MECÁNICA DE MATERIALES II

TAREA: INVESTIGACION

4.3.- FORMULA DE EULER Y LIMITACIONES.

4.3.1.- FORMULA DE EULER EN EL RANGO ELÁSTICO.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPASFACULTAD DE INGENIERÍA

CAMPUS I

EQUIPO: 3

6 to. SEMESTRE

GRUPO: “D”

CATEDRÁTICO:

Dr. Cabrera Madrid Alejandro

INTEGRANTES DEL EQUIPO:

-Cruz Morales Rafael.-Castellanos Cruz Manolo.-Córdova Molina Susana Carolina.-Sánchez Gonzales Albina.-Maldonado Ramírez Hipólito.-Villareal Trujillo Carlos Iván. -Campuzano Camacho Nelson Francisco.

-TUXTLA GUTIÉRREZ CHIAPAS

-FECHA: 07 DE MAYO DEL 2015.

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UNIDAD 4.

ELEMENTOS CORTOS SUJETOS A COMPRESIÓN AXIAL

INTRODUCCIÓN

Una columna es un miembro que soporta una carga de compresión axial. Esta carga puede ser concéntrica (aplicada a lo largo del eje centroidal), o excéntrica (aplicada paralelamente al eje del miembro centroidal, pero a cierta distancia del mismo). Según esta definición, los miembros a compresión cargados concéntricamente observados en la investigación son “columnas”. Sin embargo, dichos miembros son relativamente cortos y gruesos. Para tales columnas, la falla ocurriría por aplastamiento general del material.

A medida que se aumenta la longitud de la columna, se reduce su capacidad de soportar carga. Esta reducción está basada más en el tipo de falla que ocurrirá, que en el esfuerzo. Considérense, por ejemplo dos barras de acero que tienen el diámetro de un lápiz. Suponga que una barra es de 1 m de longitud y la otra de 2 cm de longitud. Si se aplicara una fuerza de compresión gradualmente creciente a la barra larga, fallaría porque se presentaría repentinamente una gran deflexión lateral. Esta deflexión lateral, llamada pandeo, es producida por la inestabilidad de la barra cuando se alcanza una cierta carga crítica.

Por otro lado, la barra corta, fallaría por fluencia general (aplastamiento). Por consiguiente, la barra corta soportaría una carga considerablemente mayor que la barra larga. Este ejemplo ilustra los dos tipos extremos de falla que pueden ocurrir cuando miembros rectos se sujetan a cargas de compresión.

Cuando una barra se sujeta a compresión, pueden ocurrir tres tipos de falla, según la teoría de columnas. Las columnas cortas fallan por aplastamiento del material, las columnas largas fallan por pandeo, y las columnas intermedias fallan por una combinación de pandeo y aplastamiento (flexocompresion).

Las columnas cortas pueden analizarse y diseñarse según la fórmula elemental σ= PA

dada, basándose en la investigación, Sin embargo, las columnas largas e intermedias deben tratarse de tal manera que se considere el fenómeno de pandeo. Esta unidad presenta parte de la teoría y de los fundamentos que gobiernan el diseño de columnas e ilustra los métodos de análisis y diseño (formula de Euler).

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4.3.- FORMULA DE EULER Y LIMITACIONES.

Leonhard Euler.

Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió en San Petersburgo el 18 de septiembre de 1783. Fue un matemático suizo, uno de los más grandes de todos los tiempos. Trabajó todas las ramas conocidas en su época y a todas aportó algo. En el año de 1757 Euler pública, la base de la teoría de las columnas que es la “fórmula de Euler”. [1]

Formula de Euler para columnas con extremos articuladas.

La fórmula de Euler, que solamente es válida para columnas largas, calcula lo que se conoce como la carga critica de pandeo. Esta es la carga última que puede ser soportada por columnas largas; es decir, la carga presente en el instante del colapso. Consideremos una columna soportada en sus dos extremos por articulaciones y sometida a una carga axial P. Supongamos que esta columna inicialmente es recta, homogénea, y de sección transversal Constante en toda su longitud. También debe suponerse que el material de que está hecha la columna se comporta elásticamente. Es decir, se aplica la Ley de Hooke y los esfuerzos son inferiores al límite de proporcionalidad del material.

Cuando se intenta determinar la carga de pandeo de una columna, debe uno darse cuenta que una columna cargada con la carga crítica de pandeo puede tener dos posiciones de equilibrio. Una de estas es la posición recta y la otra es una posición ligeramente deformada, como se indica en las Fig. 10.1, 10.2 y 10.8. [2]

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Consideremos por ejemplo, la barra mostrada en la Fig. 10.1. Suponga que la carga axial P parte de un valor bajo y se incrementa gradualmente de magnitud. Si se aplica una pequeña fuerza lateral “Q”, la barra se deformará lateralmente una pequeña cantidad. Si se quita “Q” la barra regresará a su configuración recta. Sin embargo, la barra deformada no regresará a su posición recta cuando la carga axial P sea de un valor particular, llamado la carga crítica de pandeo. Cuando se aplica esa carga crítica, la barra se deformará debido a la pequeña carga lateral “Q” pero conservará la posición deformada cuando se quita Esta condición de la barra puede describirse como equilibrio neutro. Si en la condición de equilibrio neutro, la carga axial se reduce ligeramente, la barra regresará a su posición recta. Si la carga axial se incrementa ligeramente, la barra sufrirá el colapso. Se llama carga crítica de pandeo, a aquella a la cual corresponde el equilibrio neutro.

Se obtiene la carga crítica de pandeo para una columna, considerando a la barra en la configuración flexionada de equilibrio neutro. La Fig. 10.2, muestra un diagrama de cuerpo libre de la barra en esa situación, El momento flexionante es:

∑ M cortes=0

M=−Py

Se usa el signo menos debido a los ejes coordenados elegidos. Estos ejes y por consiguiente, el signo menos para el momento flexionante, se eligen para simplificar la solución matemática del problema. Pueden elegirse otros ejes, pero la expresión matemática para la solución no sería tan fácil para su análisis. [2]

La siguiente ecuación define la curva de elasticidad de la viga como d2 ydx2 = M

EI. Usando

esta expresión y la ecuación.M=−Py Se obtienen las siguientes ecuaciones:

d2 ydx2 = M

EI=−Py

EI

d2 ydx2 + P

EIy=0

Hagamos k 2=P/ EI; podremos entonces escribir:

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d2 ydx2 +k2 y=0

[2]

Resolviendo esta ecuación diferencial, obtenemos:y=A coskx+B senkx

En la ecuación, y=A coskx+B senkx deben calcularse las dos constantes de integración A y B. Por consiguiente, es necesario conocer dos condiciones de frontera. A partir de la Fig. 10.1; se observa que:

1.- y=0 en x=0 2.- y=0 en x=L

Usando estas condiciones con la ecuación y=A coskx+B senkx tenemos:

Y Y

La parte matemática de la solución puede adoptar varias formas. Una solución sería como sigue:

( y ' ' )2+k2 y=0, ( D2+k 2) y=0, y=C1 eikx+C2e

−ikx

Esta ecuación, que tiene un par de soluciones complejas conjugadas se expresa como:y=A coskx+B senkx

Dónde: A=C1+C2 B=iC1−iC 2 La solución generalmente se expresa en esta última forma trascendente.

Para satisfacer la ecuación. B sen kL=0, B debe ser cero o senkL debe ser cero. Si B=O, no hay problema (o solución). Por consiguiente B debe tener algún valor finito, aunque pueda ser indeterminado. Dividiendo ambos miembros de la ecuaciónB sen kL=0. Por B se llega a que senkL=0. Esta ecuación se describe como un valor característico o una ecuación de valor característico. Las soluciones son:

kL=0 , π , 2π ,3 π , …nπ .

Tomando la solución general, vemos que:

kL=nπ Sustituyendo el valor de k √ PEI

=nπL

entonces se tiene: P=n2 π2 EIL2

1.- 0=A cos0+B sen 0 0=A (1 )+B (0) A=0

2.- 0=(0)cos kL+B senkL 0=B senkL

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El término n describe los modos de pandeo. Algunas soluciones se indican en la siguiente figura.[2]

Para la mayoría de los casos prácticos el primer modo de pandeo (n = 1) producirá la falla, y a menos que se encuentren características especiales

de construcción, el pandeo ocurrirá en (n = 1).

Entonces se tiene que: P= π2 EIL2

Formula de Euler para columnas con extremos articuladas:

PCr=π 2 EI

L2

[2]

El comportamiento de una columna ideal comprimida por una carga axial P se puede resumir como sigue:

Si P<Pcr la columna está en equilibrio estable en la posición recta.Si P=P cr la columna esta en equilibrio neutro en posicion recta o en una posición ligeramente flexionada.Si P>Pcr la columna está en equilibrio inestable en la posición recta y se pandeara ante la más pequeña perturbación.

Por supuesto, una columna real no se comporta de esta manera idealizada debido a que siempre tiene imperfecciones. Por ejemplo, la columna no es perfectamente recta y la carga no está exactamente en el centroide. No obstante, iniciamos estudiando columnas ideales porque nos permite comprender el comportamiento de columnas reales. [3]

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Formula de Euler para columnas con otras condiciones de soporte.

La fórmula de Euler para columnas con extremos articulados puede modificarse para tomar en consideración otros tipos de condiciones de los extremos, algunos de los cuales se muestran en la siguiente figura.

Usando la columna con extremos articulados como el caso básico, podemos modificar

la ecuación. PCr=π 2 EI

L2 Para proporcionar la carga crítica de pandeo para columnas que

tengan como condiciones en sus extremos las mostradas en la Figura anterior. Se necesita

solamente substituir la longitud L de la ecuación.PCr=π 2 EI

L2 Por la “longitud efectiva (Le)”

(mostrada en las Figuras anteriores). La longitud efectiva es la distancia entre los puntos de inflexión de la curva deformada que adopta el eje de la columna.

Por ejemplo, la carga crítica de pandeo para la columna de la Figura anterior, que tiene un extremo empotrado y el otro extremo articulado (longitud efectiva = 0.7L) se convierte en:

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PCr=π2 EI

(0.7 L )2 O bien PCr=

2.04 π2 EIL2

Análogamente, la fórmula de Euler puede modificarse para las otras condiciones de los extremos mostradas en la Figura anterior. Para columnas doblemente empotradas, (longitud efectiva = 0.5L), es:

PCr=π2 EI

(0.5 L )2 O bien PCr=

4 π2 EIL2

[2] Para columnas con un extremo empotrado y otro libre, (longitud efectiva = 2L), se convierte en:

PCr=π 2 EI(2 L )2

O bien PCr=π 2 EI4 L2

Para tener en cuenta la posible diferencia entre la longitud efectiva y la longitud verdadera, frecuentemente se incluye un factor de longitud efectiva en la ecuación básica. Entonces la ecuación de Euler aparecería como:

PCr=π 2 EIK L2 O bien PCr=

π 2 EI

( Le )2

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Donde K es cl factor de longitud efectiva. Para los casos ideales mostrados en las Figuras anteriores, los valores de K son 1.0, 0.7, 0.5 y 2.0. [2]

[3]

Limitaciones de la fórmula de Euler.

El modulo elástico E se usó en la obtención de las fórmulas de Euler para columnas; por tanto, todos los razonamientos presentados antes son aplicables siempre que el comportamiento del material permanezca linealmente elástico. Para recalcar esta importante

limitación, la ecuación Pcr=π 2 EI

Le2 , se reescribe en una forma diferente. Por definición, I=A r2

donde A es el área de la sección transversal y r es su radio de giro. Sustituyendo esta relación

en la ecuación Pcr=π 2 EI

Le2 = π2 EA r2

Le2 , se obtiene:

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σ cr=Pc r

A= π2 E

( Le /r )2

Donde el esfuerzo critico σ cr para una columna se define como Pcr / A (es decir, como un esfuerzo promedio sobre el área transversal A de una columna bajo carga critica Pcr). La longitud de la columna es Le y r es el radio de giro mínimo del área de la sección transversal, ya que la fórmula original de Euler está en términos del I mínimo. Usando la longitud efectiva Le, la expresión resulta general. La relación Le /r de la longitud de la columna al radio de giro mínimo se llama relación de esbeltez de la columna. Ningún factor de seguridad está incluido en la última ecuación.

Una interpretación grafica de la ecuación σ cr=Pc r

A= π2 E

( Le /r )2 se muestra en la siguiente figura.

Donde el esfuerzo crítico de la columna esta graficado “versus” la relación de esbeltez para tres diferentes materiales. [4]

Para cada material, E es constante, y la curva resuelta es una hipérbola. Sin embargo,

como la ecuación σ cr=Pc r

A= π2 E

( Le /r )2 se basa en el comportamiento elástico de un material, el

σ cr determinado por esta ecuación no puede exceder el límite proporcional de un material. Por

tanto las hipérbolas mostradas en las gráficas anteriores están dibujadas con líneas de rayas más allá del límite proporcional del material individual y esas porciones de las curvas no deben ser usadas.

Las porciones útiles de las hipérbolas no representan el comportamiento de una columna, sino el comportamiento de un número infinito de columnas ideales. Por ejemplo, una

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columna particular de acero, digamos con una Le

r=120, puede cuando más, soportar una carga

de P=σ1 A, donde σ 1=σcr=20 ksi. Nótese que σ 1 siempre decrece con relaciones Le

r

creciente. Además note que una definición precisa de una columna larga es ahora posible con la ayuda de esos diagramas. Así entonces, se dice que una columna es larga si le es aplicable la formula elástica de Euler. [4]

Nota: Además del requisito de deflexiones pequeñas, la teoría del pandeo de Euler empleada en esta sección es válida solo si la columna es perfectamente recta antes de la aplicación de la carga, si la columna y sus soportes no tienen imperfecciones y si la columna está hecha de un material linealmente elástico que sigue la ley de Hooke. [3]

4.3.1.- Formula de Euler en el rango elástico.

Las fórmulas de Euler, como se presentaron en las secciones anteriores son válidas solamente para columnas “largas”. En consecuencia, una columna larga se define como una columna en la cual los esfuerzos correspondientes a la carga crítica de pandeo son menores que el esfuerzo en el límite de proporcionalidad del material. Esta es la razón por la cual la fórmula de Euler no predice con precisión la carga de pandeo para todas las columnas. Sin embargo, cuando son razonablemente correctas las suposiciones descritas en las secciones anteriores, la fórmula de Euler da resultados confiables.

Como el esfuerzo es un medio conveniente para definir el límite de validez de la ecuación de Euler, es útil expresar la ecuación en términos del esfuerzo, en lugar de en

términos de la carga. Como σ=P/ A. Ambos miembros de la ecuación. PCr=π 2 EI

( Le )2 Pueden

dividirse entre A. Además, será necesario hacer la substitución I=A r2 para obtener la expresión en una forma más útil. El término r es el radio de giro de la sección transversal. El esfuerzo es:

PCr=π 2 EI

( Le )2 σ cr=

Pc r

A= π2 EA r2

A ( Le)2 σ cr=π2 E

( Le /r )2

[2]

Donde

σ cr=¿ Esfuerzo unitario en la columna, en Ib / plg2 o Pa cuando se alcanza la carga critica de pandeo.E=¿ Módulo de elasticidad, en Ib / plg2 o Pa.Le

r=¿ Relación de esbeltez = longitud efectiva dividida entre el radio de giro (adimensional).

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Si se dibuja la ecuación, σ cr=π2 E

( Le /r )2 para varios valores de Le

r, se obtiene la curva

mostrada en la Fig. 9.7.

El límite de validez de esta ecuación es nuevamente el límite de proporcionalidad del

material. Los valores de los esfuerzos que son mayores que el límite de proporcionalidad no son válidos (líneas interrumpidas de la Fig. 9.7). [2]

EJEMPLOS:

Ejemplo 1.- Determinar la carga critica de pandeo de una columna redonda de acero, de 2 plg de diametro y 10 pies de longitud. Calculemos las cargas de pandeo para los cuatro casos indicados para la fórmula de Euler. Y luego poder comparar las cargas críticas de pandeo.

Dónde:

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E=30 x106 lb / plg2 1 ft=12∈¿

I=14

π r4=14

(3.1416 )¿¿

10 ft de longitud

Articulado-articulado:

Pcr=π 2 EI

( Le )2= π2 EI

L2 =3.14162(30∗106)(0.7854)

(10∗12 )2=16 ,149 lb

Empotrado-articulado:

Pcr=π 2 EI

( Le )2=2.04 π2 EI

L2 =2.04 [3 .14162 (30∗106 ) (0.7854 )]

(10∗12 )2=32, 944 lb

Empotrado-empotrado:

Pcr=π 2 EI

( Le )2= 4 π 2 EI

L2 =4[3 .14162 (30∗106 ) (0.7854 )]

(10∗12 )2=64 , 596lb

Empotrado-libre:

Pcr=π 2 EI

( Le )2= π2 EI

4 L2 =3.14162(30∗106)(0.7854)

4 (10∗12 )2=4,037 lb

[2]

Ejemplo 2.- Una columna articulada de 2 m de longitud y sección cuadrada debe hacerse de madera. Suponiendo E=13GPa y σ Perm=12 MPa y usando un factor de seguridad de 2.5, para calcular la carga crítica de pandeo de Euler, determine el tamaño de la sección transversal si la columna debe soportar: a) una carga de 100kN

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a) Carga de 100 kN . Usando el factor de seguridad especificado.

Pcr=2.5 (100 kN )=250 kN Donde L=2m y E=13 GPa

Según la fórmula de Euler Pcr=π 2 EI

( Le )2= π2 EI

L2 y resolviendo para I.

I=Pcr L2

π2 E=

(250 x 103 N ) (2m )2

π2 (13 x 109 Pa )=7.794 x10−6 m4

Pero I=a4/12, por tratarse de un cuadrado de lado a; entonces

a4

12=7.794 x10−6m4 Donde a=98.3 mm≈ 100 mm

Se verifica el valor del esfuerzo normal de la columna:

σ= PA

= 100 KN

( 0.100 m)2=10 MPa

Ya que σ es menor que el esfuerzo permisible, una sección transversal de 100 × 100 mm es aceptable. [5]

CONCLUSIÓN

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La cual una columna con extremo articulados se pandeara respecto al eje principal de la sección transversal que tenga el mínimo momento de inercia para este elemento. Son elemento muy importante en la construcción que sirve para soportar la estructura horizontal de un edificio o arco. Siempre más largos a comparación de su ancho, de forma cilíndrica o poligonal y con mucha rigidez.

Sin embargo, en la práctica encontramos muchas otras condiciones en los extremos, como extremos empotrados, extremos libres y soportes elásticos. Las cargas críticas para columnas con varios tipos de condiciones de soporte se pueden determinar a partir de la ecuación diferencial de la curva de deflexión siguiendo el mismo procedimiento que empleamos al analizar una columna con extremos articulados.

BIBLIOGRAFÍA:

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1.- Biografía de Leonhard Euler: http://sauce.pntic.mec.es/rmarti9/euler1.html

2.- Fitzgerald Robert “Mecánica de Materiales”. Edición revisada.

3.- James M. Gere y Barry J. Goodno “Mecánica de Materiales”. Séptima edición.

4.- Egor P. Popov. “Mecánica de Solidos”. Segunda edición.

5.- Beer, Johnston, Dewolf y Mazurek. “Mecanica de materiales”. Quinta edición.