Tiempo de retardo tiempo de crecimiento tiempo pico sobre impulsó máximo tiempo de establecimiento
Se estudia la respuesta de una sistema de segundo orden ante una señal escalón unitaria de entrada ya que este tipo de entrada es lo bastante drástica como para probar la bondad del sistema en régimen transitorio. Además si se conoce la respuesta de este tipo de entrada se puede calcular en forma analítica la respuesta ante cualquier tipo de entrada, se suelen especificar ciertos tipos de parámetros que veremos mas adelante.
Presentado por: Luis Fernando De la cruz Badillo Kevin Nerio Espitia30 de noviembre de 2012
Definición de parámetros de una respuesta transitoria
Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes parámetros.
Tiempo de retardo
Tiempo de crecimiento
Tiempo pico
Sobreimpulso máximo
Tiempo de establecimiento
Tiempo de retardo
Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.
td
t p
t r
M p
t s
Tiempo de crecimiento
Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.
Tenemos que:
el tiempo de crecimiento es:
d
c ( t )=1−e−ζωn tr (cosωd t r+
ζ
√1−ζ 2senωd t r)=1
cosωd t r+ζ
√1−ζ2senωd t r=0
tanωd t r=−√1−ζ2ζ
=ωdσ
cosωd t r+ζ
√1−ζ2cosωd t r tanωd t r=cosωd t r [1+ ζ
√1−ζ 2tanωd tr ]=0
t r=1ωdtan−1 ( ωd−σ )=π−βωd , β=tan−1
ωdσ
Tiempo pico
Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene,
Sobre pasa máximo
Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico
(senωd t p )ωn
√1−ζ 2e−ζωn tp=0
senωd t p=0 , los valores que satisfacen esta ecuación son0 , π , 2 π , 3 π , ⋯, se elige el primer sobreimpulso .
ωd t p=π ⇒ t p=πωd
M p=c ( t p )−1=−e
−ζωn(π /ωd)(cosωd πωd + ζ
√1−ζ 2senωd
πωd )
Tiempo de establecimiento
Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error prestablecido, generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de tiempo:
Ejercicios relacionados
=e−ζ (ωn /ωd ) π=e
−(σ /ωd) π
M p =e−(ζ /√1−ζ2 ) π
t s=4T= 4ζωn
=4σ
Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema
Desarrollo
La función de transferencia de lazo cerrado es
Se utiliza la siguiente igualdad
Tenemos que:
A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria
)34(75ss
)(sR )(sC
7534
75)()(
2
sssRsC
22
2
2 27534
75
nn
n
ssss
3752 n
342 n
375n
877876.0375234
17
86d
Ya conociendo la señal de entrada del sistema y sus coeficientes podemos identificar que tipo de sistema de segundo orden es sin necesidad de hacer los cálculos ahora veremos un ejercicio a partir de una grafica como podemos obtener estos parámetros.
Ejercicio N° 2
De la anterior grafica defina los parámetros de la respuesta transitoria y la función de transferencia.
Desarrollo:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
td
dt
β=tan−1ωdσ
=0 .499 rad .
t r=π−βωd
=0.2849 segundos M p=e−(σ /ωd ) π=0 .00315=0 .315%
t s=4σ=0 .23529 segundost p=
πωd
=0 .33876 segundos
De la grafica podemos obtener los siguientes datos que nos servirán para encontrar los demás:
Del tiempo de establecimiento podemos obtener.
Con el sobre impulso y conociendo obtenemos
Para finalizar.
La función de transferencia de nuestro sistema seria:
st
3333.544 s
s tt
pM
84335.7ln
pdp M
eM d
3333.5 84335.7d
48486.922 dn 56229.0n
n
96256.89666.10
96256.89
2)(
222
2
sssssG
nn
n
M p=142−127127
=0 .1181 t s=0 .75 segundos
La estructura de una antena de televisión esta sujeta a oscilaciones torsionales cuando se tiene un par de entrada; esta entrada es un escalon provista por una súbita ráfaga de viento. La ecuación diferencial de la estructura es
Cual es la estructura, el tiempo de asentamiento de 2%?
Al comparar la ecuación diferencial con ecuación (17) es decir,
Entonces, =5 Pero el tiempo de asentamiento de 2% esta dado por la ecuación (36) como
ECUACION (36)
Un sistema se puede representar mediante
Cual es la frecuencia angular no amortiguada y el factor de amortiguamiento relativo para el sistema.
Desarrollo
La ecuación se puede reordenar para obtener
Bibliografia
http://eie.ucr.ac.cr/uploads/file/proybach/pb0421t.pdf
http://web.udl.es/usuaris/w3511782/Control_de_procesos/Unidades_files/apuntes_10-11.pdf
http://gama.fime.uanl.mx/~rgalindo/orozco/Ingenier%C3%ADa%20de%20Control1.pdf