37946166 mecanica de fluidos con aplicaciones en labview resumen

Mecnica de Fluidos con aplicaciones en LabVIEW

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Profesor del Departamento Acadmico de

Ingeniera Qumica de la Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco. CUSCO PERU

2010

Wilber Pinares Gamarra. ________________________________________________________________

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INDICE ANALITICO

Prlogo

ix

Cap. 1: CONCEPTOS Y DEFINICIONES BASICAS1.1. Concepto General de Fluidos. 1.2. Propiedades de los Fluidos. 1.3. Regmenes de Flujo 1.4. Ley de la Viscosidad de Newton. 1.5. Esttica de los Fluidos. 1.5.1 Ecuacin Fundamental. 1.5.2 La Presin y sus Propiedades. 1.6. Manometra. 1.7. Cambios de Presin causado por la Traslacin de Masas Lquidas 1.8. Cambios de Presin causado por la Rotacin de Masas Lquidas. 1 1 5 6 17 17 19 21 29 36

Cap. 2: OPERACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES CON VECTORES. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Gradiente de un campo escalar. Divergencia de Un Campo Vectorial. Rotacional de un Campo Vectorial. Integral de Vectores. 49 54 57 58

Cap. 3: CONSERVACION DE LA MASA 3.1. Campo de Velocidades.. 3.1.1. Mtodo de Euler. 3.1.2. Mtodo de Lagrange. 3.2. Campo de Aceleraciones. 3.3. Balance de Masa: Mtodo Diferencial. 3.4. Balance de Masa: Mtodo Integral. 63 63 64 67 73 80


3 93 95 96

________________________________________________________________ 3.5. Perfil de Velocidades para Flujo Laminar. 3.6. Velocidad Media. 3.7. Distribucin Universal de Velocidades.

Cap. 4: CONSERVACION DE LA ENERGIA 4.1. Balance de Energa Global en un Sistema Abierto. 4.2. Balance de Energa Mecnica a partir del Balance Global de Energa. 4.3. Balance de Energa Mecnica a partir de la Ecuacin de Euler. 4.4. Potencia para el Transporte de los Fluidos. Cap. 5: CONSERVACION DEL MOMENTO 5.1. Conservacin del Momento: Mtodo Diferencial. 5.1.1. En Funcin de las Tensiones Cortantes. 5.1.2. En Funcin de los Gradientes de Velocidad. 5.2. Balance de Cantidad de Movimiento: Mtodo Integral. 5.3. Aplicaciones a casos Particulares. 5.3.1. Codos. 5.3.2. Placas o Alabes. 5.3.3. Toberas. 5.3.4. Cohetes. 5.3.5. Jet. 5.3.6. Bomba de Fluido. 5.3.7. Turbinas. 141 141 144 151 153 153 163 176 177 178 179 181 117 127 128 131

Cap. 6: FLUJO DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES 6.1. Perdida de carga 6.1.1.1. Prdida de Carga en una Tubera. 6.1.1.2. Prdida de carga en accesorios. 6.2. Dimetro Equivalente. 6.3. Factor de Friccin para Fluidos Newtonianos. 6.4. Factor de Friccin para Fluidos no Newtonianos. 6.4.1. Factor de friccin Plsticos de Bingham 6.4.2. Factor de friccin fluidos de La ley de La potencia 6.5. Prdida de Carga en Sistemas de Tuberas. 6.5.1. Sistema de tuberas en serie. 6.5.2. Sistema de tuberas en paralelo. 6.5.3. Sistema de tuberas ramificadas. 6.5.4. Sistemas de tuberas en redes o mallas.

211 212 213 216 235 235 236 243 243 244 245 245.


4

Cap. 7: FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES 7.1. Condiciones Isotrmicas. 7.1.1. Sin prdidas por friccin. 7.1.2. Con prdidas por friccin. A. En trminos de las presiones B. En trminos del nmero de Mach 7.1.3. Velocidad mxima en conducto circular Condiciones Isotrmicas. 7.2. Condiciones Adiabticas. 7.2.1. Sin prdidas por friccin (isentrpicas) A. Velocidad mxima de descarga bajo condiciones Isentrpicas. B. Tiempo de descarga critica o sonica bajo Condiciones isentrpicas. 7.2.2. Con prdidas por friccin (Adiabticas e Irreversibles). A. En trminos de las presiones. B. En trminos del nmero de Mach. 7.2.3. Velocidad mxima en conducto circular bajo Condiciones Adiabticas. 7.3. Flujo Isentrpico y Adiabtico a Travs de Conductos de Area Variable. 7.3.1. Velocidad de gases a travs de una tobera, bajo condiciones Isentrpicas. 7.3.2. Ondas de Choque Normal. 7.4. Sistemas de tuberas para fluidos compresibles 260 260 261 261 281 284 290 290 295 299 307 308 312 313 332 333 336 347

Cap. 8: EQUIPOS Y ACCESORIOS PARA EL TRANSPORTE DE FLUIDOS 8.1. Bombas. 8.2. Clasificacin. 8.2.1. Bombas Centrfugas. 8.2.2. Curvas Caractersticas de las Bombas Centrfugas. 8.2.3. Curva del Sistema y Punto de Operacin. 8.2.4. Instalacin de Bombas. A. Bombas en Serie. B. Bombas en Paralelo. 8.2.5. Cavitacin y Golpe de Ariete de una Bomba. 8.2.6. Leyes de Semejanza de las Bombas. 8.2.7. Seleccin de las bombas centrifugas 8.2.8. Bombas de Desplazamiento Positivo. 357 357 358 358 359 360 360 362 371 378 378 380


5 382 382 387 387 388 389 390 390

________________________________________________________________ 8.3. Medidores de Flujo. 8.3.1. Medidores de Orificio. 8.3.2. Toberas. 8.3.3. Tubo de Venturi. 8.3.4. Tubo de Pitot. 8.3.5. Medidor Magntico de Flujo. 8.3.6. Medidor de Turbina. 8.4. Vlvulas.

Cap. 9: FILTRACION 9.1. Ecuacin de Ergun a travs de medios porosos 9.2. Cada de Presin a travs del medio poroso. 9.3. Filtracin a Cada de Presin Constante. 9.4. Filtracin a Flujo Volumtrico Constante. 397 403 407 407

Cap. 10: FLUIDIZACION 10.1. Comportamiento del Lecho Fluidizado. 10.2. Dinmica del Lecho Fluidizado. 10.2.1. Forma y Tamao de las Partculas. 10.2.2. Fraccin de Vacos. 10.2.3. Cada de Presin en un Lecho Fluidizado. 10.2.4. Velocidad Mnima de Fluidizacin. 413 414 414 415 415 416 417

ANEXOS


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CAP 1: CONCEPTOS Y DEFINICIONES BASICAS.1.1 CONCEPTO GENERAL DE FLUIDOS.Los fluidos tienden a fluir espontneamente. Deben ser almacenados en contenedores para prevenir su movimiento hacia otros lugares, en contraste con los slidos que no necesitan ser almacenados. El volumen de los lquidos es conservado cuando es transportado de un lugar a otro, pero los gases siempre se expanden para llenar el depsito, debido al movimiento libre de sus molculas. Los fluidos no tienen la habilidad de mantener una forma independiente de sus alrededores. Esta propiedad de los fluidos es una consecuencia directa de su incapacidad de sus fuerzas intermoleculares para mantener una orientacin angular de sus molculas con respecto a otras. Las molculas de los fluidos que estn cercanas unas a otras en un instante pueden moverse de un lugar a otro con relativa facilidad. Muchos fluidos son mezclas de especies qumicas, tal como el aire el cual es compuesto por nitrgeno, oxgeno y trazas de otros componentes. Los lquidos pueden ser soluciones de soluto disuelto en un solvente, tal como el agua de mar.

1.2 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS.Densidad.- La densidad de un fluido es la relacin de la masa de un fluido en un elemento fluido a su volumen. Al identificarse un elemento fluido como un volumen infinitesimal, la densidad puede ser considerado como una funcin continua de la posicin dentro del campo fluido. La ecuacin que lo representa es la siguiente:

=

m kg V m3

(1.1)

La densidad de un fluido afecta su flujo en dos formas. Primero, cuando est sujeta a una fuerza, determina la inercia de una unidad de volumen del fluido y de aqu su aceleracin. Los fluidos de densidad baja, tales como los gases, aceleran ms rpidamente que los fluidos de densidades elevadas, como los lquidos. As, los fluidos de densidad baja como el aire requieren menos fuerza por unidad de volumen para acelerar que los fluidos de densidad elevada, como el agua. Por esta razn es ms difcil caminar por el agua que en el aire. En forma similar, la fuerza de gravedad por unidad de volumen es determinado por la densidad del fluido. Se requiere ms trabajo para impulsar un volumen de agua que volumen igual de gas.


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________________________________________________________________ La densidad de un lquido es una funcin de su temperatura y presin. Bajo presin constante, a medida que la temperatura se incrementa su densidad disminuye, debido a que la masa constante del fluido se expande con el incremento de la temperatura. Bajo temperatura constante, cuando la presin se incrementa la densidad crece. En gases, estos cambios son ms acentuados que para lquidos. La densidad para gases, asumiendo comportamiento ideal (presin atmosfrica o cerca de ella) PV = nRT , es igual a:

=

P P ( pm) = R 'T RT

(1.2)

Donde: P = Presin (Pa) V = Volumen (m3 ) T = Temperatura (K) R = Constante Universal de los gases,

R' = R /( pm)

m3 Pa K kmol J kJ m 3 kPa R = 8.314 = = K gmol K kmol K kmol lts Atm R = 0,082 K gmol Btu cal R = 1,987 0 = R lbmol K gmol pie 3 psia R = 10,73 R lbmol kWh R = 5,83 * 10 4 R lbmol Hph R = 7,82 * 10 4 R lbmol R = 8314La densidad para gases, asumiendo comportamiento real PV = ZnRT , es igual a:

=

P P ( pm) = ZRT ZR 'T

(1.3)


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tarse en una, dos o ms fases. Cuando se transporta en una fase, se dice que el sistema es homogneo (gas o lquido) y si se transporta en dos o ms fases se dice que el sistema es heterogneo (aire + partculas de carbn). Estable o estacionario (permanente) e Inestable o transitorio: El flujo de los fluidos se considera estable o estacionario cuando la velocidad, densidad, temperatura y/o concentracin (en un volumen de control) permanece constante a lo largo del tiempo. Caso contrario, se denomina inestable cuando las variables, arriba mencionadas, varan como una funcin del tiempo. Newtoniano y No Newtoniano: Los fluidos pueden comportarse de acuerdo a la ley de Newton de la Viscosidad o tener otro comportamiento como el de Pseudoplasticos, etc. Isentrpico: De acuerdo a la termodinmica, significa que no hay cambio de entropa, es decir s = 0. Isotrmico: El fluido puede circular bajo condiciones isotrmicas, es decir que este, se mantiene a temperatura constante. Adiabtico: Los fluidos que se transportan en tuberas pueden adquirir energa del medio que los rodea o cederlas a esta. Cuando esta energa es igual a cero, q = 0 , se dice que el proceso de transporte es adiabtico.

Subsnico, snico y supersnico: Los fluidos pueden alcanzar las velocidades del sonido (Ma = 1, crtico), velocidades mayores de la velocidad del sonido (Ma > 1; supersnicos) velocidades menores del sonido (Ma < 1; subsnicos).

1.4 LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON.Considerar dos placas paralelas de rea A, separadas con distancia Yo, ver Fig 1.1. El espacio entre las placas esta lleno de un fluido, la placa inferior permanece fija y la superior libre. Sobre la placa superior acta una fuerza F constante, haciendo desplazar a una velocidad Vo, Se asume que el fluido esta dividido en placas infinitesimales de espesor dy paralelas a las placas. Por lo que, la capa de fluido en contacto con la placa mvil tiene la misma velocidad Vo y la capa de fluido en contacto con la laca fija se mantiene en reposo. Las capas del fluido intermedias se desplazan unas sobre las otras.


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________________________________________________________________ (b) Como en el caso anterior los valores de To y o son 300 y 2,27E-05 respectivamente. Acomodando los datos experimentales y empleando los mnimos cuadrados del error, el resultado es el siguiente:

2,27 E 055.00E-05 4.50E-05 4.00E-05 3.50E-05 viscosidad, Pa-s 3.00E-05 2.50E-05 2.00E-05 1.50E-05 1.00E-05 5.00E-06 0.00E+00 0

=

(Ti / 300)1,5 (442,83) (Ti + 142,83)

0.5

1

1.5 T/To

2

2.5

3

1.5 ESTATICA DE FLUIDOSUn fluido esttico es aquel que no se mueve, por ejemplo; agua almacenada en un reservorio, gasolina en un tanque de combustible, propano bajo presin en un baln de gas. Las fuerzas que actan sobre estos fluidos se mantienen en balance y no realizan movimiento.

1.5.1. ECUACION FUNDAMENTAL.Para determinar la ecuacin fundamental de la esttica de los fluidos, consideremos un elemento de estudio de volumen infinitesimal dx, dy, dz, en coordenadas cartesianas, sujeta a dos tipos de fuerzas tal como se muestra en la Fig. 1.3. La primera, conocida como esfuerzo o tensin (en ingles como stress) que depende de la posicin de una molcula a la superficie (conocida como presin) y del movimiento relativo de estas molculas (esfuerzo viscoso).


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Como el elemento en estudio se encuentra en reposo el esfuerzo se debe nicamente a la accin de la presin. Si a este elemento en estudio se aplica el concepto de fuerza (presin por rea) en cada una de las caras del volumen infinitesimal, obtenemos el siguiente esquema:

Fig. 1.3: Fuerzas debido a la presin en un volumen infinitesimal.

La presin esta expresado en Pascal (N/m2) y el diferencial de rea (ejm dydz) en m2, de donde la fuerza resultante del producto presin por rea esta expresado en Newtons (N). La suma de fuerzas, perpendiculares al rea, de un lquido en reposo en cada una de las direcciones es igual a la fuerza que entra menos la fuerza que sale, as:

FFy

x

= Pdydz (P +

P x

dx )dydz = P dxdydz x

(1.12a)

= Pdxdz P + P dy dxdz gdxdydz = P dxdydz gdxdydz (1.12b) y yz

(

)

F

= Pdxdy (P + P dz )dxdy = P dxdydz z z

(1.12c)

De donde, la suma total de las fuerzas debido a la presin y la gravedad estar expresado por:

F = F + F + F F = ( + + )dxdydz gdxdydzT x y z T P x P y P z

(1.13)


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Fig. 1.4: Esquema de la relacin entre las presiones atmosfrica, relativa y absoluta

La presin media normal, conocida como atmsfera estandar, a 0 C y en el nivel del mar es de: 1 Atmsfera 1,033 kgf/cm2 760 mm de Hg. 10,33 m de H2O 14,7 lbf/plg2 101,3 kPa 1,0 bar

1.6. MANOMETRIA.Conocido tambin como medida de las presiones, pueden determinarse por medio de: Tubos piezomtricos, que son tubos transparentes de vidrio o plstico, econmico y de gran presicin. Se emplean para medir presiones relativamente pequeas. El fluido manomtrico es el mismo fluido que circula por la tubera, por eso la denominacin de altura de columna de fluido. Si el fluido que circula es agua la lectura se realiza en metros o centmetros de columna de agua; si el fluido es aceite la lectura se realiza en metros o en centmetros de columna de aceite.

Manmetros de lquido en U.- Al igual que el piezmetro sirven para medir la presin relativa. Estos medidores de presin emplean gran variedad de lquidos manomtricos como mercurio, agua, alcohol, glicerina etc. que, son


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1.7 CAMBIOS DE PRESION CAUSADO POR LA TRASLACION DE MASAS LIQUIDAS.- Hasta el momento se ha consideradoque el nivel del fluido se encontraba en reposo para el calculo de las presiones o que poda estar en movimiento uniforme sin ninguna aceleracin. Sin embargo cuando el fluido se encuentra en depsitos y estos en movimiento se observa que el lquido va tomando una cierta inclinacin que depende de la aceleracin del sistema. El movimiento de traslacin de las masas lquidas puede realizarse en forma horizontal o vertical. Para su estudio supondremos a un recipiente con cierta cantidad de liquido que se mueve con movimiento de traslacin hacia arriba en un plano inclinado con una aceleracin constante a (Fig. 1.5). Durante el movimiento se forman los planos de presin constante, paralelas entre si, formando un ngulo de inclinacin . Si realizamos el estudio de fuerzas sobre una partcula A observaremos que se encuentra en equilibrio. Las fuerzas que intervienen son; la fuerza de la presin Fp normal a la superficie libre, el peso W (W =mg) de la partcula y la fuerza de la aceleracin que acta sobre la partcula del fluido, tal como se muestra en la figura 1.5:

Fig. 1.5: Diagrama vectorial de traslacin de masas lquidas.

Del diagrama vectorial: En la direccin x:

Fx = Fp cos(90 ) Fx = 0Fx = Fp cos(90 ) = Fpsen

En la direccin y:

Fy = Fpsen(90 ) W Fy = 0Fy + W = Fpsen(90 ) = Fp cos


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1.8. CAMBIOS DE PRESION CAUSADO POR LA ROTACION DE MASAS LIQUIDASSupongamos un recipiente cilndrico, vertical, que esta lleno de un lquido hasta cierta altura; si se hace girar dicho cilindro alrededor del eje vertical con una velocidad angular, la superficie libre del lquido cambiara, formndose los perfiles de presin constante de forma parablica, tal como se muestra en la figura 1.6:

Fig. 1.6: Diagrama vectorial de rotacin de masas lquidas.

El estudio de la partcula A, diagrama vectorial, muestra el equilibrio. En la direccin x, la fuerza centrfuga es igual al componente en la direccin x de la fuerza de la presin. En la direccin y, el componente de la fuerza de la presin es igual al peso, as: Direccin x:

( Fp) cos(90 ) = mac ( Fp) sen = macDireccin y:

Fx = Fp cos(90 ) + Fc = 0

Fy = ( Fp)sen(90 ) W = 0( Fp) sen(90 ) = W ( Fp) cos = mg

Dividiendo las ecuaciones anteriores:

tan =

dy r 2 = dr g

(1.27)


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Integrando:


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PARTE II: DINAMICA DE LOS FLUIDOS CAP 2: OPERACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES CON VECTORESMuchos autores sobre la mecnica de fluidos emplean los vectores en la explicacin del movimiento de los fluidos. La posicin, velocidad y aceleracin de una partcula fluida, as como las fuerzas que actan sobre este son cantidades vectoriales. El balance de la masa, momento y energa de una partcula fluida son expresados utilizando las formas vectoriales El operador diferencial denominado NABLA ha sido definido en coordenadas cartesianas por la ecuacin (1.15) como:

=i

+ j + k , (longitud)-1 x y z

Tiene componentes igual que un vector, no puede estar solo sino que ha de operar sobre una funcin escalar, vectorial o tensorial.

2.1 GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR.Si P es un campo escalar, el gradiente de P estar expresado por un vector, ecuacin (1.16):

P = GradP = i

P P P + j +k z x y

Para la operacin del gradiente es preciso tener en cuenta las siguientes propiedades: 1.- P P 2.3.4.5.-

(P)Q ( PQ) ( P + Q ) = P + Q ( PQ) = PQ + QP

(P) = P


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2.2 DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIALSi el vector v es una funcin de las variables espaciales x, y, z puede formarse un producto vectorial con el operador nabla :

v = ivx + jv y + kvz=i + j +k z x y v = (i + j + k ) (ivx + jv y + kvz ) x y z v y vz v v = x + + x y z

(2.1)

Las propiedades del operador divergente son: 1.- v v 2.3.4.5.-

( P v) (P v) (v + u ) = v + u ( u ) = ( ) u + ( u ) (vxu ) = u (xv) v (xu )

Interpretacin.- Si la diferencial de volumen de un fluido sufre un estiramiento ouna compresin paralela a los ejes coordenados, entonces la variacin del volumen V = xyz, es:

dV dx dy dz = yz + xz + xy dt dt dt dt

si x = y = z = 1dV dx dy dz (A) = + + dt dt dt dt


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2.3 ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIALEl rotacional de una funcin vectorial denotado por

xv , es el vector:(2.3)

i x v = x vx

j y vy

k ( v z ) ( v y ) i (v z ) ( v z ) j + z z x = y z vz (v y ) (v x ) k x y

Anlogo a la divergencia cumple la propiedad distributiva, pero no la conmutativa ni la asociativa. Otras propiedades son: 1.2.3.4.-

x ( f + g ) = x f + x g x( f ) = ( ) x f + (x f ) x( f x g ) = f ( g ) g ( f ) + ( g ) f ( f ) g x( ) = 0

Interpretacin.- Supongamos que un fluido rota alrededor de un eje quepasa por el origen, tal como se muestra en la Fig-2.2, con una velocidad angular constante. La velocidad lineal en un punto r (x,y,z) es:

Fig. 2.2: Rotacional de un campo vectorial.

v = x r ; por lo tanto el rotor ser igual a:

xv = x( x r )


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2.4 INTEGRAL DE VECTORES.En la mecnica de fluidos a veces es conveniente expresar las leyes de la conservacin en la forma integral. Hay tres tipos de integrales usados para este propsito: Integrales de lnea, rea y volumen. Existen relaciones entre las integrales de lnea superficie y volumen de ciertas cantidades vectoriales. A.- TEOREMA DE GAUSS. Para una funcin escalar a cualquiera, la ecuacin vectorial conocida como teorema de Gauss es igual a:

V a(dV ) = S an(dS )mento de superficie por dS. El vector superficie S.

(2.4)

Donde el elemento de volumen es designado por dV (dx, dy, dz) y el ele-

n

es el vector normal unitario a la

B.- TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. Para una funcin vectorial A cualquiera, la ecuacin escalar conocida como teorema de la divergencia es igual a.

V A(dV ) = S A n(dS )

(2.5)

C.- TEOREMA DE STOKES. Es una ecuacin escalar que relaciona las integrales de lnea y de superficie:

S n (xA)dS = c A dcAqu (dc) es el elemento vector lnea de la curva cerrada C y normal unitario a la superficie S encerrado por la curva C.

(2.6)

n es el vector

En la mecnica de fluidos algunos ejemplos del uso de las ecuaciones anteriores son: la fuerza neta causada por la presin sobre un elemento de fluido:

( P)ndV . Ecuacin equivalente a la Ec.(1.13).Y el eflujo neto a travs de una superficie imaginaria dado por:

v ndS


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CAP 3: CONSERVACION DE LA MASA3.1 CAMPO DE VELOCIDADES.El estudio del movimiento de las partculas, que origina el campo de velocidades, en la dinmica de los fluidos se realiza desde dos puntos de vista, uno conocido como el mtodo de Euler y el otro como el mtodo de Lagrange 3.1.1 METODO DE EULER.- Consiste en fijar las coordenadas o el punto (X, Y, Z) a travs del cual pasaran un rosario continuo de partculas en distintas direcciones. Significa que el observador (0) se mantiene en una posicin fija a una distancia r del punto por donde pasan las partculas en estudio. La velocidad de las partculas del fluido v es una funcin de la posicin r y el tiempo t ;

v = vx i + v y j + vz k = f (r , t ) ; r = X i + Y j + Z k

En el Mtodo Euleriano otras variables fsicas de inters, tales como la presin y la densidad son considerados como funcin de la posicin y del tiempo, tal como se muestra en la figura 3.1:

Fig. 3.1: Mtodo de Euler

Como un ejemplo consideremos la velocidad de cambio de la densidad de una partcula fluida que esta ubicada en la posicin r al tiempo t. Durante el intervalo de tiempo dt, la partcula se mueve una cantidad

d r = vdt . El incremento total de la Ecuacin Ecuacin conocida como la derivada sustancial. 3.1.2 METODO DE LAGRANGE.- Significa que para estudiar una partcula del fluido, se debe de seguir a dicha partcula en su movimiento. Esto significa que X, Y, Z no permanecern constantes sino que variarn de for-


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________________________________________________________________ ma continua, dando en cada instante la posicin de la partcula, tal como se muestra en la figura 3.2:

X = f1 ( x, y, z , t ) Y = f 2 ( x, y , z , t ) Z = f 3 ( x, y , z , t )

Fig. 3.2: Mtodo de Lagrange.

Donde las velocidades en cada una de las direcciones son funciones del espacio y del tiempo. Recordando que las variables de flujo de inters son la velocidad, densidad, presin etc.

X = f [ x(t ), y (t ), z (t ), t ] t Y = f [ x(t ), y (t ), z (t ), t ] vY = t Z vZ = = f [ x(t ), y (t ), z (t ), t ] t vX =La trayectoria de una partcula se le conoce como lnea de corriente. Las lneas de corriente nunca se intersecan unas con otras porque, en cualquier punto, solamente puede haber una direccin de la velocidad. Un infinito nmero de lneas de corriente representa a un campo de flujo. La tangente en cada punto a lo largo de la lnea de corriente y en cualquier instante de tiempo t es la velocidad


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3.2 CAMPO DE ACELERACIONES.Por definicin se conoce que la aceleracin es igual a la variacin de la velocidad como una funcin del tiempo. Para el estudio de una partcula de fluido, en un campo de aceleraciones, se emplea el mtodo de Lagrange. Por lo tanto la aceleracin se expresa as:

a=

dv( x, y, z , t ) v dx v dy v dz v = x dt + y dt + z dt + t dt v v v Dv v = vx x + v y y + vz z + t Dt (3.2a)

a=

Donde al primer miembro del lado derecho de la aceleracin se le conoce como la Aceleracin de transporte o Aceleracin convectiva y al segundo miembro se le conoce como la Aceleracin local. En forma vectorial:

Dv v + v v = Dt t

(

)

(3.2b)

Las ecuaciones escalares correspondientes a la aceleracin, en el sistema cartesiano son:

v v v v a x = vx x + v y x + vz x + x x z t y v y v y v y v y a y = vx x + v y y + vz z + t v v v v az = vx z + v y z + vz z + z x y z t

(3.3a)

(3.3b)

(3.3c)

Si el movimiento de la partcula de fluido se realiza bajo condiciones estacionarias, el segundo componente de la aceleracin es igual a cero, as:

3.3 BALANCE DE MASA: METODO DIFERENCIAL.


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________________________________________________________________ Para obtener la ecuacin de continuidad por el mtodo diferencial aplicaremos el balance de masa a un elemento diferencial de volumen (dx,dy,dz) de un fluido que se encuentra en movimiento, tal como se muestra en la Fig.3.3: El balance de masa, sin reaccin qumica, esta definido por la expresin general: [flujo que entra] [flujo que sale] = [acumulacin] (3.5)

Efectuando la diferencia de las ecuaciones del flujo de masa que entra y el flujo de masa que sale, obtenemos:

Fig. 3.3: Volumen de control para la ecuacin de continuidad.

x : vx (dydz ) [ vx + x ( vx )dx]dydz = x ( vx )dxdydz (3.6a)y : v y (dxdz ) [ v y + y ( v y )dy ]dxdz = y ( v y )dxdydz (3.6b)

z : vz (dxdy) [ vz + z ( vz )dz ]dxdy = z ( vz )dxdydzla acumulacin es igual a:

(3.6c)

(dxdydz) . Reemplazando en la ecuacin t

general se tiene la expresin de la ecuacin de continuidad, as:

D + ( v) = 0 Dt


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3.4 BALANCE DE MASA: METODO INTEGRALPara aplicar el principio de la conservacin de la masa en un sistema, se elige un elemento diferencial de estudio representativo del sistema, cuyo volumen es denominado volumen de control (VC) y es limitado por la superficie de control (SC). Si a travs de la superficie de control se hace circular un fluido, tal como se muestra en la Fig-3.4: El balance de masa para el sistema en estudio se expresar como:

dm = (v n)dA + dV dt t VC sistema sc

(3.14)

La ecuacin 3.14 indica que la variacin de la masa, del sistema en estudio, como una funcin del tiempo es igual al eflujo neto de masa a travs de la superficie de control ms la variacin del cambio de masa para un volumen de control.

Fig. 3.4: Volumen de control.

El sistema es el universo en el que cualquier variacin de la masa en el volumen de control no le afecta, es decir que la masa en el sistema permanece constante. Entonces la ecuacin (3.14) se expresa como:

(v n)dA + t dV = 0sc VC

(3.15a)


25

________________________________________________________________

(v n)dA = t dVsc VC

(3.15b)

La ecuacin (3.15b), aplicable a sistemas continuos, discontinuos, significa que el eflujo neto de masa a travs de la superficie de control es igual a la disminucin de la masa que ocupa el volumen de control por unidad de tiempo. Para los sistemas continuos, si el volumen de control en estudio permanece constante, no hay acumulacin de la masa (m/t) = 0, es decir que si el volumen V es constante, entonces (/t) = 0. A este fluido se le conoce como permanente. Luego, la ecuacin de la conservacin de la masa queda expresada como:

(v n)dA = 0sc

(3.16a)

Para un fluido de densidad constante o incompresible:

(v n)dA = 0sc

(3.16b)

Aplicando la ecuacin anterior a un fluido que circula en una seccin tubular, obtenemos:

(v n)dA = (v1sc

1

1

n)dA1 + 2 (v 2 n)dA2 = 02

1v1 A1 cos180 + 2v2 A2 cos 0 = 0 1v1 A1 = 2v2 A2Para un fluido incompresible = constante, por lo tanto la ecuacin se reduce a la conservacin de volumen o ecuacin de continuidad. EJEMPLO 3.13: Acumulacin de fluido. El flujo volumtrico de la alimentacin (agua) hacia el depsito cnico, Q1, se mantiene constante. El flujo volumtrico Q2 de la descarga es una funcin de la raz cuadrada de la altura h e igual a depsito se encuentra vaco.

h . En el tiempo inicial, el


26

(a) Hallar la ecuacin diferencial que determine la variacin de la altura de agua en el depsito por unidad de tiempo. (b) Realice un programa en LabVIEW para la solucin de la ecuacin resultante. Muestre el efecto de la variacin del flujo volumtrico y de la constante alfa en el rango de 1 a 10, sobre la altura del lquido en el depsito. SOLUCION: (b) Un programa en LabVIEW nos permite mostrar lo siguiente: Manteniendo constante los valores de D, H, ho, en 2, 6 y 4 m respectivamente; Q1 en 0,1 m3/s, en 0,05. La altura del lquido permanece constante en 4m, esto es as porque el flujo volumtrico de entrada es exactamente igual al flujo volumtrico de salida.

Ligeros cambios en la altura inicial incrementa o disminuye la altura del fluido en el tanque hasta alcanzar su estabilidad en 4 m.


27

________________________________________________________________

Si se disminuye el flujo volumtrico hasta 0,024 m3/s, manteniendo constante las otras condiciones, el nivel del fluido disminuye hasta alcanzar una estabilidad, sin embargo la disminucin del flujo hasta 0,022 m3/s el comportamiento del nivel del fluido se mantienen en una condicin de cuasi estabilidad.


28

Si se incrementa la constante hasta 0,17, manteniendo constante las otras condiciones, el nivel del fluido disminuye hasta alcanzar la estabilidad en una altura de 0,5 m. y un tiempo de 40 s. A mayores valores de el comportamiento es inestable o descarga total.

EJEMPLO 3.19: Desarrollo de una ecuacin que describe el proceso.


29

________________________________________________________________ Los tanques de almacenamiento intermedios son empleados entre unidades de proceso qumico para la transferencia de corrientes de gas. Considerar el tanque de la figura donde F1 y F2 son los flujos molares de entrada y salida que varan de acuerdo a la siguiente expresin:

Fi = K i (P) i(a) Desarrollar un modelo que describa la variacin de la presin en el tanque con el tiempo, en funcin de las presiones en las corrientes de entrada P1 y salida P2, volumen y temperatura. (b) Solucionar el modelo resultante mediante las transformadas de Laplace. (c) Realice un programa en LabVIEW para la solucin de la ecuacin resultante. Muestre el efecto de la variacin de las presiones 1 y 2 y el cambio de la temperatura sobre la presin en el tanque. SOLUCION: (c) La solucin de la ecuacin diferencial resultante en (a), mediante la programacin en LabVIEW es la siguiente:

Para un volumen y temperatura constante de 25 lt y 300 K, cuando las presiones de entrada, inicial y descarga se mantienen en 15, 1 y 0,7 atm., respectivamente; la presin en el tanque alcanza el nuevo estado estacionario en 8 atm, y en un tiempo de 175 s.


30

EJEMPLO 3.20: Balance en Reactores CSTR en serie. Los reactores continuos de tanque perfectamente agitado (CSTR) en serie, son empleados en la industria de proceso qumico para reacciones en fase lquida. Si, en el sistema mostrado en la figura, se efecta una reaccin de primer orden ( rA = kC A ; kmol/m3-s) de acuerdo a A B . Desarrollar: (a) Las ecuaciones diferenciales del modelo matemtico que describa la variacin de la concentracin de A y B en los reactores 1 y 2. (b) Presentar una solucin de las ecuaciones anteriores para las condiciones de CAo = 1 kmol/m3, Q0 = 0,08 m3/s, QR = 0,02 m3/s, k = 0,06 s-1, vare los volmenes V1 y V2, para las condiciones optimas de la concentracin en la salida del tanque 2, mediante la programacin en LabVIEW. SOLUCION: (b) Solucin de las ecuaciones diferenciales mediante LabVIEW:


31

________________________________________________________________

Las ecuaciones A, B, C y D son las ecuaciones del modelo que describen la variacin de las concentraciones CA1, CB1, CA2 y CB2, como una funcin del tiempo. La solucin de estas ecuaciones efectuada, mediante mtodos numricos, con la programacin en LabVIEW permite modificar los parmetros que intervienen en la reaccin, obtenindose en forma grafica los resultados de la concentracin como una funcin del tiempo. El estudio de estos parmetros permite, inclusive, determinar el resultado ptimo de las concentraciones sin necesidad de efectuar clculos matemticos muy complicados.

3.5 PERFIL DE VELOCIDADES PARA FLUJO LAMINARConsideremos que el lquido que fluye en rgimen laminar, en un conducto circular, es incompresible, unidimensional y en estado estacionario y que se comporta de acuerdo a la ley de potencia. Del balance de fuerzas en el elemento de volumen de control, que se muestra en la Fig. 3.5, encontramos que: EJEMPLO 3.26: Variacin de la altura en un tanque.


32

Se alimenta agua a un tanque cilndrico con un flujo volumtrico constante, Q1 m3/s. El tanque tiene un tubo en la base, a travs del que se descarga el agua, con flujo equivalente a Q2=k(h)0,5 . La seccin transversal del tanque es A y su altura H. Encuentre: (a) La ecuacin diferencial de h en funcin del tiempo. (b) La solucin matemtica mediante Laplace, suponiendo que h = H, cuando t = 0. (c) La simulacin dinmica empleando mtodos numricos con la programacin en LabVIEW. SOLUCION: (c) La simulacin dinmica de la ecuacin de h(t) en el dominio del tiempo, empleando la Programacin en LabVIEW, muestra los siguientes resultados:

EJEMPLO 3.30: Ecuacin de continuidad en sistema de tuberas. Determinar el flujo volumtrico y la velocidad media con que circula el agua en cada una de las tuberas. El flujo volumtrico de alimentacin es de 30


33

________________________________________________________________ lt/s, asuma que la densidad se mantiene constante y equivalente a 1000 kg/m3, los dimetros internos de las tuberas son iguales a 10 cm. SOLUCION


34

CAP 4: CONSERVACION DE LA ENERGIA4.1 BALANCE DE ENERGIA GLOBAL EN UN SISTEMA ABIERTO.Consideremos inicialmente a un elemento diferencial de volumen como sistema de estudio, para quien el balance de energa global es igual a:

DE Dt

SISTEMA

= e (v n)dA +SC

edV t VC

(4.1)

Esta ecuacin es conocida con el nombre de Transporte de Reynolds, nos indica que la derivada sustancial de la energa es igual al eflujo neto de energa a travs de la superficie de control, ms la velocidad de cambio de la energa dentro del volumen de control en el mismo momento. Si el sistema global de energa permanece constante, la ecuacin se establece como:

SC

e (v n)dA = t edVVC

(4.2a)

Indica que bajo condiciones de estado no estacionario, el eflujo neto de la energa es igual a la variacin de la energa en el interior del volumen de control. Para un sistema abierto, con admisin y/o eliminacin de energa, la ecuacin del balance de la energa en estado no estacionario se escribe como:

e (v n)dA = SC

edV q W t VC

(4.2b)

Ahora consideremos a un sistema estacionario, en el que no existe variacin de la velocidad de la energa dentro del volumen de control. La superficie de control para el balance de energa es permeable, es decir, que existe energa adicionada o eliminada del sistema como trabajo de eje o calor. La ecuacin del balance de energa global, en el sistema de la Fig 4.1, se escribe como:

dP

+ vdv + gdz + f D

v2 dx = Q'W s' 2D

(4.10)


35

________________________________________________________________ EJEMPLO 4.1: Variacin de la temperatura en un tanque discontinuo. Para el tanque de calentamiento discontinuo, sin prdidas de calor (aislado), que se encuentra perfectamente mezclado, mostrar: (a) La ecuacin diferencial que muestre la variacin de la temperatura como una funcin del tiempo. (b) La solucin numrica mediante LabVIEW. SOLUCION: (b) Empleando la programacin con LabVIEW se presenta la solucin en modo grafico de los resultados, as:

EJEMPLO 4.3: Variacin de la temperatura en un tanque con chaqueta de calentamiento. El tanque que se muestra en la figura utiliza como sistema de calentamiento una chaqueta de vapor con temperatura Tv y flujo constante. El coeficiente y 2 rea de transferencia de calor para la chaqueta es igual a U (Kcal/m -K-s) y A (m2) Los flujos de alimentacin y descarga son continuos, se encuentra perfectamente mezclado. El volumen y la temperatura iniciales en el tanque son iguales a Vo y To respectivamente. La temperatura de alimentacin, T1, se mantiene constante. (c) Efecte un programa en LabVIEW para la simulacin en forma dinmica de los efectos de flujo y temperatura de alimentacin, coeficiente global de transmisin de calor sobre la temperatura a la salida del tanque. Muestre la (c) Mediante la programacin con LabVIEW


36

4.2 BALANCE DE ENERGA MECNICA A PARTIR DEL BALANCE GLOBAL DE ENERGA.Los fluidos incompresibles son los que mantienen su densidad constante o sufren pequeos cambios con la presin. Los lquidos generalmente son considerados como fluidos incompresibles o de volumen constante. Los gases bajo presin atmosfrica o bajo pequeos cambios de presin tambin son considerados incompresibles. Si consideramos a un fluido incompresible que circula a travs de la tubera bajo condiciones de estado estable, sin transporte de energa del sistema o hacia el sistema, sin trabajo de eje y unidireccional, tal como se muestra en la Fig. 4.3, el balance de energa global (Ec. 4.10) se convierte en el BALANCE DE ENERGIA MECANICA conocida tambin como la ECUACIN DE BERNOULLI y se expresa as:

dP

+ vdv + gdz + f D

energa v2 dx = 0 ; masa 2D

(4.11a)

Integrando de 1 a 2:


37

________________________________________________________________

v v 1 P vz v + vx z + v y z + vz z = z t x y z

(4.16c)

Como el elemento diferencial en estudio se encuentra esttico, entonces (vx = vy = vz = 0). Multiplicando las ecuaciones (4.16) por las derivadas dx, dy dz respectivamente, obtendremos:

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (4.17) y sabiendo que vx = dx/dt , vy =dy/dt, vz=dz/dt . Obtendremos:

dvx P dx = dx dt x dv y P dy = dy gdy y dt P dvz dz = dz z dt

(4.17a) (4.17b) (4.17c)

(v x dv x + v y dv y + vz dv z ) =

P P P dx + dy + dz gdy (4.18) x y z

Diferenciando el primer miembro de la ecuacin y sabiendo que la derivada total de P es igual: dP = P dx + P dy + P dz y reemplazando en (4.18), x y z tendremos:

dP

+ vdv + gdy = 0

(4.19)

Integrando entre los lmites 1 y 2 de acuerdo a la fig.4.3, y dividiendo la ecuacin resultante entre g (si altura y = z) se obtiene la ECUACIN DE BERNOULLI sin prdida por friccin en metros de columna de fluido:2 P2 v2 P v12 1 + + z1 = + + z2 g 2 g g 2 g

(4.20)

4.4 POTENCIA PARA EL TRANSPORTE DE LOS FLUIDOSLas bombas, compresores, soplantes y ventiladores son los equipos que se emplean para hacer que los fluidos (que pueden ser lquidos, gases o slidos fluidizados) circulen por los tubos para ser transportados de un lugar a otro. EJEMPLO 4.7: Potencia requerida por una bomba.


38

El agua de un gran depsito, abierto a la atmsfera como se muestra en la Fig., es bombeada y expulsada en forma de chorro libre mediante boquillas intercambiables desde 0,01 hasta 0,08 m, de dimetro interno. (a) Cul es la potencia en Hp requerido por la bomba, para cada boquilla, para lanzar el fluido una distancia mxima de 10,2 m.? (b) Cual es la altura, longitud mxima y flujo volumtrico para cada boquilla, si la potencia de la bomba es de 2 Hp?

SOLUCION:

4.4.2 PARA GASES: COMPRESORES.Asumiendo que el comportamiento del gas es ideal y que la compresin es isentrpica, el trabajo del compresor (en energa por unidad de masa) efectuado sobre el gas se obtiene a partir de la ecuacin del balance global de


39

________________________________________________________________ energa Ec. (4.10), despreciando las prdidas por friccin y la energa potencial:

dP

+ vdv = W s' ; considerando que = 1 P P1

!/ k

WC ,ideal = ES EE WC ,ideal P k = R' T1 2 P1 k 1 k 1 k

(4.25)

v2 v2 1 + 2 1 2 2

(4.26)

Si la velocidad en la entrada es igual a la velocidad a la salida, el trabajo del compresor en energa por unidad de masa, ser:k 1 k P P2 k 1 1 = k 1 1 P 1 k 1 P2 k k 1 = R 'T1 P k 1 1

WC , Ideal

(4.27)

WC , Ideal

(4.28)

La potencia, en energa por unidad de tiempo, para un flujo de masa gas que circula por el compresor, ser:

m de(4.29)

PC , Ideal

k 1 P2 k k = m R' T1 1 P k 1 1

La potencia del compresor para N etapas de compresin, en energa por unidad de tiempo:

PC , Ideal

k 1 Nk P2 Nk 1 m R'T1 = P k 1 1

(4.30

Para la conversin de la potencia en Hp se emplea la equivalencia de: Joule/s = 1 watt; 1,341 Hp.= 1 kw El trabajo real o trabajo actual del compresor se determina, al igual que en el caso de las bombas, por la divisin del trabajo ideal o el cambio de entalpa ideal bajo las condiciones de entrada y salida del gas como se observa en la Fig. 4.4 y la eficiencia del compresor:


40

EJEMPLO 4.8: Clculo de la potencia de un compresor de una y tres etapas. Un flujo de gas metano de 1 kg/s., se desea comprimir desde una presin de 10 000 Pa con una temperatura de alimentacin de 100 C a 100 000 Pa, Calcular: a.- La temperatura de salida bajo condiciones isentrpicas y adiabticas e irreversibles ( Adiab = 0,75 ) y la potencia del compresor de una sola etapa. Grafique en el diagrama P-H. b.- La potencia del compresor de tres etapas. c.- Grafique en el diagrama P-H, las etapas de compresin mostrando las presiones intermedias. SOLUCION: Del anexo 9: k (metano) = 1,315 a) A partir de la ecuacin (4.28) de trabajo del compresor:k 1 k P2 k 1 R ' T1 = P k 1 1

W C , Ideal

Fig. E-4.8a


41

________________________________________________________________

Fig. E-4.8b


42

CAP. 5: CONSERVACION DEL MOMENTOLa conservacin del momento o cantidad de movimiento es un concepto fundamental en la mecnica de fluidos conjuntamente con la conservacin de la energa y la conservacin de la masa. El momento es simplemente la masa de un objeto multiplicado por la velocidad del objeto. El momento es una cantidad vectorial que tiene magnitud y direccin.

5.1 CONSERVACION DEL MOMENTO: METODO DIFERENCIAL.La ecuacin de la conservacin del momento en forma vectorial puede expresarse asumiendo tensiones cortantes (considerando y variables) o en funcin de los gradientes de velocidad con y constantes (flujo Newtoniano). 5.1.1. EN FUNCION DE LAS TENSIONES CORTANTES: En forma general, el balance de cantidad de movimiento para un elemento diferencial de volumen se expresa de acuerdo a: Veloc. de Veloc. de entrada Veloc. de salida Suma de las fuerzas de cantidad de de cantidad de + que actuan sobre el = acumulacin de cantidad de movimiento movimiento sistema movimiento

(5.1)

La cantidad de movimiento de entrada y salida o eflujo neto de cantidad de movimiento se debe al flujo global del fluido (conveccin) y a los gradientes de velocidad (transporte molecular), tal como se muestra en las siguientes figuras:

Fig 5.1: Elemento de fluido que muestra el balance de cantidad de movimiento porConveccin en la direccin x


43

________________________________________________________________

Dv = P + g Dt

(5.10b)

La ecuacin de EULER, bajo condiciones de estado estacionario en las direcciones x,y,z: x: y:

v xv y

P g y y y v z P z: v = z z z =EJEMPLO 5.1: Determinacin del perfil de velocidades en placa inclinada. Un fluido con flujo laminar en estado estable fluye por un plano inclinado, cuyo ngulo con la horizontal es en una regin de longitud L, suficientemente alejada de los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no estn incluidas. Determnese el perfil de velocidades dentro de una capa lquida de espesor , as como la velocidad mxima en la superficie libre, cuando: a.- El fluido es Newtoniano con y constantes. b.- El fluido es de densidad constante y la viscosidad vara de la siguiente forma:

v y

v x P = x x

= 0e

( )

y

Donde 0 es la viscosidad en la superficie de la pelcula y es una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar y. SOLUCION: a.- Empleando la ecuacin (5.13.a) de NAVIER STOKES para el componente de la cantidad de movimiento en la direccin x:.


44

2v vx P 2v 2v v v v + 2x + 2x + 2z + g x (A) + vx x + v y x + vz x = x x y z x y z t

Las componentes de la velocidad vz = vy = 0, es decir, no existe movimiento en las direcciones y i z. Por lo tanto la ecuacin anterior (A) se reduce a:

2v v P 2v 2v vx + vx x = + 2x + 2x + 2z + g x x x z x y t

(B)

Por la ecuacin de continuidad:

vx v y vz + + =0 x y z

Se reduce a:

vx =0 y x

2vx =0 x 2

Como el fluido fluye bajo condiciones estacionarias, entonces la velocidad no es funcin del tiempo. Adems, no existe variacin de la velocidad en la direccin z, es decir:

vx =0 t

;

vx =0 z

;

2vx =0 z 2

El componente del peso por unidad de volumen, del fluido, en la direccin x es igual a: g x = gsen No hay variacin de la presin en la direccin x, porque se considera que no existe variacin en un mismo plano (segunda propiedad de la presin).

P =0 xLa ecuacin (B) se reduce a:

2vx + g sen = 0 2 y

g sen d vx ; integrando y = dy v y

vx vx g sen g sen d y = dy ; y = y 0 0 y


45

________________________________________________________________ EJEMPLO 5.2: Determinacin de la distribucin de cantidad de movimiento y velocidades a travs de tubos concntricos. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a travs de la regin comprendida entre dos cilindros circulares coaxiales de radios kR y R. Obtener la distribucin de densidad de flujo de cantidad de movimiento y la distribucin de velocidad a travs de los dos tubos concntricos. SOLUCION: La ecuacin de la cantidad de movimiento en coordenadas cilndricas en la direccin z esta dada por:

v v v v p 1 1 z zz vz + g z + + vr z + z + vz z = (r rz ) + r r r z z r r z t

Al igual que en el problema anterior, consideraremos que no hay variacin de la velocidad como una funcin del tiempo en la direccin z (estado estacionario), que no hay velocidad en la direccin r y (movimiento unidireccional), que la variacin de la velocidad en la direccin z es igual a cero (por continuidad) y que solamente existe el esfuerzo cortante en la direccin z perpendicular a r es decir rz , la accin del peso del fluido y la cada de presin en z. Por lo tanto la ecuacin se reduce a:

P 1 p (r rz ) = ( g z ) = r r z z1 P P (r rz ) = 2 1 r r Lr

Integrando: rz

P P2 1 d (r rz ) = L Rrdr 0 P P2 r 2 R 1 R r 2L R(A)

rz =

A partir de la segunda ley de Newton de la viscosidad:


46

5.2 BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: METODO INTEGRAL.El momento es una cantidad vectorial igual al producto de la masa por la velocidad, as: PM = mv (5.14) Derivando el momento en funcin del tiempo, manteniendo la masa constante, se obtiene:

dPM dv =m dt dtEmpleando la segunda ley de Newton:

(5.15)

F = ma = m dt F =dPM dt

dv

(5.16)

Igualando ambas expresiones Ec.(5.15) y Ec. (5.16): (5.17)

En donde, la velocidad de cambio de momento o cantidad de movimiento en un sistema, es igual a la suma de todas las fuerzas que actan sobre dicho sistema y su direccin es el de la fuerza neta resultante. La ecuacin de la conservacin del momento, aplicado a un sistema de estudio o volumen de control inercial, fijo en el espacio con referencia al sistema de coordenadas x,y,z; se obtiene a partir de la ecuacin del balance de masa en forma integral, Ec.(3.14), multiplicando cada uno de sus miembros por la velocidad, as:

dm = dt sistema dPM dtsistema

(v n)dA + t dVSC VC SC

= v(v n)dA +

vdV t VC

(5.18)

Puesto que esta ecuacin es vectorial, podremos escribir las ecuaciones escalares para las direcciones x, y, z; como se muestra a continuacin:


47

________________________________________________________________ EJEMPLO 5.15: Fuerza que se ejerce sobre una paleta mvil. Un chorro de glicerina ( GE = 1,2) de 4 cm. de dimetro se desva un ngulo de 60 por medio de una paleta simple. La velocidad del chorro es de 10 m/s. Determnese la fuerza total que acta sobre la paleta, cuando: a) La paleta se desplaza a 3 m/s. acercndose a la tobera en la direccin del chorro de entrada. b) La paleta se desplaza a 2 m/s., alejndose de la tobera y a su vez esta se desplaza a 1 m/s., alejndose de la paleta. SOLUCION: a) vr = v + up vr = 10 + 3 = 13 m/s La velocidad relativa del fluido (vr ), a la entrada del volumen de control es igual a la velocidad relativa del fluido a la salida. Tiene una magnitud igual a (vuput), donde: v = velocidad absoluta del fluido up = velocidad de la paleta ut = velocidad de la tobera vr = velocidad relativa. EN LA DIRECCION x:: Fuerzas S. y M.: Cantidad de Movimiento:

FRx = Rx

FRx =

vrx (vr n)dA = vrx1 (v r1 n)dA1 + vrx 2 (v r 2 n)dA2SC 1 2

vrx1 = vr ;

v r1 n = v r1 cos 180 = v r; v r 2 n = vr 2 cos 0 = vr; en N.

vrx 2 = v r cos2 r

FRx = vr A1 (vr ) + (vr cos )vr A2FRx = v A(1 cos ) ;

Fuerzas S. y M. = Cantidad de Movimiento:

Rx = vr2 A(1 cos ) K x = Av r2 (1 cos 60)kg K x = (1,2)(1000 m3 )( )(0,04) 2 (13 m ) 2 (1 0,5) = 127,4 N 4 s


48

EJEMPLO 5.21: Potencia mxima de una turbina ideal. En la figura siguiente se muestra una turbina de impulso ideal. a) Demostrar que la potencia de esta turbina es mxima cuando la velocidad tangencial u de sus paletas, es v/2 donde v es la velocidad del chorro. b) Grafique el perfil de la potencia de la turbina en funcin de la velocidad tangencial si la velocidad y el dimetro del chorro es de 20 m/s y 2 cm respectivamente. El fluido es agua y el ngulo es de 30. SOLUCION: a) Fuerzas S. y M.:

FRx = Rx

A partir de la ecuacin de la cantidad de movimiento para flujo permanente en trminos de la velocidad relativa y en la direccin x, se encuentra que:

FRx = v rx1 (v r1 n)dA1 + v rx 2 (v r 2 n)dA21 2

FRx

v r1 n = v r1 cos 180 = v r1 v rx 2 = v r 2 cos ; v r 2 n = v r 2 cos 0 = v r 2 = v r1 A1 (v r1 ) v r 2 cos v r 2 A2 en N.

v rx1 = v r1 ;

Por la ecuacin de continuidad:

Qr = v r1 A1 = v r 2 A2 FRx = v r ( Qr )(1 + cos )

Fuerzas S. y M. = Cantidad de Movimiento

R x = vr ( Qr )(1 + cos ) K x = (v u )( Av r )(1 + cos )La potencia del alabe Palb esta definida por la siguiente ecuacin: Palb =Kx*u a partir del cual:Palb = (v u )( Avr )(1 + cos )u La Potencia de la turbina es mayor que la potencia del alabe, e igual a:


49

________________________________________________________________

CAP. 6 FLUJO DE FLUIDOS INCOMPRESIBLESEn este captulo estudiaremos a los fluidos Newtonianos y no Newtonianos incompresibles. Se determinara la prdida de carga durante el transporte o movimiento en una tubera, en un sistema de tuberas o en diversos equipos. Como fluidos incompresibles se consideran a los lquidos, quienes no cambian su densidad apreciablemente por efectos de los cambios de presin.

6.1. PERDIDA DE CARGA.Durante el transporte de los fluidos a travs de sistemas de tuberas o a travs de equipos de proceso, la energa inicial disminuye durante su recorrido. Esta disminucin de energa es conocida como perdidas de carga.

6.1.1. PERDIDA DE CARGA EN UNA TUBERIA. A partir de la ecuacin (3.19), la distribucin de velocidades a travs de una tubera en rgimen laminar, estacionario y para fluido Newtoniano (n = 1) viene dado por la siguiente expresin:

r 2 v = vMax 1 R De la ecuacin (3.22) de HAGEN-POISEVILLE, la velocidad media en trminos de la diferencia de presiones est dado por:

vmed = 1 vMax = 2

P 2 R 8 L

vmed =

P 2 D 32L

Despejando la cada de presin y dividiendo ambos miembros de la ecuacin resultante entre (g), se tiene:

P 32 Lvmed = g D 2 g

(6.1)

Multiplicando y dividiendo por velocidad media (de aqu en adelante la velocidad media ser expresado como v) , encontramos:

6.3 FACTOR DE FRICCION PARA FLUIDOS NEWTONIANOS:


50

A partir de los Diagramas de Moody: Si se conoce la velocidad del fluido que circula por una tubera, el clculo del factor de friccin es una funcin del nmero de Reynolds (Re) y el cociente de rugosidad (/D), entonces:

f D (Re, e / D)El diagrama de Moody de la Fig 6.1 se divide en cuatro zonas: laminar, transicin, parcialmente turbulento y totalmente turbulento. La zona laminar es la parte extrema de la izquierda, en esta zona el fluido se mueve a velocidades bajas y el factor de friccin es fuertemente dependiente de la velocidad del flujo y definido por:

fD =

La zona totalmente turbulenta es la parte extrema de la derecha donde las lneas se hacen horizontales. En esta zona de alta velocidad el fluido fluye en completa turbulencia y el factor de friccin no muestra dependencia con la velocidad del flujo, tal como se observa en la ecuacin de Karman y Prandtl (6.13). Observe que el factor de friccin es nicamente funcin de la rugosidad y que una tubera ideal sin rugosidad (lisa) nunca llega a esta zona.

64 Re

Fig 6.1: Factor de friccin de Darcy vs. Nmero de Reynolds EJEMPLO 6.3: Clculo del flujo volumtrico a travs de la tubera. Una tubera (e = 0,048 cm) de 60 cm de dimetro interno y 1200 m de longitud, transporta un aceite ( = 3,3 *10-6 m2/s y DR = 0,85) desde A a B.


51

________________________________________________________________ Las presiones en A y B son 392 y 137 kpa., respectivamente. El punto B esta situado 20 m. por encima de A. (a) Calcular el flujo volumtrico que circula a travs de la tubera. (b) Mediante la programacin en LabVIEW muestre la variacin de flujos que puede circular por la tubera y la potencia de la bomba como una funcin de los cambios de presin en A. SOLUCION: (b) La Fig.E6.3b del panel frontal de la programacin en LabVIEW muestra el efecto de los cambios de presin en A sobre el flujo volumtrico (Q) y la potencia en Hp de la bomba. Adicionalmente permite observar los efectos en el flujo volumtrico y potencia de bomba cuando se efectan cambios en el dimetro interno de tubera, rugosidad, longitud de tubera, etc.

Fig. E6.3b

EJEMPLO 6.5: Clculo de la cada de presin en un intercambiador de tubo y coraza. El intercambiador de calor de tubo y coraza consta de 187 tubos, de acero (e = 0.02 cm.), cuyo dimetro externo es de18 x 2 mm (dimetro de la tubera y espesor) y la longitud es de 1.9m. La coraza est hecha de un tubo de 426x12 mm de dimetro (dimetro externo y espesor). Por el espacio intertubular paralelamente a los ejes de los tubos pasan 3 000 Nm3/h de nitrgeno (condiciones normales). La descarga del fluido se efecta bajo presin atmosfrica y la temperatura promedio se considera de 10C. El dimetro de las tomas de entrada y salida es de 250mm. (a) Determinar la presin de alimentacin y la prdida de carga en el espacio nter tubular (coraza).


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(b) Repetir el calculo anterior mediante un programa en LabVIEW SOLUCION: (b) La Fig. E6.5b obtenido mediante la programacin en LabVIEW, muestra los siguientes resultados: La presin de alimentacin es igual a 719,83 kPa y la prdida de carga en el intercambiador es de 10095,5 m. La diferencia se debe a que en el clculo mediante labVIEW se ha despreciado las prdidas menores.

Fig. E6.5b Se deja al lector demostrar que el espesor del intercambiador para la presin de operacin es suficiente, caso contrario seleccione uno nuevo. Asuma que el material del intercambiador es de acero inoxidable 316.

EJEMPLO 6.8: Clculo del dimetro ptimo econmico. (a) Determinar el dimetro ptimo econmico de la tubera para transportar 10 lt/s de gasolina ( = 760 kg/m3 ; 20C = 0,0006 Pas) a una distancia de 3 km., y a una altura de 50 m.; la descarga es atmosfrica. El rendimiento de la bomba junto con el motor elctrico es del 75%. El precio de la energa elctrica es de 0,04 $ por kw-h. La amortizacin de la tubera constituye (b) Realizar un programa en LabVIEW que calcule el factor de friccin fD y muestre la variacin del Costo Total como una funcin del dimetro de la tubera. SOLUCION


53

________________________________________________________________ (b) La Fig. E6.8b, muestra el resultado grafico y numrico del dimetro optimo econmico.

Fig. E6.8b

6.4 FACTOR DE FICCION PARA FLUIDOS NO NEWTONIANOS.6.4.1 FACTOR DE FRICCION - PLASTICOS DE BINGHAM

En la ecuacin de Darcy-Weisbach:

Hf = f D

L v2 D 2g

El factor de friccin de Darcy es una funcin del nmero de Reynolds (Re) y del nmero de Hedstrom (He).

f D = f (Re, He)Donde el nmero de Hedstrom esta definido por:

He =

o D2 2

(6.21)

Donde: 0 = N/m2 = Pa


54

D = m. = kg/m3 = Pas El nmero de Hedstrom es igual a cero para fluidos Newtonianos. El ANEXO 7 muestra la relacin entre los nmeros de Re y He para determinar el factor de friccin. Algunos valores del esfuerzo cortante en (N/m2 ) para fluidos no Newtonianos se muestra en el siguiente cuadro: Fluido Salsa de Tomate (30C) Mostaza (30C) Mayonesa (30C) Plomo (20C) Hierro y aceros (20C)

0 (N/m2 )14 38 85 1,3x107 7 20-50x10

6.4.2 FACTOR DE FRICCION - FLUIDOS DE LA LEY DE POTENCIA. En la ecuacin de Darcy-Weisbach:

Hf = f D

L v2 D 2g

el Factor de Friccin de Darcy es una funcin del nmero de Reynolds generalizado y probablemente de la rugosidad.

f D = f (Re gen , n)El nmero de Reynolds generalizado est expresado por:

Re gen =

D n v 2 n 4n 8n 1 K 1 + 3n

n

(6.22)

6.5 PERDIDA DE CARGA EN SISTEMAS DE TUBERIAS.Los sistemas de tuberas que se presentan con frecuencia en los procesos de flujo son los conocidos como: en serie, paralelo, mixto y ramificados. Estos sistemas seran estudiados en el transporte de fluidos incompresibles y el transporte de fluidos compresibles


55

________________________________________________________________ 6.5.1 SISTEMA DE TUBERIAS EN SERIE: El caudal total es igual al caudal que circula por cada una de las tuberas:

QT = Q1 = Q2 = Q3

(6.24)

La prdida de carga y de presin en el sistema es igual a la suma de las prdidas individuales:

HfT = Hf1 + Hf 2 + Hf3 PT = P + P2 + P3 1

(6.25a) (6.25b)

SECUENCIA DE CLCULO: Condiciones: Se conoce el caudal total que circula, cantidad, dimensiones de las tuberas y el tipo de fluido que circula. No se conoce la prdida total de carga HfT de la tubera. 1.- Calcular Factor de friccin para la tubera 1 por el siguiente procedimiento: v1 Re1 /D1 fD1 ( De Moody Ecuaciones ) 2.- Calcular Prdida de carga Hf1 de la Ec. De Darcy:

Hf1 = f D1

L1 v12 D1 2 g

3.- Repetir los pasos 1 al 2 para todas las tuberas y se conocer la sumatoria de las prdidas individuales:

H fT = H fi

6.5.2 SISTEMA DE TUBERIAS EN PARALELO: EJEMPLO 6.14: Calculo del caudal en tuberas en serie. Se conectan en serie dos tuberas lisas, para transportar agua a 15C ( = 1,14*10-3 Pa-s); de 0,15 y 0,10 m. de dimetro interno respectivamente, cuyos ejes estn en el mismo plano horizontal. La tubera de 0,10 m., tiene 20 m de longitud y termina en un depsito en el que el nivel del agua se encuentra 4 m por encima del eje de la tubera. Una toma piezomtrica en la tubera de 0,15 m, situada a 20 metros aguas arriba de la unin con la otra


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tubera sirve de conexin a un manmetro que marca una presin de 2,5 atm. (a)Calcular el caudal que circula por las tuberas en serie en forma analtica y mediante programacin en LabVIEW. (b) Efectuar un programa en LabVIEW de tal modo que permita la seleccin de las longitudes, dimetros de las tuberas y el calculo del caudal que circula por el sistema. (b1) Si se modifica la longitud de las tuberas hasta 200 metros, manteniendo las dems condiciones, cual ser el nuevo caudal? (b2) Si se modifica los dimetros internos a 0,20 y 0,15 m. respectivamente, manteniendo las dems condiciones, cual ser el nuevo caudal?. (b3) Si se modifica la presin inicial a 200 kPa manteniendo las dems condiciones, cual ser el nuevo caudal? SOLUCION: Los clculos anteriores han sido programados en LabVIEW y el panel frontal muestra el resultado final.

Como se observa el flujo volumtrico calculado es de 0,086 m3/s. (b) El panel frontal de LabVIEW se presenta a continuacin: (b1) Modificacin de la longitud de las tuberas:


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________________________________________________________________

(b2) Modificacin de los dimetros internos:

(b3) Modificacin de la presin inicial:


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59

________________________________________________________________

CAP. 7 FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLESEn este captulo estudiaremos a los fluidos compresibles, se determinara la prdida de carga durante el transporte o movimiento en una tubera, en un sistema de tuberas o en diversos equipos. En el desarrollo de la ecuacin de Bernoulli, para fluidos incompresibles, la densidad y la presin estn relacionados uno a otro en diferentes puntos y a lo largo de la lnea de corriente. Para flujos compresibles no debe usarse la ecuacin de Bernoulli, porque la densidad no es una constante a lo largo de la lnea de flujo, es ms, este es una funcin de la presin. Por lo tanto, se incorpora los principios termodinmicos para explicar como la energa interna contribuye al movimiento de los fluidos. La relacin de presin y densidad para diferentes condiciones son las siguientes:

Pven = const Donde:

P / n = constP1 P2 = T1 T2

n = ; (isocrico), volumen constante:

n = 1; (Isotrmico), temperatura constante:

P1ve1 = P2 ve 2 v v n = 0; (Isobrico), Presin constante. e1 = e 2 T1 T2n = k; (Isentrpico), Entropa constante.

P1vek1 = P2 vek2

Los gases que se transportan desde tanques de altas presiones a travs de orificios o conductos pequeos o a travs de grandes diferencias de presiones se consideran como fluidos compresibles. En los fluidos compresibles: la densidad, velocidad y presin cambian con la posicin. El nmero de Mach es una medida importante de los cambios de densidad para los fluidos compresibles, si Ma < 0,3 se asume comportamiento incompresible. El aire que circula por medio de ventiladores puede considerarse como fluido incompresible porque los cambios de densidad son menores al 10% (las cadas de presin son pequeas). A continuacin se estudia el movimiento de los fluidos compresibles bajo condiciones isotrmicas, isentrpicas y adiabticas e irreversibles. El siguiente esquema muestra la aplicacin en cada una de las condiciones:

7.1. CONDICIONES ISOTERMICAS.7.1.1 SIN PERDIDAS POR FRICCION ( S = 0 ).- La ecuacin (4.10),

dP

v2 + vdv + gdz + f D dx = Q'WS' , 2D


60

del balance de energa en forma diferencial, se aplica a un gas ideal que circula entre los puntos 1 y 2 a travs de una tubera horizontal de seccin circular constante y distancia L. Cuando se considera descarga de gases desde un tanque por medio de orificios o boquillas; en los que no hay transferencia de calor, trabajo de eje, sin prdidas por friccin y bajo condiciones de estado estable, se reduce a:

dP

+ vdv + gdz = 0z2

(7.1)

Integrando desde 1 hasta 2:

P2

dP

P1

+ vdv + gdz = 0v1 z1

v2

Considerando que el comportamiento del gas es ideal (nicamente para presiones bajas), la densidad esta expresado por la ecuacin (1.2)

P , reemplazando en la ecuacin (7.1) se tiene: R'T P1 v2 z2 dP P2 R'T P + v1 vdv + z1 gdz = 0

=

Como se conoce, en la descarga de tanques la energa de un gas no es fuertemente dependiente de la altura y si la tubera es horizontal el cambio de energa potencial tiende a cero (dz 0). Finalmente la ecuacin de la energa para fluidos compresibles sin considerar las prdidas por friccin quedar expresada por:

R 'T1 ln P + 1donde T1 = T2 = T Si R ' T1 =

v12 v2 = R'T1 ln P2 + 2 2 2

(7.2)

1

P1

, entonces:

Reemplazando las expresiones de las relaciones de velocidad y densidad en la ecuacin (7.7), asumiendo que la relacin de Z1/Z2 es igual a 1, obtendremos la ecuacin de la energa para fluidos compresibles bajo condiciones isotrmicas y con prdidas por friccin en trminos de las presiones:P12 Z m R ' TG 22 P 2 P L 2 1 + ln 1 + f D = 0 P P D 1 2

(7.8a)


61

________________________________________________________________P12 Z m R' TG 22 P 2 P L 2 1 ln 2 + f D = 0 P P D 1 1

(7.8b)

Consideremos como ejemplo el flujo del gas metano, bajo condiciones isotrmicas y con prdidas por friccin, a travs de una tubera de seccin constante con una densidad de flujo msico G = 5150 kg/s-m2; temperatura y presin (abs.) iniciales de 25 C y 75 x105 Pa. La siguiente tabla muestra la variacin del factor Z de compresibilidad para el metano, en funcin de la presin:P(bar) Z 75 70 65 60 50 40 30 20 10 5 1

0,86 0,868 0,875 0,883 0,90 0,918 0,937 0,957 0,978 0,989 0,998

La ecuacin 7.8 nos permite calcular la variacin del nmero adimensional fDL/D en funcin de la fraccin (1 P2/P1) de presiones. La fig. 7.2 muestra la variacin del nmero adimensional de la longitud (fL/D) en funcin de la cada de presin. El punto mximo del nmero adimensional, fL/D, es 10,33; le corresponde una fraccin ptima de las presiones, (1-P2/P1), de 0,73 y una presin P2 igual a 20,25x105 Pa.

EJEMPLO 7.1: Clculo de flujo volumtrico de un gas a travs de un conducto circular. El transporte del gas metano, desde la planta de distribucin hasta el centro de consumo, se efecta a travs de un gaseoducto de 50 cm de DI (e = 0.006 cm) y 30 km de longitud. La presin en la planta de distribucin (a la entrada de la tubera) es de 2 MPa y llega al centro de consumo (city gate) con una presin de 1 MPa. La temperatura a travs de la lnea puede estimarse en 25C.


62

e) Si el flujo msico del gas que circula bajo las condiciones de (a) se mantiene constante, muestre grficamente la variacin de la cada de presin a lo largo de tuberas de dimetros internos de: 50, 40, 30 y 20 cm. f) El consumo de gas, bajo las condiciones de (a), se incrementar en un 50% debido a la instalacin de una Planta de fertilizantes, que emplea gas CH4 como materia prima. Sin alterar la presin inicial y final, se desea instalar un lazo (loop) de igual dimetro con origen en el punto de entrada, para satisfacer la demanda total de gas. Calcular la longitud de la tubera instalada y la presin de encuentro.

SOLUCION: La Fig. E7-1(e) muestra la variacin del % de la cada de presin en funcin de la longitud para las tuberas de; 50, 40, 30 y 20 cm de dimetro interno y las condiciones de (a Como se observa en la Fig.E7-1(e), la tubera de 50 cm logra transportar el gas manteniendo las condiciones que se desean. En cambio las otras tuberas no logran transportar el gas hasta la distancia de 30 km.


63

________________________________________________________________

Fig. E7-1(e), variacin de la longitud en funcin del % de la cada de presin, para diferentes dimetros internos de tubera.

En el diagrama se muestra el loop y el punto de encuentro:

De acuerdo a la solucin en (a) la densidad de flujo msico del gas (G0) que circula por la tubera original es de 162,4 kg/m2-s. Para abastecer el consumo total, incluido la Planta de Fertilizantes se requiere una densidad de flujo msico equivalente a: G2 = 162,4X1,5 = 243 kg/m2s. Debido a la igualdad de los dimetros de las tuberas en paralelo (loop), en cada uno de los brazos circular un flujo equivalente a: G1 = (243/2) = 121,5 kg/m2 s. Con los datos anteriores se calcular el perfil de presiones a lo largo de la longitud de 30 km., manteniendo las presiones P1 y P2 en 2MPa y 1MPa


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respectivamente. Empleando la ecuacin (7.8), se obtiene la figura, Fig. E71(g).

Fig. E7-1(g) EJEMPLO 7.5: Clculo de longitud de tubera para caudal correcto. Con un agujero en la pared del tanque de almacenamiento (200 kPa y 25 C en el interior), la descarga de CO2 a los alrededores es 2.5 veces la deseada. Pero cuando se acopla un tubo de 1 m de largo al orificio (de igual dimetro) el caudal es un 75% del deseado. Qu longitud de tubo deber utilizarse para conseguir el caudal correcto, bajo condiciones isotrmicas?: (a) Si la presin de descarga es de 144 kPa. (b) Si la presin de descarga es de 100 kPa. SOLUCION: (b) La Fig.E7-5, muestra los resultados anteriores (delP = 28%) y adicionalmente permite efectuar clculos rpidos para diferentes condiciones de la relacin de presiones.


65

________________________________________________________________

Fig. E7.5

Para una cada de presin del 50% la longitud adimensional para Go es de:

f L = 23 ; Se conoce que L = 1, entonces: D = 23 D D L = 12,5 . De donde L = 12,5/23 = Para G1 la longitud adimensional es: f D D fD0,54 m. EJEMPLO 7.6: Clculo del dimetro y potencia de compresin para el transporte de gas. Determinar el dimetro de la tubera (e = 0,00153 cm) y la presin de salida del compresor para transportar 6000 Nm3/h (1,667 Nm3/s) de CH4 a una distancia de 10 000 m., la presin de destino no debe exceder de 10 bara. El rendimiento del compresor junto con el motor elctrico es del 60%. El compresor es adiabtico y trabaja con una presin a la entrada de 10 bara. El transporte del gas por medio de la tubera se considera isotrmico a 30 C. ( CH4 = 10810-7Pas y k = 1,3). SOLUCION: Las ecuaciones anteriores programadas en labVIEW permiten mostrar, como ejemplo, el panel frontal Fig. E7.6. Para una presin de 80 bara a la salida del compresor (considerado como presin a la entrada de la tubera) para transportar la distancia de 10 000 metros y mantener una presin de


66

salida en el extremo opuesto de la tubera de 10 bara (considerado como presin de entrada al compresor); el dimetro interno calculado, para cumplir las condiciones anteriores, es de 0,0598 m. y una potencia de compresin de 837,16 kW. Adicionalmente se muestra el clculo de la velocidad del gas a la entrada y salida de la tuberia.

Fig. E7.6: Calculo del dimetro y potencia de compresin

B. EN TERMINOS DEL NMERO DE MACH: La ecuacin del balance de energa global (4.10), considerando las prdidas por friccin y despreciando el efecto de la energa potencial se expresa como:

v

dP2

+

dv dx + fD =0 v 2D

Para expresar el balance en trminos del nmero de Mach es conveniente definir lo siguiente:El nmero de mach (Ma):

velocidad del gas Ma = velocidad del sonido en el

v = gas C

(7.15)


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________________________________________________________________ De acuerdo al valor de este nmero, la velocidad del gas es denominado como: Ma > 1 Ma = 1 Ma < 1 velocidad supersnica velocidad snica velocidad subsnica

A partir de la termodinmica, la velocidad del sonido en m/s, para un gas de comportamiento ideal se define como (en el sistema internacional):

kP C=

1/ 2

(7.16a)

En el sistema Ingles en pies/s:

g kP C= c Como

1/ 2

(7.16b)

P

= ZR ' T , entonces la velocidad del sonido C es igual a:

C = [kZR'T ]

1/ 2

(7.16c)

La modificacin del primer trmino de la ecuacin del balance de energa, es como sigue: Con los datos del ejemplo que genera la Fig. 7.2, se obtiene la Fig 7.3. Esta nos muestra la variacin del nmero adimensional fL/D vs el Nmero adimensional (1- Ma1/Ma2), empleando la ecuacin (7.17). A partir de la ecuacin (7.21) se obtiene el valor de Ma1 = 0,2337. Como se esperaba, el comportamiento es similar al de la Fig 7.2. El nmero adimensional mximo (fL/D) es de 10,338 que corresponde al nmero adimensional en trminos del nmero de Mach (1 Ma1/Ma2) de 0,7694.


68

Fig. 7.3: Variacin de (fD L/D) en funcin del nmero (1-Ma1/Ma2) bajo condiciones 5 2 isotrmicas ( T = 25C, P1 = 75 *10 Pa. y G = 5150 kg/s.m del metano).

7.1.3. VELOCIDAD MXIMA EN CONDUCTO CIRCULAR BAJO CONDICIONES ISOTERMICASPara determinar la velocidad mxima con la que circula un gas (aguas abajo) en un conducto circular de seccin constante, bajo condiciones isotrmicas, consideraremos que la variacin del nmero adimensional (mximo) en funcin del nmero de Mach en cualquier punto aguas abajo, es igual a cero. La Fig. 7.4 muestra la variacin de la longitud adimensional en funcin del nmero de Mach (aguas abajo) para la conduccin del gas. El nmero adimensional mximo es igual a 11,79 y corresponde a un nmero de Mach mximo o crtico aguas abajo, igual a 0,7686.


69

________________________________________________________________

Fig. 7.4: Variacin de fD L/D en funcin del Nmero de Mach (aguas Abajo) bajo condi6 2 ciones isotrmicas T = 25C, P1 = 7,5 *10 Pa., y G = 5150 kg/s.m del metano.

EJEMPLO 7.7: Clculo del nmero de Mach a la entrada de una tubera y longitud mxima. Gas metano (k=1,3) es transportado desde una estacin A con una presin de 2000 kPa (20 bar) a travs de una tubera con 0,40 m., de dimetro interno y 4000 m., de longitud, hasta la estacin B. La presin en B ser de 200 kPa (2 bar). Se asume que el flujo es isotrmico e igual a 27C, con factor de friccin de Darcy igual a 0,0208, Z = 0,9764 y G = 358,27 kg/m2-s. (a) Calcular el nmero de Mach a la entrada de la tubera, la velocidad y el flujo msico del gas. (b) Se produce el flujo crtico? En caso negativo Cul seria la presin de salida para que ocurra el flujo critico?, la longitud mxima? la velocidad critica? (c) Graficar el perfil de la longitud adimensional en funcin del numero de mach e indique si se logra transportar la distancia de 4000 m. (d) Que presin en la estacin A permitir alcanzar la longitud de 4000 m conservando la presin en B de 200 kPa? (e) Qu dimetro de la tubera permitir alcanzar los 4000 metros de longitud manteniendo la presin inicial en 200 kPa y G = 358,27 kg/m2-s, para una cada de presin del 70%? SOLUCION: (c) La Fig. E7.7(c), muestra el perfil de la longitud de la tubera en funcin del nmero adimensional de Mach, esta grafica se obtiene a partir de la ecuacin 7.17b.


70

Fig. E7.7(c)

Fig. E7.7(d)


71

________________________________________________________________

Fig. E7.7(e)

7.2. CONDICIONES ADIABATICAS.Una operacin de transporte de flujo es adiabtica, si no hay intercambio de calor entre el sistema en estudio y los alrededores; adems, no se realiza trabajo sobre el sistema o se extrae de el. La energa total permanece constante.

7.2.1 SIN PRDIDAS POR FRICCION (ISENTRPICAS).La descarga de gases a travs de orificios, boquillas o toberas es considerado adiabtico (gas ideal sin transferencia de calor) e isentrpico (sin prdidas por friccin, no existe la irreversibilidad), luego

P vek1 = P2vek2 donde ve es 1

el volumen especfico y su inversa es la densidad, por lo tanto:

P 1k 1

=

P2k 2

=

P

k

= constante ;1

de donde

2 P2 k = 1 P1

(7.28a)


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T2 P2 = T1 P1

k 1 k

(7.28b)

Las relaciones de densidad, presin y temperatura expresadas mediante las ecuaciones (7.28) y la ecuacin (7.32) del ratio de velocidad a la salida sobre la velocidad del sonido en 1, es graficado en funcin de la cada de presin adimensional tal como se observa en la Fig.7.5, as:

Fig.7.5: Variacin de las propiedades del fluido (aire) con la cada de presin, bajo condiciones Isentrpicas.

Cuando la cada de presin es igual a cero o la relacin de presiones (P2/P1) es igual a 1, el flujo se mantiene a la misma presin, las relaciones estudiadas (Ec. 7.28) no sufren modificaciones es decir que se mantienen constantes e iguales, tanto a la entrada como a la salida; por lo que sus relaciones son iguales a 1. En cambio la relacin de velocidades (Ec. 7.32) es igual a cero. A veces es ms conveniente emplear el nmero de Mach (Ma) en vez de la relacin de presiones (P1/P2) como una medicin de los cambios de las condiciones en un flujo isentrpico.


73

________________________________________________________________ A partir de la definicin del nmero de Mach, se obtiene la velocidad en funcin del nmero de Mach y la temperatura, as:

v 2 = Ma 2C 2 = Ma 2 (kR'T )La Fig.7.6 muestra el efecto del cambio del nmero de Mach a la salida (Ecuaciones 7.34). Asumiendo que el gas que fluye es el aire (k = 1,4) y considerando que el Mach a la entrada es igual a cero, es decir que la velocidad a la entrada (1) es despreciable o se mantiene bajo condiciones estancadas (v1 = 0).

Fig. 7.6: Variacin de las propiedades del fluido con Ma2, bajo condiciones Isentrpicas y condiciones estancadas.


74

Reemplazando en la ecuacin (7.36) la relacin critica de presiones (7.35 e), se obtiene, la velocidad mxima de descarga o salida por medio de un orificio o tobera,

k P1 k v 2, Max = 2 = 2 (R ' T1 ) k + 1 1 k +1

(7.37)

EJEMPLO 7.8: Descarga discontinua de fluidos compresibles bajo condiciones isentrpicas a travs de un orificio. Un tanque instalado a 3250 m.s.n.m., contiene aire (k=1,4) a una presin de 400 kPa y una temperatura de 25 C. Un pequeo orificio de 1 cm2 de rea, en un lado del tanque permite que el aire fluya hacia la atmsfera. Calcular: (a) el flujo msico mximo del aire (b) el tiempo de descarga bajo condiciones criticas si el volumen del tanque es de 1 m3. (c) la fuerza externa que se requiere para mantener el tanque fijo y sin movimiento. (d) Repetir los clculos de (a) y (b) mediante un programa en LabVIEW. SOLUCION:

Fig. E7.8(d)


75

________________________________________________________________

7.2.2. CON PERDIDAS POR FRICCION (ADIABATICAS E IRREVERSIBLES).La friccin introduce la irreversibilidad y causa un incremento en la entropa. Sin embargo ste no cambia el contenido de la energa y puede fluir adiabticamente. Al flujo adiabtico con prdidas por friccin tambin se le conoce con el trmino de FLUJO DE FANNO. A. EN TERMINOS DE LAS PRESIONES.- Asumiendo que el cambio de la energa potencial es despreciable, la ecuacin (4.10) se transforma en: La Fig.7.7es el panel frontal de la programacin en LabVIEW y muestra el resultado de la aplicacin de la ecuacin (7.48) al ejemplo de la pagina 250 de la conduccin del metano (T = 25C, P1 = 75 *105 Pa. y G = 5150 kg/s.m2). Puede modificarse el flujo de masa, la presin inicial, la cada de presin, el dimetro y la rugosidad de tubera, peso molecular, temperatura de alimentacin, viscosidad del gas.

Fig. 7.7: Transporte de gas bajo condiciones adiabticas e irreversibles en trminos de las presiones.

Las siguientes figuras son el resultado grafico de la programacin anterior, as:


76

Fig. 6.7a: Variacin de fD L/D en funcin del Nmero de Mach

Fig. 6.7b: Variacin de P2 en funcin de la longitud adimensional


77

________________________________________________________________

Fig. 6.7c: Variacin de T2 en funcin de la longitud adimensional

Fig. 6.7d: Variacin de la velocidad a lo largo de la longitud adimensional


78

B. EN TERMINOS DEL NMERO DE MACH.- La ecuacin del balance de la energa para un gas ideal puede ser integrada analticamente debido a que las propiedades termodinmicas son funciones simples de la presin y la temperatura. Para obtener la ecuacin del balance de energa bajo condiciones adiabticas e irreversibles, la ecuacin (4.10) se multiplica por la densidad y se divide por la presin:

Esta ecuacin se resuelve transformando las diferenciales de presin y velocidad en trminos del nmero de Mach (ver anexo N 11), dando como resultado la siguiente expresin:2 1 1 k + 1 Ma 2 y1 L + ln =0 + fD 2 2 2 D kMa 2 kMa1 2k Ma1 y 2 Trminos de compresibilidad Trminos de energa cintica

v 2 dP v + dx = 0 dv + f D P P 2 DP

(7.49)

(7.50)

Resistencia del conducto

Las relaciones de la presin, densidad, velocidad y temperatura en funcin del nmero de Mach se obtienen por integracin, tal como se muestra en el La Fig. 7.8 es el panel frontal de la programacin en LabVIEW de la ecuacin 7.50 y muestra el ejemplo de la pagina 250 de la conduccin del metano (T = 25C, P1 = 75 *105 Pa. y G = 5150 kg/s.m2), ahora bajo condiciones adiabticas y con prdidas por friccin. Puede modificarse el flujo de masa, la presin inicial, la cada de presin, el dimetro y la rugosidad de tubera, peso molecular, temperatura de alimentacin, viscosidad del gas y el nmero de mach a la salida. Las figuras 7.8a, 7.8b, 7.8c, 7.8d, 7.8e, 7.8f, muestran el comportamiento de las lneas de Fanno. Los valores crticos, para Ma2 = 1, obtenidos mediante el programa son: el de la longitud adimensional fLcrit/D = 12,42; Temperatura, T2(crit) = -38 C; Presin, P2(crit) = 13,1625 bar; Entalpa, h2 = 390191 y Cambio de Entropa = 508; cuando Ma1 = 0,2050.


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Fig. 7.8: Transporte de gas bajo condiciones adiabticas e irreversibles en trminos del nmero de Mach.

Fig. 7.8a: Variacin de fD L/D en funcin del Nmero de Mach


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Fig. 7.8b: Variacin de la temperatura a lo largo de la posicin axial.

Fig. 7.8c: Variacin de la Presin a lo largo de la posicin axial.


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Fig. 7.8d: Variacin de la entropia a lo largo de la posicin axial.

Fig. 7.8e: Variacin de la Entalpa vs. Entropa.


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Fig. 7.8f: Variacin de la Entropa vs. Nmero de Mach.


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7.3 FLUJO ISENTROPICO Y ADIABATICO A TRAVES DE CONDUCTOS DE AREA VARIABLE.Una tobera convergente-divergente puede operar en diferentes modos y depende de la relacin de las presiones de descarga o salida P2 a presin de alimentacin P1. Estos modos de operacin se ilustran en la Fig.7.9.

Fig. 7.9: Modos de operacin para toberas convergente y divergente.

Modo a: La relacin de presiones es menor a 1; la presin de salida es ligeramente superior a la presin crtica. El flujo es subsnico en la tobera y no alcanza las condiciones snicas en la garganta (Ma < 1). Sin considerar las prdidas por friccin, el flujo es isentrpico y pueden emplearse las ecuaciones 7.30 y 7.31. Si disminuimos la presin en el tanque de descarga a un nivel de b obtenemos el siguiente modo. Modo b: En la zona convergente y divergente el flujo es subsnico (Ma

37946166 mecanica de fluidos con aplicaciones en labview resumen

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