mecanicismo-determinismo-predicción pierre-simon laplace (1749 - 1827) demonio
TRANSCRIPT
Mecanicismo-determinismo-predicción
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
Demonio
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
Mecánica cuánticaIndeterminación
Átomos/EntropíaProbabilidadMecánica estadística
¿Predicción? Sí
Caos determinista
¿Predicción? No
Una causa muy pequeña, que se nos escapa, determina un efecto considerable que no podemos prever, y entonces decimos que dicho efecto se debe al azar.
H. Poincaré, Ciencia y método (1908)
Sensibilidad a las condiciones iniciales (Efecto mariposa). Azar a partir de ecuaciones simples. Orden en el azar. Azar local vs. estabilidad global.
Determinismo no es igual a predicción.
Caos. La Creación de una CienciaJames GleickSeix Barral, 1998
Traducción del original "Chaos. Making a New Science" en Viking, 1987. Escrito por un periodista del periódico The New York Times. Relata los comienzos y el primer desarrollo de la ciencias no lineal en un lenguaje muy accesible. Un síntoma de que se trata de un buen escrito es que aparece como bibliografía en algunos artículos científicos.
Sistemas dinámicos discretos
Entendemos por sistema dinámico (SD) al par sencillo:
(i) Condiciones iniciales
+
(ii) Regla dinámica de cambio.
Sistemas dinámicos discretos (1) Audio-feedback: si acercamos el micrófono a la salida de sonido crearemos un circuito de retroalimentación del volumen:
Vt+1 = r·Vt donde V es el volumen y r la ganancia efectiva.
(2) Interés bancario: el dinero en el banco renta más o menos capital (generalmente vemos que menos).
St+1 = r·St donde St es el saldo al t-ésimo año y r = (1 + tasa de
interés - tasa de inflación).
(3) Crecimiento de una colonia de bacterias: las poblaciones varían en el tiempo (solo para gente con microscopio).
Pt+1 = r·Pt donde Pt = número de células, población, en la t-ésima
generación y r = (1 + tasa de crecimiento - tasa de defunción) = fecundidad.
La pregunta típica en SD es: dada una condición inicial (V0 decibelios, S0 euros o P 0 bacterias en nuestros casos) ¿cuál será el estado del sistema después de t iteraciones? Para los sistemas lineales como los expuestos, la respuesta no es difícil. Podemos resolverlos totalmente.
Tenemos:
xt+1 = r· xt con t = 0, 1, 2, ...
Dada una condición inicial x 0:
x1 = r · x0 x2 = r · x1 = r2 · x 0 ... Y en general:
xt+1 = rt+1 · x0
Conocida la condición inicial conocemos el estado del sistema en cualquier instante. Observemos que, a pesar de que la ecuación es lineal el comportamiento dinámico es el de una sucesión geométrica. Una serie temporal no lineal no implica necesariamente reglas dinámicas no lineales.
Las gráficas siguientes muestran la riqueza de comportamientos dinámicos posibles de nuestra función iterada lineal al variar el parámetro r. Evidentemente, para nuestros ejemplos concretos ciertos comportamientos carecerán de sentido: ni volúmenes musicales negativos (música minimalista), ni intereses negativos (inflación hipergalopante), ni poblaciones negativas (noche de los muertos vivientes) son posibles.
Decaimiento exponencial 0 < r < 1
xt+1 = r· xt
Crecimiento exponencial r > 1
Comportamiento estacionario r = 1
xt+1 = r· xt
xt+1 = r· xt
Decaimiento oscilante -1 < r < 0
Crecimiento oscilante r < -1
Ciclo periódico r = -1
xt+1 = r· xt
El mundo es un pañueloUn paseo pluridisciplinar por la ciencia
Bartolo LuquePublicacions de la Universitat de València, colección sin fronteras (2009). Finalista del Premio Europeo de Divulgación Científica Estudi General 2007. ISBN: 978-84-370-7325-5.
Capítulo 3. Vídeo-iterando, video-iterando, el caos se va alcanzando ¿Qué ocurre si enfocamos una cámara a la pantalla de un televisor que está emitiendo justamente las imágenes que capta la propia cámara? Descubra una ruta televisiva hacia el caos determinista.
Patrones complejos pueden ser generados por procesos simples
Vídeo-retroalimentación
El término iteración suele usarse en matemáticas, los ingenieros prefieren utilizar la palabra retroalimentación (feed-back) para referirse al mismo. Vamos a crear un sencillo circuito de retroalimentación. Necesitamos simplemente una cámara de vídeo y un televisor.
Conecte la salida de una cámara de vídeo a la entrada de señal de un televisor. De esa manera las imágenes recogidas por la cámara serán vistas en la pantalla. ¿Qué ocurre si apuntamos la cámara a la propia pantalla del televisor? La imagen que aparece en el televisor es capturada por la cámara, que la regresa de nuevo al televisor, que vuelve a ser capturada por la cámara, que... ¡Estamos iterando la imagen! En nuestra calculadora conseguíamos iterar un paso cada vez que apretábamos el botón de raíz cuadrada. Con este experimento conseguimos 25 iteraciones por segundo y sin tan siquiera mover un dedo. Y además obtenemos imágenes físicas y no cadenas simbólicas.
¿Qué observaremos mediante este sencillo montaje? Si situamos la cámara a larga distancia obtendremos una secuencia de pantallas dentro de pantallas en una sucesión que se aleja. En la fotografía puede observar uno de estos efectos conseguido con un astuto giro de la cámara.
El proceso de retroalimentación puede describirse como una reducción de la imagen hacia un punto interior de la pantalla. Si acercamos la cámara lo suficiente, como para que desde su visor de cámara sólo observemos pantalla, observaremos lo contrario. La imagen se expandirá. Para conseguir imágenes que le resultarán hipnóticas, baje el brillo del televisor y ponga alto el contraste. Apague la luz de la habitación y ajuste ahora el zoom de la cámara de modo que la pantalla del televisor quede perfectamente encuadrada sin que aparezca el marco del televisor. Es decir, nos encontramos en la región ni demasiado lejos para que la imagen se contraiga, ni demasiado cerca para que la imagen se expanda. En este sencillo sistema puede modificar muchas variables como el zoom, el foco, el ángulo con que encaramos la pantalla del televisor, etc.
Al igual que en nuestra calculadora podíamos comenzar a partir de un número x0 cualquiera (excepto negativos) como condición inicial, en nuestro experimento podemos utilizar un sinfín de objetos como imagen inicial. Pruebe a mover una vela o un mechero encendidos entre la cámara y el televisor para obtener resultados semejantes al de las siguientes fotografías.
Clasificando los resultados Después de experimentar un rato observará que los patrones espaciales se pueden clasificar en cuatro clases según su evolución en el tiempo: (1) La pantalla se vuelve totalmente blanca o se fija una mancha de luz estable. Este resultado es, en lenguaje de los sistemas dinámicos, un punto fijo. (2) Aparece una mancha de luz pulsante (estado estacionario periódico). (3) Asistimos a una frenética aparición y desaparición de manchas de luz sin orden ni concierto (caos determinista). (4) Nuestra pantalla exhibe un patrón organizado o complejo de manchas, de reminiscencias orgánicas, que parecen crecer, decrecer y evolucionar (dinámica compleja o auto-organizada).
Sin duda las imágenes más interesantes corresponden a esta cuarta categoría. Aquí tiene algunos ejemplos:
Simular para entender Los experimentos con vídeo-retroalimentación se remontan al nacimiento de la televisión. Muchos artistas se han mostrado interesados en sus posibilidades estéticas. Si ha experimentado con el sistema habrá observado que el efecto de algunos controles sobre el resultado final es relativamente fácil de entender. Sin embargo, el de otros es endemoniadamente difícil. Fue el físico J. P. Crutchfield ("Space-time dynamics in video feedback," Physica 10D (1984) 229-245) quien primero estudió teóricamente el sistema.
Crutchfield propone un modelo matemático para emular lo que ocurre en nuestro experimento con vídeo y televisor. Asume que una imagen se describe como una matriz dos dimensional que puede ser rotada o magnificada. Para iterar una imagen se acopla cada píxel de la matriz con sus píxeles vecinos de manera especificada por el valor del foco, se rota la imagen de manera especificada por el ángulo escogido y se magnifica por el valor z del zoom, los tres parámetros regulables del modelo. El proceso viene descrito por una ecuación de iteración semejante a las que expusimos al comienzo del ensayo, pero, como el lector puede suponer, matemáticamente mucho más compleja. Para iterar la ecuación, Crutchfield utilizó un ordenador. De esta manera determinó que existían dos tipos básicos de comportamientos dependientes del valor del zoom. Cuando el zoom era menor que uno los puntos de luz en la imagen, se obtenían patrones en espiral hacia el centro. Cuando el zoom es mayor que uno los puntos de luz se magnifican hacia el exterior, formando en algunos casos espirales con estructura autosimilar, fractal. La siguiente tabla muestra una clasificación de los resultados:
Para seguir explorandoSi dispone de una cámara acoplada a su ordenador, una típica web-cam, puede construir igualmente el circuito de retroalimentación que hemos descrito. Y además, con un poco de pericia informática podrá medir la intensidad luminosa de los patrones dinámicos que genere. En la gráfica que acompaña a este texto presentamos el resultado de la variación de intensidad con el tiempo. Las primeras gráficas muestran el comportamiento de una mancha pulsante periódica. Al variar convenientemente las variables del sistema se observan cambios en el periodo.
En concreto la quinta, sexta y séptima línea muestran un periodo de duración doble. Así que al variar los parámetros de forma continua, el periodo se va doblando una y otra vez, hasta que alcanzamos el comportamiento de la octava gráfica, que no muestra periodicidad: hemos alcanzado el caos determinista. El sistema de video-iteración exhibe lo que los físicos y matemáticos denominan cascada de bifurcaciones. Un comportamiento que estaba presente, de manera simbólica, en la ecuación logística que presentamos al comienzo del ensayo y con la que se suele enseñar en la mayor parte de cursos sobre sistemas dinámicos esta ruta hacia el caos. La sencilla ecuación logística nos desvela un patrón dinámico oculto en muchos sistemas del mundo físico real, un patrón universal.
One-dimensional maps
One-dimensional maps, definition: - a set V (e.g. real numbers between 0 and 1) - a map of the kind f: VV
Linear maps:
- a and b are constants
- linear maps are invertible with no ambiguity no chaos
Non-linear maps: The logistic map
Iniciación al Caos. Sistemas DinámicosMiguel Ángel Martín, Manuel Morán Cabré, Miguel ReyesSíntesis, 1995
One-dimensional maps
Non-linear maps: The logistic map
with
Discretization of the logistic equation for the dynamics of a biological population x
Motivation:
b: birth rate (assumed constant)
cx: death rate depends on population (competition for food, …)
How do we explore the logistic map?
Geometric representation
x
f(x)
0 1
1
0.5
Evolution of a map: 1) Choose initial conditions2) Proceed vertically until you hit f(x) 3) Proceed horizontally until you hit y=x4) Repeat 2)5) Repeat 3) . :
Evolution of the logistic map
fixed point ?
Phenomenology of the logistic map
y=x
f(x)
0 1
1
0.5
y=x
f(x)
0 1
1
0.5
0 10.5
1
0 10.5
1
fixed point
fixed point
2-cycle? chaos?
a) b)
c)d)
What’s going on? Analyze first a) b) b) c) , …
Geometrical representation
x
f(x)
0 1
1
0.5
x
f(x)
0 1
1
0.5
fixed pointEvolution of the logistic map
How do we analyze the existence/stability of a fixed point?
Fixed points
- Condition for existence:
- Logistic map:
- Notice: since the second fixed point exists only for
Stability
- Define the distance of from the fixed point
- Consider a neighborhood of
- The requirement implies
Logistic map?
Taylor expansion
Stability and the Logistic Map
- Stability condition:
- First fixed point: stable (attractor) for
- Second fixed point: stable (attractor) for
x
f(x)
0 1
1
0.5
x
f(x)
0 1
1
0.5
- No coexistence of 2 stable fixed points for these parameters (transcritical bifurcation)
What about ?
Period doubling
x
f(x)
0 1
1
0.5
Evolution of the logistic map
0 10.5
1) The map oscillatesbetween two values of x
2) Period doubling:
Observations:
What is it happening?
Period doubling
0 10.5 and thus:
- At the fixed point becomes unstable, since
-Observation: an attracting 2-cycle starts (flip)-bifurcation The points are found solving the equations
These points form a 2-cycle forHowever, the relation suggeststhey are fixed points for the iterated map
Stability analysis for :
and thus:
For , loss of stability and bifurcation to a 4-cycle
Now, graphically..
>
Why do these points appear?
Bifurcation diagram Plot of fixed points vs
Bifurcation diagram Plot of fixed points vs
Observations:1) Infinite series of period doublings at pitchfork-like (flip) bifurcations2) After a point
chaos seems to appear3) Regions where stable periodic cycles exist occur for
What is general?
Bifurcation diagram
General points:
1) Period doubling is a quite general route to chaos (other possibilities, e.g. intermittency)
2) Period doublings exhibit universal properties, e.g. they are characterized by certain numbers that do not depend on the nature of the map. For example, the ratio of the spacings between consecutive values of at the bifurcation points approaches the universal “Feigenbaum” constant. The latter occurs for all maps that have a quadratic maximum
3) Thus, we can predict where the cascade of period doublings ends, and something else starts4) The something else looks chaotic, however, can we quantify how chaotic really is?
How do we characterize/quantify chaos?
Chaos: rapid divergence of nearby points in phase space
Measure of divergence: Lyapunov exponent
Lyapunov exponent
One-dimensional system with initial conditions
One dimensional systems
After n steps
and with
After n iterations, their divergency is approximately
- If there is convergence no chaos
- If there is divergence chaos
Thus:
(chain rule)
Logistic map
Stretching and folding
Beginning of the lecture: “Chaos: is aperiodic long-term behavior in a deterministic system that exhibits sensitive dependence on initial conditions ”
0 1/2 1
However, in general it is necessary to have a mechanism to keep chaotic trajectories within a finite volume of phase-space, despite the expoential divergence of neighboring states
1/20 1
“stretching” (divergence) for (0,1/2)
“folding” (confinement) for (0,1/2)
- “stretching+folding” is responsible for loss of information on initial conditions as the iteration number (time) increases
- for 1D maps, non-linearity makes “time”-inversion ambiguous loss of information
Conclusions
Chaos
- the logistic map
Phenomenology:
- Initial conditions, fixed points and linear stability
- Bifurcation analysis, period doubling- Bifurcation diagrams
- Chaos
Conclusions
Analysis:
-Lyapunov exponents-Stretching and folding
Chaos and Fractals. New Frontiers of ScienceHeinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar SaupeSpringer-Verlag, 1992
Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite ParadiseManfred SchroederW. H. Freeman, 1992
Period Doubling Single Frequency Steady State
Frequency
Pow
er
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
xn
M(xn)
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Period Doubling Single Frequency Steady State
Frequency
Pow
er
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
xn
M(xn)
xn+1 x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Period Doubling Single Frequency Steady State
Frequency
Pow
er
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
xn
M(xn)
xn+1
M(xn+1)
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Period Doubling Single Frequency Steady State
Frequency
Pow
er
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
xn
M(xn)
xn+1
M(xn+1)
xn+2
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Period Doubling Single Frequency Steady State
Frequency
Pow
er
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
xn
M(xn)
xn+1
M(xn+1)
xn+2
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
xn
M(xn)
xn+1
M(xn+1)
xn+2
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Period Doubling Single Frequency Steady State
Frequency
Pow
er
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
xn
M(xn)
xn+1
M(xn+1)
xn+2
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
xn
M(xn)
xn+1
M(xn+1)
xn+2
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Period Doubling Single Frequency Steady State
Frequency
Pow
er
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
xn
M(xn)
xn+1
M(xn+1)
xn+2
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
time
fre
qu
en
cy
Period Doubling Single Frequency Steady State
Frequency
Pow
er
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
xn
M(xn)
xn+1
M(xn+1)
xn+2
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Period 2 Orbit
Pow
er
Frequency
time
fre
qu
en
cy
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Period 4 Orbit
Pow
er
Frequency
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
time
fre
qu
en
cy
Period 8 Orbit
Pow
er
Frequency
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Time
Fre
qu
en
cy
Period 16 Orbit
Pow
er
Frequency
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Time
Fre
qu
en
cy
Chaotic Orbit
Pow
er
Frequency
Logistic Map
xn+1=rxn(1-xn)
x
M(x)
M(x) Filter profile
x=y Frequency
shift due to
feedback
Time
Fre
qu
en
cy
Iterated Map
• Poincare sections: ODEs → Map• Maps by themselves.
• 1-D map: xn+1 = f(xn)
• Map → ODEs ???
Poincare Sections
Uniqueness of solutions of ODEs → existence of Poincare map
1 1
1 1
,
,
n u n n
n v n n
u P u v
v P u v
Example of Reduction to 1-D map:
1 1,n u n nu P u v
n v nv P u
1 1,u n v nP u P u 1A nf u
Poincare section of 3-D system
Another example:
Dissipative system: IC cluster → 0 volume
Directions with M<<1 ( λ<<0 ) quickly contract.
IC cluster → curve
→ 1-D map
If system is sufficiently dissipative:
Essentially 1-D system:
1n A nu f u
Diode circuit
Low Q: 1-D
High Q: 2-D ?
Effectively 1-D System: Pendulum
2
2sin cos
d dM L M L M g t
d t d t L
2
2sin cos
d db F Ds
d s d s
0
g
L 0s t
0
D
0
b
2
2sin cos
d d gK t
d t d t L
FM gL
D = 2/3, b = 1, F = 2.048
1-D Iterated Map
Maps have greater range of dynamical behavior than their ODE counterparts
1n p nx f x
Logistic map:
1 1n n nx Ax x
Fixed point:
* *x f x
0,1x
Logistic map:
1* 0,1x
A
*
1
1
1x
stable attractingd f
Bifurcation pointd x
unstable repelling
Linear stability analysis: 1* *n nx x f x f x
1
*
*n
x
d fx x
d x
Bifurcations: Period Doubling Route to Chaos
Logistic map
A < 1 1 < A < 3 A > 3 A = 3
x* = 0f = A Stable Unstable Unstable Unstable
x* = 1 - 1/A
f = 2 - AUnstable Stable
2-cyclex1* = f(x2*)
x2* = f(x1*)
x*j = f(2)
(x*j)
Period-doubling bifurcati
on
f = -1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 d f f xd f x
d x d x
f f x f x
d f g d f d g
d x d g d x
f g g x f x x
d f d f
d x d x
2 11
2
* ** x xx
d f x d f d f
d x d x d x2-
cycle:
2
2
*x
d f x
d x
→ Same stability at x1* and x2*
At bifurcation point ( A1 = 3 ) : x* = x1* = x2*
S,U,S
* *x f x * *nx f x
1
d f x
d x
2
1d f x
d x
In general
But not vice versa
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
100
nn d f f xd f x
d x d x
1
01
n
n
d f xf x
d x
1nd f x
d x
11
1
nn
n
d f xd x
d x d x
1
10
n
n
x
d f x d f
d x d x
2
01 2
n
n n
d f xf x f x
d x
1 2 0n nf x f x f x
(Un)stable f(x*) (Un)stable f(n)(x*)
* *nnd f x d f x
d x d x
Prime period of a fixed point = smallest n x* = f(n)(x*)
Let xi(n)* be the ith fixed point of an n-cycle, then
(Ex.5.4-4) *
*
1
n nn
i nj
j
d f xf x
d x
for i = 1, …, n
Ex 5.4-6
f(n)
:f(2n):
f(n) = -1
f(n) > -1
f(n) < -1S, U, S
S S
Lyapunov Exponents
Chaos:
• Divergence of nearby trajectories.
• x ~ exp(λt) n = Mn-1 1 with λ>0 & |M|>1
• Dissipative system: ergodicConsider 2 neighboring points on a chaotic attractor:
0 0n n
nd f x f x
0 01ln
n nf x f x
n
ne
n large, ε→ 0
01ln
nd f x
n d x
1
0
1ln
n
ii
f xn
ln iM 1
0
1ln
n
ii
f xn
Best choice of n: dn ~ X/2
An 1-D map is chaotic if λ > 0
xi on same trajectory
Universality: The U Sequence
Unimodal map:
• Piecewise C(1) function of [0,1] into itself with a single maximum at the critical point xc.
• Monotonic otherwise.
• By convention, f(0) = f(1) = 0 and xc = 0.5.
Shift + scale to unimodal
Non-unimodal
Metropolis, Stein & Stein’s U-Sequence
Reprinted in P.Cvitanovic, “Universality in Chaos”,
2nd ed., Adam Hilger (84,89)
Supercycle of period n:
• x1 = f(xc) x2 = f(x1) … xn-1 = f(xn-2) xc = f(xn-1)
• Symbol (kneading) sequence: xi > xc → R, xi < xc → L
0Cx
d f
d x
1
1
Birthd fof cycles
Deathd x
→ Supercycles are most stable
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
λ = .9895107
C : f W3 3W W2W 3x1 x
• U-sequences beyond periodic doubling accumulation point ( A ~ 3.5699… for logistic map ) are in windows within chaotic regime.
• Universality.• Non-uniqueness: there are other sequences not involving xc. (cf. Singer’s theorem )
• Comparison with experiments: favorable.• Exceptions:
– oscillating chemical reactions– varactor diode circuit– Gaussian map
Ex. 5.5-2
Some Generalizations
• Single minimum: f(x) = 1 – Ax(1-x)– Ex. 5.5-3
• Scaling: f(x) = Bx(b-x)– u = x/b
Schwarzian derivative2
3
2
f fS f
f f
• Sf = 0 if f = (az+b)/(cz+d) = linear fractional transform.
• Sf < 0, Sg < 0 → S(f 。 g) < 0
• Sf < 0 → Sf(n) < 0.
• Sf < 0 restricts existence of inflection points: Schwarzian min-max principle: Sf < 0 → f has no positive local minimum or negative local maximum.Pf: f(x*) is min → f(x*) = 0 & f(x*) > 0 Sf < 0 → f(x*) < 0
Introduced originally for complex analysis
21
2
f f
f f
A unimodal map can have an infinite series of pitchfork bifurcations only if Sf < 0
12 f
f
Allowed: Pichfork bifurcation
23
2
f fS f
f f
f > 0,
f < 0, f > 0
f > 0
f < 0,
f > 0 , f < 0
f < 0
Singer’s Theorem
Let Dom(f) Ran(f) and Sf < 0, then
n critical points → at most n+2 attracting cycles
Corollary: unimodal map has at most 3 stable cycles
( usually only 1 with basin almost everywhere )
Proof: D.Gulick, “Encounters with Chaos”, McGraw Hill (92)
or, R.L.Devaney, “ An Introduction to Chaotic Dynamical Systems”, Benjamin (86)…Theorem 11.4.
Sarkovskii’s Theorem
Let f(x,A) C0. If f has a prime period m at A0, then f(x,A0) has period n to the right of m in the following sequence:
3→5→7→ … → 2×3 → 2×5 → … → 22×3 → 22×5 → …
… → 23 → 22 → 2 → 1{ 20(2n+1) } → { 21(2n+1) } → { 22(2n+1) } → … → { 2n ↓ }
Pf: R.L.Devaney, “ An Introduction to Chaotic Dynamical Systems”, Benjamin (86)
Period 3 → all periodsLi & Yorke, “ Period 3 implies Chaos? ”
Logistic map: A = 3.8319….
Only stable cycles computable.
Note: Multiple appearances not counted.
Logistic map: 1→2→4→ … Chaos → ( windows …→7→5→3 )
Organization of Chaos First 8 images of xc.
B.D.: only 10 points plotted.
Logistic map: bifurcation
Heavy lines: images of xc since f’(xc) = 0.
If xc is within basin of attractor:
• xmax = f(xc) xmin = f(2)(xc)
• f(n)(xc): boundaries of interior bands
• windows: merging of images of xc.
• At Ac, images of xc = supercycle.
• Sarkovskii’s sequence
Misiureweiz point: Ex 5.5-7
Feigenbaum Universality
Details in Appendices F & H.
See operator approach in H.G.Schuster, “Deterministic Chaos”
12n
Sn
n c cAd x f x
Distance from xc to its nearest neighbor (at half-way) in the 2n supercycle:
Feigenbaum α: 1
lim n
nn
d
d
12
2lim
n
Sn
n
Sn
c cA
nc cA
x f x
x f x
Existence of α implies that of a universal function g
yg y g g
Proof:
Define
12n
Sn
c cAx f x
N ny d
12nN
21 log 1n N ld N
2ny 2 2n N
2n
Sn
c cAx f x
1nd 2Ny
2
lim N
NN
y
y
1
lim n
nn
d
d
Ansatz:
1N Ny g y → 2 2 1 2N Ny y 2 1Ng g y
1
2 1
lim N
NN
g y
g g y
lim N
NN
g y
yg g
g y
yg g
Calculating α & g
Universality classes of maps are determined by the form of g(y→0).
Quadratic class:
21g y b y
Different class, different α
2g y b y Maximum at y = 0 with
0 1g
2
21 1y
b y b g
yg y g g
22
1 1y
b b
y
Constant term:
1 1 b y2 term:
2
2b
b
2b
2 2 2 0 1 3 2.731...
Better values obtained by considering higher order terms.
2.502907875... 211 1 3
2g y y
Tent ( Triangle ) Map
Piecewise linear
1
11 2
2n nx r x
2
2
r
f undefined
r
1
2for x
Fixed points x* < ½ :
1* 1 2 *
2x r x
* 0x
Fixed points x* > ½ :
1* 1 2 *
2x r x
2*
1 2
rx
r
r
1
2r
x* condition
f(x*)
Stability
0 all r 2r stable for r < ½
unstable for r > ½
2r / (1+2r)
r > ½ -2r unstable
1 r > ½ : chaotic
No period-doubling route
Ex 5.7-3: <λ> > 0
10
0
n nk
k
d f x d f x
d x d x
2n
r 0
nd f x
d x 1
1
2r
All fixed points of all the f(n)s are unstable.
1 unstable f.p.
→ 2 stable f.p.’s.Period-doubling requires
f C1
f(4)
Shift Maps & Symbolic Dynamics
Decimal shift map:
1 10 mod 1n nx x 0,1nx
x mod[1] = x (mod 1) = mod(x,1)
= fractional part of xxn is left-shifted by 1 digit to give xn+1.x0 x1 x2 x3
0.89763428
0.97634280
0.76342800
0.63428000
x0 Q fixed point / periodic cycle.
x0 = 3/8 → x* = 0
x0 = 22/70 → 6-cycle
x0 irrational trajectory ergodicThere’re infinitely many A numbers between any two B numbers ( A,B = rat/irrat )
Sensitive to I.C.
Chaotic: <λ> > 0Q is countably infinite
→ measure 0
R is uncountably infinite
Computer: no irrat numbers
Bernoulli Shift
1 2 mod 1n nx x 0,1nx
Fractional binary numbers:
= (0.111000)2
0.111
111
1000
11001000 1000
1000
10000
x0 x1 x2 x3
0.1101011
0.1010110
0.0101100
0.1011000
Ex. 5.8-1: <λ> = ln 2
Irrational number : digits = randomn sequenceSymbolic dynamics
Ref: Devaney
C.f. U-sequence
.5 + .25 + .125 = .875
(7/8)10 = (0.875000)10
Bernoulli Shift
Logistic Map (A = 4) ~ Bernoulli Shift
11 cos
2x
21 4 1 1 cosn n n n nx f x x x
0,1
1cos cos2n n
1
11 cos
2 n
11 1 cos
2x
2 1cos cos2 1
2
1 2 mod 1n n <λ> = ln2
Use as random number generator
The Gaussian Map
2
1nbx
n nx f x e c 0b
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
b7.5,c0.3
b7.5,c0.9
f C1.
2 4
2
3 40
2
b xSf
x
period-doubling sequenceInflection points at
1
2x
b
→ |f|<< 1 for large |x|→ stable fixed point at –x << -1
→ period-halving sequence
( bubbling )
b = 7.5, x0 = 0
U-seq violated: diode, osc chem reaction…
b = 7.5, x0 = 0b = 7.5, x0 = 0.7
b = 4, x0 = 0
3 fixed points
Another violation of U-seq:
Antimonotonicity ~ dimple near xc -- e.g., Diode.
2-D Maps
Henon Map:
21
1
1n n n
n n
x y C x
y Bx
21 11n n nx Bx C x 3-term
recurrence:
C > 0; x,y R
Invertible:
1
21 12
1
1
n n
n n n
x yB
Cy x y
B
For 0 <|B|< 1, y-spread → 0
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
B = 0.3, C = 1
f(sq) = dots
-25 -20 -15 -10 -5 5
-4
-2
2
4
Bifurcation diagrams (B = 0.3) :
{x0,y0} = {0,0.5}
{x0,y0} = {0.5,0.5}
combined2 attractors → hysteresis
crisis
Smale Horseshoe MapRef: D.Gulick, “Encounters with Chaos”, McGraw Hill (92)
T = [0,1] [0,1] B, E = semi-circles S = T∪B∪E
1.Shrinks vertically by a < 1/3.
2.Expands horizontally by b = 3.
3.Reshape M(B) & M(E) into semicircles.
4.Fold to fit back in S ( boundaries of M(D) = semicircles )
• M(n)(S) = 2n-1 connected horseshoes each of width ~ an.
• M has a unique fixed point p in B to which iterates of all points in B & E converge.
• All points in S migrate either to p or C+, where 0 1 0 1 0nC C C M C C n v v
= intersect of nested sequence of strips Cijk…
i,j,k,… = 0,1
vCijk…
vCi M(v)Cj M(2)(v)Ck …
Cantor set
v ~ z = ˙ijk… Forward sequence
Inverse mapping:
1 1n n
ni i i iM V C
M(-1)(Vi) = Ci
Vi = M(Ci)
0 1 1nC S M C C n v v
v ~ z = ij˙ backward sequence
v Vi j = M2(Ci j)
M(-1)(v) M(Ci j) Cj
M(-2)(v)Ci j Ci
h ←→ h-
1
z0˙z1
˙z0z1z-1˙
00.00 00.01
10.00 10.01
00.11 00.10
10.11 10.10
11.00 11.01
01.00 01.0111.11 11.10
01.11 01.10
h ←
→ h-
1
z-2z-1˙ ˙z0
z-2˙z-1
Vij → ij˙
Cij → ˙ij
Invariant set: C* = C+ ∩ C-
2-sided sequence: … z-3z-2z-1˙z1 z2 z3 …
M is strongly chaotic on C*:
• Stretch & fold mechanisms.
• Sensitive on I.C.
• (Unstable) Periodic points: z Q.
• Ergodic ( dense orbits ).
PercolationStructure on All Scales
• Connectivity Transition• Punch Holes at Random, Probability 1-P Pc =1/2 Falls Apart (2D, Square Lattice, Bond)• Static (Quenched) Disorder
Largest Connected ClusterP=Pc P=0.51P=0.49
Self-SimilaritySelf-Universality on Different Scales
Ising Model at TcRandom Walks
Self-similarity → Power Laws
Expand rulers by B=(1+);
Up-spin cluster size S, probability distribution
D(S) D[S] = A D[S’/C]
=(1+a) D[(1+c S’)]a D = -cS’ dD/dS
D[S] = D0 S-a/c
Universal critical exponents c=df=1/, a/c= : D0 system dependent Ising Correlation C(x) ~ x-(d-at Tcrandom walk x~t1/2
Fractal Dimension DfMass ~ SizeDf
Percolation
Cantor SetMiddle third
Base 3 without 1’sDf = log(2)/log(3)
Logistic map:
Fractal at critical point
Random Walk: generic scale
invariancecritical point
Universality: Shared Critical BehaviorIsing Model and Liquid-Gas Critical Point
Liquid-Gas Critical Pointc ~ (Tc-T)
Ar(T) = A CO(BT)
Ising Critical PointM(T) ~ (Tc-T)
Ar(T) = A(M(BT),T)
Same critical exponent !
Universality: Same Behavior up to Change in CoordinatesA(M,T) = a1 M+ a2 + a3T
Nonanalytic behavior at critical point (not parabolic top)All power-law singularities (cv,are shared by magnets, liquid/gas
The Renormalization GroupWhy Universal? Fixed Point under Coarse Graining
System Space FlowsUnder Coarse-Graining
Renormalization Group• Not a group• Renormalized parameters (electron charge from QED)• Effect of coarse-graining (shrink system, remove short length DOF)• Fixed point S* self-similar (coarse-grains to self)• Critical points flow to S* Universality• Many methods (technical) real-space, -expansion, Monte Carlo, …
• Critical exponents from linearization near fixed point
Renormalization GroupCoarse-Graining in Time
Renormalization Groupxn = f(xn-1)x0, x1, x2, x3, x4, x5,…New map: xn = f(f(xn-2))x0, x2, x4, x6, x8, x10,…Decimation by two!
Universalityfsin(x) = B sin(x)
~B
Dynamics = Mapf(x) = 4x(1-x)