FORMULAS IMPORTANTESESTADSTICA DESCRIPTIVAVARIANZA:22 22) (xnxnx xiiii D. TIPICA=2 COEF. VARIACIN = xDISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALESMarginal de Xiij jF Fiij jf fMarginal de Yjij iF Fjij if fDistribucin condicionada jiji jijiijiijiffffFFx X Y f ) | (Covarianzay xn y xny y x xj i j ixy ) )( (Regresin lineal Coeficiente de regresin =2xxy) (~2x x y yxy + PROBABILIDAD) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) (A B P A B P B PB A P B P A P B A PA P B P A B PA B A B + + PROBABILIDAD CONDICIONADA) () () | (B PB A PB A P) | ( ..... ) | ( ) | ..... (1 1B A P B A P B A A PN N+ + ) | ( ) ( ........ ) | ( ) ( ) (1 1 n nB A P B P B A P B P A P + + ) () | ( ) () | (A PB A P B PA B Pi ii2 sucesos son independientes si y slo si ) ( ) ( ) ( B P A P B A P VARIBLAS ALEATORIASDISCRETAS CONTINUASPROBABILIDADFuncin de Probabilidad oDistribucin de ProbabilidadFuncin de DensidadPROBABILIDADACUMULADADistribucin de Probabilidad AcumuladaDistribucin de Probabilidad AcumuladaESPERANZA MATEMTICA O VALOR ESPERADO DE UNA VADiscretas[ ]xx xp X E ) ([ ]xx p x g X g E ) ( ) ( ) (Continuas[ ] dx x xf X E ) ([ ] dx x f x g X g E ) ( ) ( ) (MOMENTOS (Frmulas para variables continuas)Momento de orden r respecto del origen[ ] dx x f x X Er rr) ('Momento central de orden r[ ] dx x f x X Er rr) ( ) ( ) (' Momento central de orden 2 o Varianza[ ] [ ] [ ]2 '22 2 2 22) ( X E X E X ECOEFICIENTE DE VARIACIN VCOEFICIENTE DE SIMETRA23231 COEFICIENTE DE CURTOSIS32242 DISTRIBUCIONES DISCRETASBERNOUILLI2 1qx px + 22 12) ( x x pq BINOMIALk n kq pknk X P

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) (np npq 2HIPERGEOMTRICA

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nmk na mank X P ) (mna ) 1 () ( (22 m mn m a m mBINOMIAL MNEGATIVAx kq pkx kx X P

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+ 11) (pkq pkq2GEOMTRICAxpqxx X P

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0) ( kq kq 2DE POISSON!) (kek X Pk 2DISTRIBUCIONES CONTINUASNORMALLa frmula es muy complicada. Se utilizan las tablas normalizadasLa Binomial se puede aproximar por la normal.UNIFORME CONTINUA' caso otro enb x a sia bx f.. .. .... .......... 0... .......1) ('< >x b sib x a sia ba xa x six F.. .... .......... 1.. ........ ... .......... 0) (a bx xx X x P 1 22 1) (2) (b aX E+12 ) () (2a bX Var Media, mediana y moda coincidenEXPONENCIAL'>caso otro enx si ex fx.. .. .. .......... 00 .. .....1) ('> 0 .. .... 10 .. . .......... 0) (x si ex six F x TEMA 1.- ESTADSTICA DESCRIPTIVAPOBLACIONES, VARIABLES Y OBSERVACIONESPoblacin. Conjunto de seres u objetos acerca de los que se desea obtener informacin.Individuo. Cada uno de los miembros de la poblacin.Variable estadstica. Cada una de las caractersticas que se miden en los individuos.Valores. Las diferentes manifestaciones de una variable.Observacin. El conjunto de valores de cada variable medidos en un individuo.Las variables se suelen clasificar en: Cualitativas. Son cualidades de los individuos. Ordinales. Los valores pueden ser ordenados. Cuantitativas. Miden alguna cualidad cuantificable. Se clasifican en discretas y continuas.VALORES DE POSICINMedia. Es la suma de todos los valores dividida por el nmero de valores.Mediana. Aquel valor para el cual la mitad o menos de la poblacin tienen valores inferiores a l y la mitad o menos de la poblacin tienen valores superiores a l.Moda. El valor ms frecuente de la variable.LA DISPERSIN RESPECTO DE LA MEDIAVarianza. Mide la dispersin o desviacin respecto de la media y es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones individuales, dividida por el nmero de observaciones: nx xnii 122) (La varianza es igual al promedio de los cuadrados menos el cuadrado de la media: 2122xnxnii Desviacin tpica.Se define como la raz cuadrada de la varianzaCoeficiente de variacin. Es el cociente entre la desviacin tpica y la media. Se expresa en porcentaje.DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALESLas frecuencias se representarn por Fij y fijRecibe el nombre de distribucin marginal de X la distribucin que tiene la variable X ignorando la variable Y. Y viceversa.Distribuciones condicionadas: iijiijffFFx X y Y f ) | (COVARIANZAEs una medida de la intensidad de cierta asociacin estadstica entre dos variables.ny y x xsnimjj ixy 1 1) ( ) (Tambin se puede expresar comoy xny xsnimjj ixy 1 1 , que se lee: La covarianza es igual al promedio de los productos cruzados menos el producto de las medias.2.- REGRESIN LINEALEs un mtodo para calcular el valor de una variable (Y) a partir de los valores de otras (X):REGRESIN LINEAL SIMPLEA partir de n observaciones (xi yiI se trata de calcular la recta y=a+bx que mejor se ajuste a los datos segn el mtodo de los mnimos cuadrados.En la observacin i-sima: El valor previsto de y ser:i ibx a y + ~ El valor observado ser yi El error seri iy y e~ El error cuadrtico ser( ) ( ) 2 2~i i i ibx a y y y La suma de los errores cuadrticos se llama error total:( ) nii i Tbx a y E12La recta de regresin de y sobre x es aquella que hace mnimo el error cuadrtico totalET. El problema consiste en hallar los valores de a y b que hacen mnimo ET.La ecuacin de la recta de regresin de y sobre x es:) (~2x xssy yxxy + A la pendiente de la recta se le llama coeficiente de regresin.Adems la recta siempre pasa por el centro de gravedad de la nube de puntos, que es ) , ( y x.Si la covarianza sxy es >0, la recta de regresin es creciente; si sxy es ) 1 ( ) ( ) ( x F x F x X P) 1 ( ) ( ) ( i j j ix F x F x X x PVARIABLES CONTINUASUna funcin f(x) en un intervalo I es una funcin de probabilidad si cumple:I de ervalo x f .. .. int .... 0 ) ( Ix f 1 ) ( 21) ( ) (2 1xxdx x f x X x PDistribucin acumulada: xdt t f x X P x F ) ( ) ( ) (Propiedades de F:0 ) ( F1 ) ( F) ( ) ( ) (1 2 2 1x F x F x X x P ) () (x fdxx dFESPERANZA MATEMTICAEs un concepto anlogo a la media aritmtica para variables aleatorias.PROPIEDADES: E(c)=c E(aX+b)=aE(X)+b E(g(X)+h(X))=E(g(X))+E(h(X))VARIABLES DISCRETASSe llama esperanza matemtica o valor esperado al nmero:xx xp X E ) ( ) (Si g(x) es una funcin de R en R:xx p x g x g E ) ( ) ( )) ( (VARIABLES CONTINUASSe llama esperanza matemtica o valor esperado al nmero: dx x xf X E ) ( ) (Si g(x) es una funcin de R en R: dx x f x g x g E ) ( ) ( )) ( (MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIALos momentos de una VA son los valores de ciertas funciones de la VA. Generalmente se definen respecto al 0 o respecto al valor esperado.Momento r-simo respecto al origen:DISCRETA xr rrx p x X E ) ( ) ( ' CONTINUA dx x f x X Er rr) ( ) ( ' Si r=1, entonces ) ( '1X E Momento r-simo respecto a la media o momento central:DISCRETA xr rrx p x X E ) ( ) ( ) ( CONTINUA dx x f x X Er rr) ( ) ( ) ( Momento central de orden 0:10 Momento central de orden 1:0 Momento central de orden 2 (Varianza):22) ( X EPropiedades de la Varianza:) ( ) ( ' ) (2 2 222X E X E X Var ) ( ) (2X Var a b aX Var +Desviacin tpica ():Es la raz cuadrada de la Varianza.Coeficiente de variacin: VMomento central de orden 3:Da idea del grado de simetra de la distribucin. 33) ( X ECoeficiente de simetra:23231 Momento central de orden 4:Da idea del grado de apuntamiento.44) ( X ECoeficiente de apuntamiento:3242 OTRAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIN Y DISPERSINMEDIANAx es mediana siDISCRETA2 / 1 ) ( ... ... 2 / 1 ) ( x X P y x X PCONTINUA2 / 1 ) ( x X PMODA.Es el valor o valores que hacen mxima la funcin de probabilidad (DISCRETAS) o la funcin de densidad (CONTINUAS)CUANTIL (). Es la solucin o soluciones de la ecuacin ) (x FDISCRETA < ) ( ) ( x X P x X PCONTINUA ) ( x X PDESVIACIN MEDIA. Valor esperado, en valor absoluto, de las desviaciones a la media. |) (| X E DmDISCRETA xx p x X E ) ( | | |) (| CONTINUA dx x f x X E ) ( | | |) (| MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETOSDISTRIBUCIN UNIFORME DISCRETAX toma valores x1.........xk con probabilidad 1/k. Se dice que X sigue una distribucin uniforme discreta de parmetro k.MEDIAkiixk11VARIANZA kiixk2 2) (1 DISTRIBUCIN DE BERNOUILLISlo hay dos resultados posibles: xito y fracaso. Si p es la probabilidad de xito, entonces 1-p es la probabilidad de fracaso.Una VA X que toma 2 valores posibles x1 y x2 con probabilidades p y 1-p sigue una distribucin de Bernouilli de parmetro p.MEDIA2 1) 1 ( x p px + VARIANZA22 12) )( 1 ( x x p p DISTRIBUCIN BINOMIALResulta cuando se efectan varios experimentos de Bernouilli independientes entre s y queremos medir ewl nmero k de xitos entre las n pruebas, teniendo que la probabilidad de xito en cada prueba es p.B(n,p):Distribucin de probabilidad:k n kp pknk N P

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) 1 ( ) (Medianp Varianza ) 1 (2p np Desviacin tpica ) 1 ( p np DISTRIBUCIN HIPERGEOMETRICASe aplica en la realizacin de varios experimentos de Bernouilli, pero que no son independientes entre s: el resultado de un experimento influye en la probabilidad de xito de los siguientes.Tenemos m elementos. Entre esos m elementos hay a que presentan cierta caracterstica que nos interesa. Luego habr m-a que no la presenten. Extraemos n elementos sin reemplazamiento y queremos saber la probabilidad de que haya k elementos con la caracterstica que nos interesa entre los n extrados.Esta VA N sigue una distribucin hipergeomtrica de parmetros m, a, n.H(m,a,n):Distribucin de probabilidad:

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nmk na mkak N P ) (Media:mna Varianza) 1 () )( (22 m mn m a m naDISTRIBUCIN BINOMIAL NEGATIVAEn un experimento de Bernouilli, con probabilidad de xito p, ahora contamos el nmero n=k+x de repeticiones necesarias para obtener k xitos.BN(k,p):Distribucin de probabilidad:x kp pkx kx X P ) 1 (11) (

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+ Media:p p k ) 1 ( Varianza:22) 1 (p p k DISTRIBUCIN GEOMTRICAEs el caso particular de la Binomial Negativa cuando k=1. El nmero de ensayos que hay que realizar para obtener el primer xito.G(p):Distribucin de probabilidad:xp p x X P ) 1 ( ) ( Media:pp 1Varianza:221p p DISTRIBUCIN DE POISSONSirve para medir la ocurrencia de un determinado suceso a lo largo de un intervalo de tiempo.La probabilidad de que en un tiempo dt ocurra cierto suceso esdt . Sea un proceso de Poisson observado durante un tiempo t y con parmetro .P(t):Distribucin de probabilidad:!) (kek X Pk ,con k=0 .... y cont Media Varianza: 2La distribucin de Poisson puede utilizarse para aproximar la Distribucin Binomial cuando p es pequea y n grande.q=1-pDISTR PROBABILIDAD MEDIA VARIANZA NOTASUNIFORME DISCRETAkiixk11 kiixk2 2) (1 2 1) 1 ( x p px + 22 12) )( 1 ( x x p p Generalmente xito=1 y fracaso=0k n kq pknk N P

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) (np npq 2Experimento de Bernouilli repetido n veces de forma independienteHIPERGEOMETRICA

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nmk na mkak N P ) (mna ) 1 () )( (22 m mn m a m naExperimento de Bernouilli repetido n veces de forma no independiente) ( ) ( lim) , ( ) , , (k N P k N Pp n B n mp m Hn BINOMIAL NEGATIVAx kq pkx kx X P

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+ 11) (pkq 22pkq Cuantos experimentos k+x hay que hacer para obtener k xitos) 1 ( 1 ) () , ( ) , ( +k F x Fp x k B p k BNxpq x X P ) (pq 22pq BN con k=1!) (kex X Pk Ocurrencia de un determinado suceso a lo largo de un periodo de tiempoLa Binomial puede aproximarse por la de PoissonMODELOS PROBABILISTICOS CONTINUOSLA DISTRIBUCIN NORMALSe dice que X sigue una distribucin Normal de parmetros ,, con b < < y con 0 > )) , ( ( N X si su funcin de densidad es: < < 11]1

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x e x fx..,.....21) (221 Realmente es la media y es la desviacin la tpica.Algunas propiedades importantes son: La curva es simtrica respecto a la media. Presenta su mximo en x=y puntos de inflexin en x= El realimitada por la curva y el eje x vale 1, lo que garantiza que f(x) es una funcin de densidad. Todos los momentos centrales de orden impar son nulos, por lo tanto el coeficiente de simetra es nulo. El momento central de orden cuarto es 443 , por lo tanto el coeficiente de curtosis es nulo.0 3442 La mediana , la moda y la media coincidenLa funcin de distribucin acumulada ) () , (x FN no puede calcularse analticamente. Este problema se resuelve mediante la tipificacin de la variable.Definimos una nueva variable Z como XZ , a la cual llamamos variable tipificada. Este cambio de variable nos permite calcular la funcin de distribucin acumulada de una variable normal cualquiera (X) en funcin de la distribucin acumulada de una variable normal de media 0 y varianza 1.) ( ) () 1 , 0 ( ) , ( xF x FN NLos valores de ) () 1 , 0 (x FN se obtienen de la tabla, teniendo en cuenta que sta incluye slo los valores positivos (superiores a la media) de ) (pz Z P >. A partir de estos puede calcularse cualquier otra combinacin de valores:) ( 1 ) (p pz Z P z Z P > ) ( ) ( ) (2 12 1 xZ PxZ P x X x PAPROXIMACIN DE LA BINOMIAL POR LA NORMALSea X una VA que sigue una distribucin binomial B(n,p). Si tipificamos la variable restndole la media (np ) y dividiendo por la desviacin tpica ( ) 1 ( p np obtenemos una nueva VA ) 1 ( p npnp XY. Entonces, cuando n la distribucin de la VA Y tiende a la distribucin normal estndar N(0,1). Como consecuencia, puede utilizarse la tabla de la normal para calcular de manera aproximada probabilidades binomiales. Hay que tener en cuenta que estamos aproximando una variable discreta por una variable continua.DISTRIBUCIN UNIFORME CONTINUASe dice que una VA X sigue una distribucin uniforme en el intervalo (a,b) U(a,b) si su funcin de densidad es:' caso otro enb x a sia bx f.. .. ......... 0.. ,..1) ('> < b x sib x a sia ba xa x six X P x F.. .. 1.. .... .. 0) ( ) (El valor esperado es:2) ( ) (b aa b xdx x xf X Eba+ DISTRIBUCIN EXPONENCIALEs un caso particular de la Distribucin Gamma.Se dice que una VA sigue una distribucin Gamma de parmetros y (G(,)) si su funcin de densidad es:'>caso otro ensix e xx fx.. .. ... .......... .......... 00 ..) (1) (1 Se dice que una VA X sigue una distribucin exponencial de parmetro (E())si su funcin de densidad es:'>caso otro enx si ex fx.. .. .......... 00 .. ...1) (que es la distribucin anterior, con =1La media y la varianza son y2 2 a b 1baMODELOS MULTIDIMENSIONALESDISTRIBUCIONES CONJUNTASVARIABLES DISCRETASEl conjunto de ternas (x,y,p(x,y)) es una distribucin de probabilidad conjunta de las VA discretas X e Y si satisface las condiciones: p(x,y) 0para todo (x,y) x yy x p 1 ) , ( P(X=x, Y=y)=p(x,y)Dadas dos VA discretas X e Y, se denomina funcin de distribucin conjunta F(x,y) a la funcin: x x y yj ii jy x y x p y Y x X P y x F2) , ).....( , ( ) , ( ) , (VARIABLES CONTINUASUna funcin f(x,y) definida en el plano 2es una funcin de densidad de probabilidad conjunta de las VA continuas X e Y si satisface las condiciones:2) , ( ... 0 ) , ( y x y x f 1 ) , ( dydx y x f dydx y x f y Y y x X x P ) , ( ) , (2 1 2 1La funcin de distribucin conjunta F(x,y) de las VA continuas X e Y cuya funcin de densidad d eprobablidad es f(x,y) es: x yy x dvdu v u f y Y x X P y x F2) , .......( ) , ( ) , ( ) , (DISTRIBUCIONES MARGINALESSean X, Y dos VA discretas con distribucin de probabilidad conjunta p(x,y). Las distribuciones marginales de X e Y vienen dadas por:yXy x p x p ) , ( ) (xYy x p y p ) , ( ) (Sean X, Y dos VA continuas con distribucin de probabilidad conjunta f(x,y). Las distribuciones marginales de X e Y vienen dadas por: dy y x f x fX) , ( ) ( dx y x f y fY) , ( ) (MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL