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Mecánica de Fluidos con aplicaciones en LabVIEW ________________________________________________________________ 1 Profesor del Departamento Académico de Ingeniería Química de la Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco. CUSCO – PERU 2010

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Page 1: Mecanica de Fluidos Con Aplicaciones en LabVIEW-Resumen

Mecánica de Fluidos con aplicaciones en LabVIEW ________________________________________________________________

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Profesor del Departamento Académico de Ingeniería Química de la Universidad

Nacional de San Antonio Abad del Cusco. CUSCO – PERU

2010

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Wilber Pinares Gamarra. ________________________________________________________________

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INDICE ANALITICO

Prólogo ix

Cap. 1: CONCEPTOS Y DEFINICIONES BASICAS 1.1. Concepto General de Fluidos. 1 1.2. Propiedades de los Fluidos. 1 1.3. Regímenes de Flujo 5 1.4. Ley de la Viscosidad de Newton. 6 1.5. Estática de los Fluidos. 17

1.5.1 Ecuación Fundamental. 17 1.5.2 La Presión y sus Propiedades. 19

1.6. Manometría. 21 1.7. Cambios de Presión causado por la Traslación de Masas Líquidas 29 1.8. Cambios de Presión causado por la Rotación de Masas Líquidas. 36

Cap. 2: OPERACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES

CON VECTORES. 2.1. Gradiente de un campo escalar. 49 2.2. Divergencia de Un Campo Vectorial. 54 2.3. Rotacional de un Campo Vectorial. 57 2.4. Integral de Vectores. 58

Cap. 3: CONSERVACION DE LA MASA 3.1. Campo de Velocidades.. 63

3.1.1. Método de Euler. 63 3.1.2. Método de Lagrange. 64

3.2. Campo de Aceleraciones. 67 3.3. Balance de Masa: Método Diferencial. 73 3.4. Balance de Masa: Método Integral. 80

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3.5. Perfil de Velocidades para Flujo Laminar. 93 3.6. Velocidad Media. 95 3.7. Distribución Universal de Velocidades. 96

Cap. 4: CONSERVACION DE LA ENERGIA 4.1. Balance de Energía Global en un Sistema Abierto. 117 4.2. Balance de Energía Mecánica a partir del

Balance Global de Energía. 127 4.3. Balance de Energía Mecánica a partir de la Ecuación de Euler. 128 4.4. Potencia para el Transporte de los Fluidos. 131

Cap. 5: CONSERVACION DEL MOMENTO 5.1. Conservación del Momento: Método Diferencial. 141

5.1.1. En Función de las Tensiones Cortantes. 141 5.1.2. En Función de los Gradientes de Velocidad. 144

5.2. Balance de Cantidad de Movimiento: Método Integral. 151 5.3. Aplicaciones a casos Particulares. 153

5.3.1. Codos. 153 5.3.2. Placas o Alabes. 163 5.3.3. Toberas. 176 5.3.4. Cohetes. 177 5.3.5. Jet. 178 5.3.6. Bomba de Fluido. 179 5.3.7. Turbinas. 181

Cap. 6: FLUJO DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES 6.1. Perdida de carga

6.1.1.1. Pérdida de Carga en una Tubería. 211 6.1.1.2. Pérdida de carga en accesorios. 212

6.2. Diámetro Equivalente. 213 6.3. Factor de Fricción para Fluidos Newtonianos. 216 6.4. Factor de Fricción para Fluidos no Newtonianos. 235

6.4.1. Factor de fricción – Plásticos de Bingham 235 6.4.2. Factor de fricción – fluidos de La ley de La potencia 236

6.5. Pérdida de Carga en Sistemas de Tuberías. 243 6.5.1. Sistema de tuberías en serie. 243 6.5.2. Sistema de tuberías en paralelo. 244 6.5.3. Sistema de tuberías ramificadas. 245 6.5.4. Sistemas de tuberías en redes o mallas. 245.

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Cap. 7: FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES

7.1. Condiciones Isotérmicas. 260 7.1.1. Sin pérdidas por fricción. 260 7.1.2. Con pérdidas por fricción. 261

A. En términos de las presiones 261 B. En términos del número de Mach 281

7.1.3. Velocidad máxima en conducto circular – Condiciones Isotérmicas. 284

7.2. Condiciones Adiabáticas. 290 7.2.1. Sin pérdidas por fricción (isentrópicas) 290

A. Velocidad máxima de descarga bajo condiciones Isentrópicas. 295 B. Tiempo de descarga critica o sonica bajo Condiciones isentrópicas. 299

7.2.2. Con pérdidas por fricción (Adiabáticas e Irreversibles). 307 A. En términos de las presiones. 308 B. En términos del número de Mach. 312 7.2.3. Velocidad máxima en conducto circular bajo Condiciones Adiabáticas. 313

7.3. Flujo Isentrópico y Adiabático a Través de Conductos de Area Variable. 332 7.3.1. Velocidad de gases a través de una tobera,

bajo condiciones Isentrópicas. 333 7.3.2. Ondas de Choque Normal. 336

7.4. Sistemas de tuberías para fluidos compresibles 347

Cap. 8: EQUIPOS Y ACCESORIOS PARA EL TRANSPORTE DE FLUI-DOS

8.1. Bombas. 357

8.2. Clasificación. 357

8.2.1. Bombas Centrífugas. 358 8.2.2. Curvas Características de las Bombas Centrífugas. 358 8.2.3. Curva del Sistema y Punto de Operación. 359 8.2.4. Instalación de Bombas. 360

A. Bombas en Serie. 360 B. Bombas en Paralelo. 362

8.2.5. Cavitación y Golpe de Ariete de una Bomba. 371 8.2.6. Leyes de Semejanza de las Bombas. 378 8.2.7. Selección de las bombas centrifugas 378 8.2.8. Bombas de Desplazamiento Positivo. 380

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8.3. Medidores de Flujo. 382 8.3.1. Medidores de Orificio. 382 8.3.2. Toberas. 387 8.3.3. Tubo de Venturi. 387 8.3.4. Tubo de Pitot. 388 8.3.5. Medidor Magnético de Flujo. 389 8.3.6. Medidor de Turbina. 390

8.4. Válvulas. 390

Cap. 9: FILTRACION

9.1. Ecuación de Ergun a través de medios porosos 397 9.2. Caída de Presión a través del medio poroso. 403 9.3. Filtración a Caída de Presión Constante. 407 9.4. Filtración a Flujo Volumétrico Constante. 407

Cap. 10: FLUIDIZACION 10.1. Comportamiento del Lecho Fluidizado. 413 10.2. Dinámica del Lecho Fluidizado. 414

10.2.1. Forma y Tamaño de las Partículas. 414 10.2.2. Fracción de Vacíos. 415 10.2.3. Caída de Presión en un Lecho Fluidizado. 415 10.2.4. Velocidad Mínima de Fluidización. 416

ANEXOS 417

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CAP 1: CONCEPTOS Y DEFINICIONES BASICAS.

1.1 CONCEPTO GENERAL DE FLUIDOS. Los fluidos tienden a fluir espontáneamente. Deben ser almacenados en contenedores para prevenir su movimiento hacia otros lugares, en contraste con los sólidos que no necesitan ser almacenados. El volumen de los líqui-dos es conservado cuando es transportado de un lugar a otro, pero los ga-ses siempre se expanden para llenar el depósito, debido al movimiento libre de sus moléculas. Los fluidos no tienen la habilidad de mantener una forma independiente de sus alrededores. Esta propiedad de los fluidos es una consecuencia directa de su incapacidad de sus fuerzas intermoleculares para mantener una orientación angular de sus moléculas con respecto a otras. Las moléculas de los fluidos que están cercanas unas a otras en un instante pueden moverse de un lugar a otro con relativa facilidad. Muchos fluidos son mezclas de especies químicas, tal como el aire el cual es compuesto por nitrógeno, oxígeno y trazas de otros componentes. Los líquidos pueden ser soluciones de soluto disuelto en un solvente, tal como el agua de mar. 1.2 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS. Densidad.- La densidad de un fluido es la relación de la masa de un fluido en un elemento fluido a su volumen. Al identificarse un elemento fluido co-mo un volumen infinitesimal, la densidad puede ser considerado como una función continua de la posición dentro del campo fluido. La ecuación que lo representa es la siguiente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 3m

kgVmρ (1.1)

La densidad de un fluido afecta su flujo en dos formas. Primero, cuando está sujeta a una fuerza, determina la inercia de una unidad de volumen del fluido y de aquí su aceleración. Los fluidos de densidad baja, tales como los gases, aceleran más rápidamente que los fluidos de densidades elevadas, como los líquidos. Así, los fluidos de densidad baja como el aire requieren menos fuerza por unidad de volumen para acelerar que los fluidos de densi-dad elevada, como el agua. Por esta razón es más difícil caminar por el agua que en el aire. En forma similar, la fuerza de gravedad por unidad de volumen es determinado por la densidad del fluido. Se requiere más trabajo para impulsar un volumen de agua que volumen igual de gas.

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La densidad de un líquido es una función de su temperatura y presión. Bajo presión constante, a medida que la temperatura se incrementa su densidad disminuye, debido a que la masa constante del fluido se expande con el incremento de la temperatura. Bajo temperatura constante, cuando la pre-sión se incrementa la densidad crece. En gases, estos cambios son más acentuados que para líquidos. La densidad para gases, asumiendo comportamiento ideal (presión at-mosférica o cerca de ella) nRTPV = , es igual a:

)( pmRTP

=ρ ó TR

P'

=ρ (1.2)

Donde: P = Presión (Pa) V = Volumen (m3 ) T = Temperatura (K) R = Constante Universal de los gases, )/(' pmRR =

kmolKPamR

−−

=3

8314

kmolKkPam

kmolKkJ

gmolKJR

−−

=−

=−

=3

314.8

gmolKAtmltsR

−−

= 082,0

gmolKcal

lbmolRBtuR

−=

−= 0987,1

lbmolRpsiapieR

−°−

=3

73,10

lbmolRkWhR−°

= −410*83,5

lbmolRHphR−°

= −410*82,7

La densidad para gases, asumiendo comportamiento real ZnRTPV = , es igual a:

)( pmZRT

P=ρ ó

TZRP'

=ρ (1.3)

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• tarse en una, dos o más fases. Cuando se transporta en una fase, se dice que el sistema es homogéneo (gas o líquido) y si se transporta en dos o más fases se dice que el sistema es heterogéneo (aire + partícu-las de carbón).

• Estable o estacionario (permanente) e Inestable o transitorio: El

flujo de los fluidos se considera estable o estacionario cuando la veloci-dad, densidad, temperatura y/o concentración (en un volumen de con-trol) permanece constante a lo largo del tiempo. Caso contrario, se de-nomina inestable cuando las variables, arriba mencionadas, varían co-mo una función del tiempo.

• Newtoniano y No Newtoniano: Los fluidos pueden comportarse de

acuerdo a la ley de Newton de la Viscosidad o tener otro comportamien-to como el de Pseudoplasticos, etc.

• Isentrópico: De acuerdo a la termodinámica, significa que no hay cam-

bio de entropía, es decir Δs = 0. • Isotérmico: El fluido puede circular bajo condiciones isotérmicas, es

decir que este, se mantiene a temperatura constante. • Adiabático: Los fluidos que se transportan en tuberías pueden adquirir

energía del medio que los rodea o cederlas a esta. Cuando esta energía

es igual a cero, 0=•

q , se dice que el proceso de transporte es adiabá-tico.

• Subsónico, sónico y supersónico: Los fluidos pueden alcanzar las

velocidades del sonido (Ma = 1, crítico), velocidades mayores de la ve-locidad del sonido (Ma > 1; supersónicos) ó velocidades menores del sonido (Ma < 1; subsónicos).

1.4 LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON. Considerar dos placas paralelas de área A, separadas con distancia Yo, ver Fig 1.1. El espacio entre las placas esta lleno de un fluido, la placa inferior permanece fija y la superior libre. Sobre la placa superior actúa una fuerza F constante, haciendo desplazar a una velocidad Vo, Se asume que el fluido esta dividido en placas infinitesimales de espesor dy paralelas a las placas. Por lo que, la capa de fluido en contacto con la placa móvil tiene la misma velocidad Vo y la capa de fluido en contacto con la laca fija se man-tiene en reposo. Las capas del fluido intermedias se desplazan unas sobre las otras.

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(b) Como en el caso anterior los valores de To y μo son 300 y 2,27E-05 respectivamente. Acomodando los datos experimentales y empleando los mínimos cuadrados del error, el resultado es el siguiente:

)83,142()83,442()300/(

0527,2

5,1

+=

− i

i

TT

0.00E+00

5.00E-06

1.00E-05

1.50E-05

2.00E-05

2.50E-05

3.00E-05

3.50E-05

4.00E-05

4.50E-05

5.00E-05

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

T/To

visc

osid

ad, P

a-s

1.5 ESTATICA DE FLUIDOS Un fluido estático es aquel que no se mueve, por ejemplo; agua almacenada en un reservorio, gasolina en un tanque de combustible, propano bajo pre-sión en un balón de gas. Las fuerzas que actúan sobre estos fluidos se mantienen en balance y no realizan movimiento. 1.5.1. ECUACION FUNDAMENTAL. Para determinar la ecuación fundamental de la estática de los fluidos, con-sideremos un elemento de estudio de volumen infinitesimal dx, dy, dz, en coordenadas cartesianas, sujeta a dos tipos de fuerzas tal como se muestra en la Fig. 1.3. La primera, conocida como esfuerzo o tensión (en ingles como stress) que depende de la posición de una molécula a la superficie (conocida como presión) y del movimiento relativo de estas moléculas (esfuerzo viscoso).

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Como el elemento en estudio se encuentra en reposo el esfuerzo se debe únicamente a la acción de la presión. Si a este elemento en estudio se aplica el concepto de fuerza (presión por área) en cada una de las caras del volumen infinitesimal, obtenemos el si-guiente esquema:

Fig. 1.3: Fuerzas debido a la presión en un volumen infinitesimal.

La presión esta expresado en Pascal (N/m2) y el diferencial de área (ejm dydz) en m2, de donde la fuerza resultante del producto presión por área esta expresado en Newtons (N). La suma de fuerzas, perpendiculares al área, de un líquido en reposo en cada una de las direcciones es igual a la fuerza que entra menos la fuerza que sale, así:

( )∑ ∂∂

∂∂ −=+−= dxdydzdydzdxPPdydzF x

PxP

x (1.12a)

( )∑ −−=−+−= ∂∂

∂∂ gdxdydzdxdydzgdxdydzdxdzdyPPdxdzF y

PyP

y ρρ (1.12b)

( )∑ ∂∂

∂∂ −=+−= dxdydzdxdydzPPdxdyF z

PzP

z (1.12c) De donde, la suma total de las fuerzas debido a la presión y la gravedad estará expresado por:

∑ ∑ ∑ ∑++= zyxT FFFF

( )∑ −++−= ∂∂

∂∂

∂∂ gdxdydzdxdydzF z

PyP

xP

T ρ (1.13)

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Fig. 1.4: Esquema de la relación entre las presiones atmosférica, relativa y absoluta

La presión media normal, conocida como atmósfera estandar, a 0 ºC y en el nivel del mar es de: 1 Atmósfera 1,033 kgf/cm2 760 mm de Hg. 10,33 m de H2O 14,7 lbf/plg2 101,3 kPa 1,0 bar 1.6. MANOMETRIA. Conocido también como medida de las presiones, pueden determinarse por medio de: • Tubos piezométricos, que son tubos transparentes de vidrio o plástico,

económico y de gran presición. Se emplean para medir presiones rela-tivamente pequeñas. El fluido manométrico es el mismo fluido que circu-la por la tubería, por eso la denominación de altura de columna de flui-do. Si el fluido que circula es agua la lectura se realiza en metros o centímetros de columna de agua; si el fluido es aceite la lectura se reali-za en metros o en centímetros de columna de aceite.

Manómetros de líquido en U.- Al igual que el piezómetro sirven para medir la presión relativa. Estos medidores de presión emplean gran varie-dad de líquidos manométricos como mercurio, agua, alcohol, glicerina etc. que, son

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1.7 CAMBIOS DE PRESION CAUSADO POR LA TRASLA-CION DE MASAS LIQUIDAS.- Hasta el momento se ha considerado que el nivel del fluido se encontraba en reposo para el calculo de las presio-nes o que podía estar en movimiento uniforme sin ninguna aceleración. Sin embargo cuando el fluido se encuentra en depósitos y estos en movimiento se observa que el líquido va tomando una cierta inclinación que depende de la aceleración del sistema. El movimiento de traslación de las masas líqui-das puede realizarse en forma horizontal o vertical. Para su estudio supondremos a un recipiente con cierta cantidad de liquido que se mueve con movimiento de traslación hacia arriba en un plano incli-nado con una aceleración constante “a “ (Fig. 1.5). Durante el movimiento se forman los planos de presión constante, paralelas entre si, formando un ángulo de inclinación θ. Si realizamos el estudio de fuerzas sobre una partícula A observaremos que se encuentra en equilibrio. Las fuerzas que intervienen son; la fuerza de la presión Fp normal a la superficie libre, el peso W (W =m·g) de la partícula y la fuerza de la aceleración que actúa sobre la partícula del fluido, tal como se muestra en la figura 1.5:

Fig. 1.5: Diagrama vectorial de traslación de masas líquidas.

Del diagrama vectorial: En la dirección x:

∑ =−−= 0)90cos( FxFpFx θ

θθ FpsenFpFx =−= )90cos( En la dirección y:

∑ =−−−= 0)90( FyWFpsenFy θ

θθ cos)90( FpFpsenWFy =−=+

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1.8. CAMBIOS DE PRESION CAUSADO POR LA ROTA-CION DE MASAS LIQUIDAS Supongamos un recipiente cilíndrico, vertical, que esta lleno de un líquido hasta cierta altura; si se hace girar dicho cilindro alrededor del eje vertical con una velocidad angularω, la superficie libre del líquido cambiara, for-mándose los perfiles de presión constante de forma parabólica, tal como se muestra en la figura 1.6:

Fig. 1.6: Diagrama vectorial de rotación de masas líquidas. El estudio de la partícula A, diagrama vectorial, muestra el equilibrio. En la dirección x, la fuerza centrífuga es igual al componente en la dirección x de la fuerza de la presión. En la dirección y, el componente de la fuerza de la presión es igual al peso, así: Dirección x:

∑ =+−−= 0)90cos( FcFpFx θ

cmaFp =− )90cos()( θ

cmasenFp =θ)( Dirección y:

∑ =−−= 0)90()( WsenFpFy θ

WsenFp =− )90()( θ mgFp =θcos)(

Dividiendo las ecuaciones anteriores:

gr

drdytan

2ωθ == (1.27)

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Integrando:

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PARTE II: DINAMICA DE LOS FLUIDOS

CAP 2: OPERACIONES DIFERENCIALES E INTE-

GRALES CON VECTORES Muchos autores sobre la mecánica de fluidos emplean los vectores en la explicación del movimiento de los fluidos. La posición, velocidad y acelera-ción de una partícula fluida, así como las fuerzas que actúan sobre este son cantidades vectoriales. El balance de la masa, momento y energía de una partícula fluida son expresados utilizando las formas vectoriales El operador diferencial denominado “NABLA” ha sido definido en coordena-das cartesianas por la ecuación (1.15) como:

z

ky

jx

i∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ , (longitud)-1

Tiene componentes igual que un vector, no puede estar solo sino que ha de operar sobre una función escalar, vectorial o tensorial. 2.1 GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR. Si P es un campo escalar, el gradiente de P estará expresado por un vec-tor, ecuación (1.16):

zPk

yPj

xPiGradPP

∂∂

+∂∂

+∂∂

==∇

Para la operación del gradiente es preciso tener en cuenta las siguientes propiedades: 1.- ∇≠∇ PP

2.- )()( PQQP ∇≠∇ 3.- QPQP ∇+∇=+∇ )( 4.- PQQPPQ ∇+∇=∇ )( 5.- PP ∇=∇ αα )(

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2.2 DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

Si el vector v es una función de las variables espaciales x, y, z puede formarse un producto vectorial con el operador nabla :

zyx vkvjviv ++=

z

ky

jx

i∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

)()( zyx kvjvivz

ky

jx

iv ++•∂∂

+∂∂

+∂∂

=•∇

zv

yv

xvv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=•∇ (2.1)

Las propiedades del operador divergente son:

1.- ∇•≠•∇ vv

2.- )()( vPvP •∇≠•∇

3.- uvuv •∇+•∇=+•∇ )(

4.- )()()( uuu •∇+•∇=•∇ φφφ

5.- )()()( uxvvxuuxv ∇•−∇•=•∇ Interpretación.- Si la diferencial de volumen de un fluido sufre un estiramiento o una compresión paralela a los ejes coordenados, entonces la variación del volumen

V = xyz, es:

dtdzxy

dtdyxz

dtdxyz

dtdV

++=

1 si === zyx

dtdz

dtdy

dtdx

dtdV

++= (A)

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2.3 ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

El rotacional de una función vectorial denotado por vx∇ , es el vector:

=∂∂

∂∂

∂∂

=∇

zyx vvvzyx

kji

vx

kvy

vx

jvz

vx

ivz

vy

xy

zzyz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

)()(

)()()()( (2.3)

Análogo a la divergencia cumple la propiedad distributiva, pero no la conmu-tativa ni la asociativa. Otras propiedades son:

1.- gxfxgfx ∇+∇=+∇ )(

2.- )()()( fxfxfx ∇+∇=∇ φφφ

3.- gffgfggfgxfx )()()()()( ∇•−∇•+•∇−•∇=∇ 4.- 0)( =∇∇ φx Interpretación.- Supongamos que un fluido rota alrededor de un eje que pasa por el origen, tal como se muestra en la Fig-2.2, con una velocidad angular ϖ constante. La velocidad lineal en un punto r (x,y,z) es:

Fig. 2.2: Rotacional de un campo vectorial.

rxv ω= ; por lo tanto el rotor será igual a:

)( rxxvx ω∇=∇

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2.4 INTEGRAL DE VECTORES. En la mecánica de fluidos a veces es conveniente expresar las leyes de la conservación en la forma integral. Hay tres tipos de integrales usados para este propósito: Integrales de línea, área y volumen. Existen relaciones entre las integrales de línea superficie y volumen de ciertas cantidades vectoria-les. A.- TEOREMA DE GAUSS. Para una función escalar “a” cualquiera, la ecuación vectorial conocida como teorema de Gauss es igual a:

∫∫∫∫∫ =∇SV

dSnadVa )()( (2.4)

Donde el elemento de volumen es designado por dV (dx, dy, dz) y el ele-

mento de superficie por dS. El vector n es el vector normal unitario a la superficie S. B.- TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. Para una función vectorial “A” cualquiera, la ecuación escalar conocida como teorema de la divergencia es igual a.

∫∫∫∫∫ •=•∇SV

dSnAdVA )()( (2.5)

C.- TEOREMA DE STOKES. Es una ecuación escalar que relaciona las integrales de línea y de superfi-cie:

∫∫∫ •=∇•cS

dcAdSxAn )( (2.6)

Aquí (dc) es el elemento vector línea de la curva cerrada C y n es el vector normal unitario a la superficie S encerrado por la curva C. En la mecánica de fluidos algunos ejemplos del uso de las ecuaciones ante-riores son: la fuerza neta causada por la presión sobre un elemento de flui-do:

∫∫∫ − dVnP)( . Ecuación equivalente a la Ec.(1.13).

Y el eflujo neto a través de una superficie imaginaria dado por:

∫∫ • ndSv

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CAP 3: CONSERVACION DE LA MASA

3.1 CAMPO DE VELOCIDADES. El estudio del movimiento de las partículas, que origina el campo de veloci-dades, en la dinámica de los fluidos se realiza desde dos puntos de vista, uno conocido como el método de Euler y el otro como el método de Lagran-ge 3.1.1 METODO DE EULER.- Consiste en fijar las coordenadas o el punto (X, Y, Z) a través del cual pasaran un rosario continuo de partículas en dis-tintas direcciones. Significa que el observador (0) se mantiene en una posi-ción fija a una distancia r del punto por donde pasan las partículas en es-tudio. La velocidad de las partículas del fluido v es una función de la posi-

ción r y el tiempo t ; ),( trfkvjvivv zyx =++= ; kZjYiXr ++= En el Método Euleriano otras variables físicas de interés, tales como la pre-sión y la densidad son considerados como función de la posición y del tiem-po, tal como se muestra en la figura 3.1:

Fig. 3.1: Método de Euler

Como un ejemplo consideremos la velocidad de cambio de la densidad de una partícula fluida que esta ubicada en la posición r al tiempo t. Durante el intervalo de tiempo dt, la partícula se mueve una cantidad

vdtrd = . El incremento total de la Ecuación Ecuación conocida como la derivada sustancial. 3.1.2 METODO DE LAGRANGE.- Significa que para estudiar una partícu-la del fluido, se debe de seguir a dicha partícula en su movimiento. Esto significa que X, Y, Z no permanecerán constantes sino que variarán de for-

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21

ma continua, dando en cada instante la posición de la partícula, tal como se muestra en la figura 3.2:

),,,(),,,(),,,(

3

2

1

tzyxfZtzyxfYtzyxfX

===

Fig. 3.2: Método de Lagrange.

Donde las velocidades en cada una de las direcciones son funciones del espacio y

del tiempo. Recordando que las variables de flujo de interés son la velocidad, densi-

dad, presión etc.

]),(),(),([ ttztytxftXvX =∂∂

=

]),(),(),([ ttztytxftYvY =∂∂

=

]),(),(),([ ttztytxftZvZ =∂∂

=

La trayectoria de una partícula se le conoce como línea de corriente. Las líneas de corriente nunca se intersecan unas con otras porque, en cualquier punto, solamente puede haber una dirección de la velocidad. Un infinito número de líneas de corriente representa a un campo de flujo. La tangente en cada punto a lo largo de la línea de corriente y en cualquier instante de tiempo t es la velocidad

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22

3.2 CAMPO DE ACELERACIONES. Por definición se conoce que la aceleración es igual a la variación de la velocidad como una función del tiempo. Para el estudio de una partícula de fluido, en un campo de aceleraciones, se emplea el método de Lagrange. Por lo tanto la aceleración se expresa así:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

==tv

dtdz

zv

dtdy

yv

dtdx

xv

dttzyxdva ),,,(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

==tv

zvv

yvv

xvv

DtDva zyx (3.2a)

Donde al primer miembro del lado derecho de la aceleración se le conoce como la Aceleración de transporte o Aceleración convectiva y al segun-do miembro se le conoce como la Aceleración local. En forma vectorial:

( )vvtv

DtvD

∇•+∂∂

= (3.2b)

Las ecuaciones escalares correspondientes a la aceleración, en el sistema cartesiano son:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=tv

zvv

yvv

xvva xx

zx

yx

xx (3.3a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂+

∂=

tv

zv

vyv

vxv

va yyz

yy

yxy (3.3b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=tv

zvv

yvv

xvva zz

zz

yz

xz (3.3c)

Si el movimiento de la partícula de fluido se realiza bajo condiciones esta-cionarias, el segundo componente de la aceleración es igual a cero, así: 3.3 BALANCE DE MASA: METODO DIFERENCIAL.

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Para obtener la ecuación de continuidad por el método diferencial aplicare-mos el balance de masa a un elemento diferencial de volumen (dx,dy,dz) de un fluido que se encuentra en movimiento, tal como se muestra en la Fig.3.3: El balance de masa, sin reacción química, esta definido por la expresión general:

[flujo que entra] – [flujo que sale] = [acumulación] (3.5) Efectuando la diferencia de las ecuaciones del flujo de masa que entra y el flujo de masa que sale, obtenemos:

Fig. 3.3: Volumen de control para la ecuación de continuidad.

dxdydzvdydzdxvvdydzvx xxxxxx )(])([)(: ρρρρ ∂

∂∂∂ −=+− (3.6a)

dxdydzvdxdzdyvvdxdzvy yyyyyy )(])([)(: ρρρρ ∂

∂∂∂ −=+− (3.6b)

dxdydzvdxdydzvvdxdyvz zzzzzz )(])([)(: ρρρρ ∂

∂∂∂ −=+− (3.6c)

la acumulación es igual a: )(dxdydzt⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ρ

. Reemplazando en la ecuación

general se tiene la expresión de la ecuación de continuidad, así:

0)( =•∇+ vDtD ρρ

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3.4 BALANCE DE MASA: METODO INTEGRAL Para aplicar el principio de la conservación de la masa en un sistema, se elige un elemento diferencial de estudio representativo del sistema, cuyo volumen es denominado volumen de control (VC) y es limitado por la super-ficie de control (SC). Si a través de la superficie de control se hace circular un fluido, tal como se muestra en la Fig-3.4: El balance de masa para el sistema en estudio se expresará como:

∫∫∫∫∫ ∂∂

+•=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

VCscsistema

dVt

dAnvdtdm ρρ )( (3.14)

La ecuación 3.14 indica que “la variación de la masa, del sistema en estu-dio, como una función del tiempo es igual al eflujo neto de masa a través de la superficie de control más la variación del cambio de masa para un volu-men de control.”

Fig. 3.4: Volumen de control.

El sistema es el universo en el que cualquier variación de la masa en el volumen de control no le afecta, es decir que la masa en el sistema perma-nece constante. Entonces la ecuación (3.14) se expresa como:

0)( =∂∂

+• ∫∫∫∫∫VCsc

dVt

dAnv ρρ (3.15a)

ó

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∫∫∫∫∫ ∂∂

−=•VCsc

dVt

dAnv ρρ )( (3.15b)

La ecuación (3.15b), aplicable a sistemas continuos, discontinuos, significa que el eflujo neto de masa a través de la superficie de control es igual a la disminución de la masa que ocupa el volumen de control por unidad de tiempo. Para los sistemas continuos, si el volumen de control en estudio permanece constante, no hay acumulación de la masa (∂m/∂t) = 0, es decir que si el volumen V es constante, entonces (∂ρ/∂t) = 0. A este fluido se le conoce como permanente. Luego, la ecuación de la conservación de la masa que-da expresada como:

0)( =•∫∫sc

dAnvρ (3.16a)

Para un fluido de densidad constante o incompresible:

0)( =•∫∫sc

dAnvρ (3.16b)

Aplicando la ecuación anterior a un fluido que circula en una sección tubu-lar, obtenemos:

0)()()(

2222

1111 =•+•=• ∫∫∫∫∫∫ dAnvdAnvdAnv

sc

ρρρ

222111

222111 0º0cosº180cosAvAv

AvAvρρ

ρρ=

=+

Para un fluido incompresible ρ = constante, por lo tanto la ecuación se re-duce a la conservación de volumen o ecuación de continuidad. EJEMPLO 3.13: Acumulación de fluido. El flujo volumétrico de la alimentación (agua) hacia el depósito cónico, Q1, se mantiene constante. El flujo volumétrico Q2 de la descarga es una fun-ción de la raíz cuadrada de la altura h e igual a hα . En el tiempo inicial, el depósito se encuentra vacío.

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26

(a) Hallar la ecuación diferencial que determine la variación de la altura de agua en el depósito por unidad de tiempo.

(b) Realice un programa en LabVIEW para la solución de la ecuación re-sultante. Muestre el efecto de la variación del flujo volumétrico y de la constante alfa en el rango de 1 a 10, sobre la altura del líquido en el depósito.

SOLUCION: (b) Un programa en LabVIEW nos permite mostrar lo siguiente: Manteniendo constante los valores de D, H, ho, en 2, 6 y 4 m respectiva-mente; Q1 en 0,1 m3/s, α en 0,05. La altura del líquido permanece constante en 4m, esto es así porque el flujo volumétrico de entrada es exactamente igual al flujo volumétrico de salida.

Ligeros cambios en la altura inicial incrementa o disminuye la altura del flui-do en el tanque hasta alcanzar su estabilidad en 4 m.

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27

Si se disminuye el flujo volumétrico hasta 0,024 m3/s, manteniendo constan-te las otras condiciones, el nivel del fluido disminuye hasta alcanzar una estabilidad, sin embargo la disminución del flujo hasta 0,022 m3/s el compor-tamiento del nivel del fluido se mantienen en una condición de cuasi estabi-lidad.

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Si se incrementa la constante α hasta 0,17, manteniendo constante las otras condiciones, el nivel del fluido disminuye hasta alcanzar la estabilidad en una altura de 0,5 m. y un tiempo de 40 s. A mayores valores de α el compor-tamiento es inestable o descarga total.

EJEMPLO 3.19: Desarrollo de una ecuación que describe el proceso.

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Los tanques de almacenamiento intermedios son empleados entre unidades de proceso químico para la transferencia de corrientes de gas. Considerar el tanque de la figura donde F1 y F2 son los flujos molares de entrada y salida que varían de acuerdo a la siguiente expresión:

iii PKF )(Δ= (a) Desarrollar un modelo que des-

criba la variación de la presión en el tanque con el tiempo, en función de las presiones en las corrientes de entrada P1 y salida P2, vo-lumen y temperatura.

(b) Solucionar el modelo resultante mediante las transformadas de Lapla-ce.

(c) Realice un programa en LabVIEW para la solución de la ecuación re-sultante. Muestre el efecto de la variación de las presiones 1 y 2 y el cambio de la temperatura sobre la presión en el tanque.

SOLUCION: (c) La solución de la ecuación diferencial resultante en (a), mediante la pro-gramación en LabVIEW es la siguiente:

Para un volumen y temperatura constante de 25 lt y 300 K, cuando las pre-siones de entrada, inicial y descarga se mantienen en 15, 1 y 0,7 atm., res-pectivamente; la presión en el tanque alcanza el nuevo estado estacionario en 8 atm, y en un tiempo de 175 s.

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30

EJEMPLO 3.20: Balance en Reactores CSTR en serie. Los reactores continuos de tanque perfectamente agitado (CSTR) en serie, son empleados en la industria de proceso químico para reacciones en fase líquida. Si, en el sistema mostrado en la figura, se efectúa una reacción de

primer orden ( AA kCr =− ; kmol/m3-s) de acuerdo a BA → . Desarrollar: (a) Las ecuaciones diferencia-les del modelo matemático que describa la variación de la concentración de A y B en los reactores 1 y 2. (b) Presentar una solución de las ecuaciones anteriores para las condiciones de CAo = 1 kmol/m3, Q0 = 0,08 m3/s, QR = 0,02 m3/s, k = 0,06 s-1, varíe los volúmenes V1 y V2, para las condiciones optimas de la concentración en la salida del tanque 2, mediante la programación en LabVIEW. SOLUCION: (b) Solución de las ecuaciones diferenciales mediante LabVIEW:

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31

Las ecuaciones A, B, C y D son las ecuaciones del modelo que describen la variación de las concentraciones CA1, CB1, CA2 y CB2, como una función del tiempo. La solución de estas ecuaciones efectuada, mediante métodos numéricos, con la programación en LabVIEW permite modificar los paráme-tros que intervienen en la reacción, obteniéndose en forma grafica los resul-tados de la concentración como una función del tiempo. El estudio de estos parámetros permite, inclusive, determinar el resultado óptimo de las concen-traciones sin necesidad de efectuar cálculos matemáticos muy complicados.

3.5 PERFIL DE VELOCIDADES PARA FLUJO LA-MINAR Consideremos que el líquido que fluye en régimen laminar, en un conducto circular, es incompresible, unidimensional y en estado estacionario y que se comporta de acuerdo a la ley de potencia. Del balance de fuerzas en el elemento de volumen de control, que se muestra en la Fig. 3.5, encontra-mos que: EJEMPLO 3.26: Variación de la altura en un tanque.

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32

Se alimenta agua a un tanque cilíndri-co con un flujo volumétrico constante, Q1 m3/s. El tanque tiene un tubo en la base, a través del que se descarga el agua, con flujo equivalente a Q2=k(h)-

0,5. La sección transversal del tanque es A y su altura H. Encuentre: (a) La ecua-ción diferencial de h en función del tiempo. (b) La solución matemática mediante Laplace, suponiendo que h = H, cuando t = 0. (c) La simulación dinámica empleando métodos numéri-cos con la programación en LabVIEW. SOLUCION: (c) La simulación dinámica de la ecuación de h(t) en el dominio del tiempo, empleando la Programación en LabVIEW, muestra los siguientes resulta-dos:

EJEMPLO 3.30: Ecuación de continuidad en sistema de tuberías. Determinar el flujo volumétrico y la velocidad media con que circula el agua en cada una de las tuberías. El flujo volumétrico de alimentación es de 30

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33

lt/s, asuma que la densidad se mantiene constante y equivalente a 1000 kg/m3, los diámetros internos de las tuberías son iguales a 10 cm. SOLUCION

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34

CAP 4: CONSERVACION DE LA ENERGIA

4.1 BALANCE DE ENERGIA GLOBAL EN UN SISTEMA ABIERTO.

Consideremos inicialmente a un elemento diferencial de volumen como sistema de estudio, para quien el balance de energía global es igual a:

∫∫∫∫∫ ∂∂

+•=VCSCSISTEMA

dVet

dAnveDtDE ρρ )( (4.1)

Esta ecuación es conocida con el nombre de “Transporte de Reynolds”, nos indica que la derivada sustancial de la energía es igual al eflujo neto de energía a través de la superficie de control, más la velocidad de cambio de la energía dentro del volumen de control en el mismo momento. Si el siste-ma global de energía permanece constante, la ecuación se establece como:

∫∫∫∫∫ ∂∂

−=•VCSC

dVet

dAnve ρρ )( (4.2a)

Indica que bajo condiciones de estado no estacionario, el eflujo neto de la energía es igual a la variación de la energía en el interior del volumen de control. Para un sistema abierto, con admisión y/o eliminación de energía, la ecua-ción del balance de la energía en estado no estacionario se escribe como:

••

±±∂∂

−=• ∫∫∫∫∫ WqdVet

dAnveVCSC

ρρ )( (4.2b)

Ahora consideremos a un sistema estacionario, en el que no existe varia-ción de la velocidad de la energía dentro del volumen de control. La super-ficie de control para el balance de energía es permeable, es decir, que exis-te energía adicionada o eliminada del sistema como trabajo de eje o calor. La ecuación del balance de energía global, en el sistema de la Fig 4.1, se escribe como:

'2

'2 sD WQdxD

vfgdzvdvdP δδρ

±±=+++ (4.10)

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35

EJEMPLO 4.1: Variación de la temperatura en un tanque discontinuo. Para el tanque de calentamiento discontinuo, sin pérdidas de calor (aislado), que se encuentra perfectamente mezclado, mostrar: (a) La ecuación diferencial que muestre la variación de la temperatura como una función del tiempo. (b) La solu-ción numérica mediante LabVIEW. SOLUCION: (b) Empleando la programación con LabVIEW se presenta la solución en modo grafico de los resultados, así:

EJEMPLO 4.3: Variación de la temperatura en un tanque con chaqueta de calentamiento. El tanque que se muestra en la figura utiliza como sistema de calentamiento una chaqueta de vapor con temperatura Tv y flujo constante. El coeficiente y área de transferencia de calor para la chaqueta es igual a U (Kcal/m2-K-s) y A (m2) Los flujos de alimentación y descarga son continuos, se encuentra perfectamente mezclado. El volumen y la temperatura iniciales en el tanque son iguales a Vo y To respectivamente. La temperatura de alimentación, T1, se mantiene constante. (c) Efectúe un programa en LabVIEW para la simulación en forma dinámica de los efectos de flujo y temperatura de alimentación, coeficiente global de transmisión de calor sobre la temperatura a la salida del tanque. Muestre la (c) Mediante la programación con LabVIEW

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36

4.2 BALANCE DE ENERGÍA MECÁNICA A PARTIR DEL BALANCE GLOBAL DE ENERGÍA.

Los fluidos incompresibles son los que mantienen su densidad constante o sufren pequeños cambios con la presión. Los líquidos generalmente son considerados como fluidos incompresibles o de volumen constante. Los gases bajo presión atmosférica o bajo pequeños cambios de presión tam-bién son considerados incompresibles. Si consideramos a un fluido incompresible que circula a través de la tubería bajo condiciones de estado estable, sin transporte de energía del sistema o hacia el sistema, sin trabajo de eje y unidireccional, tal como se muestra en la Fig. 4.3, el balance de energía global (Ec. 4.10) se convierte en el BA-LANCE DE ENERGIA MECANICA conocida también como la ECUACIÓN DE BERNOULLI y se expresa así:

02

2

=+++ dxD

vfgdzvdvdPDρ

; masa

energía (4.11a)

Integrando de 1 a 2:

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37

zP

zvv

yvv

xvv

tv z

zz

yz

xz

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ1

(4.16c)

Como el elemento diferencial en estudio se encuentra estático, entonces (vx = vy = vz = 0). Multiplicando las ecuaciones (4.16) por las derivadas dx, dy ó dz respectivamente, obtendremos:

dxxPdx

dtdvx

∂∂

−=ρ (4.17a)

gdydyyPdy

dtdvy ρρ −

∂∂

−= (4.17b)

dzzPdz

dtdvz

∂∂

−=ρ (4.17c)

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (4.17) y sabiendo que vx = dx/dt , vy =dy/dt, vz=dz/dt . Obtendremos:

gdydzzPdy

yPdx

xPdvvdvvdvv zzyyxx ρρ −⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=++ )( (4.18)

Diferenciando el primer miembro de la ecuación y sabiendo que la derivada

total de P es igual: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

= dzzPdy

yPdx

xPdP y reemplazando en (4.18),

tendremos:

0=++ gdyvdvdPρ

(4.19)

Integrando entre los límites 1 y 2 de acuerdo a la fig.4.3, y dividiendo la ecuación resultante entre g (si altura y = z) se obtiene la ECUACIÓN DE BERNOULLI sin pérdida por fricción en metros de columna de fluido:

2

222

1

211

22z

gv

gPz

gv

gP

++=++ρρ

(4.20)

4.4 POTENCIA PARA EL TRANSPORTE DE LOS FLUIDOS Las bombas, compresores, soplantes y ventiladores son los equipos que se emplean para hacer que los fluidos (que pueden ser líquidos, gases o sóli-dos fluidizados) circulen por los tubos para ser transportados de un lugar a otro. EJEMPLO 4.7: Potencia requerida por una bomba.

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El agua de un gran depósito, abierto a la atmósfera como se muestra en la Fig., es bombeada y expulsada en forma de chorro libre mediante boquillas intercambiables desde 0,01 hasta 0,08 m, de diámetro interno. (a) ¿Cuál es la potencia en Hp requerido por la bomba, para cada boquilla, para lanzar el fluido una distancia máxima de 10,2 m.? (b) ¿Cual es la altura, longitud máxima y flujo volumétrico para cada boqui-lla, si la potencia de la bomba es de 2 Hp?

SOLUCION:

4.4.2 PARA GASES: COMPRESORES. Asumiendo que el comportamiento del gas es ideal y que la compresión es isentrópica, el trabajo del compresor (en energía por unidad de masa) efec-tuado sobre el gas se obtiene a partir de la ecuación del balance global de

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39

energía Ec. (4.10), despreciando las pérdidas por fricción y la energía po-tencial:

'sWvdvdP δ

ρ=+ ; considerando que

k

PP

!/

11 ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= ρρ

ESidealC EEW −=, (4.25)

221'

1

21

22

1

1

21,

vvPP

TRk

kWk

k

idealC −+⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

(4.26)

Si la velocidad en la entrada es igual a la velocidad a la salida, el trabajo del compresor en energía por unidad de masa, será:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

11

1

1

2

1

1,

kk

IdealC PPP

kkW

ρ (4.27)

ó

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

1'1

1

1

21,

kk

IdealC PPTR

kkW (4.28)

La potencia, en energía por unidad de tiempo, para un flujo de masa •

m de gas que circula por el compresor, será:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−•

1'1

1

1

21,

kk

IdealC PPTRm

kkP

(4.29)

La potencia del compresor para N etapas de compresión, en energía por unidad de tiempo:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−•

1'1

1

1

21,

Nkk

IdealC PPTRm

kNkP (4.30

Para la conversión de la potencia en Hp se emplea la equivalencia de: Joule/s = 1 watt; 1,341 Hp.= 1 kw El trabajo real o trabajo actual del compresor se determina, al igual que en el caso de las bombas, por la división del trabajo ideal o el cambio de en-talpía ideal bajo las condiciones de entrada y salida del gas como se obser-va en la Fig. 4.4 y la eficiencia del compresor:

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40

EJEMPLO 4.8: Cálculo de la potencia de un compresor de una y tres etapas. Un flujo de gas metano de 1 kg/s., se desea comprimir desde una presión de 10 000 Pa con una temperatura de alimentación de – 100 °C a 100 000 Pa, Calcular: a.- La temperatura de salida bajo condiciones isentrópicas y adiabáticas e irreversibles ( 75,0=Adiabη ) y la potencia del compresor de una sola etapa. Grafique en el diagrama P-H. b.- La potencia del compresor de tres etapas. c.- Grafique en el diagrama P-H, las etapas de compresión mostrando las presiones intermedias. SOLUCION: Del anexo 9: k (metano) = 1,315 a) A partir de la ecuación (4.28) de trabajo del compresor:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

1'1

1

1

21,

kk

IdealC PPTR

kkW

Fig. E-4.8a

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41

Fig. E-4.8b

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CAP. 5: CONSERVACION DEL MOMENTO La conservación del momento o cantidad de movimiento es un concepto fundamental en la mecánica de fluidos conjuntamente con la conservación de la energía y la conservación de la masa. El momento es simplemente la masa de un objeto multiplicado por la velocidad del objeto. El momento es una cantidad vectorial que tiene magnitud y dirección.

5.1 CONSERVACION DEL MOMENTO: METODO DIFE-

RENCIAL. La ecuación de la conservación del momento en forma vectorial puede ex-presarse asumiendo tensiones cortantes (considerando ρ y μ variables) o en función de los gradientes de velocidad con ρ y μ constantes (flujo Newto-niano). 5.1.1. EN FUNCION DE LAS TENSIONES CORTANTES: En forma general, el balance de cantidad de movimiento para un elemento diferencial de volumen se expresa de acuerdo a:

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡+

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

movimiento de cantidad

den acumulació de Veloc.

sistemael sobreactuan que

fuerzas las de Suma

movimientode cantidad de

salida de Veloc.

movimientode cantidad de

entrada de Veloc. (5.1)

La cantidad de movimiento de entrada y salida o eflujo neto de cantidad de movimiento se debe al flujo global del fluido (convección) y a los gradientes de velocidad (transporte molecular), tal como se muestra en las siguientes figuras:

Fig 5.1: Elemento de fluido que muestra el balance de cantidad de

movimiento porConvección en la dirección x

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43

gPDt

vD ρρ +−∇= (5.10b)

La ecuación de EULER, bajo condiciones de estado estacionario en las direcciones x,y,z:

x: xP

xv

v xx ∂

∂−=

∂∂

ρ

y: y

yy g

yP

yv

v ρρ −∂∂

−=∂

z: zP

zv

v zz ∂

∂−=

∂∂

ρ

EJEMPLO 5.1: Determinación del perfil de velocidades en placa incli-nada. Un fluido con flujo laminar en estado estable fluye por un plano inclinado, cuyo ángulo con la horizontal es υ en una región de longitud L, suficiente-mente alejada de los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están incluidas. Determínese el perfil de veloci-dades dentro de una capa líquida de espesor δ, así como la velocidad máxima en la superficie libre, cuando: a.- El fluido es Newtoniano con ρ y μ constantes. b.- El fluido es de densidad ρ constante y la viscosidad μ varía de la siguiente forma:

)(0

δαμμ

y

e−=

Donde μ 0 es la viscosidad en la superficie de la película y α es una constante que expresa la rapidez con que disminuye μ al aumentar y. SOLUCION: a.- Empleando la ecuación (5.13.a) de NAVIER – STOKES para el compo-nente de la cantidad de movimiento en la dirección x:.

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44

xzxxx

zx

yx

xx g

zv

yv

xv

xP

zvv

yvv

xvv

tv ρμρ +⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2 (A)

Las componentes de la velocidad vz = vy = 0, es decir, no existe movimiento en las direcciones y i z. Por lo tanto la ecuación anterior (A) se reduce a:

xzxxx

xx g

zv

yv

xv

xP

xvv

tv ρμρ +⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

(B)

Por la ecuación de continuidad:

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

zv

yv

xv zyx Se reduce a: 0=

∂∂

xvx y 02

2

=∂∂

xvx

Como el fluido fluye bajo condiciones estacionarias, entonces la velocidad no es función del tiempo. Además, no existe variación de la velocidad en la dirección z, es decir:

0; 0; 0 2

2

=∂∂

=∂∂

=∂∂

zv

zv

tv xxx

El componente del peso por unidad de volumen, del fluido, en la dirección x es igual a: θρρ gseng x = No hay variación de la presión en la dirección x, porque se considera que no existe variación en un mismo plano (segunda propiedad de la presión).

0=∂∂

xP

La ecuación (B) se reduce a:

0sen2

2

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ θρμ g

yvx

ó

μθρ seng

yv

dyd x −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

; integrando

∫∫ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂∂

∂y

x dygyvd

yv

00

senμ

θρ ; yg

yvx

μθρ sen

−=∂∂

Page 45: Mecanica de Fluidos Con Aplicaciones en LabVIEW-Resumen

Mecánica de Fluidos con aplicaciones en LabVIEW ________________________________________________________________

45

EJEMPLO 5.2: Determinación de la distribución de cantidad de movi-miento y velocidades a través de tubos concéntricos. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros circulares coaxiales de radios kR y R. Ob-tener la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento y la distribución de velocidad a través de los dos tubos concéntricos. SOLUCION: La ecuación de la cantidad de movimiento en coordenadas cilíndricas en la dirección z esta dada por:

zzzz

rzz

zzz

rz g

zrr

rrzp

zvvv

rv

rvv

tv ρτ

θττ

θρ θθ +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ 1)(1

Al igual que en el problema anterior, considera-remos que no hay variación de la velocidad como una función del tiempo en la dirección z (estado estacionario), que no hay velocidad en la direc-ción r y υ (movimiento unidireccional), que la variación de la velocidad en la dirección z es igual a cero (por continuidad) y que solamente existe el esfuerzo cortante en la dirección z per-pendicular a r es decir τrz , la acción del peso del fluido y la caída de presión en z. Por lo tanto la ecuación se reduce a:

zPg

zpr

rr zrz ∂∂

=−∂∂

=∂∂

− )()(1 ρτ

LPPr

rr rz12)(1 −

=∂∂

− τ

Integrando:

∫∫−

=r

Rrz rdr

LPPrd

rz

λ

τ

τ 21

0

)(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=rR

RrR

LPP

rz221

2λτ (A)

A partir de la segunda ley de Newton de la viscosidad:

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46

5.2 BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: METODO INTEGRAL.

El momento es una cantidad vectorial igual al producto de la masa por la velocidad, así:

mvPM = (5.14) Derivando el momento en función del tiempo, manteniendo la masa cons-tante, se obtiene:

dtdvm

dtdPM = (5.15)

Empleando la segunda ley de Newton:

dtdvmmaF ==∑ (5.16)

Igualando ambas expresiones Ec.(5.15) y Ec. (5.16):

dtdPF M=∑ (5.17)

En donde, la velocidad de cambio de momento o cantidad de movimiento en un sistema, es igual a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre dicho sistema y su dirección es el de la fuerza neta resultante. La ecuación de la conservación del momento, aplicado a un sistema de estudio o volumen de control inercial, fijo en el espacio con referencia al sistema de coordenadas x,y,z; se obtiene a partir de la ecuación del balance de masa en forma integral, Ec.(3.14), multiplicando cada uno de sus miem-bros por la velocidad, así:

∫∫ ∫∫∫∂∂

+•=SC VCsistema

dVt

dAnvdtdm ρρ )(

∫∫ ∫∫∫∂∂

+•=SC VCsistema

M dVvt

dAnvvdt

dP ρρ )( (5.18)

Puesto que esta ecuación es vectorial, podremos escribir las ecuaciones escalares para las direcciones x, y, z; como se muestra a continuación:

Page 47: Mecanica de Fluidos Con Aplicaciones en LabVIEW-Resumen

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47

EJEMPLO 5.15: Fuerza que se ejerce sobre una paleta móvil. Un chorro de glicerina ( GE = 1,2) de 4 cm. de diámetro se desvía un ángu-lo de 60° por medio de una paleta simple. La velocidad del chorro es de 10 m/s. Determínese la fuerza total que actúa sobre la paleta, cuando: a) La paleta se desplaza a 3 m/s.

acercándose a la tobera en la direc-ción del chorro de entrada.

b) La paleta se desplaza a 2 m/s., alejándose de la tobera y a su vez esta se desplaza a 1 m/s., alejándose de la paleta.

SOLUCION:

a) vr = v + up vr = 10 + 3 = 13 m/s

La velocidad relativa del fluido (vr ), a la entrada del volumen de control es igual a la velocidad relativa del fluido a la salida. Tiene una magnitud igual a (v±up±ut), donde: v = velocidad absoluta del fluido up = velocidad de la paleta ut = velocidad de la tobera vr = velocidad relativa. EN LA DIRECCION x::

Fuerzas S. y M.: RxFRx = Cantidad de Movimiento:

∫∫∫∫ ∫∫ •+•=•=2

2221

111 )()()( dAnvvdAnvvdAnvvF rrxSC

rrxrrxRx ρρρ

rrx vv =1 ; rrr vvnv −==• º180cos11

rrrrrx vvnvv ==•= º0cosv ; cos 222 θ

21 )cos()( AvvvAvF rrrrRx θρρ +−= ; en N. )cos1(2 θρ −−= AvF rRx ;

Fuerzas S. y M. = Cantidad de Movimiento:

)cos1(2 θρ −−= AvR rx

NK

AvK

sm

mkg

x

rx

4,127)5,01()13()04,0)()(1000)(2,1(

)60cos1(22

4

2

3 =−=

°−=π

ρ

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48

EJEMPLO 5.21: Potencia máxima de una turbina ideal. En la figura siguiente se muestra una turbina de impulso ideal. a) Demostrar que la potencia de

esta turbina es máxima cuando la velocidad tangencial “u” de sus paletas, es v/2 donde “v” es la ve-locidad del chorro.

b) Grafique el perfil de la potencia de la turbina en función de la ve-locidad tangencial si la velocidad y el diámetro del chorro es de 20 m/s y 2 cm respectivamente. El fluido es agua y el ángulo θ es de 30°.

SOLUCION: a) Fuerzas S. y M.: xRx RF = A partir de la ecuación de la cantidad de movimiento para flujo permanente en términos de la velocidad relativa y en la dirección x, se encuentra que: ∫∫∫∫ •+•=

2222

1111 )()( dAnvvdAnvvF rrxrrxRx ρρ

11 rrx vv = ; 111 º180cos rrr vvnv −==•

22222 º0cosv ; cos rrrrrx vvnvv ==•−= θ 222111 cos)( AvvvAvF rrrrRx θρρ −−= en N. Por la ecuación de continuidad:

2211 AvAvQ rrr == )cos1)(( θρ +−= rrRx QvF Fuerzas S. y M. = Cantidad de Movimiento )cos1)(( θρ +−= rrx QvR

)cos1)()(( θρ +−= rx AvuvK La potencia del alabe Palb esta definida por la siguiente ecuación: Palb =Kx*u a partir del cual: uAvuvP ralb )cos1)()(( θρ +−= La Potencia de la turbina es mayor que la potencia del alabe, e igual a:

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49

CAP. 6 FLUJO DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES En este capítulo estudiaremos a los fluidos Newtonianos y no Newtonianos incompresibles. Se determinara la pérdida de carga durante el transporte o movimiento en una tubería, en un sistema de tuberías o en diversos equi-pos. Como fluidos incompresibles se consideran a los líquidos, quienes no cam-bian su densidad apreciablemente por efectos de los cambios de presión. 6.1. PERDIDA DE CARGA. Durante el transporte de los fluidos a través de sistemas de tuberías o a través de equipos de proceso, la energía inicial disminuye durante su reco-rrido. Esta disminución de energía es conocida como perdidas de carga. 6.1.1. PERDIDA DE CARGA EN UNA TUBERIA. A partir de la ecuación (3.19), la distribución de velocidades a través de una tubería en régimen laminar, estacionario y para fluido Newtoniano (n = 1) viene dado por la siguiente expresión:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

1Rrvv Max

De la ecuación (3.22) de HAGEN-POISEVILLE, la velocidad media en términos de la diferencia de presiones está dado por:

221

8R

LPvv Maxmed μ

Δ== ó 2

32D

LPvmed μ

Δ=

Despejando la caída de presión y dividiendo ambos miembros de la ecua-ción resultante entre (ρg), se tiene:

gDLv

gP med

ρμ

ρ 2

32=

Δ (6.1)

Multiplicando y dividiendo por velocidad media (de aquí en adelante la velo-cidad media será expresado como v) , encontramos: 6.3 FACTOR DE FRICCION PARA FLUIDOS NEWTONIA-NOS:

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50

A partir de los Diagramas de Moody: Si se conoce la velocidad

del fluido que circula por una tubería, el cálculo del factor de fricción es una función del número de Reynolds (Re) y el cociente de rugosidad (ε/D), entonces:

)/(Re, DefDα El diagrama de Moody de la Fig 6.1 se divide en cuatro zonas: laminar, transición, parcialmente turbulento y totalmente turbulento. La zona laminar es la parte extrema de la izquierda, en esta zona el fluido se mueve a velo-cidades bajas y el factor de fricción es fuertemente dependiente de la velo-cidad del flujo y definido por:

Re64

=Df

La zona totalmente turbulenta es la parte extrema de la derecha donde las líneas se hacen horizontales. En esta zona de alta velocidad el fluido fluye en completa turbulencia y el factor de fricción no muestra dependencia con la velocidad del flujo, tal como se observa en la ecuación de Karman y Prandtl (6.13). Observe que el factor de fricción es únicamente función de la rugosidad y que una tubería ideal sin rugosidad (lisa) nunca llega a esta zona.

Fig 6.1: Factor de fricción de Darcy vs. Número de Reynolds EJEMPLO 6.3: Cálculo del flujo volumétrico a través de la tubería. Una tubería (e = 0,048 cm) de 60 cm de diámetro interno y 1200 m de lon-gitud, transporta un aceite ( ν = 3,3 *10-6 m2/s y DR = 0,85) desde A a B.

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51

Las presiones en A y B son 392 y 137 kpa., respectivamente. El punto B esta situado 20 m. por encima de A. (a) Calcular el flujo volumétrico que circula a través de la tubería. (b) Mediante la programación en LabVIEW muestre la variación de flujos que puede circular por la tubería y la potencia de la bomba como una función de los cambios de presión en A.

SOLUCION: (b) La Fig.E6.3b del panel frontal de la programación en LabVIEW muestra el efecto de los cambios de presión en A sobre el flujo volumétrico (Q) y la potencia en Hp de la bomba. Adicionalmente permite observar los efectos en el flujo volumétrico y potencia de bomba cuando se efectúan cambios en el diámetro interno de tubería, rugosidad, longitud de tubería, etc.

Fig. E6.3b EJEMPLO 6.5: Cálculo de la caída de presión en un intercambiador de tubo y coraza. El intercambiador de calor de tubo y coraza consta de 187 tubos, de acero (e = 0.02 cm.), cuyo diámetro externo es de18 x 2 mm (diámetro de la tuber-ía y espesor) y la longitud es de 1.9m. La coraza está hecha de un tubo de 426x12 mm de diámetro (diámetro externo y espesor). Por el espacio inter-tubular paralelamente a los ejes de los tubos pasan 3 000 Nm3/h de nitróge-no (condiciones normales). La descarga del fluido se efectúa bajo presión atmosférica y la temperatura promedio se considera de –10°C. El diámetro de las tomas de entrada y salida es de 250mm. (a) Determinar la presión de alimentación y la pérdida de carga en el espa-

cio ínter tubular (coraza).

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52

(b) Repetir el calculo anterior mediante un programa en LabVIEW

SOLUCION: (b) La Fig. E6.5b obtenido mediante la programación en LabVIEW, muestra los siguientes resultados: La presión de alimentación es igual a 719,83 kPa y la pérdida de carga en el intercambiador es de 10095,5 m. La diferencia se debe a que en el cálculo mediante labVIEW se ha despreciado las pérdi-das menores.

Fig. E6.5b

Se deja al lector demostrar que el espesor del intercambiador para la presión de operación es suficiente, caso contrario seleccione uno nuevo. Asuma que el material del intercambiador es de acero inoxidable 316. EJEMPLO 6.8: Cálculo del diámetro óptimo económico. (a) Determinar el diámetro óptimo económico de la tubería para transportar 10 lt/s de gasolina (ρ = 760 kg/m3 ; μ 20ºC = 0,0006 Pa·s) a una distancia de 3 km., y a una altura de 50 m.; la descarga es atmosférica. El rendimiento de la bomba junto con el motor eléctrico es del 75%. El precio de la energía eléctrica es de 0,04 $ por kw-h. La amortización de la tubería constituye (b) Realizar un programa en LabVIEW que calcule el factor de fricción fD y muestre la variación del Costo Total como una función del diámetro de la tubería. SOLUCION

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53

(b) La Fig. E6.8b, muestra el resultado grafico y numérico del diámetro op-timo económico.

Fig. E6.8b

6.4 FACTOR DE FICCION PARA FLUIDOS NO NEWTONIA-

NOS. 6.4.1 FACTOR DE FRICCION - PLASTICOS DE BINGHAM En la ecuación de Darcy-Weisbach:

gv

DLfHf D 2

2

=

El factor de fricción de Darcy es una función del número de Reynolds (Re) y del número de Hedstrom (He).

)(Re, HeffD = Donde el número de Hedstrom esta definido por:

2

2

μρτ DHe o= (6.21)

Donde: τ0 = N/m2 = Pa

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54

D = m. ρ = kg/m3 μ = Pa·s

El número de Hedstrom es igual a cero para fluidos Newtonianos. El ANEXO 7 muestra la relación entre los números de Re y He para deter-minar el factor de fricción. Algunos valores del esfuerzo cortante en (N/m2 ) para fluidos no Newtonia-nos se muestra en el siguiente cuadro: Fluido τ0 (N/m2 ) Salsa de Tomate (30ºC) 14 Mostaza (30ºC) 38 Mayonesa (30ºC) 85 Plomo (20ºC) 1,3x107 Hierro y aceros (20ºC) 20-50x107 6.4.2 FACTOR DE FRICCION - FLUIDOS DE LA LEY DE POTENCIA. En la ecuación de Darcy-Weisbach:

gv

DLfHf D 2

2

=

el Factor de Fricción de Darcy es una función del número de Reynolds ge-neralizado y probablemente de la rugosidad.

),(Re nff genD = El número de Reynolds generalizado está expresado por:

n

n

nn

gen nn

KvD

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

= −

314

8Re 1

2 ρ (6.22)

6.5 PERDIDA DE CARGA EN SISTEMAS DE TUBERIAS. Los sistemas de tuberías que se presentan con frecuencia en los procesos de flujo son los conocidos como: en serie, paralelo, mixto y ramificados. Estos sistemas seran estudiados en el transporte de fluidos incompresibles y el transporte de fluidos compresibles

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55

6.5.1 SISTEMA DE TUBERIAS EN SERIE: El caudal total es igual al caudal que circula por cada una de las tuberías:

321 QQQQT === (6.24) La pérdida de carga y de presión en el sistema es igual a la suma de las pérdidas individuales:

321 HfHfHfHfT ++= (6.25a)

321 PPPPT Δ+Δ+Δ=Δ (6.25b) SECUENCIA DE CÁLCULO: Condiciones:

• Se conoce el caudal total que circula, cantidad, dimensiones de las tuberías y el tipo de fluido que circula.

• No se conoce la pérdida total de carga HfT de la tubería.

1.- Calcular Factor de fricción para la tubería 1 por el siguiente procedimien-to: v1 Re1 ∈ /D1 ∴ fD1 ( De Moody ó Ecuaciones ) 2.- Calcular Pérdida de carga Hf1 de la Ec. De Darcy:

g

vDLfHf D 2

21

1

111 =

3.- Repetir los pasos 1 al 2 para todas las tuberías y se conocerá la sumato-ria de las pérdidas individuales:

∑= fifT HH 6.5.2 SISTEMA DE TUBERIAS EN PARALELO: EJEMPLO 6.14: Calculo del caudal en tuberías en serie. Se conectan en serie dos tuberías lisas, para transportar agua a 15°C (μ = 1,14*10-3 Pa-s); de 0,15 y 0,10 m. de diámetro interno respectivamente, cuyos ejes están en el mismo plano horizontal. La tubería de 0,10 m., tiene 20 m de longitud y termina en un depósito en el que el nivel del agua se encuentra 4 m por encima del eje de la tubería. Una toma piezométrica en la tubería de 0,15 m, situada a 20 metros aguas arriba de la unión con la otra

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tubería sirve de conexión a un manómetro que marca una presión de 2,5 atm. (a)Calcular el caudal que circula por las tuberías en serie en forma analítica y mediante programación en LabVIEW. (b) Efectuar un programa en LabVIEW de tal modo que permita la selección de las longitudes, diáme-tros de las tuberías y el calculo del caudal que circula por el sistema. (b1) Si se modifica la longitud de las tuberías hasta 200 metros, manteniendo las demás condiciones, cual será el nuevo caudal? (b2) Si se modifica los diá-metros internos a 0,20 y 0,15 m. respectivamente, manteniendo las demás condiciones, cual será el nuevo caudal?. (b3) ¿Si se modifica la presión inicial a 200 kPa manteniendo las demás condiciones, cual será el nuevo caudal? SOLUCION: Los cálculos anteriores han sido programados en LabVIEW y el panel frontal muestra el resultado final.

Como se observa el flujo volumétrico calculado es de 0,086 m3/s. (b) El panel frontal de LabVIEW se presenta a continuación: (b1) Modificación de la longitud de las tuberías:

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(b2) Modificación de los diámetros internos:

(b3) Modificación de la presión inicial:

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CAP. 7 FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES En este capítulo estudiaremos a los fluidos compresibles, se determinara la pérdida de carga durante el transporte o movimiento en una tubería, en un sistema de tuberías o en diversos equipos. En el desarrollo de la ecuación de Bernoulli, para fluidos incompresibles, la densidad y la presión están relacionados uno a otro en diferentes puntos y a lo largo de la línea de corriente. Para flujos compresibles no debe usarse la ecuación de Bernoulli, porque la densidad no es una constante a lo largo de la línea de flujo, es más, este es una función de la presión. Por lo tanto, se incorpora los principios termodinámicos para explicar como la energía inter-na contribuye al movimiento de los fluidos. La relación de presión y densidad para diferentes condiciones son las si-guientes:

constPvne = ó constP n =ρ/

Donde:

n = α ; (isocórico), volumen constante: 2

2

1

1

TP

TP

=

n = 1; (Isotérmico), temperatura constante: 2211 ee vPvP =

n = 0; (Isobárico), Presión constante. 2

2

1

1

Tv

Tv ee =

n = k; (Isentrópico), Entropía constante. ke

ke vPvP 2211 =

Los gases que se transportan desde tanques de altas presiones a través de orificios o conductos pequeños o a través de grandes diferencias de pre-siones se consideran como fluidos compresibles. En los fluidos compresi-bles: la densidad, velocidad y presión cambian con la posición. El número de Mach es una medida importante de los cambios de densidad para los fluidos compresibles, si Ma < 0,3 se asume comportamiento incom-presible. El aire que circula por medio de ventiladores puede considerarse como fluido incompresible porque los cambios de densidad son menores al 10% (las caídas de presión son pequeñas). A continuación se estudia el movimiento de los fluidos compresibles bajo condiciones isotérmicas, isentrópicas y adiabáticas e irreversibles. El si-guiente esquema muestra la aplicación en cada una de las condiciones:

7.1. CONDICIONES ISOTERMICAS. 7.1.1 SIN PERDIDAS POR FRICCION ( 0=ΔS ).- La ecuación (4.10),

'2

'2 SD WQdxD

vfgdzvdvdP±±=+++

ρ,

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60

del balance de energía en forma diferencial, se aplica a un gas ideal que circula entre los puntos 1 y 2 a través de una tubería horizontal de sección circular constante y distancia L. Cuando se considera descarga de gases desde un tanque por medio de orificios o boquillas; en los que no hay transferencia de calor, trabajo de eje, sin pérdidas por fricción y bajo condiciones de estado estable, se reduce a:

0=++ gdzvdvdPρ

(7.1)

Integrando desde 1 hasta 2:

02

1

2

1

2

1

=++ ∫∫∫ dzgdvvdP z

z

v

v

P

P ρ

Considerando que el comportamiento del gas es ideal (únicamente para presiones bajas), la densidad esta expresado por la ecuación (1.2)

TR

P'

=ρ , reemplazando en la ecuación (7.1) se tiene:

0' 2

1

2

1

1

2

=++ ∫∫∫z

z

v

v

P

Pgdzvdv

PdPTR

Como se conoce, en la descarga de tanques la energía de un gas no es fuertemente dependiente de la altura y si la tubería es horizontal el cambio de energía potencial tiende a cero (dz 0). Finalmente la ecuación de la energía para fluidos compresibles sin considerar las pérdidas por fricción quedará expresada por:

2ln'

2ln'

22

21

21

11vPTRvPTR +=+ (7.2)

donde T1 = T2 = T

Si 1

11'

ρPTR = , entonces:

Reemplazando las expresiones de las relaciones de velocidad y densidad en la ecuación (7.7), asumiendo que la relación de Z1/Z2 es igual a 1, obten-dremos la ecuación de la energía para fluidos compresibles bajo condicio-nes isotérmicas y con pérdidas por fricción en términos de las presiones:

0ln1'

2

2

1

2

1

22

21 =+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛DLf

PP

PP

TGRZP

Dm

(7.8a)

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61

0ln1'

2

1

2

2

1

22

21 =+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛DLf

PP

PP

TGRZP

Dm

(7.8b)

Consideremos como ejemplo el flujo del gas metano, bajo condiciones isotérmicas y con pérdidas por fricción, a través de una tubería de sección constante con una densidad de flujo másico G = 5150 kg/s-m2; temperatura y presión (abs.) iniciales de 25 °C y 75 x105 Pa. La siguiente tabla muestra la variación del factor “Z” de compresibilidad para el metano, en función de la presión:

P(bar) 75 70 65 60 50 40 30 20 10 5 1

Z 0,86 0,868 0,875 0,883 0,90 0,918 0,937 0,957 0,978 0,989 0,998

La ecuación 7.8 nos permite calcular la variación del número adimensional fDL/D en función de la fracción (1 – P2/P1) de presiones. La fig. 7.2 muestra la variación del número adimensional de la longitud (fL/D) en función de la caída de presión. El punto máximo del número adi-mensional, fL/D, es 10,33; le corresponde una fracción óptima de las pre-siones, (1-P2/P1), de 0,73 y una presión P2 igual a 20,25x105 Pa.

EJEMPLO 7.1: Cálculo de flujo volumétrico de un gas a través de un conducto circular. El transporte del gas metano, desde la planta de distribución hasta el centro de consumo, se efectúa a través de un gaseoducto de 50 cm de DI (e = 0.006 cm) y 30 km de longitud. La presión en la planta de distribución (a la entrada de la tubería) es de 2 MPa y llega al centro de consumo (city gate) con una presión de 1 MPa. La temperatura a través de la línea puede esti-marse en 25°C.

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62

e) Si el flujo másico del gas que circula bajo las condiciones de (a) se mantiene constante, muestre gráficamente la variación de la caída de presión a lo largo de tuberías de diámetros internos de: 50, 40, 30 y 20 cm.

f) El consumo de gas, bajo las condiciones de (a), se incrementará en un 50% debido a la instalación de una Planta de fertilizantes, que emplea gas CH4 como materia prima. Sin alterar la presión inicial y final, se desea instalar un lazo (loop) de igual diámetro con origen en el punto de entrada, para satisfacer la demanda total de gas. Calcular la longitud de la tubería instalada y la presión de encuentro.

SOLUCION: La Fig. E7-1(e) muestra la variación del % de la caída de presión en función de la longitud para las tuberías de; 50, 40, 30 y 20 cm de diámetro interno y las condiciones de (a…… Como se observa en la Fig.E7-1(e), la tubería de 50 cm logra transportar el gas manteniendo las condiciones que se desean. En cambio las otras tu-berías no logran transportar el gas hasta la distancia de 30 km.

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Fig. E7-1(e), variación de la longitud en función del % de la caída de presión, para dife-

rentes diámetros internos de tubería. En el diagrama se muestra el loop y el punto de encuentro:

De acuerdo a la solución en (a) la densidad de flujo másico del gas (G0) que circula por la tubería original es de 162,4 kg/m2-s. Para abastecer el consu-mo total, incluido la Planta de Fertilizantes se requiere una densidad de flujo másico equivalente a: G2 = 162,4X1,5 = 243 kg/m2–s. Debido a la igualdad de los diámetros de las tuberías en paralelo (loop), en cada uno de los bra-zos circulará un flujo equivalente a: G1 = (243/2) = 121,5 kg/m2 –s. Con los datos anteriores se calculará el perfil de presiones a lo largo de la longitud de 30 km., manteniendo las presiones P1 y P2 en 2MPa y 1MPa

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respectivamente. Empleando la ecuación (7.8), se obtiene la figura, Fig. E7-1(g).

Fig. E7-1(g) EJEMPLO 7.5: Cálculo de longitud de tubería para caudal correcto. Con un agujero en la pared del tanque de almacenamiento (200 kPa y 25 °C en el interior), la descarga de CO2 a los alrededores es 2.5 veces la desea-da. Pero cuando se acopla un tubo de 1 m de largo al orificio (de igual diá-metro) el caudal es un 75% del deseado. ¿Qué longitud de tubo deberá utilizarse para conseguir el caudal correcto, bajo condiciones isotérmicas?: (a) Si la presión de descarga es de 144 kPa. (b) Si la presión de descarga es de 100 kPa. SOLUCION: (b) La Fig.E7-5, muestra los resultados anteriores (delP = 28%) y adicional-mente permite efectuar cálculos rápidos para diferentes condiciones de la relación de presiones.

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Fig. E7.5

Para una caída de presión del 50% la longitud adimensional para Go es de:

23=DLfD ; Se conoce que L = 1, entonces: 23=

DfD

Para G1 la longitud adimensional es: 5,12=DLfD . De donde L = 12,5/23 =

0,54 m. EJEMPLO 7.6: Cálculo del diámetro y potencia de compresión para el transporte de gas. Determinar el diámetro de la tubería (e = 0,00153 cm) y la presión de salida del compresor para transportar 6000 Nm3/h (1,667 Nm3/s) de CH4 a una distancia de 10 000 m., la presión de destino no debe exceder de 10 bara. El rendimiento del compresor junto con el motor eléctrico es del 60%. El compresor es adiabático y trabaja con una presión a la entrada de 10 bara. El transporte del gas por medio de la tubería se considera isotérmico a 30 ºC. (μ CH4 = 108·10-7Pa·s y k = 1,3). SOLUCION: Las ecuaciones anteriores programadas en labVIEW permiten mostrar, co-mo ejemplo, el panel frontal Fig. E7.6. Para una presión de 80 bara a la salida del compresor (considerado como presión a la entrada de la tubería) para transportar la distancia de 10 000 metros y mantener una presión de

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salida en el extremo opuesto de la tubería de 10 bara (considerado como presión de entrada al compresor); el diámetro interno calculado, para cum-plir las condiciones anteriores, es de 0,0598 m. y una potencia de compre-sión de 837,16 kW. Adicionalmente se muestra el cálculo de la velocidad del gas a la entrada y salida de la tuberia.

Fig. E7.6: Calculo del diámetro y potencia de compresión

B. EN TERMINOS DEL NÚMERO DE MACH: La ecuación del balance de energía global (4.10), considerando las pérdidas por fricción y despre-ciando el efecto de la energía potencial se expresa como:

022 =++∫ ∫∫ Ddxf

vdv

vdP

Para expresar el balance en términos del número de Mach es conveniente definir lo siguiente:

El número de mach (Ma):

Cv

gaselensonidodelvelocidadgasdelvelocidadMa =⎥

⎤⎢⎣

⎡= (7.15)

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De acuerdo al valor de este número, la velocidad del gas es denominado como:

Ma > 1 velocidad supersónica Ma = 1 velocidad sónica Ma < 1 velocidad subsónica

A partir de la termodinámica, la velocidad del sonido en m/s, para un gas de comportamiento ideal se define como (en el sistema internacional):

2/1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ρkPC (7.16a)

En el sistema Ingles en pies/s:

2/1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ρkPg

C c (7.16b)

Como TZRP '=ρ

, entonces la velocidad del sonido “C” es igual a:

[ ] 2/1'TkZRC = (7.16c) La modificación del primer término de la ecuación del balance de energía, es como sigue: Con los datos del ejemplo que genera la Fig. 7.2, se obtiene la Fig 7.3. Esta nos muestra la variación del número adimensional fL/D vs el Número adi-mensional (1- Ma1/Ma2), empleando la ecuación (7.17). A partir de la ecua-ción (7.21) se obtiene el valor de Ma1 = 0,2337. Como se esperaba, el comportamiento es similar al de la Fig 7.2. El número adimensional máximo (fL/D) es de 10,338 que corresponde al número adi-mensional en términos del número de Mach (1 – Ma1/Ma2) de 0,7694.

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Fig. 7.3: Variación de (fD L/D) en función del número (1-Ma1/Ma2) bajo condiciones isotérmicas ( T = 25°C, P1 = 75 *105 Pa. y G = 5150 kg/s.m2 del metano).

7.1.3. VELOCIDAD MÁXIMA EN CONDUCTO CIRCULAR BAJO CONDICIONES ISOTERMICAS

Para determinar la velocidad máxima con la que circula un gas (aguas aba-jo) en un conducto circular de sección constante, bajo condiciones isotérmi-cas, consideraremos que la variación del número adimensional (máximo) en función del número de Mach en cualquier punto aguas abajo, es igual a cero.

La Fig. 7.4 muestra la variación de la longitud adimensional en función del número de Mach (aguas abajo) para la conducción del gas. El número adi-mensional máximo es igual a 11,79 y corresponde a un número de Mach máximo o crítico aguas abajo, igual a 0,7686.

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Fig. 7.4: Variación de fD L/D en función del Número de Mach (aguas Abajo) bajo condi-ciones isotérmicas T = 25°C, P1 = 7,5 *106 Pa., y G = 5150 kg/s.m2 del metano. EJEMPLO 7.7: Cálculo del número de Mach a la entrada de una tubería y longitud máxima. Gas metano (k=1,3) es transportado desde una estación A con una presión de 2000 kPa (20 bar) a través de una tubería con 0,40 m., de diámetro in-terno y 4000 m., de longitud, hasta la estación B. La presión en B será de 200 kPa (2 bar). Se asume que el flujo es isotérmico e igual a 27°C, con factor de fricción de Darcy igual a 0,0208, Z = 0,9764 y G = 358,27 kg/m2-s. (a) Calcular el número de Mach a la entrada de la tubería, la velocidad y el flujo másico del gas. (b) ¿Se produce el flujo crítico? En caso negativo ¿Cuál seria la presión de salida para que ocurra el flujo critico?, ¿la longitud máxima? ¿la velocidad critica? (c) Graficar el perfil de la longitud adimen-sional en función del numero de mach e indique si se logra transportar la distancia de 4000 m. (d) ¿Que presión en la estación A permitirá alcanzar la longitud de 4000 m conservando la presión en B de 200 kPa? (e) ¿Qué diámetro de la tubería permitirá alcanzar los 4000 metros de longitud man-teniendo la presión inicial en 200 kPa y G = 358,27 kg/m2-s, para una caída de presión del 70%? SOLUCION: (c) La Fig. E7.7(c), muestra el perfil de la longitud de la tubería en función del número adimensional de Mach, esta grafica se obtiene a partir de la ecuación 7.17b.

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Fig. E7.7(c)

Fig. E7.7(d)

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Fig. E7.7(e)

7.2. CONDICIONES ADIABATICAS. Una operación de transporte de flujo es adiabática, si no hay intercambio de calor entre el sistema en estudio y los alrededores; además, no se realiza trabajo sobre el sistema o se extrae de el. La energía total permanece constante. 7.2.1 SIN PÉRDIDAS POR FRICCION (ISENTRÓPICAS).

La descarga de gases a través de orificios, boquillas o toberas es considerado adiabático (gas ideal sin transfe-rencia de calor) e isentrópico (sin pérdidas por fricción, no existe la irreversibilidad), luego 2211

ke

ke vPvP = donde ve es

el volumen específico y su inversa es la densidad, por lo tanto:

=== kkk

PPPρρρ 2

2

1

1 constante ; de donde

k

PP

1

1

2

1

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρρ

(7.28a)

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kk

PP

TT

1

1

2

1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (7.28b)

Las relaciones de densidad, presión y temperatura expresadas mediante las ecuaciones (7.28) y la ecuación (7.32) del ratio de velocidad a la salida so-bre la velocidad del sonido en 1, es graficado en función de la caída de pre-sión adimensional tal como se observa en la Fig.7.5, así:

Fig.7.5: Variación de las propiedades del fluido (aire) con la caída de presión, bajo con-

diciones Isentrópicas. Cuando la caída de presión es igual a cero o la relación de presiones (P2/P1) es igual a 1, el flujo se mantiene a la misma presión, las relaciones estudia-das (Ec. 7.28) no sufren modificaciones es decir que se mantienen constan-tes e iguales, tanto a la entrada como a la salida; por lo que sus relaciones son iguales a 1. En cambio la relación de velocidades (Ec. 7.32) es igual a cero. A veces es más conveniente emplear el número de Mach (Ma) en vez de la relación de presiones (P1/P2) como una medición de los cambios de las condiciones en un flujo isentrópico.

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A partir de la definición del número de Mach, se obtiene la velocidad en

función del número de Mach y la temperatura, así:

)'(2222 TkRMaCMav ==

La Fig.7.6 muestra el efecto del cambio del número de Mach a la salida (Ecuaciones 7.34). Asumiendo que el gas que fluye es el aire (k = 1,4) y considerando que el Mach a la entrada es igual a cero, es decir que la velo-cidad a la entrada (1) es despreciable o se mantiene bajo condiciones es-tancadas (v1 = 0).

Fig. 7.6: Variación de las propiedades del fluido con Ma2, bajo condiciones Isentrópicas

y condiciones estancadas.

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Reemplazando en la ecuación (7.36) la relación critica de presiones (7.35 e), se obtiene, la velocidad máxima de descarga o salida por medio de un orificio o tobera,

( )11

1,2 '

12

12 TR

kkP

kkv Max ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ρ (7.37)

EJEMPLO 7.8: Descarga discontinua de fluidos compresibles bajo condiciones isentrópicas a través de un orificio.

Un tanque instalado a 3250 m.s.n.m., contiene aire (k=1,4) a una presión de 400 kPa y una temperatura de 25° C. Un pequeño orificio de 1 cm2 de área, en un lado del tanque permite que el aire fluya hacia la atmósfera. Calcular: (a) el flujo másico máximo del aire (b) el tiempo de descarga bajo condicio-nes criticas si el volumen del tanque es de 1 m3. (c) la fuerza externa que se requiere para mantener el tanque fijo y sin movimiento. (d) Repetir los cálcu-los de (a) y (b) mediante un programa en LabVIEW.

SOLUCION:

Fig. E7.8(d)

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7.2.2. CON PERDIDAS POR FRICCION (ADIABATICAS E IRRE-VERSIBLES). La fricción introduce la irreversibilidad y causa un incremento en la entropía. Sin embargo éste no cambia el contenido de la energía y puede fluir adiabá-ticamente. Al flujo adiabático con pérdidas por fricción también se le conoce con el término de “FLUJO DE FANNO”.

A. EN TERMINOS DE LAS PRESIONES.- Asumiendo que el cambio de la energía potencial es despreciable, la ecuación (4.10) se transforma en: La Fig.7.7es el panel frontal de la programación en LabVIEW y muestra el resultado de la aplicación de la ecuación (7.48) al ejemplo de la pagina 250 de la conducción del metano (T = 25°C, P1 = 75 *105 Pa. y G = 5150 kg/s.m2). Puede modificarse el flujo de masa, la presión inicial, la caída de presión, el diámetro y la rugosidad de tubería, peso molecular, temperatura de alimentación, viscosidad del gas.

Fig. 7.7: Transporte de gas bajo condiciones adiabáticas e irreversibles en términos de las presiones.

Las siguientes figuras son el resultado grafico de la programación anterior, así:

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Fig. 6.7a: Variación de fD L/D en función del Número de Mach

Fig. 6.7b: Variación de P2 en función de la longitud adimensional

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Fig. 6.7c: Variación de T2 en función de la longitud adimensional

Fig. 6.7d: Variación de la velocidad a lo largo de la longitud adimensional

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B. EN TERMINOS DEL NÚMERO DE MACH.- La ecuación del balan-ce de la energía para un gas ideal puede ser integrada analíticamente de-bido a que las propiedades termodinámicas son funciones simples de la presión y la temperatura. Para obtener la ecuación del balance de energía bajo condiciones adiabáti-cas e irreversibles, la ecuación (4.10) se multiplica por la densidad y se divide por la presión:

02

2=++ dx

DPvfdv

Pv

PdP

Dρρ (7.49)

Esta ecuación se resuelve transformando las diferenciales de presión y velocidad en términos del número de Mach (ver anexo N° 11), dando como resultado la siguiente expresión:

0ln2

111

2

121

22

21

22

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎤⎢⎣

⎡−

DLf

yy

MaMa

kk

kMakMa D (7.50)

Términos de compresibilidad Términos de energía cinética Resistencia del conducto

Las relaciones de la presión, densidad, velocidad y temperatura en función del número de Mach se obtienen por integración, tal como se muestra en el

La Fig. 7.8 es el panel frontal de la programación en LabVIEW de la ecua-ción 7.50 y muestra el ejemplo de la pagina 250 de la conducción del meta-no (T = 25°C, P1 = 75 *105 Pa. y G = 5150 kg/s.m2), ahora bajo condiciones adiabáticas y con pérdidas por fricción. Puede modificarse el flujo de masa, la presión inicial, la caída de presión, el diámetro y la rugosidad de tubería, peso molecular, temperatura de alimen-tación, viscosidad del gas y el número de mach a la salida. Las figuras 7.8a, 7.8b, 7.8c, 7.8d, 7.8e, 7.8f, muestran el comportamiento de las líneas de Fanno. Los valores críticos, para Ma2 = 1, obtenidos median-te el programa son: el de la longitud adimensional fLcrit/D = 12,42; Tempera-tura, T2(crit) = -38 °C; Presión, P2(crit) = 13,1625 bar; Entalpía, h2 = 390191 y Cambio de Entropía = 508; cuando Ma1 = 0,2050.

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Fig. 7.8: Transporte de gas bajo condiciones adiabáticas e irreversibles en términos del

número de Mach.

Fig. 7.8a: Variación de fD L/D en función del Número de Mach

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Fig. 7.8b: Variación de la temperatura a lo largo de la posición axial.

Fig. 7.8c: Variación de la Presión a lo largo de la posición axial.

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Fig. 7.8d: Variación de la entropia a lo largo de la posición axial.

Fig. 7.8e: Variación de la Entalpía vs. Entropía.

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Fig. 7.8f: Variación de la Entropía vs. Número de Mach.

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7.3 FLUJO ISENTROPICO Y ADIABATICO A TRAVES DE CONDUCTOS DE AREA VARIABLE.

Una tobera convergente-divergente puede operar en diferentes modos y depende de la relación de las presiones de descarga o salida P2 a presión de alimentación P1. Estos modos de operación se ilustran en la Fig.7.9.

Fig. 7.9: Modos de operación para toberas convergente y divergente.

Modo a: La relación de presiones es menor a 1; la presión de salida es lige-ramente superior a la presión crítica. El flujo es subsónico en la tobera y no alcanza las condiciones sónicas en la garganta (Ma < 1). Sin considerar las pérdidas por fricción, el flujo es isentrópico y pueden emplearse las ecua-ciones 7.30 y 7.31.

Si disminuimos la presión en el tanque de descarga a un nivel de “b” obte-nemos el siguiente modo.

Modo b: En la zona convergente y divergente el flujo es subsónico (Ma <1); la presión de salida es igual a la presión critica. En la garganta de la tobera el número de Mach es igual a 1, por lo tanto el flujo es sónico y el flujo de masa a través de la tobera alcanza el límite máximo. La relación de presio-nes en este punto se le conoce como critβ .

Modo c: Se observa que en la zona convergente el comportamiento es sub-sónico y en la garganta sónico; la presión de salida es menor que la presión critica. En la zona divergente luego de alcanzar el valor

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7.3.1. VELOCIDAD DE GASES A TRAVES DE UNA TOBERA BA-JO CONDICIONES ISENTROPICAS: La velocidad de eyección de los gases a través de una tobera, escrita en términos de las presiones y asumiendo que el flujo de alimentación se en-cuentra en condiciones estancadas, esta expresada por medio de la ecua-ción 6.62. A esta ecuación, para el caso de eyección de los gases de com-bustión, se le conoce con el nombre de Ecuación de SAINT VENANT.

21

1

1

2

1

2 11

2⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−k

k

PP

kCv

Para determinar la ecuación que muestra la variación de la relación de áre-as en función del número de Mach en una tobera convergente divergente, se emplea el resultado el balance de masa en una tobera de sección varia-ble desarrollado en el anexo 13:

AdA

Mavdv

112 −

=

vdvMa

AdA )1( 2 −= (7.55)

Este resultado revela que cuando Ma < 1 (flujo subsónico), (Ma – 1) < 0; los cambios de velocidad son en dirección opuesta a los cambios de área. Esto es, que el incremento de la velocidad del fluido requiere la disminución del La Fig. 7.10 muestra el punto máximo, relación de áreas o diámetros igual a 1, para las condiciones de Ma2 = 1; significa que para alcanzar la velocidad del sonido el área de la garganta es igual al área critica. A partir de este punto se distingue dos secciones bien diferenciadas, hacia la izquierda la zona de crecimiento de la relación de diámetros desde o a 1, en este se observa el crecimiento del número de Mach hasta el valor de 1, es decir que el flujo es subsónico, hasta antes de la garganta, Mach < 1 y como en la ecuación (7.55) a menor diámetro en la dirección del flujo mayor velocidad de flujo o zona de aceleración. A la derecha se muestra la disminución de la relación de diámetros y el incremento del número de Mach, a esta zona se le conoce como zona supersónica. Es decir que a mayor diámetro en la dirección del flujo se incrementa el número de Mach.

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Fig. 7.10: Variación de un flujo isentrópico en una tobera de área variable, como una

función del número de Mach.

7.3.2. ONDAS DE CHOQUE NORMAL. Cuando un cuerpo se mueve a través de un fluido a una velocidad que ex-cede la velocidad del sonido, este produce ondas frontales en el cual la presión, temperatura, y densidad del fluido cambian abruptamente dentro de una distancia corta.

Estas ondas frontales son llamadas ondas de choque. Estos pueden ser considerados como superficies en el campo de flujo a través del cual hay un cambio discontinuo en las variables de flujo.

Las ondas de choque, en las toberas, convierten el flujo supersónico a sub-sónico cuando las condiciones de flujo lo permiten. La Fig. 7.11, muestra el comportamiento de las ondas de choque en una tobera convergente diver-gente.

Aunque el flujo a través de una onda de choque es adiabático y no viscoso, la transferencia de calor y el esfuerzo cortante son significativos dentro de la propia onda de choque. El incremento de la entropía de 4 a 5 a lo largo de la onda de choque, ilustrado en la Fig 7.11, es el resultado del proceso irre-versible dentro del frente de choque.

EJEMPLO 7.20: Variación de la presión, temperatura y número de Mach a lo largo de una tobera convergente-divergente.

Aire fluye a través de una tobera convergente – divergente de 2 m de longi-tud y con un área variable de 2102020 xxA +−= , con A en cm2 y x en m.

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(a) Graficar las presiones, temperaturas y Mach isentrópicas como una fun-ción de la longitud de la tobera convergente – divergente, para un rango de presión de entrada de 100)0(1 << p kPa. (b) Indicar en que relaciones dentro de este rango de presiones no es posible físicamente el flujo isentró-pico. (c) El comportamiento del flujo de gas esta de acuerdo con la tabla 6.1?

SOLUCION:

Fig.E7.20 E6.36 variaciones de presión, temperatura y Mach en tobera convergente-

divergente.

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7.4. SISTEMAS DE TUBERIAS PARA FLUIDOS COMPRESI-BLES. Tal como se menciona en la sección 6.6, los sistemas de tuberías para el transporte de fluidos compresibles son los mismos que para el transporte de fluidos incompresibles. Las ecuaciones definidas en la sección 6.6, en gene-ral, son también empleados para el transporte de fluidos compresibles.

El tipo de material de tuberías empleadas en el transporte de gases es nor-mado y tienen la denominación de API 5L y 5LX, varían en grados desde X42 a X90, tal como se muestra en la tabla 7.2.

La ecuación de diseño de las tuberías es una forma modificada de la ecua-ción de Barlow. Esta permite calcular la presión interna permitida para una tubería de diámetro, espesor de la pared y material de la tubería conocidos.

DeSEFTP 2

= (7.65)

Donde:

P = Presión de diseño de la tubería, Psig

D = Diámetro externo de la tubería, plg.

e = Espesor de la tubería, plg.

S = Resistencia Minima especificada del material de la tubería, Psig

E = Factor de unión de las tuberías, igual a 1, tubería sin costura.

F = Factor de diseño dependiendo de la clase y tipo de construcción, varia de 0,72 a 0,40.

T = Factor de temperatura, igual a 1 para temperatura menor de 250 °F.

Tabla 7.2: Material de la tubería y Resistencia Minima

Material de la tuberia

API 5LX Grado

Resistencia Minima Especificada,

(SMYS), Psi

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X42

X46

X52

X56

X60

X65

X70

X80

X90

42 000

46 000

52 000

56 000

60 000

65 000

70 000

80 000

90 000

EJEMPLO 7.21: Selección del diámetro de tubería y cálculo de la inver-sión necesaria en el transporte de gas.

Una Central Térmica (CT) está interesada en adquirir una capacidad de transporte 3,5 MMSm3/día de gas. Las opciones de diámetro que se consi-deran como alternativas son 16”, 18” y 20” y una rugosidad de 15 micrones, disponiéndose de acero X65 de las siguientes características:

Diámetro nominal

diámetro externo [mm]

Espesor [mm]

peso lineal [ kg/m]

16” 406.4 5.6 55.35 16” 406.4 6.4 63.13 18” 457.0 5.6 62.34 18” 457.0 6.4 71.12 20” 508.0 5.6 69.38 20” 508.0 6.4 79.16

La CT se instalará a 400 Km del punto de inyección, se considera que los 400 Km son en zona de clase de trazado 1, el factor por temperatura y sol-dadura se consideran igual a 1. La presión en el punto de entrega en la Central térmica será de 3500 kPa(g); el gas es de una gravedad especifica de 0.566 (metano 98%, etano 0.5%, CO2 0.6% y N2 0.9%), las condiciones de referencia son 15,5°C y 101,325 kPa. No se consideran variaciones en la altimetría a lo largo de la traza. El costo de la tubería de acero es de 1000 US$/Ton.

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SOLUCION: La programación en LabVIEW permite calcular la potencia de compresión, la presión máxima de operación, los costos de tubería y compresión. A partir de estos valores se decide la selección del diámetro de la tubería.

Fig. E7.21(a)

Fig. E7.21(d)

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Fig. E7.21(e)

Fig. E7.21(f)

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CAP 8: EQUIPOS Y ACCESORIOS PARA EL TRANSPORTE DE FLUIDOS.

8.1 BOMBAS.- Las bombas son piezas simples en el equipamiento de cualquier planta de proceso químico, mayormente se emplean en el transporte de los fluidos en fase líquida. Las ecuaciones para determinar el trabajo y la potencia requerida en un sistema de bombeo se desarrollaron en el capitulo 4. 8.2 CLASIFICACION1:

Fig. 8.1: Clasificación de las bombas.

A. BOMBAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO: Consiste en la descarga de un fluido desde un depósito debido al despla-zamiento parcial o total de un volumen interno por movimiento mecánico o por un segundo fluido. EJEMPLO 8.1: 1 R.H. Perry, D.W. Green; “Perry’s Chemical Engineers’ Handbook., McGraw Hill, 1997., P 10-21.

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Se requiere suministrar liquido de proceso (ρ = 1000 kg/m3; T = 20 ºC) des-de un tanque abierto a una columna de destilación que opera a una presión manométrica de 200 kPa, por una tubería de DI = 6 cm y e = 0, 0012 cm. El punto superior de la tubería esta dispuesto 4 m. más alto que el nivel de la bomba (altura de descarga) la bomba esta dispuesto 1 m. mas alto que el nivel del líquido en el tanque (altura de succión). La longitud equivalente es de 32 m. (propia + accesorios). (a) Calcular el punto de operación (Q y HB) para las bombas centrífugas del Anexo 16. (b) Calcular el punto de opera-ción para las bombas en serie B1- B2. (c) Elegiría usted la bomba B1 o el sistema en serie B2 – B3? SOLUCION:

Fig. E8.1(a): Panel frontal.

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Fig. E8.1(b): Panel frontal de resultados.

EJEMPLO 8.2: Durante el ensayo de una bomba centrífuga se han obtenido los siguientes datos: Q lt/s. 0 1.667 3.334 5.000 6.667 8.334 H,m. 37.2 38 37 34.5 31.8 28.5

¿Qué cantidad de agua suministrará esta bomba por una tubería (hierro galvanizado, e = 0,012 cm) de 76 x 4 mm., de diámetro y 355 m., de longi-tud equivalente (la longitud propia más la longitud de las resistencias loca-les). Cuando la altura estática sea igual a 5.9m o de 20 m? SOLUCION:

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Fig. E8.2a

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Fig. E8.2b

Fig. E8.2c

EJEMPLO 8.3: Para el ejemplo 8.2 condición (a) determinar el punto de operación del sis-tema cuando la válvula se encuentra con un porcentaje de apertura del 80 % (b) graficar la curva característica de la válvula para el diámetro de la tubería que se indica. SOLUCION b).- La curva característica de la válvula se encuentra variando el porcentaje de apertura y tomando nota del flujo volumétrico, el resultado se muestra en la Fig E8-3b.

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Fig. E8.3b EJEMPLO 8.4: Dos bombas centrífugas se conectan en paralelo en un determinado siste-ma de bombeo. Graficar las curvas de altura de carga total HT en función de la capacidad Q de la bomba y sistema, cuando funcionan las dos bom-bas, y sobre la base de los siguientes datos: SOLUCION:

Fig. E8.4

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8.2.5 CAVITACION Y GOLPE DE ARIETE DE UNA BOMBA La cavitación en las bombas se produce cuando la presión del fluido en la cámara de impulsión disminuye por debajo de la presión de saturación a la temperatura que se encuentra el fluido (temperatura de ebullición), ge-nerándose cambio de fase desde líquido a vapor. En otros términos, el fenómeno de la cavitación ocurre cuando se bombea una emulsión de líquido y vapor. Para evitar la cavitación se disminuye la altura de succión de acuerdo al NPSH (corrección de cavitación) en metros, que depende del caudal y de la velocidad de rotación. Algunos autores expresan que el NPSH, en metros de columna de fluido, varía de acuerdo a la siguiente ecuación:

)(00125,0 67,02ωQNPSH = (8.5) Donde: Q = m3 /s y ϖ = revoluciones por minuto. La figura Fig. 8.8 bajo consideraciones del estado estacionario, nos permite determinar la expresión para calcular la altura de succión máxima o el nivel de la instalación de una bomba. A partir de la ecuación (4.13) de Bernoulli, aplicado desde el nivel del fluido en el depósito (1) hasta un punto en el interior de la bomba (2) (cámara de impulsión) para fluidos incompresibles:

Fig. 8.8: Altura de Succión máxima o instalación de la bomba.

SUCCIONAbsAbs Hfz

gv

gP

zg

vg

P+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++=++ 2

22,2

1

21,1

22 ρρ

Despejando la presión 2:

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CAP. 9: FILTRACION

La filtración, considerada dentro del estudio de los medios porosos, es una operación unitaria que consigue separar los sólidos de una suspensión, empleando un medio filtrante poroso que debe cumplir ciertas característi-cas tales como baja resistencia a la filtración, inerte a los productos quími-cos y producir un filtrado transparente. Generalmente se trata de determinar la caída de presión a través del medio poroso y predecir el comportamiento de flujo para optimizar y conseguir un nuevo diseño. Comercialmente existe una gran variedad de estos medios filtrantes, los más conocidos son las lonas o sargas, telas metálicas y los productos sinté-ticos. Los equipos de filtración pueden clasificarse de acuerdo a su operación en: discontinuos (filtros prensa) y continuos (filtros rotatorios). En cada caso, interviene una fuerza impulsora para la separación de los sólidos del líquido produciéndose una torta y que a medida que se incrementa aumenta su resistencia. 9.1 ECUACION DE ERGUN A TRAVES DE MEDIOS PORO-SOS. La velocidad superficial (vs) o velocidad del fluido, sin considerar el conteni-do de sólidos, es igual al caudal volumétrico Q (m3/s) dividido por el área seccional A (m2). La existencia de partículas sólidas dentro del lecho podría reducir el área disponible para el flujo del fluido (por ejemplo, para preservar la ecuación de continuidad, la velocidad dentro del lecho o intersticial sería mayor que la superficial y el área disponible del lecho menor que el seccio-nal). La porosidad es usualmente una propiedad ISOTROPICA (la misma en todas las direcciones). De la ecuación de continuidad AvAv SII = como

AAI ε= ; de aquí, la velocidad intersticial es relacionada con la velocidad superficial por la siguiente ecuación:

εS

Ivv = (9.1)

A partir de la ecuación de Darcy – Weisbach, Ec.(6.3), se puede expresar la perdida por fricción, para un lecho relleno, de acuerdo a la siguiente expre-sión:

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gP

gv

DLfHf I

eqD ρ

Δ==

2

2

El diámetro equivalente, Ec.(6.10), del medio poroso o lecho relleno es igual a:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

ε13

2 peq

dD y la velocidad intersticial definido por la Ec.(9.1),

εS

Ivv =

Luego, el factor de fricción de Darcy será igual a:

2

3 113

4

SPD Lv

dPf ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−Δ

ερ

El factor de fricción para el medio poroso será igual a:

2

3 114

3

SPMPD Lv

dPff ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−Δ

==ε

ερ

(9.2)

En la ecuación del número de Reynolds, se reemplaza el diámetro equiva-lente y la velocidad intersticial para obtener el número de Reynolds para medios porosos, así:

)1(32Re

εμρ

μρ

−== SPIeq vdvD

)1(ReRe

23

εμρ

−== SP

MPvd (9.3)

El factor de fricción de Darcy para flujo laminar y fluidos que circulan por espacios vacíos (sin relleno), es igual a:

Re64

=Df . Cuando el fluido circula

en espacios rellenos o “lechos rellenos”, el factor de fricción es expresado

como: MP

MPfRe

96=

La deducción de esta ecuación ha sido realizado asumiendo que la direc-ción del flujo es en la dirección axial “ x ” sin considerar el “paso” o la tortuo-sidad a través del medio poroso. Si asumimos que la tortuosidad es igual a un promedio de 45° con la dirección axial, luego la velocidad actual es igual a 2 de la velocidad intersticial. Si realizamos los cambios en el factor de fricción para flujo laminar de un medio poroso con partículas esféricas, ob-tendremos:

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9.2 CAIDA DE PRESION A TRAVES DEL MEDIO POROSO. A semejanza de las transferencias de cantidad de movimiento, calor y masa la velocidad de filtrado por unidad de área (densidad de flujo volumétrico) es directamente proporcional a la fuerza impulsora e inversamente proporcio-nal a la resistencia que la ofrece:

sistenciaAQ

ReImpulsora Fuerza

= (9.15)

Fig. 9.2: Caída de presión a través del medio poroso.

Como la densidad de flujo volumétrico es constante a través de todas las resistencias de la Fig. 9.2, entonces:

tit

i RdtdV

AP

RPP

dtdV

AAQ 1P donde; de 1

11 =−−

==

mfmf

i RdtdV

AP

RPP

dtdV

AAQ 1P donde; de 1

2i2 =−

−==

donde: Rt y Rmf son las resistencias de la torta y del medio filtrante en

smkg−2 respectivamente y la presión P en Pascal. Sumando miembro a miem-

bro encontramos que: 9.3 FILTRACION A CAIDA DE PRESION CONSTANTE.

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Frecuentemente el proceso de filtración se lleva a cabo bajo condiciones de caída de presión constante: • Torta incompresible (α = α 0 ), el volumen de filtrado será:

mo RA

CsVAP

dtdV

μμα +

Δ=

)( , invirtiendo BKpV

dVdt

+= donde:

3

620

msen

)(

en )(

mRPA

B

ms

PACsKp

Δ=

Δ=

μ

μα

Integrando entre los límites de 0 a t y de 0 a V se obtiene el tiempo de filtra-ción en segundos:

BVVKpt += 2

2 (9.30)

• Torta compresible, el volumen de filtrado será:

mS

S

RAVCAP

dtdV

μμα +Δ

=−

0

21)(

Asumiendo que: A, ΔP, s, α o , Cs, RM y μ son independientes del cambio de volumen, la última ecuación puede integrarse entre los límites de 0 y V, de donde:

tAPVRAVC SmS

212

0 )(2

−Δ=+ μμα

tC

APVC

ARVS

S

S

m

μαα 0

21

0

2 )(22 −Δ=+ (9.31)

9.4 FILTRACION A FLUJO VOLUMETRICO CONSTANTE.- La filtración bajo condiciones de flujo volumétrico constante se realiza cuan-do se emplea en la alimentación una bomba de desplazamiento positivo. A partir de la ecuación (9.27) de la velocidad de filtrado:

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CAP. 10: FLUIDIZACION 10.1 COMPORTAMIENTO DEL LECHO FLUIDIZADO. Un lecho de partículas sueltas o flojas (Fig. 10.1a) ofrece resistencia al flujo y a medida que la velocidad del fluido, que atraviesa el lecho, se incremen-ta; se alcanza una etapa en el que la fuerza de arrastre de la partícula es equivalente a su peso efectivo (peso de la partícula real menos el efecto de flotación debido a la inmersión en el fluido). Después de esta etapa el lecho no es fijo, la partícula se mueve ofreciendo menor resistencia al flujo del fluido, en este punto los sólidos están “fluidizados” y la velocidad del fluido se denomina velocidad mínima de fluidización. El lecho de partículas ahora se expande a medida que la velocidad del fluido se incrementa; el flujo por acanalamiento se incrementa debido a que la distancia entre las partículas es más distanciado, pero el arrastre friccional total permanece igual al peso efectivo de la partícula. Si la velocidad del fluido se incrementa sobre su valor mínimo, las partículas son soportadas libremente en el fluido y el lecho en este punto está en la fluidización (Fig. 10.1b). La fluidización de sólidos en un medio gaseoso, debido a la gran diferencia de densidades entre el fluido y el sólido, se mantiene uniforme para veloci-dades de fluidización bajas, pero el sistema es inestable para velocidades de gas elevado, bajo estas condiciones el sistema se maneja como un líqui-do en ebullición y este estado es denominado como “lecho en ebullición” (Fig. 10.1c).

Fig. 10.1: Comportamiento del lecho Fluidizado.

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10.2.2 FRACCIÓN DE VACÍOS.- Para el lecho de partículas sueltas o flojas (lecho fijo) la fracción de vacíos o la porosidad (volumen no ocupado por los sólidos) es:

relleno

partícula

VV

−= 10ε (10.2)

ó despreciando la densidad del fluido (gas) en comparación con la densidad del sólido, es:

partícula

relleno

ρρε −= 10 (10.3)

Para el lecho fluidizado la altura mínima de fluidización es:

mfmf hh

εε

−−

=11 0

0 (10.4)

donde: ho y hmf son las alturas del lecho fijo y del lecho en estado fluidiza-do.

10.2.3 CAIDA DE PRESIÓN EN UN LECHO FLUIDIZADO.- La caída de presión en (Pascal) un lecho fluidizado, a partir de la relación entre la fuerza (en Newtons) que ejerce la masa del sólido en el lecho so-bre el área de la sección transversal (en m2), es igual a:

Agm

P lflf =Δ (10.5)

En donde la masa del sólido en el lecho fluidizado, lfm , es igual al produc-

to del volumen del lecho )( lfAh y la fracción de sólidos (1 – lfε ) por la

densidad neta de los sólidos )( gS ρρ − , Remplazando en la ecuación anterior, tenemos:

ghP gSlflflf ))(1( ρρε −−=Δ (10.6) La caída de presión para la velocidad mínima de fluidización será:

ghP gSmfmfmf ))(1( ρρε −−=Δ (10.7)

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10.2.4 VELOCIDAD MÍNIMA DE FLUIDIZACIÓN.- La pérdida por fricción en lechos rellenos esta expresada por la ecuación de Ergun:

PfP dghv

gdvhHf 3

2

23

2 )1(75,1)1(150ε

ερε

με −+

−=

La caída de presión, en Pascales, en un lecho fluidizado bajo condiciones ó

32 Re)1(150Re75,1 mfpmfp Arεε =−+ (10.9)

donde: 2

3 )(y Re

μρρρ

μρ gd

Arvd gsgpgmfp

p

−==

Para determinar la velocidad mínima de fluidización se resuelve la ecuación (10.9) en términos del número de Reynolds y de este se despeja la veloci-dad. EJEMPLO 10.1: Se pasa aire a 20 ºC (μ = 0,0185*10-3 Kg/m-s) hacia arriba a través de un lecho (2 m. de alto, 0,5 m D.I.; 4,00 =ε ; )44,0=mfε de piedra caliza

( 3/ 2900 ; 2 mKgmmd sp == ρ ). Que presión de aire a la entrada se necesita para fluidizar los sólidos (presión de salida = 101,3 kPa)?. Solución:

3/ 293,1)3,101 ,º0( mKgkPaCaire =ρ .

Kg/m 1,205293273 293,1)3,101 ,º20( 3==kPaCaireρ

La caída de presión y la altura para alcanzar la fluidización mínima es:

ghP gSmfmfmf ))(1( ρρε −−=Δ en N/m2

mf

mf hhεε

−−

=11 0

0

reemplazando los datos se obtiene:

PaPmf 34045)8,9)(205,12900)(44,01)(14,2( =−−=Δ

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BIBLIOGRAFIA ANEXOS