Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.

Universidad Autónoma de Chiapas.

Facultad de Ingeniería.

Campus I.

Materia:

Mecánica de Materiales I.

Catedrático:

Ing. Pedro Pérez Cruz.

Equipo: Mixto.

Integrantes:

Alegría Díaz Luis Alberto

Arizmendiz Avalos Kariana Ibeth

Cuanalo Baires Cinthia Gisella

Herrera Escandón José Carlos

López Calzada Gerlingh

Morales de la Cruz Hermas

Nieto López Gabriel Alejandro.

Orantes Villafuerte Jordán

Pascasio Hernández Francisco

Pérez Ramírez Félix Benjamín

Ríos Flores Rosa Alejandra

Román Espino Mariela Darani

Trujillo Moreno Josue Darinel

Vázquez Tovilla Alexis

Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.

Índice:

PRESENTACIÓN: ............................................................................................................... 3

UNIDAD I.- INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS. ......................................... 4

1.3.- ELASTICIDAD, PLASTICIDAD Y FLUJO PLÁSTICO. ......................................................... 4

Elasticidad: ..................................................................................................................... 4

Tensión ........................................................................................................................ 5

Deformación ................................................................................................................ 6

Problema elástico ......................................................................................................... 6

Elasticidad y diseño mecánico ..................................................................................... 8

Plasticidad: ..................................................................................................................... 8

Modelos De Plasticidad ............................................................................................... 9

Cálculo Plástico En Estructura Metálica ................................................................... 10

Cálculo Plástico En Hormigón Armado .................................................................... 11

Flujo Plástico: ............................................................................................................... 12

1.4.- ELASTICIDAD LINEAL, LEY DE HOOKE Y RELACIÓN DE POISSON. ............................. 14

Elasticidad Lineal. ........................................................................................................ 14

Ley de Hooke. ................................................................................................................ 15

Endurecimiento Por Deformación. ............................................................................ 17

Energía De Deformación ........................................................................................... 18

Módulo De Resiliencia .............................................................................................. 19

Módulo De Tenacidad ............................................................................................... 19

Relación de Poisson: ..................................................................................................... 20

BIBLIOGRAFÍA: ............................................................................................................... 22

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Presentación:

En este primer trabajo en nuestra materia Mecánica de los Materiales I, se nos

presento una oportunidad de trabajar en conjunto con muchas personas, puesto que los

equipos son considerablemente grandes, muchos de nosotros no nos conocíamos, además

de que el trabajo se solicito en una fecha relativamente cercana a la formación del equipo;

estos factores fueron, de alguna manera, un obstáculo para la mejor realización del trabajo.

Sin embargo, gracias a las nuevas tecnologías, la gran cooperación y compromiso

de cada uno de nosotros, la organización pudo aparecer.

Este trabajo de investigación comprende de la Unidad 1, Introducción y Conceptos

Básicos, en especifico de los subtemas 1.3, Elasticidad, Plasticidad y Flujo Plástico; y

1.4, Elasticidad Lineal, Ley de Hooke y Relación de Poisson.

Presentaremos la definición de cada uno de los puntos que se mencionaron hace un

momento, al igual que plantear algunos ejemplos en la vida cotidiana o, inclusive, en la

vida profesionista del Ingeniero Civil, para su mejor entendimiento. Esto con la finalidad

de conocer cuales son las leyes y límites que rigen a los materiales, claro está que esto

dependerá íntimamente de su composición tanto química como molecular, esto de manera

interna, además de las condiciones físicas y ambientales a las que se someten, esto de

manera externa.

Comprendemos que para la vida profesionista del Ingeniero Civil, es netamente

importante tener el conocimiento de propiedades básicas que se presentan como fenómenos

físicos en los materiales de construcción que se utiliza, para poder optimizar las estructuras

de todo tipo, aprovechándose de las propiedades que presenta cada material.

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Unidad I.- Introducción y Conceptos Básicos.

1.3.- Elasticidad, Plasticidad y Flujo Plástico.

Elasticidad:

Propiedad en virtud de la cual un cuerpo se deforma de manera proporcional a la

carga aplicada y recupera su forma original una vez ha cesado la acción de la carga. Un

cuerpo se denomina perfectamente elástico si no experimenta deformaciones permanentes,

es decir, siempre recupera su figura inicial; por el contrario, un cuerpo se dice que es

perfectamente plástico si sufre deformaciones permanentes, de modo que mantiene a lo

largo del tiempo la nueva configuración adquirida.

En la técnica se aprovechan tanto los materiales elásticos como los plásticos. Por

ejemplo, las chapas de la carrocería han de mantener la forma deseada después de la

estampación, por lo que deberán ser plásticas. En cambio, los muelles de las suspensiones

deben volver a su posición inicial, por lo que tienen que ser perfectamente elásticos.

En realidad, la elasticidad y la plasticidad coexisten, ya que todos los materiales se

caracterizan por un comportamiento elástico, hasta cierto punto, denominado límite elástico

(esfuerzo máximo, generalmente expresado en kg/mm2, al que puede someterse un material

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sin que se produzcan deformaciones permanentes), y luego se comportan de forma plástica

durante un intervalo determinado hasta la rotura.

No se conocen materiales que sean perfectamente elásticos a través del rango de

esfuerzos completo hasta la ruptura, aunque algunos materiales como el acero, parecen ser

elásticos en un considerable rango de esfuerzos. Algunos materiales, como el hierro

fundido, el concreto, y ciertos metales no ferrosos, son imperfectamente elásticos aun bajo

esfuerzos relativamente reducidos, pero la magnitud de la deformación permanente bajo

carga de poca duración es pequeña, de tal forma que para efectos prácticos el material se

considera como elástico hasta magnitudes de esfuerzos razonables.

El límite elástico se define como el mayor esfuerzo que un material es capaz de

desarrollar sin que ocurra la deformación permanente al retirar el esfuerzo. El límite

proporcional se define como el mayor esfuerzo que un material es capaz de desarrollar sin

desviarse de la proporcionalidad rectilínea entre el esfuerzo y la deformación; se ha

observado que la mayoría de los materiales exhiben esta relación lineal entre el esfuerzo y

la deformación dentro del rango elástico.

Tensión

La tensión en un punto se define como el

límite de la fuerza aplicada sobre una pequeña región

sobre un plano π que contenga al punto dividida del

área de la región, es decir, la tensión es la fuerza

aplicada por unidad de superficie y depende del

punto elegido, del estado tensional de sólido y de la

orientación del plano escogido para calcular el límite.

Puede probarse que la normal al plano escogido nπ y

la tensión tπ en un punto están relacionadas por:

Donde T es el llamado tensor tensión, también llamado tensor de tensiones, que

fijada una base vectorial ortogonal viene representado por una matriz simétrica 3x3:

Donde la primera matriz es la forma común de escribir el tensor tensión en física y

la segunda forma usa las convenciones comunes en ingeniería. Dada una región en forma

de ortoedro con caras paralelas a los ejes coordenados situado en el interior un sólido

elástico tensionado las componentes σxx, σyy y σzz dan cuenta de cambios de longitud en las

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tres direcciones, pero que no distorsionan los ángulos del ortoedro, mientras que las

componentes σxy, σyz y σzx están relacionadas con la distorsión angular que convertiría el

ortoedro en un paralelepípedo.

Deformación

En teoría lineal de la elasticidad dada la pequeñez de las deformaciones es una

condición necesaria para poder asegurar que existe una relación lineal entre los

desplazamientos y la deformación. Bajo esas condiciones la deformación puede

representarse adecuadamente mediante el tensor deformación infinitesimal o tensor de

pequeñas deformaciones (este tensor solo es válido para algunas situaciones, siendo este un

caso particular de los tensores de Cauchy-Almansy y Green-Saint-Venant) que viene dada

por:

Los componentes de la diagonal principal contienen los alargamientos

(dilataciones), mientras que el resto de los componentes del tensor son los medios

desplazamientos. Las componentes están linealmente relacionadas con los desplazamientos

mediante esta relación:

Problema elástico

Un problema elástico lineal queda definido por la geometría del sólido, las

propiedades de dicho material, unas fuerzas actuantes y unas condiciones de contorno que

imponen restricciones al movimiento de cuerpo. A partir de esos elementos es posible

encontrar un campo de tensiones internas sobre el sólido (que permitirá identificar los

puntos que soportan más tensión) y un campo de desplazamientos (que permitirá encontrar

si la rigidez del elemento resistente es la adecuada para su uso).

Para plantear el problema elástico son necesarias las nociones que han sido descritas

en las secciones anteriores, que describen las tensiones, las deformaciones y los

desplazamientos de un cuerpo. Todas estas magnitudes vienen descritas por 15 funciones

matemáticas:

• Las seis componentes del tensor de tensiones y .

• Las tres componentes del vector de desplazamientos: .

• Las seis componentes del tensor de deformaciones: y .

Para comprobar si se cumplen estas relaciones, formadas por 15 funciones, el

siguiente paso es comprobar si las relaciones descritas hasta ahora bastan para describir

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completamente el estado de un cuerpo. Una condición necesaria para ello es que el número

de ecuaciones disponibles coincida con el número de incógnitas. Las ecuaciones

disponibles son:

Las tres ecuaciones de equilibrio de Cauchy.

Las seis ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant, que aseguran que se los

desplazamientos y deformaciones están adecuadamente relacionados.

Las seis ecuaciones constitutivas, para un material elástico lineal isótropo y

homogéneo estas ecuaciones vienen dadas por las ecuaciones de Lamé-Hooke.

Estas 15 ecuaciones igualan exactamente el número de incógnitas. Un método

común es sustituir las relaciones entre desplazamientos y deformaciones en las ecuaciones

constitutivas, lo cual hace que se cumplan las ecuaciones de compatibilidad trivialmente. A

su vez el resultado de esta sustitución se puede introducir en las ecuaciones de equilibrio de

Cauchy lo cual convierte el anterior sistema en un sistema de tres ecuaciones en derivadas

parciales y tres desplazamientos como incógnita.

De esta manera se llega a un sistema de 15 ecuaciones con 15 incógnitas. La

formulación más simple para resolver el problema elástico es la llamada formulación de

Navier, esta formulación reduce el sistema a un sistema de tres ecuaciones diferenciales

para los desplazamientos. Esto se logra insertando en las ecuaciones de equilibrio las

ecuaciones propias del material, las ecuaciones de los desplazamientos y las ecuaciones de

las deformaciones podemos expresar nuestro sistema de ecuaciones en un sistema de tres

ecuaciones diferenciales parciales. Si lo reducimos hacia las componentes del vector de

desplazamientos llegamos a las ecuaciones de Navier:

Que con el operador Nabla y el operador de Laplace se dejan escribir como:

Mediante consideraciones energéticas se puede demostrar que estas ecuaciones

presentan una única solución.

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Elasticidad y diseño mecánico

En ingeniería mecánica es frecuente plantear problemas elásticos para decidir la

adecuación de un diseño. En ciertas situaciones de interés práctico no es necesario resolver

el problema elástico completo sino que basta con plantear un modelo simplificado y aplicar

los métodos de la resistencia de materiales para calcular aproximadamente tensiones y

desplazamientos. Cuando la geometría involucrada en el diseño mecánico es compleja la

resistencia de materiales suele ser insuficiente y la resolución exacta del problema elástico

inabordable desde el punto de vista práctico. En esos casos se usan habitualmente métodos

numéricos como el Método de los elementos finitos para resolver el problema elástico de

manera aproximada. Un buen diseño normalmente incorpora unos requisitos de:

• resistencia adecuada,

• rigidez adecuada,

• estabilidad global y elástica.

Plasticidad:

La plasticidad es la propiedad mecánica de un material inelástico, natural, artificial,

biológico o de otro tipo, de deformarse permanente e irreversiblemente cuando se encuentra

sometido a tensiones por encima de su rango elástico, es decir, por encima de su límite

elástico.

En los metales, la plasticidad se explica en términos de desplazamientos

irreversibles de dislocaciones.

El comportamiento perfectamente

plástico es algo menos frecuente, e

implica la aparición de deformaciones

irreversibles por pequeña que sea la

tensión, la arcilla de modelar y

la plastilina se aproximan mucho a un

comportamiento perfectamente plástico.

Otros materiales además presentan

plasticidad con endurecimiento y

necesitan esfuerzos progresivamente más

grandes para aumentar su deformación plástica total. E incluso los comportamientos

anteriores pueden ir acompañados de efectos viscosos, que hacen que las tensiones sean

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mayores en casos de velocidades de deformación altas, dicho comportamiento se conoce

con el nombre de visco-plasticidad.

La plasticidad de los materiales está relacionada con cambios irreversibles en esos

materiales. A diferencia del comportamiento elástico que es termodinámicamente

reversible, un cuerpo que se deforma plásticamente experimenta cambios de entropía, como

desplazamientos de las dislocaciones. En el comportamiento plástico parte de la energía

mecánica se disipa internamente, en lugar de transformarse en energía potencial elástica.

Modelos De Plasticidad

En general un modelo de plasticidad requiere definir varios elementos:

En primer lugar, en el espacio de tensiones principales se requiere definir la

llamada región de tensiones admisibles, que será un conjunto cerrado (y posiblemente

compacto) de dicho espacio de tensiones. La frontera de dicho conjunto usualmente se

denomina superficie de fluencia.

Para puntos del sólido cuyas tensiones principales estén contenidas en el interior de la

región de tensiones admisibles el comportamiento es elástico. Sin embargo, para puntos

de la superficie de fluencia es necesario definir una "regla de flujo" que explicita cómo

aumentarán la deformación plástica en función de la tasa de aumento de la tensión y

otros parámetros internos si se aumenta la solicitación sobre un material que ha

alcanzado su límite de fluencia.

Los modelos de plasticidad imperfecta requerirán la definición de un conjunto de

variables internas que den cuenta del endurecimiento y del desplazamiento de la región

de

tensiones admisibles a lo largo del tiempo en función de las tasas de aumento de las

otras variables.

La existencia de variables internas ---como el grado de plastificación (deformación

plástica), el endurecimiento y otras--- hace que la relación entre tensiones y deformaciones

sea más compleja que en el caso elástico, en particular, dado un nivel de deformación

elástica las tensiones no pueden conocerse a menos que se conozca cómo han variado las

variables internas. El hecho de tener en cuenta cómo varían las variables internas hace que

un problema elastoplástico en general sólo pueda ser unívocamente resuelto como

problema dinámico resolviendo simultáneamente las ecuaciones del siguiente sistema:

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Donde la primera relación expresa la ecuación constitutiva entre la tensión

mecánica ( ), la deformación ( ), las variables internas ( ), para cada punto del sólido. La

segunda relación es la ecuación en derivadas parciales que recoge el equilibrio de fuerzas

entre las tensiones internas y las fuerzas aplicadas ( ) y la última es la ecuación diferencial

ordinaria que da la regla de flujo que expresa cómo aumentan las variables internas (en

particular la deformación plástica) con el tiempo una vez el material alcanza un estado de

tensiones donde aparece fluencia.

Cálculo Plástico En Estructura Metálica

El cálculo plástico se refiere al cálculo de esfuerzos, tensiones y deformaciones

en ingeniería estructural de elementos que tienen un comportamiento plástico. A diferencia

de los mecanismos que deben operar de manera reversible, las estructuras estáticas pueden

ser proyectadas para trabajar por encima del dominio elástico, lográndose con ello un

aprovechamiento más completo de su capacidad resistente. Esto se debe a que, una vez

rebasado el dominio elástico de reversibilidad, algunos materiales de construcción siguen

teniendo capacidad para resistir esfuerzos mayores, por endurecimiento cinemático, aún a

costa de sufrir transformaciones internas irreversibles.

En estructura metálica el cálculo plástico consiste básicamente en identificar los

puntos de aparición de rótulas plásticas o regiones de plastificación que, una vez

completamente plastificadas, se convierten en articulaciones, llamadas "rótulas de

plastificación". Para encontrar para qué valor de la carga se forma una rótula plástica se

representa la estructura por una estructura elástica lineal donde todas las rótulas de

plastificación ya formadas se han sustituido por articulaciones. La aparición de rótulas de

plastificación reduce el grado de hiperestaticidad ampliando el número de grados de

libertad. Cuando aparece el suficiente número de rótulas plásticas la estructura se convierte

en un mecanismo, y la configuración del mismo da el mecanismo de colapso de la

estructura. El cálculo plástico es especialmente útil en estructuras hiperestáticas con

condiciones de enlaces redundantes. El cálculo plástico incluye la identificación de los

modos de colapso por formación de rótulas plásticas, y la carga necesaria para la

plastificación de todas las rótulas. La carga última plástica es el valor a partir del cual la

estructura queda convertida en mecanismo por plastificación de la última rótula.

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En una estructura con una única carga aplicada cuasi estáticamente la primera rótula

de plastificación se habrá acabado de formar cuando el momento máximo iguale el

momento plástico. Para calcularlo se considera una carga arbitraria de ensayo aplicada en

el mismo punto que la carga original y se calculan los momentos flectores en todos los

puntos en función de dicha carga , entonces la carga de formación de la primera

rótula PR,1se calcula simplemente como:

Donde:

, son respectivamente el momento plástico, el momento resistente

plástico y la tensión de fluencia.

Una vez identificada la primera rótula, se prosigue calculando una estructura como la

original pero en la que el punto de formación de la rótula de plastificación se ha sustituido

por una articulación, se considera una nueva carga de ensayo, se ve en qué otro punto se da

ahora el momento máximo y se determina que carga se necesita para que el nuevo punto,

teniendo en cuenta el momento flector total que ya tenía en la fase anterior, para que el

momento iguale al momento plástico:

El procedimiento anterior es generalizable al caso de varias cargas P1, ...,Pn que se

incrementan cuasiestáticamente de manera uniparamétrica Pi = Pi(λ). En el caso más

general en que cada carga varía independientemente, el estado final dependerá de qué

cargas aumenten más rápidamente por lo que la resistencia última en régimen plástico sólo

puede determinarse si se especifica la variación de todas las cargas en el tiempo: Pi = Pi(t).

Cálculo Plástico En Hormigón Armado

También en el cálculo de estructuras de hormigón armado se admite que las barras

de acero sometidas a tracción adquieran deformaciones plásticas, ya que el acero tiene un

comportamiento plástico con endurecimiento, y al rebasar su límite elástico se endurece

pudiendo soportar mayores tensiones que antes de adquirir deformaciones plásticas. Este

endurecimiento o aumento de la capacidad resistente del acero en tracción permite

economizar, y construir estructuras con una menor cantidad de acero.

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Flujo Plástico:

Cuando un material tiene que soportar una carga por un periodo muy largo, puede

continuar deformándose asta que ocurre una fractura súbita o su utilidad se ve amenazada.

Esta deformación permanente dependiente del tiempo se llama flujo plástico.

Normalmente el flujo plástico es tomado en cuenta cuando se usan metales o cerámicos

como miembros estructurales o partes mecanicas sometidos a temperaturas elevadas. Sin

embargo, en algunos materiales, como los polímeros y materiales compuestos, el flujo

puede presentarse para aplicaciones estrictamente a largo plazo de la carga.

Para efectos plásticos cuando el flujo plástico

resulta importante, el material se diseña por lo común para

diseñar una deformación unitaria por flujo plástico

especificado para un periodo determinado. A este respecto,

una propiedad mecánica importante que se considera en el

diseño de miembros sometidos a flujo plástico es la

resistencia por flujo plástico. Este valor representa el

esfuerzo inicial mas alto que el material puede soportar

durante un tiempo especificado sin causar una cantidad

determinada de deformación unitaria por flujo plástico. La resistencia por flujo plástico

varia con la temperatura y deberán especificarse la temperatura, la duración de la carga y la

deformación unitaria por flujo plástico permisibles.

Como un segundo ejemplo de flujo plástico, un alambre que se estira entre dos

apoyos fijos, de la forma que tiene un esfuerzo inicial de tensión σ inicial. Volveremos a

denotar con el tiempo durante el cual el alambre se carga inicialmente. Con el paso del

tiempo, el esfuerzo constante, aunque los apoyos en los extremos del alambre no se

desplacen. Este proceso, es una manifestación del flujo plástico, se denomina relajación del

material.

En general, el flujo plástico es más importante a altas temperatura que a

temperaturas ordinarias, lo que debe considerarse siempre en el diseño de motores, hornos

y otras estructuras que operan a elevadas temperaturas durante largos periodos. Ahora bien,

materiales como el acero, el concreto y la madera fluyen ligeramente a una temperatura

ambiente, por ejemplo, el flujo plástico del concreto a lo largo de grandes periodos puede

crear ondulaciones en las calzadas de puentes debido al colgamiento entre apoyos .un

remedio s construir la calzada con una curvatura hacia arriba, que es un desplazamiento

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inicial sobre la horizontal, de madera que cuando el flujo plástico ocurra, los claros o

tramos desciendan a una posición nivelada.

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1.4.- Elasticidad Lineal, Ley de Hooke y Relación de Poisson.

Elasticidad Lineal.

Un caso particular de sólido elástico se presenta cuando las tensiones y las

deformaciones están relacionadas linealmente, mediante la siguiente ecuación constitutiva:

Cuando eso sucede decimos que tenemos un sólido elástico lineal. La teoría de la

elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeñas

deformaciones de tal manera que además los desplazamientos y deformaciones sean

"lineales" (es decir, que las componentes del campo de desplazamientos u sean muy

aproximadamente una combinación lineal de las componentes del tensor deformación del

sólido. En general un sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no

cumplirá esta condición. Por tanto la teoría de la elasticidad lineal sólo es aplicable a:

Sólidos elásticos lineales, en los que tensiones y deformaciones estén relacionadas

linealmente (linealidad material).

Deformaciones pequeñas, en ese caso puede deformaciones y desplazamientos

estén relacionados linealmente. En ese caso puede usarse el tensor deformación lineal de

Green-Lagrange para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad

geométrica).

Debido a los pequeños desplazamientos y deformaciones a los que son sometidos los

cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables:

-Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas

- Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado

Para determinar la estabilidad de un sistema hay presentar las condiciones de equilibrio

para el sistema deformado.

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Ley de Hooke.

En la Física no sólo hay que observar y describir los fenómenos naturales,

aplicaciones tecnológicas o propiedades de los cuerpos sino que hay explicarlos mediante

leyes Físicas. Esa ley indica la relación entre las magnitudes que intervienen en el

Fenómeno físico mediante un análisis cualitativo y cuantitativo. Con la valiosa ayuda de las

Matemáticas se realiza la formulación y se expresa mediante ecuaciones, entregando como

resultado una Ley. Por ejemplo, la Ley de Hooke establece que el límite de la tensión

elástica de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza. Mediante un análisis e

interpretación de la Ley de Hooke se estudia aspectos relacionados con la ley de fuerzas,

trabajo, fuerzas conservativas y energía de resortes. Los resortes son un modelo bastante

interesante en la interpretación de la teoría de la elasticidad.

Los diagramas de esfuerzo-deformación para la mayoría de materiales de ingeniería

presentan una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación dentro la región elástica. En

consecuencia, un incremento en el esfuerzo ocasiona un aumento proporcional en la

deformación. Este hecho fue descubierto por Robert Hooke en el 1676 mediante el uso de

resortes y se conoce como la ley de Hooke. Puede expresarse en forma matemática como:

σ = E⋅ ∊

Aquí E representa la constante de proporcionalidad que se denomina: módulo de

elasticidad o módulo de Young, llamado así por Thomas Young quien publicó un estudio

sobre él en 1807.

La ecuación anterior en realidad representa la ecuación de la porción recta inicial

del diagrama de esfuerzo-deformación hasta el límite de proporcionalidad. Por otra parte, el

módulo de elasticidad representa la pendiente de esta recta. Como la deformación es

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adimensional, a partir de la ecuación anterior, E tendrá las mismas unidades que el

esfuerzo: psi, ksi o pascales. Como ejemplo de su cálculo, considere el diagrama de

esfuerzo-deformación para el acero que se muestra en la figura. Aquí σpl= 35 ksi y εpl=

0.0012 pulg/pulg, de modo que

σ

ε

Como se muestra en la siguiente figura, el límite de proporcionalidad para un tipo

particular de aleación de acero depende de su contenido de carbono; sin embargo, la mayor

parte de los grados de acero, desde el acero

Lastimando más blando hasta el acero más duro para herramientas tienen casi el

mismo módulo de elasticidad, en general aceptado como Eac = ksi o bien 200

GPa. Los valores de E para otros materiales de ingeniería comúnmente usados se tabulan

con frecuencia en los códigos de ingeniería y libros de referencia. Los valores

representativos también se presentan. Vale la pena destacar que el módulo de elasticidad es

una propiedad mecánica que indica la rigidez de un material. Los materiales que son muy

rígidos, como el acero, tienen grandes valores de E [Eac = ksi o bien 200 GPa],

mientras que los materiales esponjosos, como el caucho vulcanizado, pueden tener valores

bajos [Ec= 0.10 ksi o 0.70 MPa].

El módulo de elasticidad es una de las propiedades mecánicas más importantes que se

utilizan en el desarrollo de las ecuaciones. Sin embargo siempre se debe recordar que E

puede utilizarse solo si el material tiene un comportamiento elástico lineal. Además si la

tensión en el material es mayor que el límite de proporcionalidad, el diagrama de esfuerzo-

deformación deja de ser una línea recta y la ecuación anterior ya no es válida.

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Endurecimiento Por Deformación.

Si una probeta de material dúctil como el acero se carga en la región plástica y

después se descarga, la deformación elástica se recupera a medida que el material regresa a

su estado de equilibrio. Sin embargo, la deformación plástica permanece y en consecuencia

el material presenta una deformación permanente. Por ejemplo, cuando un alambre se dobla

(plásticamente) rebotara un poco (elásticamente) cuando se retire la carga; sin embargo, no

regresara en su totalidad en su posición original. Este comportamiento se puede ilustrar en

el diagrama de esfuerzo-deformación de la siguiente figura. Aquí la probeta primero se

carga más allá de su punto de cedencia A hasta el punto A´, como las fuerzas interatómicas

deben superarse para alargar elásticamente la probeta, entonces estas mismas fuerzas jalan

de nuevo a los átomos hacia su posición original cuando se retira la carga que se muestra en

la siguiente figura. En consecuencia, el módulo de elasticidad E es el mismo, y por ende, la

pendiente de la línea O’A’ es igual al de la línea OA.

Si la carga se vuelve a aplicar, los átomos en el

material serán desplazados de nuevo hasta que se

produzca la cedencia en el esfuerzo A´, o cerca de él, y el

diagrama de esfuerzo-deformación continuara en la

misma trayectoria que antes, como se muestra en la

siguiente figura. Sin embargo, debe señalarse que este

nuevo diagrama de esfuerzo-deformación, definido por

O’A’B’, ahora tiene un punto de cedencia mayor (A’), a

consecuencia del endurecimiento por deformación. En

otras palabras ahora el material tiene ahora una región

elástica más grande aunque tiene menos ductilidad, una

región plástica más pequeña, que cuando estaba en su

estado original.

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Energía De Deformación

A medida que un material se deforma a una carga externa, tiende a almacenar

energía internamente en todo su volumen. Como esta energía se relaciona con las

deformaciones del material, se denomina energía de deformación. Para obtener esta energía

de deformación considere un elemento de volumen de materia tomado de una probeta para

ensayos a tensión. Se somete a un esfuerzo uniaxial como en la siguiente figura, este

esfuerzo desarrolla una fuerza ∆F= σ ∆A= σ (∆x ∆y) en las caras superior e inferior del

elemento después de que el elemento de longitud ∆z experimenta un desplazamiento

vertical ∊ ∆z. Por definición, el trabajo se determina mediante el producto de la fuerza por

el desplazamiento en la dirección de dicha fuerza, como la fuerza se incrementa de manera

uniforme desde cero hasta su magnitud final ∆F cuando se ha alcanzado el desplazamiento

∊ ∆z. Este “trabajo externo” sobre el elemento es equivalente al “trabajo interno” o energía

de deformación almacenada en el elemento, suponiendo que no se pierde energía en forma

de calor.

En consecuencia la energía de deformación ∆U es ∆U = (

∆F) ∊ ∆z= (

σ ∆x ∆y) ∊

∆z. Como volumen el elemento es ∆V=∆x ∆y ∆z, entonces ∆U=

σ ∊ ∆V.

En ciertas aplicaciones, resulta convincente especificar la energía de deformación

por unidad de volumen del material. Esto se llama densidad de la energía de deformación

y puede expresarse como:

U =

=

σ ∊

Si el comportamiento del material es elástico lineal, entonces se aplica la ley de

Hooke, σ = E∊, y es posible expresar la densidad de la energía de deformación elástica

en términos del esfuerzo uniaxial como:

U =

σ

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Módulo De Resiliencia

En particular, cuando el esfuerzo σ alcanza el

límite de proporcionalidad, la densidad de la energía de

deformación calculada mediante las dos ecuaciones

anteriores se conoce como el módulo de resiliencia, es

decir,

Ur =

σ pl ∊ pl =

σ

A partir de la region elastica del diagrama de

esfuerzo- deformación, de la siguiente figura, observe

que u, es equivalente al área triangular sombreada bajo

el diagrama. Físicamente, la resiliencia de un material representa su capacidad de absorber

la energia sin experimentar ningún tipo de daño permanente.

Módulo De Tenacidad

Otra propiedad importante de un material es el

módulo de tenacidad, Ut. Esta cantidad representa

toda el área bajo el diagrama de esfuerzo-

deformación, como se muestra en la siguiente figura,

y por lo tanto, indica la densidad de la energía de

deformación del material justo antes de fracturarse.

Esta propiedad se vuelve importante en el

diseño de elementos que se pueden sobrecargar de

manera accidental. La aleación de metales también

puede cambiar su resiliencia y tenacidad. Por

ejemplo, al modificar el porcentaje de carbono en el acero, los diagramas de esfuerzo-

deformación resultantes, como en la siguiente figura muestran cómo pueden cambiarse los

grados de resiliencia y tenacidad.

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Relación de Poisson:

El coeficiente de Poisson es la relación de la (deformación perpendicular) a la

(axial)

Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza axial de tensión, no sólo

se alarga sino que también se contrae lateralmente. Igualmente, una fuerza de compresión

que actúa sobre un cuerpo ocasiona que éste se contraiga en la dirección de la fuerza y que

se expanda lateralmente.

Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia una cantidad δ

y su radio una cantidad δ’. Las deformaciones unitarias en la dirección axial o longitudinal

y en la dirección lateral o radial son, respectivamente.

εlong =

y εlat =

A principios del siglo XIX, el científico francés Siméon Denis Poisson descubrió

que dentro del rango elástico, la razón de esas dos deformaciones unitarias es constante, ya

que las deformaciones δ y δ’ son proporcionales. A esta constante se le llama razón de

Poisson, v (nu), y tiene un valor numérico que es único para un material particular que sea

homogéneo e isotrópico. Expresado matemáticamente,

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El - se usa aquí ya que un alargamiento longitudinal (deformación unitaria positiva)

ocasiona una contracción lateral (deformación unitaria negativa), y viceversa. Esta

deformación unitaria lateral es la misma en todas las direcciones laterales o radiales.

Además, esta deformación unitaria es causada sólo por la fuerza axial o longitudinal;

ninguna fuerza o esfuerzo actúa en una dirección lateral que deforme el material en esa

dirección.

La razón de Poisson es adimensional y para la mayoría de los sólidos no porosos

tiene un valor generalmente entre 1/4 y 1/3, habiendo excepciones, muy bajos como para

algunos concretos (µ=1/10), o muy altos como lo es para el hule (µ=1/2), el cual es el valor

más alto posible.

En particular, un material ideal sin movimiento lateral cuando se alargue o

contraiga, tendrá V = 0.

Los cuerpos homogéneos e isótropos tienen definidas sus características elásticas

con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson.

E= 2G(μ+1)

Lunes, 17 de Agosto del 2015. Tuxtla Gutiérrez; Chiapas.

Bibliografía:

Elasticidad:

1. http://diccionario.motorgiga.com/diccionario/elasticidad-de-los-materiales-

definicion-significado/gmx-niv15-con193952.htm

2. http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira/5000155/lecciones/lec2/2_

5.htm

Plasticidad:

1. http://www4.tecnun.es/asignaturas/estcompmec/documentos/plastintro.pdf

2. http://www.arqhys.com/construccion/plasticidad-mecanica-solidos.html

Flujo Plástico:

1. R. C. Hibbeler; (2006); Mecánica de Materiales; Pearson Educación; Pág. 112;

México; Sexta Edicion.

Elasticidad Lineal:

1. http://elasticidad-fisica.blogspot.mx/2009/07/teoria-de-la-elasticidad-lineal.html

Ley de Hooke:

1. R. C. Hibbeler; (2006); Mecánica de Materiales; Pearson Educacion; Pág. 94

Mexico; Sexta Edicion.

Relación de Poisson:

1. R. C. Hibbeler; (2006); Mecánica de Materiales; Pearson Educación; Pág. 107;

México; Sexta Edicion.

2. http://www.ual.es/~mnavarro/Tema%206%20%20Elasticidad.pdf

3. http://www.angelfire.com/pro2/resmat/U02/03modulopoisson/modp.htm