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MEC 2240 DISEÑO MECANICO

Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1

CAP. 4

DISEÑO DE MIEMBROS EN FLEXIÓN

OBJETIVOS:

Introducir al estudiante en el diseño de elementos sometidos a

tensiones de flexión y capacitarlo en el diseño de vigas a flexión.

TEMAS:

4.1. Definición de viga

4.2. Cortadura

4.3. Convención de signos para la cortadura

4.4. Diagrama de cortantes

4.5. Momento flector

4.6. Convención de signos para los momentos flectores

4.7. Diagrama de momentos flectores

4.8. Punto de contra-flexión

4.9. Relación entre fuerza cortante, momento flector y carga

distribuida

4.10. Teoría de la flexión simple

4.11. Módulo de sección

4.12. Deflexión en vigas

4.13. Tensión de cortadura en vigas

4.14. Tensiones admisibles en vigas

4.15. Deformaciones admisibles en vigas

4.16. Diseño de vigas

MEC

Doce

4.1.

2240 DISEÑ

nte: Ing. Mig

Definició

Las viga

se pued

(sujeta d

una viga

viga con

pasador.

Los mi

a sus e

ÑO MECANIC

guel A. Ruiz O

ón de una

as se clasific

e apreciar

de un lado

a en voladiz

n voladizo

.

embros lig

ejes longitu

O

Orellana

viga

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erdo a la m

uiente figura

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llaman viga

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sin apoyo

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extremo) y

otro sujeto

ndicularme

2

e, así

oyada

emo),

y una

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nte

MEC

Doce

4.2.

2240 DISEÑ

nte: Ing. Mig

El diseñ

importan

desnivel

Para el d

y los mo

las grafic

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Cortadu

ÑO MECANIC

guel A. Ruiz O

ño de las v

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O

Orellana

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esenta uno

a industria.

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r

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Normalme

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cisa es enc

aplicadas g

mínimos de

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nte todo eq

varias vigas

contrar las fu

generan. Po

la misma,

ue soporte a

más comun

quipo ubica

s.

uerzas corta

osteriormen

encontrand

a estas carg

3

nes e

ado a

antes

nte se

do de

gas.



La fuerza cortante viene como resultado de la proyección en la sección transversal de

análisis de las fuerzas solicitantes a la viga, como se puede apreciar en la figura

anterior.

De forma semejante, las fuerzas solicitantes multiplicadas por las distancias a los

planos de análisis (cortes transversales) dan como resultado los momentos flectores.

4.3 Convección de signos para la cortadura

La convección de signos a cortadura nos sugiere una regla o norma que nos guía para

la graficación de las fuerzas cortantes a lo largo de una viga.

De forma general…

La ejemplificación gráfica de lo mencionado se muestra en la figura siguiente:

En lo que se refiere a los momentos flectores, la regla de signos de estos simplemente

corrobora la de las fuerzas cortantes, por lo que se puede afirmar que:

…cuando se realiza un corte en la viga, y las fuerzas cortantes hasta la

sección de análisis tienden a llevar el tramo hacia arriba, por cuanto la

fuerza V(x) que compensa ese impulso va en dirección contraria (hacia

abajo), entonces esas fuerzas cortantes se consideran positivas.

…un momento flector se considera positivo cuando provoca la

compresión de las fibras de la viga en su parte superior.

MEC

Doce

4.4

2240 DISEÑ

nte: Ing. Mig

Diagram

Para rea

seguir lo

Ejemplo

Realizar

mostrada

ÑO MECANIC

guel A. Ruiz O

mas de Fue

alizar los dia

os siguientes

1) Obte

2) Reali

carac

aplica

suma

3) Grafi

dista

cada

4) Grafi

o 4.1

el diagram

a a continua

Ra

O

Orellana

rzas Corta

agramas de

s pasos:

ner las reac

izar un c

cterísticos

ación de n

ar las fuerza

car las fue

ncia y en e

corte.

car los mom

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ación:

L / 2

ntes y Mom

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uevas fuerz

as verticale

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rzas cortan

L

P

mentos Fle

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sistema.

sversal a

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Rb

lectores se

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ción, punto

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se punto.

as abscisas

s resultante

aciones.

tores de la

5

debe

gares

os de

ga) y

s a la

es de

a viga



Desarrollo:

Primero se calcula las reacciones:

Sumatoria de fuerzas verticales

Sumatoria de Momentos en A

de donde se obtiene:

Análisis del tramo 1:


Una vez obtenida las ecuaciones, corresponde graficar ambos tramos seguidos, para

poder obtener la gráfica completa, cada tramo se evalua con sus ecuaciones

respectivas.

Si se cuenta con auxilio de un sistema informático, se pude juntar las ecuaciones de

los dos tramos en una sola para obtener una función única.

Ra Rb+ P− 0

Rb L⋅ PL2

⋅− 0

Ra RbP2

0 x<L2

≤

V1 x( ) Ra

M1 x( ) Ra x⋅

L2

x< L≤

V2 x( ) Ra P−

M2 x( ) Ra x⋅ P xL2

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅−

M x( ) M1 x( ) 0 x<L2

≤if

M2 x( )L2

x< L≤if



Por ejemplo, si damos valores a P y L obtendremos:



V x( ) V1 x( ) 0 x<L2

≤if

V2 x( )L2

x< L≤if

P 1500kgf:=

L 1.2m:=

RaP2

:=

RbP2

:=

0 x<L2

≤

V1 x( ) Ra:=

M1 x( ) Ra x⋅:=

L2

x< L≤

V2 x( ) Ra P−( ):=

M2 x( ) Ra x⋅ P xL2

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

:=

M x( ) M1 x( ) 0 x<L2

≤if

M2 x( )L2

x< L≤if

:=

V x( ) V1 x( ) 0 x<L2

≤if

V2 x( )L2

x< L≤if

:=



Ejercicio 4.2.-

OBJETIVO

Graficar los diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes, además de

encontrar el momento flector máximo de la viga mostrada.

ANALISIS

Diagrama de Cuerpo libre.

Cálculo de las reacciones.

Análisis de momentos y cortantes por tramos.

Determinación del momento máximo.

0 0.5 1

2 103×

4 103×

Diagrama de Momentos Flectores

Longitud

Mom

ento

s

M x( )

x

0 0.5 1 1.5

1− 104×

5− 103×

5 103×

Diagrama de Fuerzas cortantes

Longitud

Fuer

zas C

orta

ntes

V x( )

x



DATOS

1 ton2 ton/m

5000.0 1000.0

[Carga distribuida]

[Carga Puntual]

Cálculo de las Reacciones

Sumatoria de fuerzas

Momentos en A

Analisis por tramos

Tramo 1

F1 1tonf:= q 2tonf

m:= qe q 6⋅ m:= L1 5m:= L2 6m:=

Ra 1N:= Rb 1N:=

Dado

Ra Rb+ qe− F1− 0

qe

L2

2⋅ F1 L2⋅+ Rb L1⋅− 0

Ra

Rb

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

Find Ra Rb, ( ) 40923.64

74730.12⎛⎜⎝

⎞⎟⎠N=:=

0 x< L1≤

V1 x( ) Ra q x⋅−:=

M1 x( ) Ra x⋅ qx

2

2⋅−:=



Tramo 2

Las funciones generales:

El momento máximo será:

L1 x< L2≤

V2 x( ) Ra q x⋅− Rb+:=

M2 x( ) Ra x⋅ qx

2

2⋅− Rb x L1−( )⋅+:=

V x( ) V1 x( ) 0 x< L1≤if

V2 x( ) L1 x< L2≤if

:=

M x( ) M1 x( ) 0 x< L1≤if

M2 x( ) L1 x< L2≤if

:=

0 2 4 6

2− 104×

2 104×

4 104×

6 104×

M x( )

x

0 2 4 6

6− 104×

2− 104×

2 104×

6 104×

V x( )

x

Ra q x⋅− 0

xM1

d

d0

xx 1mm:=



Dado

Ra q xx⋅− 0

xx Find xx( ):=

xx 2.30m=

M 2.3m( ) 47062.18N m⋅⋅=



LRa

q [C a rg a d is t r ib u id a ]

Mo

Vigas en voladizo

Las vigas en voladizo presentan un tratamiento algo especial. Por ejemplo en la figura

adjunta se muestra una viga en voladizo con carga distribuida. Si analizamos el

comportamiento de la viga, su extremo derecho

de la misma se flexionará libremente (sin

cortantes ni momentos opositores), pues no

tienen ningún soporte o apoyo que genere una

reacción opositora a la carga; sin embargo en el

extremo izquierdo, está sujetando a toda la vigas más la carga que está soportando,

por cuanto el extremo izquierdo presentará una reacción igual a toda la carga de la

viga más un momento flector opuesto al generado por la carga de esta.

Realizando su diagrama de cuerpo libre se tendrá:

Entonces para facilitar el análisis de la viga realizando cortes por tramos desde el lado

izquierdo, se tendrá que dar la vuelta al diagrama para que los momentos flectores

máximos resulten a derecha (a medida que crezca “x”), así:

LRa

q[Carga distribuida]

Mo



Ejemplo

Planteamiento del Problema

Se quiere saber a cuanto asciende las fuerzas cortantes y momentos flectores de la

viga en voladizo con carga distribuida (correspondiente a un motor mas reductor) y

una carga puntual (polea).

Objetivo

Graficar el diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores de la viga en voladizo.

Datos

Según gráfica.

Análisis

1. Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre.

2. Se obtiene las reacciones de la viga.

3. Se obtiene las ecuaciones de fuerzas cortantes y momentos flectores.

4. Se grafica las ecuaciones.

Desarrollo

Diagrama de cuerpo libre:

2.5mRa

[Carga distribuida]

Mo

Aq=30kN/m

4 kN

2.0m

2.5mRa

Mo

A4 kN

2.0m

Tramo 2

Tramo 1



Cálculo de las reacciones

Sumatoria de fuerzas verticales:

Sumatoria de Momentos:

Analisis por tramos:

tramo 1:

tramo 2:

Las funciones generales:

L1 0.5m= L2 2m= q 30kN

m= qe q 2⋅ m 60000N== F1 4kN=

v

Fv∑ 0= Ra qe− F1− 0= Ra F1 qe+= Ra 64kN=

M

Mo∑ 0=F1 2.5⋅ m qe 1⋅ m+ Ma− 0= Ma 70 kN m⋅⋅=

0m x< 0.5m≤

V1 x( ) F1=

M1 x( ) F1 x⋅=

0.5m x< 2.5m≤

V2 x( ) F1 q x 0.5m−( )⋅+=

M2 x( ) F1 x⋅q x 0.5m−( )2

⋅

2+=

V x( ) V1 x( ) 0 x< 0.5m≤if

V2 x( ) 0.5m x< 2.5m≤if

=

M x( ) M1 x( ) 0 x< 0.5m≤if

M2 x( ) 0.5m x< 2.5m≤if

=



0 1 2 3

20000

40000

60000

80000Diagrama de fuerzas cortantes

Longitud de la viga [m]

Fuer

zas c

orta

ntes

[N]

V x( )

x

0 1 2 3

2 104×

4 104×

6 104×

8 104×

Diagrama de momentos flectores


Mom

ento

s fle

ctor

es [N

*m]

M x( )

x



Vigas en Voladizo con carga variable

La resolución de este tipo de vigas, esigual que en el anterior caso, sin embargo se

debe encontrar primero la función de distribución de carga sobre la viga.

Ejercicio

Planteamiento del Problema

Se quiere conocer las ecuaciones y graficas de las fuerzas cortantes y momentos

flectores de la viga en voladizo.

Objetivo

Obtener las ecuaciones y Graficar el diagrama de fuerzas cortantes y momentos

flectores de la viga en voladizo.

Datos

Según gráfica.

Análisis

1. Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre.

2. Se obtiene las reacciones de la viga.

3. Se obtiene las ecuaciones de fuerzas cortantes y momentos flectores.

4. Se grafica las ecuaciones.

Desarrollo

Diagrama de cuerpo libre:

DATOS

La ecuación de la recta será por semejanza de triángulos:

L1 8m= q 200lbf

ft= qe q 8⋅ m 23350.24 N==

q

q(x)

L

x

q x( )

x

q

L= q x( )

q x⋅L

=



LRa

q

Mo

LRa

q

Mo

q=-200lb*pie

qo=0 lb*pie

L/3

q (x)

Tramo 1

Cálculo de las reacciones

Sumatoria de fuerzas verticales:

Sumatoria de Momentos:

v

Fv∑ 0=

Ra qe− 0= Raq L1⋅

2= Ra 11.68 kN=

M

Mo∑ 0=qe

L13

⋅ Ma− 0= Maq L1

2⋅

6= Ma 31.13 kN m⋅=



Analisis por tramos:

tramo 1:

La altura del triángulo en cualquier punto será:

0m x< L1≤ x 0m 0.1m, 8m..=

V1 x( )base altura⋅

2=

q x( )q x⋅L1

=

V1 x( ) x−q x⋅L1

12

⋅= M1 x( )q− x2

⋅

2 L1⋅

x3

⋅=

0 2 4 6 8

10000−

5000−

Diagrama de fuerzas cortantes


Fuer

zas c

orta

ntes

[N]

V1 x( )

x

0 2 4 6 8

40000−

30000−

20000−

10000−

Diagrama de momentos flectores


Mom

ento

s fle

ctor

es [N

*m]

M1 x( )

x



DISEÑO DE VIGAS

Las tensiones normales que se presentan en una viga por una solicitación cualquiera

que produzca flexión, puede resolverse por la ecuación:

Donde:

s: Tensión de flexión.

M: Momento flexionante

c: Distancia desde el eje neutro hasta el punto de análisis.

I: Momento de Inercia en el eje transversal a la carga

Normalmente se anota:

o

Por tanto, la ecuación se convierte en:

o despejando

Con ese valor de Wxx, conocido como módulo de sección, es como se elige

normalmente de tablas los perfiles para que resistan cierta solicitación.

EJERCICIO 4.5

Dadas las figuras y datos, calcular las dimensiones necesarias de la sección circular,

cuadrada y rectangular, la relación de pesos de las secciones y la tensión máxima en

el punto C que esta a 1.5m.

DATOS

σM c⋅

I

Ixxc

WxxIyyc

Wyy

σM

Wxx

WxxM

σ

q 600kgf

m:= σy 1600

kgf

cm2:= γ a 7.85

kgf

dm3:=

P 1000kgf:= L1 1.8m:= L2 1.2m:=

qe q 3⋅ m 1800 kgf⋅=:=



DESARROLLO

1) Cálculo de las reacciones:

Tramo 1

Tramo 2

1.2m

3m

P=1000kgf

q=600kgf/m

Dado

Ra Rb+ P− qe− 0

Rb 3⋅ m P 1.8⋅ m− qe 1.5⋅ m− 0

Ra

Rb

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

Find Ra Rb, ( ):=

Ra

Rb

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

12748.65

14709.98⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

N=

0 x< 1.8m≤

V1 x( ) Ra q x⋅−:=

M1 x( ) Ra x⋅q x2

⋅

2−:=

1.8m x< 3m≤



Para obtener el momento máximo derivamos M1, obteniendo

Evaluamos la ecuación en x=1.8m

El modulo de sección necesario será:

Calculamos las secciones minimas necesarias

Sección circular:

V2 x( ) Ra P− q x⋅−:=

M2 x( ) Ra x⋅ P x 1.8m−( )⋅−q x2

⋅

2−:=

x1 1.8m:=

M x( ) M1 x( ) 0 x< 1.8m≤if

M2 x( ) 1.8m x< 3m≤if

:=

M x1( ) 13415.5N m⋅⋅=

Mmax M 1.8m( ) 13415.5N m⋅⋅=:=

Wxx

Mmax

σy:=

Wxx 85.5 cm3⋅=

Wxxc

Ixx

c

π diam4⋅

64

diam2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Wxxcπ diam3

⋅

32

Wxxc Wxx:=

diam 1mm:=

Dado

Wxxcπ diam3

⋅

32



Sección cuadrada:

Sección rectangular:

diam Find diam( ) 95.5 mm⋅=:=

Wxxcu

Ixx

c

b h3⋅

12

h2

Wxxcub3

6

Wxxcu Wxx:=

b 1mm:=

Dado

Wxxcub3

6

b Find b( ) 80.05 mm⋅=:=

Wxxr

Ixx

c

b h3⋅

12

h2

Wxxrb h2

⋅

6

Wxxr Wxx:=

b1 1mm:= h 1mm:=

Dado

Wxxrb1 2 b1⋅( )2

⋅

6

b1 Find b1( ):=

b1 50.43 mm⋅=

h 2 b1⋅ 100.86 mm⋅=:=



Pesos

Circular:

Cuadrada:

Rectangular:

La tensión en el punto "C" será:

Acπ diam2

⋅

4:=

Volc Ac 3⋅ m:=

Pesc Volc γ a⋅ 168.68 kgf⋅=:=

Acu b b⋅:=

Volcu Acu 3⋅ m:=

Pescu Volcu γ a⋅ 150.92 kgf⋅=:=

Ar b1 h⋅:=

Volr Ar 3⋅ m:=

Pesr Volr γ a⋅ 119.78 kgf⋅=:=

σCM 1.5m( )

Wxx:=

σC 1491.23kgf

cm2⋅=

0 1 2 3

5 103×

1 104×

1.5 104×

M x( )

1.80.5

x



FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Cuando existen cargas elevadas cerca de los apoyos de las vigas, o cuando el

material de las vigas presenta baja resistencia a esfuerzos cortantes (por ejemplo en el

caso de la madera), además de calcular a flexión, se debe verificar a esfuerzos

cortantes.

La deducción de la ecuación de esfuerzos cortantes, considera idealizar una sección

de la viga, tal cual la figura de abajo. En esta, la sección analizada tiene un ancho “b” y

un largo “dx”. Si esta sección se encuentra en la parte superior de una viga en flexión,

sufrirá compresión de sus extremos derecho e izquierdo, por lo que para equilibrar las

fuerzas de compresión, las fuerzas producto de los esfuerzos cortantes internos se

sumará a estas fuerzas externas al volumen de control, pudiendo escribir:

Por sumatoria de fuerzas horizontales en el volumen de control:

siendo la tensión:

además la fuerza debido al esfuerzo cortante viene dado por:

reemplazando:

por definición:

h

Fh∑ 0dF H2 H1−

dFy1

c

Aσ2⌠⎮⎮⌡

dy1

c

Aσ1⌠⎮⎮⌡

d−

σM y⋅

I →

dF

y1

c

AM2 y⋅

I

⌠⎮⎮⎮⌡

d

y1

c

AM1 y⋅

I

⌠⎮⎮⎮⌡

d−

dFM2 M1−

I y1

c

Ay⌠⎮⎮⌡

d⋅dM M2 M1−

dF τ b⋅ dx⋅

τdM

I b⋅ dx⋅ y1

c

Ay⌠⎮⎮⌡

d⋅

dM

dxV

τV

I b⋅ y1

c

Ay⌠⎮⎮⌡

d⋅



La expresión:

representa el momento estático del área analizada, pudiéndose escribir:

Q: momento estático del área.

yc: distancia desde la linea neutra

hasta el centroide de la sección analizada.

A: el área de la sección analizada.

y1

c

Ay⌠⎮⎮⌡

d

Qy1

c

Ay⌠⎮⎮⌡

d yc A⋅



En el caso de secciones rectangulares uniformes, donde:

se tiene:

La tensión cortante horizontal máxima se da en la Linea Neutra "y=0"

Con lo que se comprueba que el simple análisis de cortantes verticales en una viga,

puede no satisfacer una condición segura en el diseño.

Ib h3

⋅

12yc y

12

h2

y−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+ A bh2

y−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

τV

2 I⋅h2

4y2

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

τmax32

VA

⋅



DELFLEXION EN VIGAS - ECUACION ELÁSTICA DE LA VIGA

La mayor parte del proceso de diseño de vigas, se define por la rigidez que esta

presenta. Realizando una observación a priori, se puede apreciar que muchas de las

vigas comunes a nuestro medio (galerías de madera, rieles de cortinas, tuberías

colgadas, etc), si bien resisten a las cargas solicitantes, estas se deforman curvándose

en sentido de la carga, muchas veces de forma exagerada; en el campo industrial la

aplicación de las vigas es común al utilizarlas como elementos base para montaje de

piezas de mayor peso encima como ser tanques, motores, reductores, mezcladoras,

etc., por cuanto en estos casos, si bien la exigencia de resistencia a la solicitación se

cumple, se debe verificar que la viga sufra una mínima deformación, pues la holgura a

la deformación para montar los equipos industriales suele ser de milímetros.

A continuación se da como referencia algunos valores sugeridos de deformaciones

máximas para aplicaciones usuales:

Vigas de techos y pisos Ymax=1/360 luz del techo

Piezas de máquinas en general Ymax=0.00005…0.003 mm/mm

Piezas de precisión moderada Ymax=0.00001…0.0005 mm/mm

Piezas de alta precisión Ymax=0.000001…0.00001 mm/mm

L

L/2

Ra Rb

P

Ymax

Ecuación dela elástica



Para obtener la ecuación de la elástica, es decir la ecuación de la curva de

deformación, deducimos la relación entre la deformación y el momento flexionante en

la viga, del gráfico siguiente y relacionando las variables se tiene:

de la relación del sector circular:

despejando dθ:

despues de operaciones:

si dx se toma como la longitud del segmento (o como si fuera "L"):

dx ρ dθ⋅

dθdx

ρ

dx δ+

ρ c+

c

ρ

δ

dx

δ

Lε

c

ρε

σ

E



Que resulta ser la ecuación diferencial que define la curva elástica de una viga,

recordando que el momento está en función de la posición de "x".

Cada punto sobre la elástica de la viga tendrá una deflexión particular "y", y una

pendiente particular "dy/dx".

La relación de las expresiones matemáticas con el concepto físico derivadas de la

ecuación de la elástica se expresa de la siguiente forma:

además como:

simplificando:

Por calculo integral, se tiene que la ecuación del radio de curvatura de un

arco es:

la derivada al cuadrado se desprecia por ser un valor pequeño

conjuncionando las ecuaciones anteriores:

σM c⋅

Icρ

M c⋅I E⋅

1

ρ

MI E⋅

1

ρ

2xyd

d

2

1x

yd

d

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

+⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

3

2

1

ρ 2xyd

d

2

E I⋅2x

yd

d

2⋅ M x( )



PROCEDIMIENTO DE DOBLE INTEGRACION

Luego de analizar las cargas de una viga, obtener las ecuaciones y gráficas de fuerzas

cortantes y momentos flectores, se está en capacidad de encontrar la ecuación de la

elástica utilizando la ecuación de momentos flectores obtenidos y reemplazando en la

ecuación diferencial correspondiente.

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la elástica para la viga mostrada en la figura.

L

L/2

Ra Rb

P

Ymax

Ecuación dela elástica

la deflexión:

la pendiente:

el momento flector:

la cortante:

la carga distribuida:

y

θx

ydd

ME I⋅ 2x

yd

d

2

3xyd

d

3 dMdx

1

E I⋅⋅

VE I⋅

4xyd

d

4 dVdx

1

E I⋅⋅

qE I⋅



Resolviendo las ecuaciones para obtener las reacciones se tiene:

La ecuación del momento flector será:

El momento máximo se produce en el punto medio (para este caso):

cuando x=L/2

reemplazamos en la ecuación diferencial

Integrando la ecuacion anterior:

con apoyo de las condiciones iniciales, encontramos las constantes de integración:

cuando

finalmente

para el momento máximo en x=L/2

Ra RbP2

M x( )P x⋅

2

M x( )P L⋅4

M E I⋅2x

yd

d

2⋅

→

P x⋅2

E I⋅2x

yd

d

2⋅

x2x

yd

d

2⌠⎮⎮⎮⎮⌡

dP

2 E⋅ I⋅xx

⌠⎮⎮⌡

d⋅

→ xyd

d

P x2⋅

4 E⋅ I⋅C1+

xx

ydd

⌠⎮⎮⎮⌡

d xP x2

⋅

4 E⋅ I⋅

⌠⎮⎮⎮⌡

d xC1

⌠⎮⎮⌡

d+

→y x( )

P x3⋅

12 E⋅ I⋅C1 x⋅+ C2+

x 0 y 0 → C2 0

xL2 x

yd

d0

→C1

P− L2⋅

16 E⋅ I⋅

y x( )P x3

⋅

12 E⋅ I⋅

P− L2⋅

16 E⋅ I⋅x⋅+

y x( )P− L3

⋅

48 E⋅ I⋅



DEFLEXION DE VIGAS - FUNCIONES DE SINGULARIDAD

El proceso de obtención de la ecuación de la elástica de una viga, cuando esta

presenta muchas discontinuidades debido a cambios de carga, deriva en la

formulación y resolución de muchas ecuaciones, que a la vez incrementan la

probabilidad de cometer errores en los cálculos.

El matemático alemán A. Clebsch planteó la resolución de las ecuaciones de la

elástica utilizando las funciones de Singularidad, así la base lógica de estas funciones

permite analizar la respuesta transitoria de un circuito, que en este caso se convierte

en la respuesta transitoria (en el tramo) de la ecuación de deflexión de una viga.

Una particularidad de estas funciones es que nos permite establecer una sola función

de deflexión para toda la viga, con lo que se anula la necesidad de establecer

condiciones de coincidencia (condiciones de frontera) para cada ecuación en cada

tramo.

De forma general se puede exponer las siguientes relaciones:

00

Cuando n>0 y x>=x0

Cuando n>0 y x< x0

10 Cuando x>=x0

Cuando x< x0

11

Cuando n>=0

Cuando n>=1

La expresión general de las funciones de singularidad se escriben como: <x-x0>n

donde:

n: cualquier entero (positivo o negativo).

x0: el valor de x en la frontera del intervalo.

x: el valor de la longitud de análisis.

Los corchetes se reemplazan por paréntesis algebraicos (susceptibles de evaluación)

cuando se cumple x =>x0, y por "0" cuando x<x0.



Para entender mejor el planteamiento de la ecuación, se analiza la viga siguiente:

Ra Rb

Pq

x1

x2

x3

L

Ahora planteando una sola ecuación de singularidad:

para 0<x<L

La ecuación de momentos por tramos sería:

Tramo 1

Tramo 2

Tramo 3

0 x< x1<

M1 x( ) Ra x⋅

x1 x< x2<

M2 x( ) Ra x⋅ P x x1−( )−

x2 x< x3<

M3 x( ) Ra x⋅ P x x1−( )− qx x2−( )2

2⋅−



Ejemplo: encontrar la deflexión en el punto medio entre los dos apoyos:

Ra Rb

Pq

x1

x4

L

x2

x3

2m 6m 4m 6m

Para encontrar la ecuación de los momentos en la viga, se utilizará un artificio de

física, en la cual la carga distribuida se extenderá hasta el final de la viga, restándola

la misma en toda la longitud extendida, asegurando asi no cambien las condiciones

iníciales.

Ra Rb

Pq

x1

x4

L

x2

x3

DATOS

Por sumatoria de fuerzas horizontales y sumatoria de momentos se tiene las

reacciones:

q 60kgf

m:=

P 120kgf:= E 29000ksi:=

Ra 150kgf:= Rb 330kgf:=



realizando un único corte en el extremo derecho:

Las condiciones iniciales en los extremos:

Por cuanto para obtener la flecha en el punto x=6m, evaluamos la ecuación, sin

embargo por la regla de las funciones de singularidad, los términos (x-8)4 y (x-12)3, no

se evalúan pues se hacen cero, así:

E I⋅2x

yd

d

2⋅ M 150 x⋅

602

x 2−( )2⋅−

602

x 8−( )2⋅+ 330 x 12−( )⋅+

E I⋅x

yd

d

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 75 x2⋅ 10 x 2−( )3

⋅− 10 x 8−( )3⋅+ 165 x 12−( )2

⋅+ C1+

E I⋅ y⋅ 25 x3⋅

104

x 2−( )4⋅−

104

x 8−( )4⋅+

1653

x 12−( )3⋅+ C1 x⋅+ C2+

x 0 → y 0 → C2 0

x 12 → y 0

0 25 12( )3⋅

104

12 2−( )4⋅−

104

12 8−( )4⋅+

1653

12 12−( )3⋅+ C1 12( )⋅+

C1 1570−:= kgf m3⋅

E I⋅ y⋅ 25 6( )3 104

6 2−( )4⋅− 1570 6( )⋅−

x 6m:=

y x( )1

E I⋅25kgf x3 10kgf

4 m⋅x 2m−( )4

⋅−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

y x( ) 66.703mm=

mec 2240 diseÑo mecanicodocentes.uto.edu.bo/mruizo/wp-content/uploads/cap4_flexión-v2007.pdf ·...

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