medidas de posicion.doc
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Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior.
Instituto Universitario de Tecnología de Administración Industrial
Tecnología en Gas- PG2N2
Anaco, Edo-Anzoátegui
Profesora: Bachiller:
Villazana Geraldine
C.I.26.203.956
PG2N2
Anaco, Junio del 2015
Índice:
A-) Media Aritmética
B-) Mediana
C-) Moda
Otras Medidas de Posición:
D-) Cuartiles
E-) Percentiles
F-) Deciles
Introducción:
Las medidas de posición nos facilitan información sobre la
serie de datos que estamos analizando. La descripción de un
conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la
ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible. Una
vez definidos los conceptos básicos en el estudio de
una distribución de frecuencias de una variable, estudiaremos las
distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas
de posición (o de centralización), teniendo presente el error
cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de
dispersión.
Desarrollo:
A-) Media Aritmética:
La media aritmética ( también llamada promedio o
simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor
característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio
que parte del principio de la esperanza matemática o valor
esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores
dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es
una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo
uno de los principales estadísticos muéstrales.
Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la
media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a
partes iguales entre cada observación.
Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media
de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar
todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno
de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información
de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada
observación (persona) tuviera la misma cantidad de la variable.
Dados los n números , la media aritmética se define
como:
Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:
Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo
para representar la media de una muestra ( ), mientras que la letra
µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir,
el valor esperado de una variable.
En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y
luego dividido por n: donde n es el número de sumandos, o en el
caso de estadística el número de datos se da el resultado
B-) Mediana:
La mediana representa el valor de la variable de posición
central en un conjunto de datos ordenados.
Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:
1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.
A continuación veamos cada una de ellas:
Datos sin agrupar:
Sean los datos de una muestra ordenada en orden
creciente y designando la mediana como , distinguimos dos
casos:
Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la
posición una vez que los datos han sido ordenados
(en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor
central. Es decir: .
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: ,
, , , => El valor central es el
tercero: . Este valor, que es la mediana de ese
conjunto de datos, deja dos datos por debajo ( , ) y otros dos por
encima de él ( , ).
Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos
valores centrales. Cuando es par, los dos datos que están
en el centro de la muestra ocupan las posiciones y
. Es decir: .
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: ,
, , , , . Aquí dos valores que están por
debajo del y otros dos que quedan por encima del
siguiente dato . Por tanto, la mediana de este grupo
de datos es la media aritmética de estos dos
datos: .
Datos agrupados:
Al tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de
una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con
la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna
abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en
el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la
siguiente equivalencia:
Donde y son las frecuencias absolutas acumuladas tales
que , y son los extremos, interior y
exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana
y es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa
que es la amplitud de los intervalos seleccionados para
el diagrama.
C-) Moda:
En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia
en una distribución de datos.
Moda de Datos Agrupados:
Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente
fórmula:
Donde:
= Inferior de la clase modal
= es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia
absoluta pre-modal.
= es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia
absoluta post-modal.
= Amplitud del intervalo modal
Las medidas de posición son:
Cuartiles
Los cuarti les son los tres valores de la
variable que dividen a un conjunto de datos
ordenados en cuatro partes iguales.
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores
correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de
los datos.
Q2 coincide con la mediana.
Cálculo de los cuartiles
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Buscamos el lugar que ocupa
cada cuartil mediante la expresión .
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se
encuentra , en la tabla de las
frecuencias acumuladas.
L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la
mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
F i -1 es la frecuencia acumulada anterior a la
clase mediana.
a i es la amplitud de la clase.
Deciles
Los deciles son los nueve valores que dividen
la serie de datos en diez partes iguales.
Los deciles dan los valores correspondientes al
10%, al 20%... y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Cálculo de los deciles
En primer lugar buscamos la clase donde se
encuentra , en la tabla de las
frecuencias acumuladas.
L i es el límite inferior de la clase donde se
encuentra la mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
F i -1 es la frecuencia acumulada anterior a la
clase mediana.
a i es la amplitud de la clase.
Percentiles:
Los percentiles son los 99 valores que
dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
Los percentiles dan los valores
correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los
datos.
P50 coincide con la mediana.
Cálculo de los percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se
encuentra , en la tabla de las
frecuencias acumuladas.
L i es el límite inferior de la clase donde se
encuentra la mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
F i -1 es la frecuencia acumulada anterior a la
clase mediana.
a i es la amplitud de la clase.
Conclusión:
Las medidas de posición en un conjunto de datos están
diseñadas para proporcionar al analista algunas medidas
cuantitativas de donde está el centro de los datos en una muestra.
En las medidas de posición se trata de encontrar medidas que
sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar
todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada,
podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante
algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos
un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los
valores de la variable. La descripción de un conjunto de datos,
incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos
dentro de un contexto de valores posibles.
Bibliografia:
Armando, Soto Negrin. Principios de Estadística. Editorial
Panapo. 1999. Pág.: 71-81.
Ernesto, Rivas González. Estadística General. Ediciones de
la Biblioteca. Caracas. 2000. Pág.: 164-169.
http://www.monografias.com/trabajos14/medidasposicion/
medidasposicion.shtml