piaget;- actividades y resultados de otros investigadores que han realizado el

mismo tipo de experiencia;- conclusiones.

a Tareas de conseruacin:. Sustraccin de superficies congruentes ms pequeas, de superficies

congruentes ms grandes.

Acrvlnnn:Se les da a los nios dos hojas de cartn verdes idnticas que deben

COnsiderar como praderas con pasto para que coman las vacas. Posterior-mente se les da un granjero y una vaca y se les pregunta si disponen delmismo pasto. Una vez que lo aceptan se van introduciendo casas sobre lsdos praderas (cartones) iguales para ambos prados y en igual nmero y se lespregunta si las dos vacas disponen del mismo pasto.

Risurrloos:En el estadig 1, aproximadamente hasta los cinco aos, no son capaces

de realizar la actividad, les resulta dificil.En el estadio 2, se presenta una subdivisin:- subestadio 2a, hasta los seis aos, en el que niegan la equivalencia de

las superficies resultantes;- subestadio 2b, hasta los seis o siete aos, se presenta una gran varie-

dad de respuestas intermedias.En el estadio 3. de siete aos en adelante, advierten que las superficies

resultantes son iguales.concluye Piaget que existe un paralelismo con el patrn que l y sus

colaboradores describen para el desarrollo de la longitud.

RTFigura 1.1

La nocin de transitividad queda mejor ilustrada con un ejemplo:Supongamos que se tiene una torre A construida con tacos de una

arquitectura y que se desea construir otra torre B, con la misma alturadela A, en un lugar distante. Recurrimos ala ayuda de un palo dondemarcamos la altura de la torre A, y lo trasladamos para hacer la torre

22 23

T _-\

Lovell repite esta experiencia y encuentra que muy pocos nios admitenla conservacin hasta los 4, 5 o 6 pares de casas, negndola para cantidadesmayores, lo cual est en desacuerdo con los resultados de Piaget. Lovellatribuye esta discrepancia a que la edad cronolgica no parece estar enrelacin con la capacidad de resolver estas tareas, si bien dicha capacidad vadesarrollndose con la edad.

. Conservacin de las superficies frente a reestructuraciones.Piaget trabaja con dos modalidades:a) con superficies de permetro cerrado (para las que propone dos

actividades), yb) con superficies fuera de un permetro cerrado.

a) Para las superlicies de permetro cerrado:Pnlunnn ACTTvTDAD:

Se le proporciona al nio dos rectngulos formados por seis cuadradoscada uno; uno se deja intacto y se altera la organizacin al otro. Se lepregunta si caben las mismas casas (los nios pueden recubrir ambos rectn-gulos con cubos-casas en el lenguaje infantil).SncuNnn ACTIVIDAD:

Entregados dos rectngulos iguales de una sola pieza cada uno. Unopermanece intacto y al otro se le recortan varios trozos que se aaden a losotros lados. Se pregunta al nio si ha variado la superficie o siguen teniendola misma.

REsurr,oos:En el estadio 1 y el subesta dio 2a,los nios creen que la superficie cambia

con la forma.En el subestadio 2b, efectan juicios verdaderos pero son incapaces de

generalizar.A partir del estadio 3 comprenden la conservacin de la superficie cuan-

do se redistribuyen las partes o se altera la forma (notemos que son super-ficies bordeadas por un permetro, sin emb4rgo, no se comprende el conceptode unidad de medida).b) Para las superficies fuera de un permetro cerrado:Acrrvro.n:Dados dos prados (rectngulos) congruentes y dos parcelas de patatas (cua-drados) congruentes, una de ellas cortada en trozos mviles. A lo largo de lp24

prueba esta parcela se reorganiza, y se interroga a los nios sobre si queda lamisma porcin de prado sin cultivar.

Rnsur,r,oosiEn los estadios I y 2 no hay conservacin.En el subestadio 3a conservan la superficie, pues reconocen que hay la

misma superficie de patatas.En el subestadio 3b conservan la superficie exterior.Piaget y el grupo de Ginebra pusieron mucho nfasis en la conservacin

para el desarrollo de las nociones de magnitud y medida en los nios. Perocomo indica Freudenthal, hablar en trminos generales de conservacinresulta ambiguo; es preciso indicar la transformacin respecto de la cual sepostula la conservacin. An ms, tambin es ambiguo decir que un nio oun adulto conserva, por ejemplo, la cantidad de rea; esto depende de latarea asignada. K. Hart (1984) se cuestiona la secuencia, prcticamenteaceptada, de la conservacin de la longitud, rea y volumen. Propone expe-riencias parecidas a las clsicas a nios, y eq sus resultados destaca que el 70por 100 de los nios que no conservan la longitud, pueden conservar el reay el 70 por 100 de los que no pueden conservar el rea, pueden conservar la 'longitud. De esta forma, parece que una capacidad no es requisito para laotra.

Tambin esta autora, dentro de un trabajo ms amplio [vase Hart yotros (1981)l investiga la conservacin del rea. Propone a nios de doce,trece y catorce aos las siguientes tareas:

itemT del C.S.M.S.:Este dibujo muestra cuadrados de estao que tienenel mismo tamao:

Figura 1.2

Una mquina hace ocho agujeros en cada uno

\-

Figura 1.3

25

rIndica la respuesta que te parece correcta:l. A tiene ms estao.2. ,B tiene ms estao.3. A y B tienen la misma cantidad de estao.4. T no puedes decir ahora si una tiene ms estad o no.

Da una raz6n para tu respuestaLas contestaciones a 3 son:-Doce aos: 80 por 100.-Trece aos: 80 por 100.-Catorce aos: 82 por 100.

tem 8 de C.S.M.S.: Corto un cuadrado I en tres piezas y las recompon-go sin superponer en una nueva forma .8.

----)

Figura 1.4

Seala la respuesta correcta:1. A tiene rea mayor.2. ,B tiene rea mayor.3. A y B tienen la misma rea.4. T no puedes decir si un rea es mayor o no.Lasrespuestasa3son:- Doce aos: 80 por 100.- Trece aos: 85 por 100.- Catorce aos: 44,5 por 100.Sobre el 72 por 100 de la poblacin supera las dos cuestiones.La autora aporta un dato relevante: en la tarea 8 hay sujetos que afirman

la igualdad entre el permetro de las dos figuras (seguramente por que tienenla misma rea), concretamente el 36 por 100 de doce aos, er29 de trece y el20 de catorce.

Tanto la tarea 7 como la 8 nos indican que, incluso nios mayores, nohan logrado la denominada conservacin del rea.

26

I Tareas de medicin:Respecto a la medicin de superltcies Piaget y sus colaboradores realizan

dos tipos de exPeriencias:. De medicin:

a) por superposicin;b) por iteracin.

. De aritmetizacion.

Rnsulrnoos:En el estadio 1 y el subestadio2a,los nios no saben qu hacer'En el subestadio 2b descubren gradualmente que el que necesita menos

tarjetas para ser cubierto es menor.-En

el subestadio 3a an no se advierte la necesidad de que todas lasunidades sean iguales.

En el subestadio 3b comprenden la nocin de unidad y toman en cuentael tamao de los elementos medidores.

Medicin:

a) Superposicin:ACTIVIDAD:

Los nios comparan el tamaode un tringulo rectngulo Y unaligura irregular distinta mediante eluso de cuadrados, tringulos Y rec-tngulos para recubrirla.

b\ Iteracin:

Actlvlono:' El segundo tiPo de exPerienciascs igual que el anterior, Pero Pro-porcionando una sola unidad demedicin (un cuadrado Y un lPizcn un caso y en otro un cuadrado,un rectngulo formado Por dos cua-drados y un tringulo-equivalente amedio cuadrado).

Figura 1.5

tTl tlr T:ht-i- i-l f-1 -i-i 1 r-r'i :-I

t-II \Nt_t_l I |-lFigura 1.6

27

\I

Resurrlnos:Estadio 1 y subestadio 2a, los nios manifrestan slo consideraciones

perceptuales.Subestadio 2b, en esta fase los nios realizan algunas mediciones, pero

consideran el cuadrado equivalente al tringulo.Subestadio 3a, cuentan el cuadrado igual al tringulo hasta que se les

seala el error.Subestadio 3b, se impone un esquema nico de operacin unidad.Estadio 4, pasan de la longitud a la superficie por multiplicacin aritmti-

ca.

Lovell realiza tambin una experiencia semejante a la anterior, obtenien-do que con la edad se produce un progreso en la capacidad de medir poraplicacin repetida de la unidad (sea cuadrada o triangular), pero algunossuperan en esta tarea a los nios de mayor edad.

Aritmetizacin. Estudia la relacin entre la medida de los lados de unafigura y su superlicie

Acrrvto.rn:Se les pide a los nios que dibujen un cuadrado (y posteriormente otras

figuras) de doble tamao que uno dado y comprobarlo experimentalmente.

Rnsulrnoos:Estadio 1, no se considera apropiada esta tarea por la edad.Estadio 2, duplicar consiste, para el nio, en aumentar levemente pero de

modo arbitrario.Subestadio 3a, en esta fase, los nios yuxtaponen dos superficies omitien-

do la exigencia de la forma, o bien duplican las dimensiones.Subestadio 3b, los nios reconocen que los procedimientos anteriores no

son satisfactorios y realizan intentos de relacionar longitud y superhcie,aunque sin xito.

Estadio 4, es al comienzo de este estadio cuando se comprenden lasrelaciones entre las longitudes y las superhcies.

Las investigaciones sobre el de-sarrollo de nociones de magnitud ymedida en los nios parecen cen-trarse en el estudio de la conserva-cin. Sin embargo, no podemosconsiderar sta como la nica ideaque interviene en la adquisicin de

28

Figura 1.7ffiffi

esos conceptos. Por ejemplo, la percepcin juega un importante papel; quedaprobado en un estudio de Hirstein (1974) citado en Children's Thinking inMeasurement Situation, Yearbook 76, pide a los nios que cubran unrectngulo con dos conjuntos de piezas diferentes (vanse figuras). Hasta'losdiez aos ningn nio concluye que las piezas rojas y azules tienen la mismarea.

1.2.2. Wagman

Wagman considera que los estudios relativos al desarrollo del conceptode rea realizados por el grupo de Ginebra omiten algunos aspectos signifi-cativos, desde el punto de vista matemtico, de dicho concepto. Intentaampliar en este sentido los resultados, diseando una investigacin (Wag-man, 1982) que contiene al menos una tarea relacionada con cada uno de losaxiomas de rea, de aditividad, de congruencia y de unidad.

Podemos formular los axiomas del siguiente modo:- Axioma de area. Si R es una regin poligonal dada, existe una corres-

pondencia que asocia a cada refin poligonal un nico nmero positi-vo tal que el nmero asignado a la regin dada R es el uno.

- Axioma de aditiuidad. Supongamos que la regin poligonal R es launin de dos regiones poligonales S y Ttal que la interseccin de S yT est contenida en la unin de un nmero finito de segmentos.Entonces respecto de la unidad dada de rea, el rea de R es la sumade las reas de S y 7-

- Axioma de congruencia. Si dos tringulos son congruentes, entonceslas respectivas regiones triangulares constituidas por los tringulos ysus interiores tienen la misma rearclativa a una unidad de rea dada.

- Axioma de unidad. Dadas un par de unidades para medir distancias,el rea de un rectngulo respecto a la unidad

rMediante pavimentado, el nio

debe encontrar cuntos tringulosnecesita para cubrir el grande y des-pus que ha encontrado este dato,se le pide que aventure cuntos trin-gulos pequeos necesitar para cu-brir el segundo tringulo, y cmo loha determinado.

ResuLrlnos:Las respuestas se dividen en dos

categorias:-los nios que concluyen que

se necesitan las mismaspiezas para pavimentar los dos tringulos porque tienen la mismamedida, o la misma medida y forma, y

- los nios que tienen que pavimentar el segundo tringulo o que inten-tan determinar el nmero de baldosas perceptualmente, sin realizarlo(estos fallan la tarea).

Tambin estudia la relacin en-tre el uso de este axioma y la con-servacin del rea; los datos obteni-dos le llevan a formular la hiptesisde que la comprensin del axiomaen aplicaciones concretas podrapreceder a la conservacin.

2. Tarea de unicidad de area.Una versin de este postulado es-

tablece que (para cada regin poli-gonal unidad hay una correspon-dencia que asigna un nmero realpositivo a cad,a regin poligonal; Ise le asigna a la regin poligonalunidad>.

Utiliza tres regiones poligonalesde diferente forma, las dos primerastienen la misma area y la terceradiferente.

El investigador proporciona alsujeto un nmero suficiente de uni-dades y le pide que mediante

30

pavimentado determine cuntas necesita para cubrir exactamente las regio-nes. El nio apila cerca de cada regin los azulejos necesitados y esto le sirvede ayuda para determinar la segunda parte de la tarea. En sta, el investiga-dor muestra gran nmero de azulejos triangulares (cada uno la mitad de loscuadrados anteriores) y le pide al nio encontrar cuntos de esos triangula-res precisa para cubrir cada regin poligonal. Si es necesario, le permitepavimentarla de nuevo.

Rsur,rnnos:Se clasifican las respuestas en cuatro categorias:

Incluye las respuestas que son correctas y se basan en una compara-cin de las unidades cuadradas y triangulares.Agrupa respuestas correctas basadas en una regla desarrollada des-pus de repavimentar la primera o la segunda regin poligonal.Si el sujeto obtiene respuestas correctas para la primera y terceraregiones por repavimentacin y determina la respuesta correcta parala segunda porque su rea coincide con la primera. En esta categorase incluyen las respuestas que son correctas y se basan en unarepavimentacin de la primera regin; para la segunda, se establecesin repavimentar y es correcta, y para la tercera regin se da larespuesta sin pavimentar, se falla, y se establece la respuesta correctadespus de un pavimentado efectivo.Incluye respuestas basadas en la pavimentacin de las tres regiones-

La primera categoria de respuestas pertenece a la subetapa denominada3b por el grupo de Ginebra, ya que exige la comprensin de la medidarelativa de las unidades. Las contestaciones de este tipo indican la habilidadde aplicar el axioma de unidad de rea en una situacin concreta.

Segn los resultados obtenidos por este autor, el 80 por 100 de los niosde ocho aos estn en la etapa 3b o son transicionales a ella (3a-3b); estoindica que la mayora de los nios de esta edad estn en condiciones deaplicar el axioma de unidad de rea en situaciones concretas con la ayudaperceptual. El42por 100 de los nios de once aos se encuentran en la etapa3b; este porcentaje es ms bajo de lo que podra esperarse de los resultadosdel grupo de Piaget.

3. Tarea de aditividad. Seala dos posibles aproximaciones a esteaxioma:

3.a) Se da la descomposicin de una regin en subregiones, y el sujetodebe descubrir una reordenacin de los (trozos) que hagan suunin congruente a una segunda regin.

3.b) El sujeto debe realizar cortes en una regin para obtener subregio-

Figurai)

ii)i i i)

iv)

\

Nt.8

Figura 1.9

,4.

31

\JJ

nes y realizar arreglos con ellas. Esta segunda aproximacin es msindeterminada que la primera, ya que no se fija el nmero de cortes,y existen mltiples soluciones.

Tarea 3.a) Aditividad con descomposicin (primera aproximacin). Sele presentan al sujeto dos regiones poligonales (I y II) y un conjunto desubregiones. Se le pregunta si puede arreglar esas subregiones de manera quecubran exactamente la regin I y despus la regin II; luego se le pregunta silas regiones tienen la misma o distinta cantidad de espacio, razonando larespuesta.

La tarea se divide en dos partes: 3.a1) las regiones poligonales I y IItienen la misma rea, y 3.a2) las regiones poligonales I y II tienen distintarea.

Rrsurrnoos:Se clasifican las respuestas en dos categoras:i) Son correctas en las dos partes de la tarea. Este tipo de contestacin

presupone la combinacin de la conservacin y la transitividad, porlo que los sujetos deben pertenecer al nivel 3.a o ms alto.

ii) Incluye respuestas incorrectas en una o dos partes. Si el sujeto semuestra indeciso entre la respuesta correcta o incorrecta, tambin seincluye aqu. Los individuos de esta categora estn en un estadioanterior al de las operaciones concretas.

calco y una regin rectangular (R); le pide que determine si tienen ono la mism a rez. Se le proporcionan tijeras y si el sujeto noreacciona, el investigador coloca las regiones como en la figura' Sipersiste la dilicultad, el investigador realiza la descomposicin yrepite la pregunta.

Figura l.1l

se repite la tarea usando la misma regin rectangular R y otroparallogramo Pr, que no es equidescomponible con R'3e urrelu a repetir l misma tarea con el rectngulo R y un paralelo-gramo P. que si es equidescomponible a R, pero que tiene tu 41guxterior.

-Es1e hecho, segn Wertheimer [citado en Wagman (1982)],parece incrementar la dificultad, pues nios que usaban la frmulapara encontr ar el area de un paralelogramo con altura interior, no lo^hacan

en el caso de altura exterior. Tanto P, como Pt tienen laaltura interior.

b)c)

Tarea 3.b) Aditividad sin des-composicin (segunda aproxima-cin). Si es posible descomponeruna regin poligonal arbitraria enun nmero finito de partes y arre-glarlas para formar una ligura cuyarea es ya conocida, se determina elrea de la regin original.

Por ejemplo, determinar el readel tringulo rectngulo a travs dela del rectngulo.

Divide la tarea de actividadessin descomposicin en tres partes:

a) El investigador presenta alsujeto un paralelogramo(Pr) construido sobre papel

32

\\l_\L

,/.n',

Figura l l0 Figura 1.12

\Aparece en esta tarea una posible fuente de error; el mtodo de solucindepende del nmero de cortes, que no est prelijado, y es dificil ser exacto enlos cortes, sobre todo si son muchos.

RBsurrnoos:Las respuestas a esta tarea se clasifican en cuatro categorias:-Tienen las tres partes de la tarea correctas, demostrando la habilidad

de usar el axioma de aditividad en situaciones concretas. Este tipo derespuestas es consistente con el nivel de realizacin caracterstico de lasubetapa 3b del grupo de Ginebra (el autor lo justifica).

- Incluye respuestas correctas a las dos primeras partes de la tarea. Elindividuo est ms sujeto a la percepcin; es transicional a la 3b.

- Los sujetos llegan a la solucin correcta cuando el investigador realizzla descomposicin. Ellos no inician la descomposicin en el segundoparalelogramo aun cuando el investigador lo haya realizado en elprimero. Esta categora pertenece al nivel 3a; incluso algunos indivi-duos se refieren al permetro de las regiones (caracterstic del nivel3a).

- Las respuestas de esta categoria son las que argumentan que diferentesformas implican diferentes reas. Esto es contrario a la conservacindel rea, por lo que los individuos de esta categora estn en unasubetapa anterior a la de las operaciones concretas.

A pesar de que las tareas se administran slo a nios conservadoreS, casila tercera parte de los nios de ocho aos conservadores estn por debajodel nivel 3a en esta tarea.La dificultad de la misma puede ser la causa de quesus soluciones contradigan la recientemente adquirida conservacin.

Para ningn grupo de edad, el porcentaje del ms alto nivel o transicio-nal a 1, supera el 75 por 100. Este resultado es ms bajo que el obtenido porel grupo de Ginebra que supone no menos del 75 por 100 en el nivel 3b.

4. Tarea del postulado de unidad. En la primera parte el investigadorproporciona al sujeto dos regiones rectangulares Rr y R2, un nmero sufi-ciente de cuadrados con los que laspucde cubrir totalmente y reglas pa-ra medir los lados de los rectngu-los y las unidades cuadradas. Se lepide al nio que diga cuntos cua-drados se necesitan usando slo laregla.

Los nios mayores han recibidoinformacin sobre esto en la escuel4

34

pero a veces no son capaces de explicar por qu lo hacen. Sin embargo, s secomprende totalmente el axioma, debern aplicarlo y generalizarlo a unasituacin prceptualmente diferente. En la ltima parte de la tarea se leproporciona al sujeto un paralelogramo y un nmero de rombos suficientepara cubrirlo. Usando slo la regla se le pide una prediccin del nmero derombos necesarios para cubrir el paralelogramo.

Las regiones rectangulares Rt ! Rz de la primera parte de la tarea tienen unadiferencia: en Rl, el tea es ms grande que el permetro, y en Rr, elpermetro es mayor que el rea (se escoge de este modo porque algunossujetos calculaban el rea y el permetro y usaban el dato ms grande para elrea).

Despus de dar la respuesta correcta para el primer rectngulo, se lespermita pavimentarlo para evitar ambigedades.

Rnsulrroos:Las etapas marcadas por Piaget para esta tarea se adaptan a las de este

estudio. Las respuestas correctas para las tres figuras (dos rectngulos y unparalelogramo) basadas en medidas lineales de los lados pertenecen a laetapa 4. Se considera-un mtodo correcto la adicin repetida en vez de lamultiplicacin.

Los sujetos transicionales (3b-a) no demuestran completa comprensindel concepto. Ellos usan algunas medidas no lineales (usando uno o mscuadrados o rombos), en particular con respecto al paralelogramo, pero soncapaces de usar esas medidas por ensayo y error.

Al nivel 3b la coordinacin de las tres dimensiones se demuestra por lahabilidad de trabajar con regiones rectangulares usando los cuadrados y lasreglas. Los nios transicionales 3a-3b pueden resolver el segundo rectngulodespus de haberle demostrado el primero. Muestran el comienzo de unahabilidad para resolver casos perceptualmente fciles.

Las restantes respuestas son transicionales a 3a. En algunos casos elsujeto mueve el cuadrado alrededor del rectngulo; en otros conjeturan.

La realizacin de esta tarea aumenta con la edad. Las respuestas de casila mitad de los nios de ocho aos se inscriben en la etapa ms baja de estatarea; esto indica su incapacidad para aplicar este axioma, aun en casosfciles. Por el contrario, sobre la mitad de los nios de once aos estn en elms alto nivel o transicionales a 1. Aplican el axioma a casos fciles ydificiles con quizs algn tipo de dificultad en la medida.

El autor aplica esta tarea a nios de quinto y sexto grado. Los de sextogrado han recibido instruccin en la escuela, pero la semejanza de resultadosobtenidos le hacen aventurar la hiptesis de que la instruccin escolar noparece tener un efecto aparente en la rcalizacin de esta tarea por los nios.

t

Fig. 1.13

,

.^.r^!5

7Wagman termina estableciendo cuatro etapas en el desarrollo de la

mcdida del rea: logro de la medida de rea, transicional, principio y preme-dicla.

El nivel ms alto, la etapa de logro, se caracteriza por la habilidad deaplicar el conjunto entero de axiomas en casos perceptualmente fciles ydificiles. Los nios que estn en la etapa transicional aplican los axiomas encasos simples, pero necesitan ayuda cuando la situacin se complica percep-tualmente, o no son capaces de resolverla. En el de la emergenciade la medida del rea, los sujetos aplican algunos, pero no todos, los axio-mas. Los nios de esta etapa conservan el rea; sin embargo, los que estn enla han logrado la conservacin del rea, pero son incapaces deaplicarla a todas las situaciones. A pesar de todo, ellos aplican alguno de losaxiomas de la medida de rea.

Establece en una tabla los resultados:

EtapaEdad

Total8 10 l l

Premedida .Principio ..TransicionalLogro . . . . .

Total . .

4t470

I

8151

I9

l33

63l354

25 25 26 76

Casi la mitad de los nios de ocho aos estn en el principio; estossujetos no pueden aplicar todos los axiomas en situaciones simples. Las dosterceras partes, aproximadamente, de nios de diez y once aos estn en lasdos ltimas etapas. Sin embargo, sobre la tercera parte de los mayores tienendilicultad para aplicar al menos uno de los axiomas.

Osborne hace, como Wagman, un planteamiento de tipo matemtico,considera los axiomas de la medida y propone introducir el concepto de reaaprovechando la axiomtica comn con la magnitud longitud. Lo que seconoce con el nombre de transfer.

Asi, despus de analizar los sistemas de medida del rea y de la longitud,subraya las cinco propiedades comunes que pueden servir como base consis-tente para aplicar los seis principios de la enseanza del transfer (Yearbook,t976).

36

Propiedadescomunes

Longitud rea

l .

2.

FuncinAditividad

CongruenciaComparacin

5. Unidad

La longitud/rea es una funcin.La unin de dos segmentos/regiones que no se solapen tienenigual medida que la suma de las medidas de los segmentos/re-giones.Segmentos/regiones congruentes tienen igual medida.Si el segmento/regin R est contenido en el segmento/reginS, med (R) < med (S).Se necesita una unidad para asignar una medida a un segmentoo regin.

Desconocemos cmo es acogido por los nios esta forma de introducir elrea, pues no disponemos de datos. En realidad no se trata de una investiga-cin; es ms bien una propuesta.

1.2.3. Rogalski

Rogalski estudia la adquisicin de la dimensionalidad de las longitudes ysuperficies por el estudio de los invariantes de ciertas transformaciones: lassemejanzas que tratan de manera diferenciada las tres medidas; una semejan-za de raz6n r, para la longitud asocia el invariante r, para la superficie r2,para el volumen 13, propiedad que equivale a la aplicacin de las ecuacionesde dimensiones.

Algunas de las cuestiones centrals que investiga son:- Cul es la disponibilidad de las representaciones que pueden tener

los nios de las operaciones de pavimentado? Es decir, si a un niole presentamos dos figuras semejantes, con una razbn de semejanzasencilla, l es capaz de recubrir mentalmente y de manera inme-diata la grande con la pequea (y decir cuntas veces la contiene).Este tipo de representacin mental reduce el problema inicial, queera de tipo multiplicativo, a un problema de conteo y, por tanto,aditivo.

- Cuando estas representaciones mentales no estn inmediatamente dis-ponibles, puede lograrse que lo estn dando unos ejemplos o pistas,en qu casos?

- De qu modos operatorios los alumnos pueden tratar las medidas delongitud y de superficie?

"a

JI

--\

I)csc'ripcinLas pruebas que realiza para la superlicie estn agrupadas en dos cues-

tionarios llamados SA y SN; el cuestionario SA consta de cuatro fases:. Fase 1, pavimentado espontneo. Se trabaja con tres segmentos defini-

dos en la fase de familiarizacin como corto, medio y largo. Las figurasson delinidas con relacin a estos segmentos. Las razones, entre lasdimensiones de cada pareja de figuras a comparar, son dos o tres y losnios pueden elegir entre cuatro o cinco respuestas (vanse Figs. 1.14 yLls) .

Cuestionrio SAFASE 4

La superficie del cuadrado pequeo mide4 cm2. Cunto mide la superficie del gran-de?

La supercie del crculo pequeo mide6 cmz. Cunto mide la superficie del gran-de?

La superficie del tringulo pequeo mide1 cm2. Cunto mide la superhcie del gran-de?

La superficie del tringulo pequeo mide1,5 cm2. Cunto mide la superficie delgrande?

Figura l.l4 (continuacin)

Cuestionrio SNFASE 4

Medida de las superficies

La superficie de este cuadrado mide I cm2.

La superficie de este rectngulo mide 2 cm2;mide el doble de la superhcie del cuadrado.

Lr superficie de este rectngulo mide...

Cuntosgrande?

I(seala con una cruz).

Cuntos cuadradosgrande?

46(seala con una cruz).

rectngulos pequeos hay en el

2345

Cuntos cuadrados pequeosgrande?

123(seala con una cruz).

Cuestionario SAFASE 1

hay en el

5

hay en el

9

Figura l.l4

pequeos hay en el

89

hay en el

6

Cuntos tringulos pequeosgrande?

234(seala con una cruz).

Cuntos tringulos pequeosgrande?

3678(seala con una cruz).

AA

3938

A

A

Figura l.l5

7' I

Cuestionario SNFASE 4

La superficie de este rectngulo mide 2 cm2.Cunto mide la superlicie del tringulo?

Cunto mide la superficie del tringulo?

La superficie de este paralelogramo mide2 cm2.

Cunto mide la superficie de este paralelo-gramo?

Seala una figura de superfrcie doble.Cuntos cm2 tiene?

Para pintar el cuadrado pequeo son nece-sarios 4 botes de pintura. Cuntos se ne-cesitan para este cuadrado grande?

Cuntos botes para este cuadrado grande?

Para pintar el paralelogramo pequeo senecesitan 5 botes. Cuntos botes se nece-sitan para el grande?

Para pintar el crculo pequeo se necesitan6 botes de pintura roja. Cuntos botes senecesitan para el grande?

Para pintar el tringulo pequeo se nece-sita I bote de pintura amarilla. Cuntosbotes se necesitan para el grande?

Para pintar el tringulo pequeo se nece-sitan 2 botes de pintura marrn. Cuntos

- -botes se necesitan para el grande? 7 \

NTNT

NN

NNAA

,

--

. Fase 2, .Los nios han de elegir entre cinco respuestas.

o Fase 3, . Las figuras son las de la fase I enel mismo orden. Para la primera figura, que es un cuadrado, se le dacon una lnea de puntos en cruz, un modo de descomponerla. Se dandos ejemplos de descomposicin y pavimentado: el cuadrado de razn2 y el tringulo equiltero de nzon 3. Se pide el pavimentado delcuadrado de raz6n 3, del tringulo equiltero de raz6n 2 y del obstu-sngulo de razones 2 y 3.

o Fase 4. Al igual que en la fase 2, pero dando la medida en centmetrosen lugar del nmero de botes de pintura.

ObjetiuosLas fases 3 y 4 tienen por fin apreciar la disponibilidad de una represen-

tacin de pavimentado de una figura por otra semejante y la movilizacinpor la dada de uno o dos modelos.

Las parejas de fases l-2 y 3-4 conciernen al estudio del paso de unarepresentacin que permite conteo aditivo de

de la superficie, y transportando propiedades de la unidad de medida linealde la cual est compuesta.El rectngulo y los paralelogramgr.rgl tales que las operaciones queconducen al pavimentado y a la medida de la superficie transformada est[ligadas ar producto lgico y a ra multiplicacin lnumrica. L"

-rtf"*;;L;evolucin observada a propsito de eitas figuras sugiere que las sltuacionespropuestas a los alumnos en er curso de la enseanza se apoyan sobreadquisiciones cognitivas, pero utilizan poco estos (puntos d" ;;;j", ;i;construccin de un conocimiento mi elaborado, ni para la extensin deldominio de validez operatoria de los adquiridos.Globalmente es necesario tener una bu"nu representacin del carcter

unidimensional.de la_longitud para obtener un xiio medio "n

lu rup"r"",pero est muy lejos de ser suficiente.La adquisicin de la nocin de bidimensionalidad de la superficie seconfirma como un proceso largo y comprejo. Las interacciones entre lasoperaciones mentales de los nios y adolesentes y las propied"d", ; i;;figuras o de las transformaciones son muy fuertes. ias operaciones mentalesfigurales que permiten las operaciones del pavimentado y la enumeracin

evolucionan en interaccin con las propiedad^es de las figurs y los ""ru","rode la tarea.

.para nios muy jvenes, como para figuras muy complejas, estasrepresentaciones deben ser movilizadas. El dar ui ejemplo c" paui-entaoes un modo posible de movilizacin, la estructuracidn interna " U tur"u L,otro.

La disponibilidad espontnea.del pavimentado parece un factor impor_tante en el-xito de este paso del pavimentado al lculo de la medida. Afinales de la

coloreado, hilos, lanas, etc.,que hayan puesto de mani-fiesto claramente las dife-rencias entre los dos con-ceptos.

El hecho de que dos fi-guras tengan la misma reainduce a algunos nios acreer que tienen el mismopermetro. En concreto,con la tarea del item 8 del

pavimentadas.Si la figura est pavimentada

(con lo que se consigue una ideams lograda del rea como espacioocupado) se obtienen mejores resul-tados que si no lo est, aunque seindiquen las unidades de medida.En el caso de tener la ligura

Resulta imposible dar normas generares o determinar un camino linealpor el que avanzar el nio; ra reazacin de ras tareas Jepender demltiples circunstancias y er nio progresar simultneamente en varioscaminos. sin embargo, s_i le u"onr"jur-o, que realice actividades con rosalumnos como las relatadas en el apartao i.t oe renomenotolia.Sin alejar las actividades de la t."lidud prxima "r ","r,

p"?*os ofrecerla oportunidad de captar las caracteristicas y matices der rea como cuaridadde los objetos, destacando su carcter bidimensional. y no limitndonos alcaso- de los polgonos, sino trabajando er rea en los diferentes contextosdonde aparece.Normalmente en los textos al uso, se sobreentiende, que el alumno hadescubierto por s mismo el concepto ie rea y se suere pasar a la medida. obien, se sale del paso dando una deiinicin ms o menos ulrt.u.tu . superficie,pero sin realizar actividades orientadas a que distinga esta cualiJu d, lu. ,"r_tantes o compare objetos respecto de la misma siin necesidad Je medirlos.El proceso de medida.es complejo y hay que distinguir: primero, que unaregin se compone de subregionr y qur iueden realizarse diferentes o . para lograr

.un resultado que se ha obieniio ;;;r ;;. mediosms espontneos o laboriosos. Las tareas de pavimentado de ng*, con otrassemejantes a ellas ayudan en la comprensin del significado ? i", ror-utur.El logro de la bidimensionaridad del rea se corrfi.ma como un procesolargo y complejo. La manipulacin, la transformacin de nguru, ; las tareasde pavimentado podan citarse como medios para ir ponieido de manifiestolos variados matices. concretamente, el pavimentado p*iuili "i

paso deestructuras aditivas a estructuras multiplicativas. Todo "llo

no poJr "onr"_guirse si recurrimos exclusivamente a gificos, dibujos o al uso inmediato defrmulas. Hay que manipular. Adem-s, las actividades deben ser ricas yescalonadas.

46

2.Indicaciones para

la ensefianza del rea

En este captulo vamos a desarrollar a grandes rasgos un tratamientodidctico de la enseanza del rea. El proceso de medida de una magnitudcomienza con la percepcin de la cualidad que se va a medir. Despus secomparan los objetos respecto de esa cualidad mediante los trminos relacio-nales

T. Dibujar huellas corporales (mano, pie). colorearlas y recortarlas.o Pintar con el dedo objetos como un camin de juguete, una caja de

zapatos abierta, etc. cortar una patata por la mitad, echarle tinta e intentar cubrir una

forma dada. Discutir si es posible o no, dar razones para ello.. Cubrir con cuartillas el tabln de anuncios de clase.. Observar las peladuras de varias frutas, por ejemplo, manzanas, plta_

nos, naranjas, etc. Tambin se puede deshacer bl rollo interior decartn del papel higinico y observar cmo queda. otra posibilidad esobservar la envoltura de los helados tipo .

o Construir sombreros: de hada, mexicano, etc.. Proporcionar cajas cilndricas o latas para cubrirlas de papel.. Intentar cubrir con figuras planas una naranja, un baln d rugby, un

baln de ftbol, un flotador de la playa. Se puede hacer con pegarinasde distintas formas. Por qu se forman pliegues?

La percepcin del rea puede desarrollarse a partir de la idea de cubrirobjetos; actividad que tambin debe realizarse para el caso de recintos noplanos.

. Facilitar diferentes formas planas y conjuntos de cuadrados, crculos ypiezas rectangulares. observar y discutir las piezas que mejor cubrenlas figuras, as como las regiones o figuras que son ms fciles decubrir.

Para desarrollarlo a otro nivel, podemos proponer:. Qu figuras permiten recubrir el plano? (todas iguales o de distinto

tipo).

Actiuidades con materiales estructuradosAlgunos materiales estructurados que permiten desarrollar esta nocin

de recubrimientos son: el tangram, los polimins, los polihexes, los polidia-mantes y los polibolos. Pasamos a describirlos someramente y proponeralgunas actividades con cada uno de ellos.

Para lograr una buena comprensin de la parte que sigue, el lector debeconstruirse (en cartulina, por ejemplo) cada uno de los materiales que deta-llamos y realizar las actividades que se proponen y otras semejants que lenuncie.

El tangram es un rompecabezas constituido por varias piezas geomtricasquejuntas forman un cuadrado (un tringulo, un rectngulo, un pentgono)u otras muchas figuras. As, hay diferentes tipos de tangram; los ms usualesson: el cuadrado, el triangular, el rectangular y el pentagonal.

48

De los diferentes tiPos de tan-gram que hay vamos a describiruno, daremos un Procedimiento Pa-ra construirlo mediante el plegado ypropondremos diferentes activida-des con 1.

El modelo de tangram que va-mos a utilizar est formado Por uncuadrado grande (C), un cuadradopequeo (c), dos tringulos grandes(fl, dos tringulos Pequeos (t) Y unparalelogramo (p).

Su construccin mediante el plegado es sencilla. Tmese un cuadrado depapel, dblese por la mitad en una direccin y en su perpendicular

Figura 2.1

desdblese, y ya puede recortarse el cuadrado grande

doblamos la frgura resultantedoblez

Figura 2.3

por su eje de simetra Y recortamos

I

Figura 2.4

obteniendo

Figura 2.5

- con todas las piezas formar

Figura 2.10

- construye de diferentes mane-ra este tringulo usando cua-tro piezas

. Transformacin de figuras enotras por movimiento de algu-na pieza, como formar un tra-pecio issceles con un cuadra-do y dos tringulos; transfor-marlo en un trapecio movien-do slo una pieza, vulvela a su posicin inicial, transforma la figura enun paralelogramo moviendo slo una pieza;

o Reflexin sobre la equivalencia de guras:-puede sustituirse 1 c por 2 t?, y 1 p por I c y 2 t'!- ocupan la misma superlicie I c y 2 d, pueden construirse con ellas

una misma frgura?r Bsqueda de relaciones entre figuras del tangram; o. Comparacin de reas y permetros de hguras construidas con el tan-

gram.Denominamos polimins a confrguraciones de n cuadrados. su creador

fue Solomon Golomb en un artculo publicado en American Mathematician,en 1953. Las actividades que se pueden rcalizar con ellos abarcan una ampliagama que va desde simples recubrimientos, que pueden ser trabajados porlos nios ms pequeos, hasta investigaciones para los mayores, pasandopor construccin de figuras equivalentes o bsqueda de relacignes entrefiguras o comparacin de reas y permetros.

A un solo cuadrado le llamamosmonomin. Si unimos dos cuadra-dos por un lado obtenemos un do-min. A un domin existen dos for-mas de unirle un nuevo cuadrado,bien formando una 1o bien forman-do una Z.

cada una de las nuevas figuras iguales est formada por un tringulo rec-tngulo adosado a un cuadrado.En una de ellas doblamos el cuadrado por su diagonal pararera a rahipotenusa del tringulo que tiene unido y en la otra poi tu aigonal que esperpendicular a la hipotenusa,

Figura 2.6

recortamos por los pliegues y obte_nemos del primer plegado un trin-gulo grande T y el paralelogramo p, ,/rNy del segundo el otro tringulo ,/ | \grande T y un trozo que est forma- ,/ | \do. por dos tringulos rectngulos Figura 2.7unidos por un cateto, doblamos porlas alturas trazadas sobre la hipotenusa de cada uno de los dos tringuros yrecortamos, por estas lneas, obteniendo er cuadrado pequeo c y los dostringulos pequeos

i

,,{s\Figura 2.8 riil

iltl

I

Se pueden realizar actividades:o Construccin de figuras, como

-con I T, I p y lc formar la figurantr rrn fn iiil

rii:iilItflJ

\ l

Figura 2.ll

50Figura 2.9

1,

Figura 2.12

51

Existen cinco tetramins diferentesluno de ellos es:

Figura 2.13

.mFffiffi'FM

5ffi

Figura 2.15

. Construir cuadrados o rectngulos de diferentes dimensiones con pen-tomins utilizando todas las piezas o slo algunas, como con las piezasque se indican formar rectngulos de las dimensiones dadas

\

dibjalos (no se admiten configura-ciones del tipo siguiente)

. Con los cinco tetramins noes posible construir un cua-drado, pues 20 cuadraditos nose pueden disponer en formade cuadrado. Pero aadiendoun pentomin esto s es posi-ble, damos a continuacinuna solucin. Encontrar otrassoluciones para otros pento-mins.

Con pentomins se puede: Encontrar los posibles mode-

los distintos de pentomins(hay 12).

. Cubrir el plano con pentomi-ns de un solo tipo

Figtra 2.14

Figura 2.17

O bien combinndolos con al-guna otra figura, como con uncuadrado 2 x 2Y los doce Pen-tomins construir un cuadrado8x8.

o Conectando con las rotacio-nes, giros Y simetrias, se Pue-den realizar mosaicos con los12 pentomins diferentes'

Fig. 2.1

Nmerode piezas Dimensiones del rectngulo

J

469

t2l2t2l2t2

3x109x52 rectngulos de 5 x 610 x 6 (sta es la forma en que habitualmente se presenta el juego)12 x 5 (l.0l0soluciones)15 x 4(368soluciones)20 x 3 (slo dos soluciones)

5f

52

Figura 2.18

53

. Dado un pentomin, utilizarvarios de ellos para obteneruna reproduccin mayor deloriginal, utilizando la propiapieza o sin utilizarla.

. Con varias piezas formar re-producciones de otra el dobleo el triple mayor.

r Con todos los tetrahexes formar las sisuientes fisuras

Figura 2.23

Los polidiamantes, qve son tringulos equilteros conectados por unlado, permiten rcalizar actividades semejantes, aunque con algunas peculiari-dades.

Figura 2.19

ffiEffiEl Lffi

Figura 2.20. Combinar todos los, pentomins para obtener el mayor nmero de

agujeros (se permite la unin simpiemente por vrtices o por aristas).o Con cuatro pentomins formar ds figuras congruentes, comol ti r, /J L fllt: l-i-]- H-i t t t

' j

Figura 2.21

en cada caso, con las restantesocho piezas formar una figurasemejante

Figura 2,22

' I-os distintos pentomins formados por cuadrados del tamao de losde un tablero de ajedrez, se distribuyn entre dos alumnos que tendrnque colocarlos alternativamente (uno cada uno) sobre dicho tablero,perder el primero que no pueda seguir colocando piezas.

.

un trabajo semejante al descrito para los polimins puede realizarse conlos polihexes, que son. hexgonos regulares conectados por un lado. As,pueden proponerse actividades como:'

Dibujar, en papel isomtrico, los siete tetrahexes distintos que existen.54

. Estos son los 12 hexadiaman-tes que existen. Dibuja lostringulos alternados de colo-res distintos, tienen la mismarazn entre colores?, puedecubrirse con hexadiamantes elsiguiente tringulo equiltero?

. Usando los hexadiamantes,formar paralelogramos de 3x 4,3 x 5,3 x 6. . . ,3 x 10.

)I

Figura 2.24

Figwa 2.25

55

. Con los hexadiamantes for-mar un hexgono de lado 3

Al igual que para trabajar con los polimins y los polibolos podemosusar papel cuadriculado, para los polihexes y los polidiamantes podemosemplear papel isomtrico.

Pueden encontrarse ms ideas y sugerencias para trabajo con poliminsen Mottershead (1985), A. Parent (1935) y Engel (1971). Tambin en lasadaptaciones con irolicubos que se vern en el volumen (apartado 4.1).

Actiuidades de subdiuisinPara ir introduciendo la idea de subdiuisin de una regin en partes,

proceso que desembo car en la idea de unidad de medida e iteracin de lamisma, podemos:

. Colorear ftguras, algunas de ellas sobre papel marcado, aprovechandoregularidades de las mismas (mitades, tercios, etc.).

Construir formas sobre cuadricula o mallas triangulares.o Elaborar puzzles de formas triangulares.Para la constitucin de una magnitud es preciso que se confronte con

otras. En el caso del rea,la posibilidad de confusin con el permetro de lasfiguras es un hecho amPliamenteconstatado porque el nio Puede,errneamente,juzgar el rea de unafigura por sus dimensiones lineales.Ante las figuras puede que le asig-ne ms rea a la de la derecha Portener mayor permetro.Actiuidades para distinguir el rea del permetro

. Facilitar ejemplos de figuras que a pesar de dimensiones lineales enga-osas tengan la misma rea (tales como paralelogramos con la mismabase y altura), y

. Casos de figuras que a pesarde engaosas coincidencias ensus dimensiones lineales, ten-gan distinta rea (como elrombo obtenido por flexindel cuadrado).

Figura 2.31

Son especialmente interesantes los casos extremos. Por ejemplo, siguien-do el caso anterior, al final el rombo . Pueden realizarseestas experiencias con materiales tipo

. Trabajo con cuerdas y lanas. Con una cuerda de }na longitud dada(fija) construir diferentes fi guras. (Perimetro constante.)

. Trabajo con cuadrados y tringulos de cartulina. Con un nmero fijode cuadrados o tringulos, construir diferentes polgonos. (Area cons-tante.)

. Clasificar los pentomins, los tetrahexes, los hexadiamantes..., por supermetro.

. Comparar diversas figuras construidas con polimins, tetrahexes, etc.,respecto de su rea y su permetro.

En todas estas actividades se pueden utilizar geoplanos, papel marcado,mallas, etc. Tambin se les puede dar un carcter ms real, por ejemplo,considerando la construccin de jardines de distinta forma, pero rodeados dela misma cantidad de valla.

2.2. COMPARACINAl hablar de comparar reas tenemos que mencionar ras posibles trans-

formaciones que, ejercidas sobre un objeto, dejan su rea invariante. Freu-denthal, aparte de las congruencias de todo el plano, aplicaciones afines dedeterminante 1 y de las transformaciones de romper y rehacer, cita la de o ((cortar en rebanadas>r, basada en el principio de cava-lieri, y concluye que las hguras planas pueden compararse respecto a susreas:

- directamente, si una es parte de la otra;- indirectamente, despus de:

r transformaciones de romper y rehacer;. congruencias y otras transformaciones que conservan el rea;. medir.

Transformaciones de romper y rehacer son, por ejemplo, todas las trans-formaciones que ejercemos cuando reorganizamos las piezas del tangrampara, a partir de una determinada figura, formar otra.

un ejemplo de transformacin basada en el principio de cavalieri es lasiguiente: tenemos un mazo de nai-pes y observamos el rea de una delas caras laterales del mazo; le em-pujamos, transformndolo en un>. El rea de dichacara lateral es la misma por estarformada por el (grosor) segn eselado de las mismas cartas. Otrosejemplos seran una torre de libroso una pieza de embutido.

58

Una vez aclarada la terminolo gia, y a modo de orientacin, proponemosal lector las siguientes actividades:

Comparacin de figuras Planas

o Comparar las huellas de lassuperPosicin.

. Ordenar distintos crculos,

manos y los pies de los nios mediante

recortados en cartulinas, por superposi-

Figura 233

. Recurrir a rejillas, mallas, papel isomtrico, etc., para ordenar rectn-gulos, tringulos, cuadrados, y otras hguras irregulares no directa-mente comparables mediante superposicin.

o Comparar iigur"r construidas por yuxtaposicin de cuadrados (trin'gulos, etc.), por simple recuento del nmero de cuadrados que lasconfiguran.

Actividades de estos tipos pueden realizarse especialmente sobre el geo'plano de malla cuadrada, triangular' pentagonal"'

Rodear las formas que tengan la misma rea'

clon.. Igualmente realizarlo con tringulos equilteros, con cuadrados y con

rectngulos cuyas dimensiones lo permitan'

ffi.2.32Figura Figura 2.3

59

- _

Anlogamente' con figuras formadas por distintos tipos de piezas siem-pre que entre las piezas puedan establecerse relaciones ,"n"illu, "oo,o

r=22 =3rFigura

o Determinar la relacin queexiste entre el rea del rectn-gulo y la de la zona sombrea_da.

2.35

IIIill i

-Tambin pueden establecerse comparaciones de figuras mediante er recor-tado y aadido de algunas partes de ellas, por ejemplo:. Un rectngulo y un romboide de igual base y altura

Figura 2.37

o bien un rectngulo y un hexgono regular tar que el doble de la basedel rectngulo sea igual al perlmetro del hexgono y la ufirru, "

l"apotema.

XEX)

La dilicultad aumentar cuandoal realizar la comparacin se tenganque contar trozos de cuadrados utras figuras. ste sera el caso de:

. Con acetatos, rejillas, PaPel ve-getal, etc., comparar las reasde las dos formas siguientes:

^ggryg&7,#?

\7

Figura 2.38

Si sometemos una figura que recubra el plano,.por ejemplo, un tringu_lo, a un determinado tipo d ansformaciones de romper y rehacer quecumplan ciertas nonnas de simetra axial o puntual, poaemos obtener unaserie de figuras equivalentes .gue siguen recubriendo el prano. El reper-torio.de figuras que pueden odt"n"r por este procedimiento es inrrnito yse utiliza mucho en el diseo industriai de azulejos, pavimentos, estampa-dos, etc.

60 61

/

Figura 239

Figura 2.40

El comparar figuras construidassobre superficies no planas tiene ladificultad aadida de que general-mente no son superponibles (con-gruentes) las diferentes partes dela superfrcie. Por ejemplo, en unneumtico un trozo de su partems exterior no es superponible conningn otro de su parte interior,igual ocurre con un baln de rugby. Sin embargo, con figuras sencillasrecortadas sobre casquetes de una misma esfera (baln) si es posible realizaractividades de los tipos anteriores y creemos interesante rcalizar alguna deestas experiencias.

En los casos en que no es posible la comparacin directa (toros, elipsoi-des), podemos recurrir a procedimientos como superposicin de mallas,pavimentado con pequeas figuras congruentes adhesivas, etc., que nos per-miten una comparacin aproximada de liguras construidas sobre dichassuperficies.

Tambin deben realizarse actividades de comparacin de superficies conagujeros; por ejemplo, dos hexgonos congruentes en los que se han recorta-do un rectngulo y un cuadrado, respectivamente.

Figna 2.42

El inters de este tipo de actividades reside en que la relacin entre lasfiguras es la inversa a la de los agujeros.

Un modo para solucionar este tipo de problemas consiste en construirIos trozos que faltan y compararlos, utilizando para ello cualquiera de lastcnicas anteriormente descritas.

En otro orden de actividades tambin deben realizarse comparaciones desuperficies de objetos no directamente superponibles y en las que se tengaque recurrir a reproducir una de ellas (sacando una copia en papel) paraproceder a la comparacin, o bien, recurrir a algn mtodo de recuento (porpavimentado, por superposicin de mallas, etc.).

. Comparar dos piezas de un mueble sin desmontarlo.

62

Figura 2.41

r

Relacionadas con la distincin entre rea y permetro:. Con una cuerda o lana de longitud dada (permetro hjo), comparar

utilizando baldosas o cuadrculas, hguras con diferente rea.o De la figura I se pasa mediante recorte y pegado a la figura B

Figura 2.43

qu relacin existe entre las reas de A y B? Qu relacin existe entreel permetro de A y B?

. Con el mismo conjunto de piezas, por ejemplo, el tangram, compararlas liguras resultantes por su permetro. Tambin se puede cortar unafigura y observar la variacin del permetro (con lamisma rea).

El conocido como problema isoperimtrico puede proponerse como acti-vidad de investigacin.

o Encontrar dentro de una cla-se de figuras con un perme-tro dado la que tiene mayornea.

. Dado un polgono, encontrarotro con menor rea y mayorpermetro.

En todas las actividades de comparacin se utilizarn las variantes espe-cficas de comparacin ancho-estrecho, amplio-reducido, etc., que se citan enel vocabulario (apartado 1.1) y los trminos de comparacin. En cualquierade ellas se puede aadir el aspecto relacionado con el orden

Pedimos al lector que vaya realizando las actividades que se mencionan.

2.3. MEDIDA

2.3.1. Necesidad de la medida

En algunas de las actividades de comparacin se ha visto la necesidad derecurrir a un criterio adicional para obtener una conclusin. Aprovechando

t

63

rogularidades de las figuras, o soportes de papel marcado o trozos igualessuperpuestos, ha surgido la idea de contarlos y mediante esa asociacin derrr nmero alrea de cada figura, lograr resolver la comparacin. En trmi-nos ms generales, la comunicacin entre un determinado grupo social sehace ms fluida si se utilizan trminos cuantitativos en lugar de cualitativos.l,a medida de cualquier magnitud, y, en concreto del rea, ha sido precisa alo largo de toda la historia.

El grado de precisin en las medidas, que ha estado vinculado al desarro-llo de la tcnica, ha sido un factor determinante en muchas ocasiones delclesarrollo de nuevas teoras cientficas, y por ende, de la ciencia. Tambin esimportante para muchas actividades cotidianas y para mltiples profesionesrealizar mediciones con un cierto grado de precisin, y manejar con solturalos correspondientes instrumentos de medida. Asi, en el terreno escolarpodemos dar varias razones para cuidar el trabajo con medidas: aportasituaciones reales para ejercitar el clculo ala vez que lo conecta con la vidarcal y prepara a los individuos para enfrentarse con xito a determinadasprofesiones y a la vida cotidiana.

Como paso previo a la eleccin de la unidad de medida vamos aplantearnos qu polgonos recubren el plano, pues de entre ellos habrdc realizarse dicha eleccin, aunque slo sea desde el punto de vistaprctico.

Para recubrir el plano, la suma de los ngulos que confluyen en unvrtice ha de ser 360 grados. Por tanto, para poder pavimentar el.plano contn solo tipo de polgonos regulares la medida de los ngulos interiores destos debe ser un divisor de 360. As, los nicos polgonos regulares querccubren el plano son: el tringulo equiltero cuyo ngulo interior mide 60grados, el cuadrado cuyo ngulo interior mide 90 grados y el hexgono, cuyongulo interior mide 120 grados.

. El modo de pavimentar con un polgono regular no es nico. Di-bujar distintas formas de pavimentar el plano con tringulos equi-lteros.

Tambin es posible cubrir el plano combinando varias clases de polgo-nos regulares; de este modo se obtienen ocho tipos de teselaciones llamadassomirregulares. Teniendo en cuenta la condicin de que la suma de losirngulos en cada vrtice ha de ser 360" y la medida de los ngulos interioresdc los polgonos regulares,

Nmero de lados

Medida del ngulo inferior 60" 90'

tenemos que slo es posible combinar cinco tipos de polgonos para obtenerestas teseiaciones. Estos son el tringulo, el cuadrado, el hexgono, el oct-gono y el dodecgono.

. Con tringulos, cuadrados, hexgonos, octgonos y dodecgonos to-dos construidos en cartulina con el mismo lado formar las ocho tesela-ciones semirregulares.

Tambin es posible pavimentar el plano con polgonos irregulares, enparticular cualquier tringulo o cuadriltero nos servira para ello. Otrosmuchos polgonos y formas curvilneas son teseladoras.

rl

a

I I l - ,L l II )

, l

64

109' 120' 128'24',14" 135" 140" Figura 2.45

. todos los monomins, domins, trimins, tetramins y pentomi-ns son teseladores. Dibujar teselaciones para cada uno de los pento-mins.

. Dar un heptomin que no sea teselador.o Se pueden formar teselaciones para todos los tridiamantes, tetradia-

mantes y pentadiamantes?

2.3.2. Eleccin de la unidad de medida

Un rpido vistazo a la historia nos hace concluir:- el problema de la medida del rea ha sido resuelto de muy diferentes

maneras segn las pocas;-las unidades adoptadas dependan de la actividad que se realizase;- la adopcin de unidades estndar comunes a un grupo amplio de

personas fue muy tardia.

De cara a la enseanza, la psicologa y la historia sustentan el hecho deque es ms asequible realizar medidas con unidades no estndar; este tipo deunidades ayudan al nio a relacionar el proceso de medida con el medioambiente que le rodea. Siempre las tiene prximas.

El principal inters es iniciarle en el acto de medir; es mostrar el proceso.Se deben plantear situaciones donde se precise la bsqueda de un inter-mediario para poder comparar hguras. Este intermediario ser, general-mente, de tipo lineal. Actividades modelo pueden ser:

. Reflexionar sobre situaciones de acoplamiento de muebles a habitacio-nes. Compra de alfombras para determinados lugares. Instalacin ieuna tienda de campaa.

Facilitar al nio distintas unidades no estndar: piezas pequeas depapel o madera (cada una debe pertenecer a un conjunto de piezascongruentes) en varias formas (tringulos, rectngulos, cuadrados, he-xgonos, etc.) pequeos baldosines de cermica o madera, carpetascuadradas, etc. Realizar con ellas medidas de figuras de la clase, porejemplo, la mesa, la silla, la tapa del libro...

,, e Popesonar objetos que no valgan como unidades, por ejemplo, lahuella de una patata, la silueta de la mano...

o Utllizar el geoplano para medir hguras construidas en 1.Las actividades de pavimentado son muy aconsejables y facilitarn, pos-

teriormente, las tareas de aritmetizacin. Las ms simples consisten en recu-brir con un cuadrado o rectngulo, otro proporcional, siendo la raz6nsencilla.

66

. Recubre el Paralelogram" Zgrande con el Pequeo.Cuntos se necesitan?

r Cuntos cuadrados Pequeoscaben en el grande? Cmolos situaras?

o Cuntos rectngulos Pe