Tiempo de retardo tiempo de crecimiento tiempo pico sobre impulsó máximo tiempo de establecimiento

Se estudia la respuesta de una sistema de segundo orden ante una señal escalón unitaria de entrada ya que este tipo de entrada es lo bastante drástica como para probar la bondad del sistema en régimen transitorio. Además si se conoce la respuesta de este tipo de entrada se puede calcular en forma analítica la respuesta ante cualquier tipo de entrada, se suelen especificar ciertos tipos de parámetros que veremos mas adelante.

Presentado por: Luis Fernando De la cruz Badillo Kevin Nerio Espitia30 de noviembre de 2012

Definición de parámetros de una respuesta transitoria

Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes parámetros.

Tiempo de retardo

Tiempo de crecimiento

Tiempo pico

Sobreimpulso máximo

Tiempo de establecimiento

Tiempo de retardo

Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.

td

t p

t r

M p

t s

Tiempo de crecimiento

Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.

El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.

Tenemos que:

el tiempo de crecimiento es:

d

c ( t )=1−e−ζωn tr (cosωd t r+

ζ

√1−ζ 2senωd t r)=1

cosωd t r+ζ

√1−ζ2senωd t r=0

tanωd t r=−√1−ζ2ζ

=ωdσ

cosωd t r+ζ

√1−ζ2cosωd t r tanωd t r=cosωd t r [1+ ζ

√1−ζ 2tanωd tr ]=0

t r=1ωdtan−1 ( ωd−σ )=π−βωd , β=tan−1

ωdσ

Tiempo pico

Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene,

Sobre pasa máximo

Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico

(senωd t p )ωn

√1−ζ 2e−ζωn tp=0

senωd t p=0 , los valores que satisfacen esta ecuación son0 , π , 2 π , 3 π , ⋯, se elige el primer sobreimpulso .

ωd t p=π ⇒ t p=πωd

M p=c ( t p )−1=−e

−ζωn(π /ωd)(cosωd πωd + ζ

√1−ζ 2senωd

πωd )

Tiempo de establecimiento

Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error prestablecido, generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de tiempo:

Ejercicios relacionados

=e−ζ (ωn /ωd ) π=e

−(σ /ωd) π

M p =e−(ζ /√1−ζ2 ) π

t s=4T= 4ζωn

=4σ

Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema

Desarrollo

La función de transferencia de lazo cerrado es

Se utiliza la siguiente igualdad

Tenemos que:

A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria

)34(75ss

)(sR )(sC

7534

75)()(

2

sssRsC

22

2

2 27534

75

nn

n

ssss

3752 n

342 n

375n

877876.0375234

17

86d

Ya conociendo la señal de entrada del sistema y sus coeficientes podemos identificar que tipo de sistema de segundo orden es sin necesidad de hacer los cálculos ahora veremos un ejercicio a partir de una grafica como podemos obtener estos parámetros.

Ejercicio N° 2

De la anterior grafica defina los parámetros de la respuesta transitoria y la función de transferencia.

Desarrollo:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

td

dt

β=tan−1ωdσ

=0 .499 rad .

t r=π−βωd

=0.2849 segundos M p=e−(σ /ωd ) π=0 .00315=0 .315%

t s=4σ=0 .23529 segundost p=

πωd

=0 .33876 segundos

De la grafica podemos obtener los siguientes datos que nos servirán para encontrar los demás:

Del tiempo de establecimiento podemos obtener.

Con el sobre impulso y conociendo obtenemos

Para finalizar.

La función de transferencia de nuestro sistema seria:

st

3333.544 s

s tt

pM

84335.7ln

pdp M

eM d

3333.5 84335.7d

48486.922 dn 56229.0n

n

96256.89666.10

96256.89

2)(

222

2

sssssG

nn

n

M p=142−127127

=0 .1181 t s=0 .75 segundos

La estructura de una antena de televisión esta sujeta a oscilaciones torsionales cuando se tiene un par de entrada; esta entrada es un escalon provista por una súbita ráfaga de viento. La ecuación diferencial de la estructura es

Cual es la estructura, el tiempo de asentamiento de 2%?

Al comparar la ecuación diferencial con ecuación (17) es decir,

Entonces, =5 Pero el tiempo de asentamiento de 2% esta dado por la ecuación (36) como

ECUACION (36)

Un sistema se puede representar mediante

Cual es la frecuencia angular no amortiguada y el factor de amortiguamiento relativo para el sistema.

Desarrollo

La ecuación se puede reordenar para obtener

Bibliografia

http://eie.ucr.ac.cr/uploads/file/proybach/pb0421t.pdf

http://web.udl.es/usuaris/w3511782/Control_de_procesos/Unidades_files/apuntes_10-11.pdf

http://gama.fime.uanl.mx/~rgalindo/orozco/Ingenier%C3%ADa%20de%20Control1.pdf