MATERIA: MECÁNICA DE FLUIDOS

TEMA:Ecuación de Momento para un volumen de

control con aceleración arbitraria

PRESENTA: SERGIO DE LA ROSA GUZMÁN

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN ESIME CULHUACAN

Volumen de control vs. SistemaEn este capítulo se estudia el movimiento de los

fluidos desarrollando las ecuaciones fundamentales en forma integral desde un punto de vista de volúmenes de control. Ahora, ¿por qué la formulación del volumen de control en lugar de la formulación de sistema? Hay dos razones básicas:

1. Al ser los medios fluidos sustancias capaces de una distorsión y deformación continuas, a menudo es en extremo difícil de identificar y seguir la misma masa de fluido todo el tiempo.

2. Frecuentemente interesa, no tanto el movimiento de una masa particular de fluido, sino más bien el efecto del movimiento del fluido sobre algún dispositivo o estructura.

Por ello, resulta más conveniente el concepto de volumen de control para el estudio del movimiento de fluidos en base a las leyes básicas de la física.

Volumen de control. Consiste en tomar una región

determinada del espacio que puede estar fija o en movimiento con velocidad constante. El contorno de dicha región se denomina superficie de control. La cantidad e identidad de la materia dentro del volumen de control pueden variar con el tiempo. Es siempre preferible mantener fija la forma del volumen de control.

Ecuación de Momento para un volumen de control con aceleración arbitrariaEn la Sección 4.5 se obtuvo una ecuación de

momento para un volumen de control con aceleración rectilínea. El propósito de esta sección es ampliar el tema para incluir la rotación y la aceleración angular del volumen de control, además de traslación y aceleración rectilínea.

En primer lugar, desarrollamos una expresión de la segunda ley de Newton en forma arbitraria, sistema de coordenadas no inercial. Luego usamos la ecuación. 4.25 para completar la formulación para un volumen de control. La Segunda ley de Newton para un movimiento relativo con respecto a un sistema de coordenadas inercial, el sistema está dada por:

Donde, como en la sección previa, XYZ denota el marco de referencia inercial. Entonces

Y M(system) es constante,

O

El problema básico es relacionar XYZ con la aceleración xyz medido con respecto a un sistema de coordenadas inercial. Para este fin, considerar el marco de referencia no inercial, xyz, se muestra en la figura. 4.5.

El marco no inercial, xyz, se encuentra por el vector de posición relativo al marco de referencia fijo XYZ.

Se supone que el marco no inercial gira con velocidad angular .

Una partícula se encuentra instantáneamente localizada en relación con el marco de movimiento por el vector de posición

Relativa al sistema de referencia inercial XYZ, la posición de la partícula se denota por el vector de posición . A partir de la geometría de la figura,

La velocidad de la partícula con respecto a un observador en el sistema XYZ es

Figura 4.5. Ubicación de una partícula en marcos de referencia inercial (XYZ) y no inercial (xyz).

Debemos tener cuidado en la evaluación , debido a que tanto la magnitud | | y la orientación de los vectores unitarios i, j, y k, son funciones del tiempo. Así

Los términos dx/dt , dy/dt y dz/dt son las componentes de la velocidad de la partícula en relación con xyz. Así

Para un sistema de coordenadas rotatorio

Combinando las ecuaciones. 4.37a, 4.37b, 4.37c y, obtenemos

Sustituyendo en la ecuación 4.36 tenemos

La aceleración de la partícula relativa al observador en el sistema inercial XYZ, tenemos que

O  

xyz y son medidas en relación a xyz, se aplica la misma precaución llevada a cabo en el desarrollo de la ecuación 4.37d. Así

Y

O

Sustituyendo las ecuaciones 4.40a and 4.40b en la ecuación 4.39, obtenemos

La ecuación 4.41 relaciona la aceleración de una partícula de fluido como la medición en dos marcos de referencia (el marco inercial XYZ y el no inercial xyz)

Donde :

XYZ Aceleración rectilínea absoluta de la partícula relativa al

marco de referencia fijo XYZ.  

rf Aceleración rectilínea absoluta del origen del marco de

referencia móvil xyz relativo al marco fijo XYZ. 

xyz Aceleración rectilínea de la partícula relativa al marco de

referencia móvil xyz(esta aceleración debe ser la vista por un observador en el marco de referencia móvil xyz;  

Aceleración de Coriolis debida al movimiento de la partícula dentro del marco móvil xyz.  Aceleración centrípeta debida a la rotación del marco móvil xyz.  Aceleración tangencial debida a la aceleración angular del marco de referencia móvil xyz. 

Sustituyendo XYZ dado por la ecuación 4.41 en la ecuación 4.35, obtenemos

O

Pero

Combinando las ecuaciones 4.42a y 4.42b, obtenemos:

O

La ecuación 4.43 es el enunciado de la segunda ley de Newton para el sistema. La derivada del sistema representa la razón de cambio del momento del sistema medido relativo a xyz, como es visto por el observador en xyz. Este sistema derivativo puede ser relacionado con las variables del volumen de control a través de la ecuación 4.25.

Para obtener la formulación del volumen de control, colocaremos

N= y ᶯ  

Las ecuaciones 4.25 y 4.43 se combinan para obtener:

Las medidas relativas a la utilización de las ecuaciones. 4.26 y 4.33 se aplican también a la utilización de la ecuación. 4.44. Antes de intentar aplicar esta ecuación, hay que trazar las fronteras del volumen de control y etiquetar las direcciones de las coordenadas apropiadas. Para un volumen de control que se mueve con aceleración arbitraria, se debe etiquetar un sistema de coordenadas xyz del volumen de control y un marco de referencia inercial XYZ.